ESTRUTURAS DE BETÃO 2 · (20% de Ø12//0,10 = 2,26 cm 2/m) Armadura a vermelho condicionante =...
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I
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
EEESSSTTTRRRUUUTTTUUURRRAAASSS DDDEEE BBBEEETTTÃÃÃOOO 222
LAJES APOIOADAS EM QUATRO BORDOS
PUNÇOAMENTO
PILARES
FUNDAÇÕES
EXERCÍCIOS PROPOSTOS E RESOLVIDOS
ISABEL ALVIM TELES
I
versão 0 i INTRODUÇÃO
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
EEESSSTTTRRRUUUTTTUUURRRAAASSS DDDEEE BBBEEETTTÃÃÃOOO 222
O objectivo deste documento é o de ajudar os alunos no estudo e compreensão das matérias abordadas na
Unidade Curricular de Estruturas de Betão 2, assim como na preparação para as provas de avaliação.
Os exercícios aqui reunidos estiveram incluídos em provas de avaliação ou nas fichas das aulas de
Orientação Tutorial da autora.
As resoluções apresentadas foram disponibilizadas aos alunos da UC EBET2 no ano lectivo 2009/2010, pelo
que a regulamentação e regras utilizadas eram as que nessa data estavam em vigor na UC.
Qualquer comentário que contribua para a revisão e melhoria deste documento será bem acolhido,
agradecendo a autora desde já o contacto através do mail: [email protected]
Isabel Alvim Teles
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 ii ÍNDICE
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
EXERCÍCIOS PROPOSTOS E RESOLVIDOS
ÍNDICE
LAJES APOIADAS EM QUATRO BORDOS
Exercício 1 ......................................................................................... 1
Exercício 2 ......................................................................................... 12
Exercício 3 ......................................................................................... 22
PUNÇOAMENTO
Exercício 4 ......................................................................................... 32
Exercício 5 ......................................................................................... 35
Exercício 6 ......................................................................................... 39
PILARES
Exercício 7 ......................................................................................... 42
Exercício 8 ......................................................................................... 48
Exercício 9 ......................................................................................... 55
FUNDAÇÕES
Exercício 10 ....................................................................................... 60
Exercício 11 ....................................................................................... 68
Exercício 12 ....................................................................................... 75
DESENHOS EXEMPLIFICATIVOS DE PROJECTO DE BETÃO ARMADO
Quadro de pilares .............................................................................. 82
Quadro de sapatas ............................................................................. 83
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 1 EXERCÍCIO 1
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
6,006,00
PLANTA
V2
(0,3
0x0,
55)
7,50
7,50
V1 (0,30x0,50) V1 (0,30x0,50)
V2
(0,3
0x0,
55)
V2
(0,3
0x0,
55)
V2
(0,3
0x0,
55)
V3
(0,3
0x0,
60)
V3
(0,3
0x0,
60)
V1 (0,30x0,50) V1 (0,30x0,50)
V1 (0,30x0,50) V1 (0,30x0,50)
01 EXERCÍCIO PROPOSTO
(EXAME 21-04-2010)
O desenho anexo representa a planta estrutural de um edifício industrial realizado com betão C20/25 e aço S400. As lajes são maciças armadas em duas direcções, constituindo painéis rectangulares com dimensão em planta 6,00m x 7,50m (ver desenho) e com 0,21m de espessura (d=0,17m).
Os valores característicos das acções a actuar nas lajes, para além do seu peso próprio, são os seguintes:
- enchimentos ……………..... 3,0 kN/m2
- paredes divisórias ……..... 2,0 kN/m2
- sobrecarga ...................... 6,0 kN/m2
Foram determinados os esforços nas lajes e após ter sido realizada uma redistribuição dos momentos negativos sobre a viga V3, foi calculada uma armadura superior de Ø12//0.125 como se descreve na Planta de Armaduras Superiores (ver página seguinte).
Faça o projecto de betão armado da laje seguindo os pontos abaixo listados.
•••• Determine qual a redistribuição dos momentos negativos sobre a viga V3 que foi considerada;
•••• Calcule as armaduras inferiores paralelas ao lado menor da laje compatíveis com a redistribuição efectuada;
•••• Determine todas as armaduras inferiores e superiores paralelas ao lado maior da laje (sem redistribuição);
•••• Determine todas as restantes armaduras, identificando-as claramente;
•••• Complete o desenho das armaduras superiores da laje na planta da página seguinte;
•••• Cotando devidamente o desenho, represente numa planta todas as armaduras inferiores da laje;
•••• Caracterize detalhadamente as acções que permitem determinar os diagramas de esforços de cálculo da viga V1;
•••• Verifique a segurança da laje em relação ao esforço transverso.
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 2 EXERCÍCIO 1
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
6.00
7.50
1.80
1.80
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ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 3 EXERCÍCIO 1
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
01 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
QUANTIFICAÇÃO DE CARGAS
• Carga uniformemente distribuída
pEd = 1,35 (0,21 x 25 + 3,0 + 2,0) + 1,50 x 6,0 = 22,84 kN/m2
DETERMINAÇÃO DE MOMENTOS INICIAIS PELAS TABELAS DO MONTOYA (ANTES DA REDISTRIBUIÇÃO)
Caso: 9ª linha e 0,8 7,506,00
l
l
x
y ==
• Momento que permite calcular a armadura inferior // lado menor da laje
my+
,Ed = 0,001 x 22,84 x 6,002 x 33 = 27,13 kNm/m
• Momento que permite calcular a armadura superior sobre os apoios // lado menor da laje
my-,Ed = 0,001 x 22,84 x 6,002 x 88 = 72,36 kNm/m
• Momento que permite calcular a armadura inferior // lado maior da laje
mx+
,Ed = 0,001 x 22,84 x 6,002 x 27 = 22,20 kNm/m
• Momento que permite calcular a armadura superior sobre os apoios // lado maior da laje
mx-,Ed = 0,001 x 22,84 x 6,002 x 74 = 60,85 kNm/m
==
⇒
===
⇒MPa 348 f
MPa 400 f S400 Aço
MPa 2,2 f MPa 13,3 f
MPa 20 f C20/25 Betão :Materiais
yd
yk
ctm
cd
ck
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ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 4 EXERCÍCIO 1
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
REDISTRIBUIÇÃO DOS MOMENTOS NEGATIVOS SOBRE A VIGA V3
• Momento negativo resistente após redistribuição
O momento negativo após redistribuição será igual ao momento resistente correspondente à armadura Ø12//0,125.
As = Ø12//0,125 = 9,05 cm2/m
0,1294μ 0,1393 13,3 0,17
348 10 9,05
cdf . b
f . Aω
-4yds =⇒=×××==
kNm/m 49,74 10 x 13,3 x 0,17 x 0,1294 .fd . b .μ M 32cd
2Rd ===
Momento negativo após redistribuição = 49,74 kNm/m
• ∆M - Redistribuição efectuada ∆M = Momento inicial – Momento final (após redist.) = 72,36 – 49,74 = 22,62 kNm/m
% Redistribuição efectuada = 72,3622,62
= 31,26 %
• Momento que permite calcular a armadura inferior // lado menor da laje após redistribuição
my+
,Ed = 27,13 +2M∆ = 27,1 3 +
262,22
= 38,44 kNm/m
DETERMINAÇÃO DE ARMADURAS
Armadura mínima
Armadura máxima
Espaçamentos regulamentares máximos
Zona de esforços máximos Outras zonas
sAp = 2h ≤ 0,25 m ⇒ sAp = 0,25 m sAp = 3h ≤ 0,40 m ⇒ sAp = 0,40 m
sAd = 3h ≤ 0,40 m ⇒ sAd = 0,40 m sAd = 3,5h ≤ 0,45 m ⇒ sAd = 0,45 m
/mcm 2,21 0,17 x 0,0013 b.d 0,0013
ntecondiciona /mcm 2,431 0,17 x 4002,2
x 0,26 b.d f
f . 0,26
A2
2
yk
ctm
mín
==
⇐==≥
/mcm 84 0,21 x 0,04 b.h 0,04 A 2máx ===
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 5 EXERCÍCIO 1
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
• Armadura principal inferior // lado menor da laje
my+
,Ed = 38,44 kNm/m
0,106ω 0,1000 1013,30,171
38,44
.fd.b
m μ
32cd
2
Edy, =⇒=×××
==
≤≥
⇒=××==máx
mín2
yd
cdA
A /mcm6,89
34813,30,170,106
f
f.bω. A/m
Banda central: 6,89 cm2/m ⇒ Ø10//0,10 (7,85 cm2/m)
Ø10//0,20 (até ao apoio) + Ø10//0,20 (dispensa)
Bandas laterais: Ø10//0,20 (3,93 cm2/m) ≥ Amín (2,43 cm2/m)
• Armadura principal inferior // lado maior da laje
mx+
,Ed = 22,20 kNm/m
0,0598ω 0,0578 1013,30,171
22,20
.fd.b
m μ
32cd
2Edx, =⇒=
×××==
⇓
≤≥
⇒=××==máx
mín2
yd
cdA
A /mcm3,89
34813,30,170,0598
f
f.bω. A/m
Banda central: 3,89 cm2/m ⇒ Ø8//0,125 (4,02 cm2/m)
Como Ø8//0,25 < Amín (2,43cm2/m) não se faz dispensa
Bandas laterais: Amín (2,51 cm2/m) ⇒ Ø8//0,20 (2,51 cm2/m)
• Armadura principal superior sobre os apoios // lado maior da laje
mx-,Ed = 60,85 kNm/m
0,17396ω 0,1583 1013,30,171
60,85
.fd.b
m μ
32cd
2Edx, =⇒=
×××==
≤≥
⇒=××==máx
mín2
yd
cdA
A /mcm,3011
34813,30,170,17396
f
f.bω. A/m
Armadura: 11,30 cm2/m ⇒ Ø12//0,10 (11,31 cm2/m)
Nota
Tabela de armaduras consultada: Tabela 2, página 28, coluna 0 AA' =
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 6 EXERCÍCIO 1
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
• Outras armaduras superiores
Armadura representada a vermelho A armadura superior representada a vermelho tem que respeitar as seguintes condicionantes:
- armadura de canto = 0,50 x (maior armadura inferior) = 0,50 x 7,85 = 3,925 cm2/m
- Amín (2,431 cm2/m)
- armadura de distribuição da armadura principal de momentos negativos (20% de Ø12//0,10 = 2,26 cm2/m)
Armadura a vermelho condicionante = 3,925 cm2/m ⇒ Ø8//0,125 (4,02 cm2/m)
Armadura representada a verde A armadura superior representada a verde é a armadura de continuidade sobre o apoio simples e tem que respeitar as seguintes condicionantes:
- armadura de continuidade = 15% de Ø10//0,10 = 1,18 cm2/m
- Amín (2,431 cm2/m)
Armadura a verde condicionante = 2,431 cm2/m ⇒ Ø8//0,20 (2,431 cm2/m)
Armadura representada a amarelo A armadura superior representada a amarelo é a armadura de distribuição da armadura principal de momentos negativos.
Armadura a amarelo = 20% de Ø12//0,125 = 1,81 cm2/m ⇒ Ø6//0,15 (1,88 cm2/m)
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 7 EXERCÍCIO 1
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Armadura representada a azul A armadura superior representada a azul é a armadura de distribuição da armadura principal de momentos negativos.
Armadura a azul = 20% de Ø12//0,10 = 2,26 cm2/m ⇒ Ø6//0,125 (2.26 cm2/m)
Armadura representada a magenta A armadura superior representada a magenta é a armadura de distribuição da armadura de continuidade sobre o apoio simples (armadura verde).
Armadura a magenta = 20% de Ø8//0,20 = 0,50 cm2/m ⇒ Ø6//0,30 (0,94 cm2/m)
DESENHO
Os desenhos das armaduras encontram-se nas páginas 10 e 11. Largura das bandas superiores = 0,3 x ly = 0,3 x 6,00 = 1,80 m Largura das bandas inferiores = 0,2 x ly = 0,2 x 6,00 = 1,20 m
Amarração das armaduras nos apoios
A amarração das armaduras nos apoios deverá ser feita de acordo com os esquemas seguintes. Armaduras inferiores a amarrar nos apoios extremos: Ø10 Armaduras superiores a amarrar nos apoios extremos: Ø8
Comprimento de sobreposição mínimo: l0,min ≥ máx (0,45 lbd; 15Ø; 20 cm)
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ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 8 EXERCÍCIO 1
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
60°
30°
60°
30°
60°
30°
45°
45°
45°
45°
45°
45°
45°
45°60°
30°
V1 V1
V1 V1
3.75 2.165
Viga V1
6.006.00
3.752.165
0.085
7.50
3.75
7.50
3.75
3.75
3.75
0.085
V2
V2
V2
V2
V3
V3
V1 V1
QUANTIFICAÇÃO DE ACÇÕES NA VIGA V1 (0,30 X 0,50)
Carga uniformemente distribuída: pEd = 22,84 kN/m2
Peso próprio da viga V1 = 0,30 x 0,50 x 25 x 1,35 = 5,0625 kN/m
Máxima acção da laje sobre a viga V1 = 22,84 x 3,75 x 2 = 171,30 kN/m
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 9 EXERCÍCIO 1
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
VERIFICAÇÃO DO ESFORÇO TRANSVERSO
• Junto da viga V1
VEd,máx = pED x 3,75 = 22,84 x 3,75 = 85,65 kN/m
VRd,c = 0,12 K (100 ρl fck)1/3
bw d ≥ 0,035 K3/2 fck
1/2 bw d
K = 1+d
200 ≤ 2,0 ⇒ K = 1+170200 = 2,08 ⇒ K=2,0
0,02 ≤ db
A ρ
w
sl l = ⇒ 0,02 ≤ 6,65x10
100 x 1711,31
100 x 17
Ø12//0,10 ρ 3- l ===
VRd,c = 0,12 x 2 (100 x 6,65 x 10-3
x 20)1/3
x 170 x 1000 ≥ 0,035 x 23/2
x 201/2 x 170 x 1000
VRd,c = 96,68 kN/m ≥ 75,26 kN/m
VEd,máx = 85,65 kN/m ≤ VRd,c = 96,68 kN/m √
• Junto da viga V2
VEd,máx = pED x 2,165 = 22,84 x 2,165 = 49,45 kN/m
VRd,c ≥ 0,035 x 23/2
x 201/2
x 140 x 1000 = 75,26 kN/m
VEd,máx = 49,45 kN/m ≤ VRd,c ≥ 75,26 kN/m √
• Junto da viga V3
VEd,máx = pED x 3,75 = 22,84 x 3,75 = 85,65 kN/m
VRd,c = 0,12 K (100 ρl fck)1/3
bw d ≥ 0,035 K3/2 fck
1/2 bw d
K=1+d
200 ≤ 2,0 ⇒ K=1+170200 =2,08 ⇒ K=2,0
0,02 ≤ db
A ρ
w
sl l = ⇒ 0,02 ≤ 5,32x10
100 x 179,05
100 x 17
Ø12//0,125 ρ 3- l ===
VRd,c = 0,12 x 2 (100 x 5,32 x 10-3 x 20)
1/3 x 170 x 1000 ≥ 0,035 x 23/2
x 201/2 x 170 x 1000
VRd,c = 89,74 kN/m ≥ 75,26 kN/m
VEd,máx = 85,65 kN/m ≤ VRd,c = 89,74 kN/m √
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ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 10 EXERCÍCIO 1
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
0.2
0
0.2
0
7.50
1.80
1.80
1.80
1.80
1.80
1.80
1.80
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ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 11 EXERCÍCIO 1
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
0.1
00
.10
6.00
7.50
1.20
1.20
1.20
1.20
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ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 12 EXERCÍCIO 2
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
CO
RT
E 1
-1
6,10
5,505,50
1
1
PLANTA
0,90
0,30
V1 V1
V1 V1
V2
V2
V2
02 EXERCÍCIO PROPOSTO
O desenho anexo representa a planta estrutural de uma cobertura ajardinada de um edifício. As lajes são maciças armadas em duas direcções com 0,18 m de espessura (d=0,14 m) e realizadas com betão C20/25 e aço S400.
Sobre a laje e após ter sido realizada a sua impermeabilização, foi colocada terra com altura variável entre 0,30 m e 0,90 m, conforme representado no Corte 1-1.
Na quantificação das acções, considere que o valor característico da acção correspondente à impermeabilização é 3,0 kN/m2 e que o peso volúmico da terra é 19 kN/m3.
Tendo em conta que se pretende fazer uma redistribuição dos momentos negativos de 25%, faça o projecto de betão armado da laje seguindo os pontos abaixo listados.
•••• Determine todas as armaduras da laje;
•••• Cotando devidamente o desenho, represente numa planta todas as armaduras inferiores da laje;
•••• Cotando devidamente o desenho, represente numa planta todas as armaduras superiores da laje;
•••• Calcule o esforço transverso resistente da laje (VRd,c) junto de cada um dos apoios e faça a respectiva verificação;
•••• Quantifique as acções da laje sobre as vigas que lhe dão apoio.
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ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 13 EXERCÍCIO 2
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
02 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
QUANTIFICAÇÃO DE CARGAS
• Carga uniformemente distribuída
pEd = 1,35 (0,18 x 25 + 3 + 0,30 x 19) = 17,82 kN/m2
• Carga triangular (tipo 3 – Tabelas Montoya)
pEd = 1,35 (0,60 x 19) = 15,39 kN/m2
DETERMINAÇÃO DE MOMENTOS PELAS TABELAS DO MONTOYA
Caso: 5ª linha e 6,105,50
l
l
X
y =
• Momento que permite calcular a armadura inferior // lado menor da laje
my+
,Ed = 0,001 x 17,82 x 5,502 x 34 + 0,001 x 15,39 x 5,502 x 19 =
= 18,328 + 8,845 = 27,17 kNm/m
• Momento que permite calcular a armadura inferior // lado maior da laje
mx+
,Ed = 0,001 x 17,82 x 5,502 x 18 + 0,001 x 15,39 x 5,502 x 16 =
= 9,703 + 7,449 = 17,15 kNm/m
• Momento que permite calcular a armadura superior sobre os apoios // lado menor da laje
my-,Ed = 0,001 x 17,82 x 5,502 x 74 + 0,001 x 15,39 x 5,502 x 41 =
= 39,890 + 19,087 = 58,98 kNm/m
==
⇒
===
⇒MPa 348 f
MPa 400 f S400 Aço
MPa 2,2 fMPa 13,3 f
MPa 20 f
C20/25 Betão :Materiaisyd
yk
ctm
cd
ck
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 14 EXERCÍCIO 2
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
M M
M MM
5,50 m 5,50 m
diagrama inicial
diagrama final
REDISTRIBUIÇÃO DE 25% DOS MOMENTOS NEGATIVOS
∆M = 0,25 x 58,98 = 14,745 kNm/m
Momento negativo após redistribuição: 58,98 – 14,745 = 44,235 kNm/m
Momento positivo após redistribuição: 27,17 + 14,745 = 41,915 kNm/m
DETERMINAÇÃO DE ARMADURAS
• Armadura mínima
• Armadura máxima
• Espaçamentos regulamentares máximos
Zona de esforços máximos Outras zonas
sAp = 2h ≤ 0,25 m ⇒ sAp = 0,25 m sAp = 3h ≤ 0,40 m ⇒ sAp = 0,40 m
sAd = 3h ≤ 0,40 m ⇒ sAd = 0,40 m sAd = 3,5h ≤ 0,45 m ⇒ sAd = 0,45 m
/mcm 1,82 0,14 x 0,0013 b.d 0,0013
ntecondiciona /mcm 2,002 0,14 x 4002,2
x 0,26 b.df
f . 0,26
A2
2
yk
ctm
mín
==
⇐==≥
/mcm 72 0,18 x 0,04 b.h 0,04 A 2máx ===
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 15 EXERCÍCIO 2
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
• Armadura principal inferior // lado menor da laje
my+
,Ed = 41,915 kNm/m
0,17695ω 0,16079 10 13,30,141
41,915
.fd.b
m μ
32cd
2
Edy, =⇒=×××
==
≤≥
⇒=××==máx
mín2
yd
cdA
A /mcm9,47
34813,3 0,14 0,17695
f
f.bω. A/m
Banda central: 9,47 cm2/m ⇒ Ø12//0,10 (11,31 cm
2/m)
Ø12//0,20 (até ao apoio) + Ø12//0,20 (dispensa)
Bandas laterais: Ø12//0,20 (5,65 cm2/m) ≥ Amín (2 cm2/m)
• Armadura principal inferior // lado maior da laje
mx+
,Ed = 17,15 kNm/m
0,06796ω 0,0658 1013,30,141
17,15
.fd.b
m μ
32cd
2Edx, =⇒=
×××==
≤≥
⇒=××==máx
mín2
yd
cdA
A /mcm 3,64
34813,30,140,06796
f
f.bω. A/m
Banda central: 3,64 cm2/m ⇒ Ø10//0,20 (3,93 cm2/m)
Bandas laterais: Amín = 2 cm2 ⇒ Ø8//0,25 (2,01 cm2/m)
• Armadura principal superior sobre os apoios // lado menor da laje
my-,Ed = 44,235 kNm/m
0,18764ω 0,1697 1013,30,141
44,235
.fd.b
m μ
32cd
2
Edy, =⇒=×××
==
≤≥
⇒=××==máx
mín2
yd
cdA
A /mcm9,97
34813,30,140,18764
f
f.bω. A/m
Armadura: 9,97 cm2/m ⇒ Ø12//0,10 (11,31 cm2/m)
Nota
Tabela de armaduras consultada: Tabela 2, página 28, coluna 0 A
A'=
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 16 EXERCÍCIO 2
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
• Outras armaduras superiores
Armadura representada a vermelho A armadura superior representada a vermelho tem que respeitar as seguintes condicionantes:
- armadura de canto = 0,50 x (maior armadura inferior) = 0,50 x 11,31 = 5,66 cm2/m
- Amín (2,00 cm2/m)
- armadura de distribuição da armadura principal de momentos negativos (20% de Ø12//0,10 = 2,26 cm2/m)
Armadura a vermelho condicionante = 5,66 cm2/m ⇒ Ø10//0,125 (6,28 cm2/m)
Armadura representada a verde A armadura superior representada a verde é a armadura de continuidade sobre o apoio simples e tem que respeitar as seguintes condicionantes:
- armadura de continuidade = 15% de Ø10//0,20 = 0,59 cm2/m
- Amín (2,00 cm2/m)
Armadura a verde condicionante = 2,00 cm2/m ⇒ Ø8//0,25 (2,01 cm2/m)
Armadura representada a amarelo A armadura superior representada a amarelo é a armadura de distribuição da armadura principal de momentos negativos.
Armadura a amarelo = 20% de Ø12//0,10 = 2,26 cm2/m ⇒ Ø8//0,20 (2,51 cm2/m)
Armadura representada a azul A armadura superior representada a azul é a armadura de distribuição da armadura de continuidade sobre o apoio simples (armadura verde).
Armadura a azul = 20% de Ø8//0,25 = 0,40 cm2/m ⇒ Ø6//0,30 (0,94 cm2/m)
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 17 EXERCÍCIO 2
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
DESENHO
Os desenhos encontram-se nas páginas 20 e 21.
Largura das bandas inferiores = 0,2 x lY = 0,2 x 5,50 = 1,10 m
Largura das bandas superiores = 0,3 x lY = 0,3 x 5,50 = 1,65 m
Amarração das armaduras nos apoios A amarração das armaduras nos apoios deverá ser feita de acordo com os esquemas seguintes.
Comprimento de sobreposição mínimo: l0,min ≥ máx (0,45 lbd; 15Ø; 20 cm)
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 18 EXERCÍCIO 2
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
VERIFICAÇÃO DO ESFORÇO TRANSVERSO
• Carga uniformemente distribuída equivalente
Por simplificação adoptar-se-á uma carga uniformemente distribuída equivalente à acção conjunta da carga uniformemente distribuída e da carga triangular
A carga uniformemente distribuída equivalente será igual à soma da carga uniformemente distribuída mais 4/3 da máxima carga triangular:
pEd,eq = 17,82 + 43 x 15,39 = 29,36 kN/m
2
• Junto da viga V1
VEd,máx = pED,eq x 1,59 = 29,36 x 1,59 = 46,68 kN/m
VRd,c = 0,12 K (100 ρl fck)1/3
bw d ≥ 0,035 K3/2 fck
1/2 bw d
K = 1+d
200 ≤ 2,0 ⇒ K = 1+140200 = 2,2 ⇒ K = 2,0
02,0 db
A ρ
w
sll ≤= ⇒ 0,02 10 1,44
100 142,01
100 14
Ø8//0,25 ρ 3-
l ≤ ×=×=×=
VRd,c = 0,12 x 2 (100 x 1,44 x 10-3 x 20)
1/3 x 140 x 1000 ≥ 0,035 x 23/2
x 201/2
x 140 x 1000
VRd,c = 47,80 kN/m ≥ 61,98 kN/m
VEd,máx = 46,68 kN/m ≤ VRd,c = 61,98 kN/m √
• Junto da viga V2
VEd,máx = pED,eq x 2,75 = 29,36 x 2,75 = 80,74 kN/m
VRd,c = 0,12 K (100 ρl fck)1/3
bw d ≥ 0,035 K3/2
fck1/2 bw d
K = 1+d
200 ≤ 2,0 ⇒ K = 1+140200 = 2,2 ⇒ K = 2,0
02,0 db
A ρ
w
sll ≤= ⇒ 0,02 10 8,08
100 1411,31
100 14
Ø12//0,10 ρ 3-
l ≤ ×=×=×=
VRd,c = 0,12 x 2 (100 x 8,08 x 10-3 x 20)
1/3 x 140 x 1000 ≥ 0,035 x 23/2
x 201/2
x 140 x 1000
VRd,c = 84,95 kN/m ≥ 61,98 kN/m
VEd,máx = 80,74 kN/m ≤ VRd,c = 84,95 kN/m √
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 19 EXERCÍCIO 2
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
6.10
5.50
2.75 2.75
1.59
1.59
60°
2.92
60°
60°60°
30°30°
30°30°
5.50
2.75 2.75
V1V1
V1V1
V2
V2
V2
Vig
a V
2
Viga V1
QUANTIFICAÇÃO DE ACÇÕES NAS VIGAS
Por simplificação adoptar-se-á a carga uniformemente distribuída equivalente anteriormente calculada:
pEd,eq = 29,36 kN/m2
Máxima acção da laje sobre a viga V1: 29,36 x 1,59 = 46,68 kN/m
Máxima acção da laje sobre a viga V2: 29,36 x 2,75 x 2 = 161,48 kN/m
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 20 EXERCÍCIO 2
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
1.10
1.10
1.10
1.10
6.10
5.50
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 21 EXERCÍCIO 2
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
1.65
1.6
5
1.65
1.65
6.10
5.5
0
0.20
0.20
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 22 EXERCÍCIO 3
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
0,05
0,200,25
0,15
GEOMETRIA DAS NERVURASCORTE
bloco
DISTRIBUIÇÃO EM PLANTADAS NERVURAS
X
Y
0,15
0,65
0,15
0,15
0,50
0,15
bloco
X
Y
7,20
8,00
8,00
PLANTA
V1
V1
V1
V1
V2
V3
V2
Lm
La
03 EXERCÍCIO PROPOSTO
(EXAME 21-07-2010)
A figura anexa representa a planta estrutural de um edifício cujo piso é constituído por um painel de laje maciça (Lm) e um painel de laje aligeirada nervurada (La). Ambos os painéis são armados nas duas direcções.
A laje maciça Lm tem 0,22m de espessura (d=0,18m) e nela estão a actuar as seguintes acções (valores característicos):
- peso próprio …………………….……............. a calcular
- revestimentos e paredes divisórias ..…. 4,50 kN/m2
- sobrecarga ............................................. 5,00 kN/m2
A laje aligeirada La tem 0,25m de espessura total (d=0,21m) e é constituída por blocos com dimensão em planta 0,65m x 0,50m e com 0,20m de altura (ver desenho). Na laje La estão a actuar as seguintes acções (valores característicos):
- peso próprio ……..…… 3,75 kN/m2
- revestimentos …....…. 1,25 kN/m2
- sobrecarga ................. 5,00 kN/m2
Materiais utilizados: betão C20/25 e aço S400.
a) Determine os valores de cálculo dos esforços de flexão a actuar nas lajes, utilizando as tabelas do Montoya, e efectue uma redistribuição (a menor possível) para que haja compatibilidade de momentos na zona de ligação entre os painéis Lm e La (identifique claramente as direcções dos momentos);
b) Calcule a armadura longitudinal inferior a colocar nas nervuras paralelas ao lado maior da laje La, efectuando as respectivas verificações regulamentares;
c) Calcule todas as armaduras da laje Lm paralelas ao seu lado maior, efectuando as respectivas verificações regulamentares;
d) Calcule todas as armaduras da laje Lm paralelas ao seu lado menor, efectuando as respectivas verificações regulamentares;
e) Cotando devidamente o desenho, represente todas as armaduras inferiores da laje Lm na planta da página seguinte.
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 23 EXERCÍCIO 3
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
8,00
PLANTA DE ARMADURAS INFERIORESEsc: 1/50
7,20
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 24 EXERCÍCIO 3
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
03 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
Alínea a)
• Quantificação de cargas
Laje maciça Lm: pEd = 1,35 (0,22 x 25 + 4,50) + 1,50 x 5,0 = 21,00 kN/m2
Laje aligeirada La: pEd = 1,35 (3,75 + 1,25) + 1,50 x 5,0 = 14,25 kN/m2
• Determinação de momentos iniciais na laje maciça Lm (antes da redistribuição)
Tabela do Montoya - Caso: 6ª linha; 0,9 7,208,00
l
l
x
y ==
Momento que permite calcular a armadura inferior // lado menor da laje maciça
my+
,Ed = 0,001 x 21,0 x 7,202 x 37 = 40,28 kNm/m
Momento que permite calcular a armadura inferior // lado maior da laje maciça
mx-,Ed = 0,001 x 21,0 x 7,202 x 38 = 41,37 kNm/m
Momento que permite calcular a armadura superior (sobre o apoio) // lado maior da laje maciça
mx-,Ed = 0,001 x 21,0 x 7,202 x 93 = 101,24 kNm/m
==
⇒
===
⇒MPa 348 f
MPa 400 f S400 Aço
MPa 2,2 fMPa 13,3 f
MPa 20 f
C20/25 Betão :Materiaisyd
yk
ctm
cd
ck
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 25 EXERCÍCIO 3
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
• Determinação de momentos iniciais na laje aligeirada La (antes da redistribuição)
Momento que permite calcular a armadura inferior // lado menor da laje aligeirada
my+
,Ed = 0,001 x 14,25 x 7,202 x 37 = 27,33 kNm/m
Momento que permite calcular a armadura inferior // lado maior da laje aligeirada
mx-,Ed = 0,001 x 14,25 x 7,202 x 38 = 28,07 kNm/m
Momento que permite calcular a armadura superior (sobre o apoio) // lado maior da laje aligeirada
mx-,Ed = 0,001 x 14,25x 7,202 x 93 = 68,70 kNm/m
• Compatibilização dos momentos negativos sobre a viga V3
Laje maciça Lm: Momento negativo sobre a V3 = 101,24 kNm/m
Laje aligeirada La: Momento negativo sobre a V3 = 68,70 kNm/m
∆M = - La
- Lm M - M = 101,24 – 68,70 = 32,54 kNm/m
2M∆ = 16,27 kNm/m
8,00 m 8,00 m
diagrama inicial
diagrama final
M
LaLm
M2
(após redistribuição)
-101,24 kNm/m
-68,70 kNm/m
41,37 28,07 kNm/m
57,64 kNm/m
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 26 EXERCÍCIO 3
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
• Momentos de cálculo da laje maciça Lm após redistribuição
Momento que permite calcular a armadura inferior // lado menor da laje maciça
my+
,Ed = 40,28 kNm/m
Momento que permite calcular a armadura inferior // lado maior da laje maciça
mx+
,Ed = 41,37 + 16,27 = 57,64 kNm/m
Momento que permite calcular a armadura superior (sobre o apoio) // lado maior da laje maciça
mx-,Ed = - 68,70 kNm/m
• Momentos de cálculo da laje aligeirada La após redistribuição
A redistribuição só afecta os momentos da laje maciça, pelo que os momentos da laje aligeirada mantêm-se os iniciais (ver desenho de diagrama de momentos).
Alínea b)
Largura da nervura paralela ao lado maior da laje = 0,65 + 0,15 = 0,80 m
M+
,Ed = 28,07 kNm/m ⇒ M+
,Ed /nerv = 28,07 x 0,80 = 22,456 kNm/nerv
0,07386α0,04943ω
0,04786 10 13,3 0,21 0,80
22,456
.fd.b
M μ
32cd
2Ed
==
⇒=×××
== (Tab. pág. 28)
res)rectangula (secções 28 pág. Tab. a usada ser pode lajeta na neutro eixo m 0,05 m 0,0155 0,21 x 0,07386 d . α x 0,07386α
⇒⇒≤===⇒=
≤≥
⇒=×××==máx
mín2
yd
cdA
A /nervcm3,17
34813,3 0.21 0,80 0,04943
f
f.bω. A/nerv
/nerv)cm (4,02 nerv /2Ø16 A/nerv 2=
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 27 EXERCÍCIO 3
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Armadura mínima inferior por nervura
/nervcm 0,41 0,21 x 0,15 x 0,0013 b.d 0,0013
ntecondiciona /nervcm 0,45 0,21 x 0,15 x 4002,2 x 0,26 b.d
ff
0,26 A
2
2
yk
ctm
mín
==
⇐==≥
Armadura máxima por nervura
/nervcm 28 0,15) x 0,20 0,05 x (0,80 x 0,04 A 0,04 A 2cmáx =+==
Alíneas c) e d)
DETERMINAÇÃO DE ARMADURAS
Armadura mínima da laje maciça
Armadura máxima da laje maciça
Espaçamentos regulamentares máximos
Zona de esforços máximos Outras zonas
sAp = 2h ≤ 0,25 m ⇒ sAp = 0,25 m sAp = 3h ≤ 0,40 m ⇒ sAp = 0,40 m
sAd = 3h ≤ 0,40 m ⇒ sAd = 0,40 m sAd = 3,5h ≤ 0,45 m ⇒ sAd = 0,45 m
• Armadura principal inferior // lado maior da laje maciça
mx+
,Ed = 57,64 kNm/m
0,1445 ω 0,13376 1013,30,181
57,64
.fd.b
M μ
32cd
2Ed =⇒=
×××==
≤≥
⇒=××==máx
mín2
yd
cdA
A /mcm 9,94
34813,3 0,18 0,1445
f
f.bω. A/m
Banda central: 9,94 cm2/m ⇒ Ø12//0,10 (11,31 cm2/m)
Ø12//0,20 (até ao apoio) + Ø12//0,20 (dispensa)
Bandas laterais: Ø12//0,20 (5,65 cm2/m) ≥ Amín (2,574 cm2/m)
/mcm 2,34 0,18 x 0,0013 b.d 0,0013
ntecondiciona /mcm 2,574 0,18 x 4002,2
x 0,26 b.d f
f 0,26
A2
2
yk
ctm
mín
==
⇐==≥
/mcm 88 0,22 x 0,04 b.h 0,04 A 2máx ===
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 28 EXERCÍCIO 3
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
• Armadura principal superior // lado maior da laje maciça
mx-,Ed = - 68,70 kNm/m
0,17528 ω 0,1594 10 13,3 0,18 1
68,70
.fd.b
M μ
32cd
2Ed =⇒=
×××==
≤≥
⇒=××==máx
mín2
yd
cdA
A /mcm12,06
34813,3 0,18 0,17528
f
f.bω. A/m
Armadura: 12,06 cm2/m ⇒ Ø16//0,15 (13,41 cm2/m)
• Armadura principal inferior // lado menor da laje maciça
my+
,Ed = 40,28 kNm/m
0,0985 ω 0,0935 10 13,3 0,18 1
40,28 f .d.b
M μ
3 2cd
2Ed =⇒=
×××==
≤≥
⇒=××==máx
mín2
yd
cdA A
/mcm ,786 348
13,3 0,18 0,0985 f
f.bω. A/m
Banda central: 6,78 cm2/m ⇒ Ø10//0,10 (7,85 cm2/m)
Bandas laterais: Ø10//0,20 (3,93 cm2/m) ≥ Amín (2,574 cm2/m)
Nota: Tabela de armaduras consultada: Tabela 2, página 28, coluna 0 AA' =
• Armaduras de canto inferiores
As armaduras inferiores de canto têm de apresentar uma área igual à maior armadura inferior a meio vão. (armadura correspondente a Ø12//0,10=11,31cm2/m)
Na direcção paralela ao lado maior, existe nas bandas laterais Ø12//0,20.
Na direcção paralela ao lado menor, existe nas bandas laterais Ø10//0,20. Armadura representada a vermelho
Ø12//0,20 ⇒ Ø12//0,20 + Ø12//0,20 (existente) = Ø12//0,10 √
Armadura representada a verde
Ø16//0,20 ⇒ Ø16//0,20 + Ø10//0,20 (existente) = 13,98 cm2/m
13,98 cm2/m > 11,31 cm2/m √
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 29 EXERCÍCIO 3
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
• Outras armaduras superiores
Armadura representada a vermelho
A armadura superior representada a vermelho tem que respeitar as seguintes condicionantes:
- armadura de canto = maior armadura inferior = 11,31 cm2/m
- Amín (2,574 cm2/m)
Armadura a vermelho condicionante = 11,31 cm2/m ⇒ Ø12//0,10
Armadura representada a verde
A armadura superior representada a verde tem que respeitar as seguintes condicionantes:
- armadura de canto = 0,5 x maior armadura inferior = 5,66 cm2/m
- armadura de continuidade = 15% de Ø10//0,10 = 1,18 cm2/m
- Amín (2,574 cm2/m)
- armadura de distribuição = 20% de Ø16//0,15 = 2,68 cm2/m
Armadura a verde condicionante = 5,66 cm2/m ⇒ Ø10//0,125 (6,28 cm2/m)
Armadura representada a azul escuro
A armadura superior representada a azul escuro é a armadura de distribuição da armadura principal de momentos negativos.
Armadura a azul escuro = 20% de Ø16//0,15 = 2,68 cm2/m ⇒ Ø8//0,175 (2,87 cm2/m)
Armadura representada a amarelo
A armadura superior representada a amarelo é a armadura de continuidade sobre o apoio simples e tem que respeitar as seguintes condicionantes:
- armadura de continuidade = 15% de Ø10//0,10 = 1,18 cm2/m
- Amín (2,574 cm2/m)
Armadura a amarelo condicionante = 2,574 cm2/m ⇒ Ø8//0,175 (2,87 cm2/m)
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 30 EXERCÍCIO 3
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Armadura representada a azul claro
A armadura superior representada a azul claro é a armadura de continuidade sobre o apoio simples e tem que respeitar as seguintes condicionantes:
- armadura de continuidade = 15% de Ø12//0,10 = 1,70 cm2/m
- Amín (2,574 cm2/m)
Armadura a azul claro condicionante = 2,574 cm2/m ⇒ Ø8//0,175 (2,87 cm2/m)
Armadura representada a magenta
A armadura superior representada a magenta é a armadura de distribuição da armadura de continuidade.
Armadura a magenta = 20% de Ø8//0,175 = 0,57 cm2/m ⇒ Ø6//0,25 (1,13 cm2/m)
Alínea e)
DESENHO O desenho das armaduras inferiores encontra-se na página 31. Largura das bandas superiores = 0,3 x ly = 0,3 x 7,20 = 2,16 m ⇒ 2,20 m Largura das bandas inferiores = 0,2 x ly = 0,2 x 7,20 = 1,44 m ⇒ 1,40 m Armaduras de canto inferiores = 0,3 x ly = 0,3 x 7,20 = 2,16 m ⇒ 2,20 m
Amarração das armaduras nos apoios A amarração das armaduras nos apoios deverá ser feita de acordo com os esquemas seguintes.
Comprimento de sobreposição mínimo: l0,min ≥ máx (0,45 lbd; 15Ø; 20 cm)
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 31 EXERCÍCIO 3
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
7,20
1,40 1,40
2,20
2,20
2,20
PLANTA DE ARMADURAS INFERIORESEsc: 1/50
8,00
1,40
1,40
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 32 EXERCÍCIO 4
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
ARMADURAS DE PUNÇOAMENTO
0,15 m
0,10 m
0,30 m
04 EXERCÍCIO PROPOSTO
No desenho está representada uma estrutura de betão armado que dá apoio a um reservatório de água.
A estrutura de betão armado é constituída por um pilar circular com 0,30m de diâmetro, onde apoia uma laje maciça com 0,25m de espessura (d=0,22m) e com dimensões em planta 3,40m x 3,40m.
A laje apresenta uma armadura inferior constituída por uma malha quadrada de
#∅10//0,15 e uma armadura superior constituída por uma malha quadrada de
#∅16//0,15.
Outros dados:
- O peso do reservatório é desprezável.
- Materiais: Betão C25/30 e aço S500.
a) Considerando que a laje não tem armadura de punçoamento, determine a máxima altura de água H que o reservatório pode conter, compatível com a resistência ao punçoamento;
b) Tendo somente em conta a verificação em relação à máxima resistência ao punçoamento na vizinhança
do pilar (vEd ≤ vRd,max), determine a máxima altura de água H que pode ser guardada no reservatório;
c) Considere agora que na laje foi colocada a armadura de punçoamento representada na figura abaixo,
constituída por 16 ramos de ∅8. Verifique se nestas condições o reservatório pode ser cheio com mais 1,0 m de altura de água relativamente à altura obtida na alínea a).
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 33 EXERCÍCIO 4
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
04 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
=
=⇒
=
=⇒
MPa 435 ydf
MPa 500 ykf S500 Aço
MPa 16,7 cdf
MPa 25 ckf C25/30 Betão :Materiais
Alínea a) Laje sem armadura de punçoamento
u1 = 2 π (0,15 + 2 x 0,22) = 3,707 m
1/2 ck
3/21/3cklcRd, f k 0,035 )f ρ (100 k 0,12 = v ≥
2 220200 1
d200 1 k ≤=+=+= 1,9535 √
0,02 ρρ ρlzlyl ≤=
y
sy
d b
A
lyρ =
z
sz
d b
A
lzρ =
0,02 22 x 100
40,13
db
16//0,15φ ρ ρ ρ
lzlyl≤===== 3-10x 6,09 √
1/23/21/3-3cRd, 25 1,9535 0,035 25) 10 6,09 (100 1,9535 0,12 = v ××≥××××
= v cRd, 0,5810 MPa = 581,00 kPa ≥ 0,47781 MPa = 477,81 kPa √
vED ≤ vRd,c
⇒ kN 412,02 V 581,00 0,22 x 3,707
V x 1,15 v Ed
EdEd ≤⇒≤=
1,15 interior) (pilar β =
Peso volúmico da água ≈ 10 kN/m3
VEd = 1,35 x 3,40 x 3,40 x 0,25 x 25 + 1,50 x 3,40 x 3,40 x H x 10 ≤ 412,02 kN
VEd = 97,54 + 173,40 H ≤ 412,02 kN ⇒ H ≤ 1,81 m
Alínea b) vED ≤ vRd,máx
0,54 ) 25025 - 1 ( 0,6 ν kPa 4509 10 16,7 0,54 0,5 f ν 0,5v 3
cdmaxRd, ===×××==
du
V β v
1
Ed Ed =
) 250ckf
1 ( 0,6 f ν 0,5v maxRd, −== ν cd
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 34 EXERCÍCIO 4
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
vED ≤ vRd,Max
kN 812,99 V kPa 4509 v 0,22 x 0,9425
V x 1,15
du
V β v EdmaxRd,
Ed
0
EdEd ≤⇒=≤==
m 0,9425 0,15 x π 2 r π 2 u0 ===
VEd = 97,54 + 173,40 H ≤ 812,99 kN ⇒ H ≤ 4,13 kN/m2
Alínea c)
H = 1,81 + 1 = 2,81 m
VEd = 97,54 + 173,40 H = 97,54 + 173,40 x 2,81 = 584,794 kN
d = 0,22 m
u1 = 3,707 m
1,15 interior) (pilar β kPa 824,62 0,22 x 3,707
584,794 x 1,15
du
V β v
1
Ed Ed ====
α sendu
1f A sd 1,5v 0,75 v
1ef ywd,sw
rcRd, csRd,
+=
vRd,c = 581,00 kPa
d = 0,22 m
u1 = 3,707 m
sr = 0,15 m
MPa 435 f MPa 305 220 0,25 250 f ywdef ywd, =≤=×+= √
Asw = 8 Ø 8 = 4,02 cm2
α = 90º ⇒ sen α = 1
kPa 766,50 0,22 x 3,707
1 10 x 305 x 10 x x4,02 0,150,22
1,5 581,00x 0,75v 34-csRd, =
+=
vED = 824,62 kPa ≥ vRd,c = 766,50 kPa ⇒⇒⇒⇒ O reservatório não pode ser cheio com uma altura de água H=2,81 m
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 35 EXERCÍCIO 5
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
6 m
5,5 m
5,5 m
6 m
PLANTA
0,10 m
0,15 m
0,15 m
ARMADURA DE PUNÇOAMENTO
0,50 m
0,25
05 EXERCÍCIO PROPOSTO
No desenho está representado um excerto de uma planta de um piso de um edifício em que os pilares estão dispostos segundo eixos que distam entre si 6,0 m numa direcção e 5,5 m na outra.
A laje que constitui o piso é fungiforme de betão armado com 0,24 m de espessura (d=0,21m) e está realizada com betão C25/30 e aço S500.
Na zona dos pilares, a laje apresenta uma armadura inferior constituída por uma malha quadrada de
#∅16//0,15 e uma armadura superior constituída por uma malha quadrada de #(∅20//0,30+∅16//0,30)
(varões alternados). A laje possui uma armadura de punçoamento constituída por 38 ramos de ∅8, conforme representado no desenho.
Para além do peso próprio, a carga permanente correspondente aos revestimentos e paredes divisórias que actuam na laje é 3 kN/m2 (valor característico).
a) Determine qual o valor característico máximo da sobrecarga (kN/m2) que poderá actuar na laje, compatível com a verificação do punçoamento pelo EC2;
b) Verifique se quando actua a sobrecarga calculada na alínea anterior não é ultrapassado o valor de cálculo da resistência máxima ao punçoamento da laje;
c) Verifique se a armadura de punçoamento representada cumpre a quantidade mínima regulamentar;
d) Considerando que na laje estão a actuar as cargas permanentes e a sobrecarga calculada na alínea a), verifique se a armadura de punçoamento representada cumpre todas as disposições regulamentares relativas à colocação de armaduras de punçoamento.
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 36 EXERCÍCIO 5
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
05 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
Alínea a)
α sendu
1f A sd 1,5v 0,75 v
1ef ywd,sw
rcRd, csRd,
+=
d = 0,21 m
1u = 2 x 0,25 + 2 x 0,50 +2 π (2 x 0,21) = 4,1389 m
rs = 0,15 m
ef ywd,f = 250 + 0,25 d = 250 + 0,25 x 210 = 302,5 MPa ≤ ywdf = 435 MPa √
menor sw,A = 10 Ø 8 = 5,03 cm2
α = 90º (armadura de punçoamento vertical) ⇒ sen α = 1
1/2 ck
3/21/3cklcRd, f k 0,035 )f ρ (100 k 0,12 = v ≥
2 210200 1
d200 1 k ≤=+=+= 1,9759 √
0,02 ρρ ρlzlyl ≤=
y
sy
ly d b
A ρ =
z
szlz d b
A ρ =
0,02 21 x 100
17,174
d b
16//0,30φ 20//0,30φ ρ ρ ρ
lzlyl≤==
+=== 3-10x 8,178 √
1/23/21/3-3cRd, 25 1,9759 0,035 25) 10 8,178 (100 1,9759 0,12 = v ××≥××××
= v cRd, 0,64835 MPa = 648,35 kPa ≥ 0,48606 MPa = 486,06 kPa √
α sendu
1f A sd 1,5v 0,75 v
1ef ywd,sw
rcRd, csRd,
+=
kPa 853,89 0,21 x 4,1389
1 10 x 302,5 x 10 x x5,03 0,150,21
1,5 ,35648x 0,75v 34-csRd, =
+=
=
=⇒
=
=⇒
MPa 435 f
MPa 500 f S500 Aço
MPa 16,7 f
MPa 25 f C25/30 Betão :Materiais
yd
yk
cd
ck
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 37 EXERCÍCIO 5
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
• Carga transmitida pela laje ao pilar
VEd = 5,5 x 6 x [1,5 x q + 1,35 x (0,24 x 25 + 3)] = 49,5 q + 400,95 kN
(q - sobrecarga)
• Verificação ao punçoamento
vED ≤ vRd,cs
1,15 interior) (pilar β kPa 853,89 0,21 x 4,1389
V x 1,15
duV β
v EdEd Ed =≤==
VEd ≤ 645,37 kN
VEd = 49,5 q + 400,95 ≤ 645,37 ⇒ q ≤ 4,94 kN/m2
Alínea b)
0,54 )25025-(1 0,6 )
250ckf
1 ( 0,6 f ν 0,5v maxRd, ==−== ν cd
kPa 4509 10 16,7 0,54 0,5v -3maxRd, =×××=
m 1,5 0,50 x 2 0,25 x 2 u kPa 4509 v 0,21 x 1,5
645,37 x 1,15
du
V β v 0maxRd,
0
EdEd =+==≤==
kPa 4509 v kPa 2356,1 v maxRd,Ed =≤= √
Alínea c)
yk
ckt rmínsw,
yk
ck
t r
mínsw,
f
f .
1,5
s ..s 0,08 A
f
f . 0,08
s .s
1,5 x A≥⇒≥ (armadura de punçoamento vertical)
m 0,15 s r =
m 0,3142 21 x
20,40 x π
s s maior máxt,t ===
50025
1,5
0,3142 0,15 0,08 A mínsw, ×××≥
2-4mínsw, m 10 x 0,251 A ≥
Ø8 ⇒ 22sw cm 0,251 cm 0,5 A >= √
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 38 EXERCÍCIO 5
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Alínea d)
m 5,451 0,21 x 648,35
645,37 x 1,15
dvEdV β
ucRd,
out ===
outu = 0,25 x 2 + 0,50 x 2 + 2 π r = 5,451 ⇒ r = 0,6288 m
Primeiro estribo: distância à face do pilar = 0,10 m ⇒
=<
=>
m 0,105 d 0,5 m 0,10
m 0,063 d 0,3 m 0,10 √
Último estribo: distância à face do pilar = 0,40 m > 0,3138 m √
Espaçamento radial: rs = 0,15 m ≤ 0,75 d = 0,1575 m √
Espaçamento transversal: máx t,s = 0,3142 m ≤ 1,5 d = 0,315 m √
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 39 EXERCÍCIO 6
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
L
5 m
5 m
L
PLANTA
06 EXERCÍCIO PROPOSTO
No desenho está representado um excerto de uma planta de um piso de um edifício em que os pilares, de
secção circular com 0,30 m de diâmetro, estão dispostos segundo uma malha ortogonal de eixos.
A laje que constitui o piso é fungiforme, maciça de betão armado, com 0,27 m de espessura (d=0,23m) e
está realizada com betão C25/30 e aço S500.
Na zona dos pilares, a laje apresenta uma armadura inferior constituída por uma malha quadrada de
#∅20//0,15 e uma armadura superior constituída por uma malha quadrada de #∅16//0,15
Os valores característicos das acções que actuam na laje, para além do seu peso próprio, são os seguintes:
- revestimentos ------------- 1,00 kN/m2
- paredes divisórias --------- 2,25 kN/m2
- sobrecarga------------------- 3,00 kN/ m2
a) Considerando que a laje não possui armadura de punçoamento, determine qual o maior valor do vão L
compatível com a verificação do estado limite último de rotura por punçoamento;
b) Determine o maior valor do vão L que a laje pode apresentar compatível com a verificação da máxima
resistência ao punçoamento (vEd ≤ vRd,max);
c) Se o vão L adoptado for o correspondente ao valor médio dos vãos encontrados nas alíneas anteriores,
determine a armadura de punçoamento a colocar em cada perímetro (Asw/sr).
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 40 EXERCÍCIO 6
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
06 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
=
=⇒
=
=⇒
MPa 435 f
MPa 500 f S500 Aço
MPa 16,7 f
MPa 25 f C25/30 Betão :Materiais
yd
yk
cd
ck
Alínea a) Laje sem armadura de punçoamento
u1 = 2 π (0,15 + 2 x 0,23) = 3,83274 m
1/2 ck
3/21/3cklcRd, f k 0,035 )f ρ (100 k 0,12 = v ≥
2 230200 1
d200 1 k ≤=+=+= 1,9325 √
0,02 ρρ ρlzlyl ≤=
y
sy
ly d b
A ρ =
z
szlz d b
A ρ =
0,02 23 x 100
13,404
d b
16//0,15φ ρ ρ ρ
lzlyl≤===== 3-10x 5,828 √
1/23/21/3-3cRd, 25 1,9325 0,035 25) 10 5,828 (100 1,9325 0,12 = v ××≥××××
cRd,v = 0,56640 MPa = 566,40 kPa ≥ 0,47013 MPa = 470,13 kPa √
vED ≤ vRd,c
⇒ kN 434,17 V 566,40 0,23 x 3,83274
V x 1,15 v Ed
EdEd ≤⇒≤=
1,15 interior) (pilar β =
Carga a actuar na laje: pEd = (0,27 x 25 + 1,00 + 2,25) x 1,35 + 3 x 1,5 = 18 kN/m2
VEd = pEd x 5 x L = 18 x 5 x L ≤ 434,17 kN ⇒ L ≤ 4,82 m
Alínea b) vED ≤ vRd,Max
cd f ν 0,5v maxRd, = = 0,5 x 0,54 x 16,7 x 103 = 4509 kPa 0,54 ) 25025 1 ( 0,6 =−= ν
du
V β v
1
EdEd =
) 250ckf
1 ( 0,6 f ν 0,5v maxRd, −== ν cd
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 41 EXERCÍCIO 6
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
vED ≤ vRd,Max
kN 849,95 V kPa 4509 v 0,23 x 0,9425
V x 1,15
d u
V β v EdmaxRd,
Ed
0
EdEd ≤⇒=≤==
m 0,9425 0,15 x π 2 r π 2 u0 ===
VEd = pEd x 5 x L = 18 x 5 x L ≤ 849,95 kN ⇒ L ≤ 9,44 m
Alínea c) vED ≤ vRd,cs
Lméd = (4,82 + 9,44) / 2 = 7,13 m
VEd = pEd x 5 x Lméd = 18 x 5 x 7,13 = 641,70 kN
0,23 x 3,83274
641,70 x 1,15
du
V β v
1
EdEd kPa 837,14===
α sendu
1f A sd 1,5v 0,75 v
1ef ywd,sw
rcRd, csRd,
+=
cRd,v = 566,40 kPa
d = 0,23 m
u1 = 3,83274 m
ef ywd,f = 250 + 0,25 d = 250 + 0,25 x 230 = 307,5 MPa ≤ ywdf = 435 MPa √
α = 90º ⇒ sen α = 1
0,23 x 3,83274
1 10 x 307,5 x rs
swA x 0,23 x 1,5 40,566x 0,75v 3
csRd,
+=
vED ≤ vRd,cs
+≤0,23 x 3,83274
1 10 x 307,5 x s
Ax 0,23 x 1,5 566,40x 0,75 837,14 3
r
sw
/mm 3-10 x 3,43 s
A 2
r
sw ≥
/mcm 34,3 s
A 2
r
sw ≥
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 42 EXERCÍCIO 7
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
07 EXERCÍCIO PROPOSTO
Considere a estrutura de betão armado representada na figura, com dois pilares iguais de dimensões 0,30mx0,50m.
A estrutura é de nós móveis em ambas as direcções e nela estão a actuar as forças F1, F2 e F3 cujos valores de cálculo são os seguintes:
F1,Ed = 1400 kN
F2,Ed = 60 kN
F3,Ed = 30 kN
Considere a seguinte informação adicional:
- Na direcção do pórtico (dir. x), os pilares encontram-se sujeitos à acção dos momentos flectores que estão representados na figura ao lado.
- As fundações são de grandes dimensões, conferindo aos pilares encastramento perfeito;
- O peso próprio do pórtico é desprezável;
- Os materiais a utilizar serão o betão C25/30 e o aço S400.
a) Determine a esbelteza do pilar em cada uma das direcções.
b) Determine as excentricidades adicionais a considerar no dimensionamento do pilar.
c) Obtenha os esforços de dimensionamento a considerar na verificação da segurança ao estado limite último de encurvadura, localizando as respectivas secções críticas.
d) Calcule a armadura corrente do pilar e represente-a numa secção transversal. Justifique convenientemente todas as opções tomadas.
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 43 EXERCÍCIO 7
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
07 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
Alínea a)
• Direcção x – nós móveis Pilar
==
m 0,30 h
m 0,50 b
Fundação: encastramento perfeito ⇒ α1 = 0
0,6328
6 x 21
0,40 x 0,50
4 x 21
0,30 x 0,50
α3
3
2 ==
=+=+=⇐=+=++=
2,0 0 x 0,3 2,0 α 0,3 2,0 η
ntecondiciona 1,09492 0,6328 x 0,15 1 )α (α 0,15 1,0 η de menor
min
21 η
l0 = η l = 1,09492 x 4 = 4,38 m
λ = 50,57 12 x 0,30
4,38
12
h
l
i
l 00 ===
Condições para dispensa da verificação do E. L. U. Encurvadura (nós móveis)
1,05 0,30 x 3,5 h 3,5 0,017
149025
N
M
35 50,57 λ
h 3,5
35 λ
Ed
Ed
EdNEdM
==<==
>=⇒
≥
≤
⇒ calcular as excentricidades adicionais: ex = eax + e2x
• Direcção y – nós móveis Pilar
==
m 0,50 h
m 0,30 b
l0 = 2 l = 2 x 4 = 8 m
λ = 55,43 12 x 0,50
8
12
h
l
i
l 00 === > 35 ⇒ calcular as excentricidades adicionais
Condições para dispensa da verificação do E. L. U. Encurvadura (nós móveis)
1,750,50 x 3,5h 3,5 0,040
149060
EdNEdM
35 55,43 λ
h 3,5
N
M
35 λ
Ed
Ed
==<==
>=⇒
≥
≤
⇒ calcular as excentricidades adicionais: ey = eay + e2y
MEd = 30 x 1 + 60 x 0,50 = 60 kNm (ver alínea c)
==
⇒
==
⇒MPa 348 f
MPa 400 f S400 Aço
MPa 16,7 fMPa 25 f
C25/30 Betão :Materiaisyd
yk
cd
ck
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 44 EXERCÍCIO 7
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Alínea b)
• Direcção x - excentricidades adicionais: ex = eax + e2x
⇒ m 0,02 e m 0,0146 3004,38
e axax =⇒==
Excentricidade de 2ª ordem: 1 N
Ac f 0,4 η η 10 x
h 5
r 1
10
l
r 1 e
Ed
cd3-2
02x ≤===
67248,0 1490
0,50 x 0,30 x 10 x 16,7 x 0,4 η 1
N
Ac f 0,4 η
3
Ed
cd ==⇒≤=
0,67248 x10 x 0,30
5 r 1 η 10 x
h 5
r 1 -3-3 =⇒=
m 0,0215e 10
4,38 x 0,67248 x10 x
0,30 5
10
l
r 1 e 2x
23-
20
2x =⇒==
ex = eax + e2x = 0,02 + 0,0215 ⇒ ex = 0,0415 m
• Direcção y - excentricidades adicionais: ey = eay + e2y
⇒ m 0,00267 aye 300
8 aye == ⇒
Excentricidade de 2ª ordem: 1 N
Ac f 0,4 η η 10 x
h 5
r 1
10
l
r 1 e
Ed
cd3-2
02Y ≤===
67248,0 η 1 N
Ac f 0,4 η
Ed
cd =⇒≤=
0,67248 x10 x 0,50
5 r 1 η 10 x
h 5
r 1 -3-3 =⇒=
m 0,0430e 108 x 0,67248 x10 x
0,50 5
10
l
r 1 e 2y
23-2
02y =⇒==
ey = eay + e2y = 0,0267 + 0,0430 ⇒ ey = 0,0697 m
Excentricidade acidental: cm 2 300
l e 0
ax ≥=
Excentricidade acidental: cm 2 300
l e 0
ay ≥=
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 45 EXERCÍCIO 7
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Alínea c)
• Esforços iniciais (antes do cálculo da encurvadura)
Mx,Ed My,Ed
Direcção Y Direcção x
Mx,Ed = 30 x 1 + 60 x 0,50 = 60 kNm
Estrutura de nós móveis nas duas direcções ⇒ secções críticas nas extremidades dos pilares
• Esforços de dimensionamento
Menc,x = NEd x ey = 1490 x 0,0697 = 103,85 kNm
Menc,y = NEd x ex = 1490 x 0,0415 = 61,84 kNm
Extremidade superior ⇒
kNm 76,84 61,84 15 M 15 M
kNm 163,85 103,85 60 M 60 M
kN 1490 N
yenc,yEd,
xenc,xEd,
Ed
=+=+==+=+=
=
Extremidade inferior ⇒
kNm 86,84 61,84 25 M 25 M kNm 163,85 103,85 60 M 60 M
kN 1490 N
yenc,yEd,
xenc,xEd,
Ed
=+=+==+=+=
=
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 46 EXERCÍCIO 7
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Alínea d)
Esforços condicionantes (ext. inferior):
kNm 86,84 M
kNm 163,85 M kN 1490 N
Ed,y
xEd,
Ed
==
=
Ábaco 5 – Flexão desviada; Armadura igual em todas as faces;
C12-C50; S500
0,5948 10 16,7 0,50 0,30
1490 f h b
N ν
3cd
Ed =×××
==
0,1308 10 16,7 0,50 0,30
163,85
f h b
M μ
32cd
2xEd,
x =×××
==
0,1156 10 16,7 0,30 0,50
86,84
f b h
Mμ
32cd
2
yEd,y =
×××==
0,4 ω 0,6 ν
0,12 μ μ ; 0,13 μ μ μ μ y2x1yx =⇒
=====⇒>
=≤=≥
⇒=×××==2
máxs,
2míns,2
yd
cd tots,cm 60 A
cm 4,28 A cm,7928
3487,1650,030,04,0
f
f . h . b . ω A
Armadura mínima
2
23yd
Ed
cm 3,00 0,50 x 0,30 x 0,002 Ac 0,002
ntecondiciona cm 4,28 348x10
1490 x 0,10
f
N 0,10
==
⇐==≥míns,A
Armadura máxima
cm 60 0,50 x 0,30 x 0,04 Ac 0,04 A 2máxs, ===
• Armadura longitudinal escolhida
As,tot = 28,79 cm2 ⇒ As = 4Ø25 + 4Ø20 (32,20 cm2)
Os varões de Ø25 deverão ser colocados nos cantos da secção transversal do pilar.
• Diâmetro das cintas
Diâmetro das cintas ntecondiciona mm 6,25 25 x 0,25 Ø
41
mm 6 Øc
máxl,
⇐==≥
Øc ≥ 6,25 mm ⇒ Øc = Ø8
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 47 EXERCÍCIO 7
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
• Cintas nas secções correntes
ntecondiciona m 0,30 mm 300
ntecondiciona m 0,30 pilar do dimensão menor a
m 0,375 0,025 x 15 mínl,Ø 15
smáx
⇐=⇐=
==
≤ ct’s Ø8//0,30
• Cintas nas secções localizadas numa distância de 0,50 m abaixo da viga superior e acima da fundação
ntecondiciona m 0,18 mm 180
ntecondiciona m 0,18 m 0,30 x 0,6 pilar dim. menor x 0,6
m 0,225 0,025 x 9 mínl,Ø 9
smáx
⇐=⇐==
==
≤ ct’s Ø8//0,175
• Desenho da secção transversal do pilar
As = 4Ø25 + 4Ø20 (os Ø25 estão colocados nos cantos)
ct’s Ø8//0,30 - na secção corrente
ct’s Ø8//0,175 - em secções localizadas numa distância de 0,50 m abaixo da viga superior e acima da fundação
• Outra solução
As = 4Ø20+8Ø16 (28,65 cm2) ≈ As,tot = 28,79 cm2
(varões Ø20 nos cantos)
ct’s Ø6//0,24 - na secção corrente
ct’s Ø6//0,14 - em secções localizadas numa distância de 0,50 m abaixo da viga superior e acima da fundação
O espaçamento entre as armaduras longitudinais é inferior a 30 cm.
Não são necessárias mais cintas porque todos os varões estão cintados ou a menos de 15 cm de um varão que está cintado.
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 48 EXERCÍCIO 8
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
P2
V(0.20X0.35)
V(0.20X0.60)V(0.20X0.35)
V(0.25X0.35)
V(0
.20X
0.40
)
V(0
.20X
0.40
)
V(0
.20X
0.40
)
3 m 6 m
4 m
4 m
Planta estrutural dos Pisos Inferiores
V(0.20X0.60)
V(0
.20X
0.40
)
V(0.25X0.60)
08 EXERCÍCIO PROPOSTO
A figura representa a planta estrutural dos pisos inferiores de um edifício de betão armado com vários andares. Estão também representados o pórtico A e o pórtico B assinalados nas plantas.
A estrutura é de nós fixos numa direcção e nós móveis na outra.
Na direcção de nós fixos o comprimento de encurvadura dos pilares é igual a 90% do seu comprimento efectivo (l0=0,9 l).
Pretende-se calcular o tramo do pilar P2 entre a Fundação e o Piso 1 que se encontra sujeito à acção dos momentos flectores referidos nos esquemas dos pórticos e a um esforço axial de
cálculo (NEd) de 1350 kN.
Outros dados:
- Materiais: betão C25/30 e aço S500.
- Admita que as fundações conferem aos pilares um encastramento parcial.
- O peso próprio do pilar é desprezável.
a) Sem realizar cálculos, justifique que a direcção em que a estrutura é de nós fixos é a do Pórtico B.
b) Determine a esbelteza do pilar P2 entre a Fundação e o Piso 1 em cada uma das direcções.
c) Determine as excentricidades adicionais a considerar no dimensionamento do tramo do pilar P2 em estudo.
d) Obtenha os esforços de dimensionamento a considerar na verificação da segurança ao estado limite último de encurvadura, localizando as respectivas secções críticas.
e) Calcule a armadura do pilar e represente-a numa secção transversal. Justifique convenientemente todas as opções tomadas.
Dimensões de pilares e paredes
Pa1 0,20m x 4,225m
P1 0,20m x 0,50m
P2 0,40m x 0,25m
MEd=± 10 kNm
MEd=± 15 kNm MEd=+ 40 kNm
MEd=± 25 kNm
-
3 m 6 m
5 m
3,5 m
4 m 4 m
Piso 2
Piso 1
Fundação
Pórtico A Pórtico B
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 49 EXERCÍCIO 8
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
08 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
Alínea a)
- B) (Portico
- A) (Pórtico Estrutura
fixosnós yDir.
móveis nósx Dir.
Todas as paredes e pilares (excepto o pilar P2) apresentam a sua maior inércia para deslocamentos na direcção do Pórtico B. Logo a direcção de nós fixos é a direcção do Pórtico B, ou seja, a direcção y.
Alínea b)
• Direcção x – Pórtico A - Nós móveis - m 0,40 h
m 0,25b P2 Pilar
=
=
Nó inferior (encastramento parcial): α = 1
0,6181
6 x 21
0,60 x 0,25
3 x 210,35 x 0,25
)3,51
51( x
210,40 x 0,25
α :superior Nó
33
3
=+
+=
=+=+=
⇐=+=++=
2,1854 0,6181 x 0,3 2,0 α 0,3 2,0 η
ntecondiciona 1,6181 x 0,15 1 )2α 1(α 0,15 1,0 η de menor
min
1,2427η
l0 = η l = 1,2427 x 5 = 6,21 m
λ = 78,5312 x 0,40
6,21
12
h
l
i
l 00 ===
Condições para dispensa da verificação do E. L. U. Encurvadura (nós móveis)
1,40,40 x 3,5h 3,5 0,011
135015
N
M
35 53,78 λ
0)7(λ h 3,5
N
M
35 λ
Ed
Ed
Ed
Ed
==<==
>=⇒
<≥
≤
⇒ calcular as excentricidades adicionais: ex = eax + e2x
==
⇒
==
⇒MPa 435 f
MPa 500 f S500 Aço
MPa 16,7 f
MPa 25 f C25/30 Betão :Materiais
yd
yk
cd
ck
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 50 EXERCÍCIO 8
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
• Direcção y – Pórtico B - Nós fixos - m 0,25 h
m 0,40b P2 Pilar
=
=
l0 = 0,9 l = 0,9 x 5 = 4,5 m
λ = 35,6212 x 0,25
4,5
12
h
l
i
l 00 ===
Condições para dispensa da verificação do E. L. U. Encurvadura (nós fixos)
==<==
==>=⇒
<≥
≤
,8750 0,25 x 3,5 h 3,5 0,030 1350
40 N
M
59,375 40-25 x 15 - 50
M
M x 15 - 50 62,35 λ
0)7(λ h 3,5 N
M
M
M x 15- 50 λ
Ed
Ed
asd,
bsd,
Ed
Ed
asd,
bsd,
⇒ calcular as excentricidades adicionais: ey = eay + e2y
Alínea c)
• Direcção x - excentricidades adicionais: ex = eax + e2x
⇒ m 0,0207 e 3006,21
e axax =⇒=
Excentricidade de 2ª ordem: 1 N
Ac f 0,4 η η 10 x
h 5
r 1
10
l
r 1 e
Ed
cd3-2
02x ≤===
4948,0 1350
0,40 x 0,25 x 10 x 16,7 x 0,4 η 1
N
Ac f 0,4 η
3
Ed
cd ==⇒≤=
0,4948 x10 x 0,40
5 r 1 η 10 x
h 5
r 1 -3-3 =⇒=
m 0,0239e 10
6,21 x 0,4948 x10 x
0,40 5
10
l
r 1 e 2x
23-
20
2x =⇒==
ex = eax + e2x = 0,0207 + 0,0239 ⇒ ex = 0,0446 m
• Direcção y - excentricidades adicionais: ey = eay + e2y
⇒ m 0,02 ayem 0,015 3004,5
aye === ⇒
Excentricidade de 2ª ordem: 1 N
Ac f 0,4 η η 10 x
h 5
r 1
10
l
r 1 e
Ed
cd3-2
02Y ≤===
Excentricidade acidental: cm 2 300
l e 0
ax ≥=
Excentricidade acidental: cm 2 300
l e 0
ay ≥=
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 51 EXERCÍCIO 8
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
4948,0 η 1 N
Ac f 0,4 η
Ed
cd =⇒≤=
0,4948 x10 x 0,25
5 r 1 η 10 x
h 5
r 1 -3-3 =⇒=
m 0,02004 e 10
4,5 x 0,4948 x10 x
0,25 5
10
l
r 1 e 2y
23-
20
2y =⇒==
ey = eay + e2y = 0,02 + 0,02004 ⇒ ey = 0,040 m
Alínea d)
• Secções críticas
Direcção x – Nós móveis ⇒ secções críticas nas extremidades do pilar
Direcção y – Nós fixos ⇒ secção crítica é a secção intermédia
• Momentos iniciais na secção intermédia
kNm 16 M kNm 16 40 x 0,4 M
kNm 14 25 x 0,4 - 40 x 0,6 M M xsd,
xsd,
xsd,x =⇒
==
==≥
kNm 13 M kNm 6 15 x 0,4 M
kNm 13 10 x 0,4 15 x 0,6 M M ysd,
ysd,
ysd,y =⇒
==
=+=≥
• Esforços de dimensionamento
Menc,x = NEd x ey = 1350 x 0,0400 = 54,00 kNm
Menc,y = NEd x ex = 1350 x 0,0446 = 60,21 kNm
Extremidade superior ⇒
kNm 70,21 60,21 10 M 10 M
kNm 25 M
kN 1350 N
enc,yEd,y
xEd,
Ed
=+=+=
=
=
Secção intermédia ⇒
kNm 13 M
kNm 70 54,00 16 M 16 M
kN 1350 N
Ed,y
xenc,xEd,
Ed
=
=+=+=
=
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 52 EXERCÍCIO 8
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Extremidade inferior ⇒
kNm 75,21 21,60 51 M 15 M
kNm 40 M
kN 1350 N
enc,yEd,y
xEd,
Ed
=+=+=
=
=
Os esforços na extremidade inferior são mais gravosos que os da extremidade superior.
Alínea e)
Ábaco 5 – Flexão desviada; Armadura igual em todas as faces; C12-C50; S500
• Secção intermédia
Esforços na secção intermédia:
kNm 13 M
kNm 70 M
kN 1350 N
Ed,y
xEd,
Ed
=
=
=
0,808 10 16,7 0,40 0,25
1350 f h b
N ν
3cd
Ed =×××
==
0,168 10 16,70,25 0,40
70 f h b
M μ
32cd
2xEd,
x =×××
==
0,019 10 16,70,40 0,25
13 f b h
M μ
32cd
2
yEd,y =
×××==
0,45 ω 0,8 ν
0,02 μ μ ; 0,17 μ μ μ μ y2x1yx=⇒
=
====⇒>
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 53 EXERCÍCIO 8
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
• Secção inferior
Esforços na secção inferior:
kNm 75,21 yEd,M
kNm 40 xEd,M
kN 1350 EdN
=
=
=
0,808 10 16,7 0,40 0,25
1350 f h b
N ν
3cd
Ed =×××
==
0,096 10 16,70,25 0,40
40 f h b
Mμ
32cd
2xEd,
x =×××
==
0,113 10 16,70,40 0,25
75,21
f b h
M μ
32cd
2
yEd,y =
×××==
0,35 ω 0,8 ν
0,10 μ μ ; 0,11 μ μ μ μ y2y1xy=⇒
=
====⇒>
• Cálculo da armadura longitudinal
0,45 ω :ntecondiciona situação 0,35 ω inferior Secção
0,45 ω intermédia Secção=⇒
=⇒
=⇒
=≤
=≥⇒=×××==
2máxs,
2míns,2
yd
cdtots,
cm 40 A
cm 3,10 A cm 28,17
4357,16 40,0 25,0 45,0
f
f . h . b . ωA
2tots, cm 28,17 A = ⇒ As = 4Ø20 + 4Ø16 (20,61 cm2)
Armadura mínima
2
23yd
Ed
cm 2,00 0,40 x 0,25 x 0,002 Ac 0,002
ntecondiciona cm 3,10 10 x 435
1350 x 0,10 f
N 0,10
A
==
⇐==≥míns,
Armadura máxima
cm 40 0,40 x 0,25 x 0,04 Ac 0,04 A 2máxs, ===
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 54 EXERCÍCIO 8
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
• Diâmetro das cintas
Diâmetro das cintas 6cmáxl,
c Ø Ø mm 5 20 x 0,25Ø
41
ntecondiciona mm 6
Ø =⇒
==
⇐≥
• Cintas nas secções correntes
m 0,30 mm 300
m 0,25 pilar do dimensão menor a
ntecondiciona m 0,24 0,016 x 15 Ø 15
s
mínl,
máx
==
⇐==≤ ct’s Ø6//0,24
• Cintas nas secções localizadas numa distância de 0,40 m abaixo da viga superior e acima da fundação
=
==
⇐==
≤
m 18,0 mm 180
m 15,0 m 25,0 x6,0 . pilar dim x menor 6,0
ante condicion m 14,0 016,0 x 9 Ø9
s
l,mín
máx ct’s Ø6//0,14
• Desenho da secção transversal do pilar
As = 4Ø20 + 4Ø16 (varões Ø20 nos cantos)
ct’s Ø6//0,24 - na secção corrente
ct’s Ø6//0,14 - em secções localizadas numa distância de 0,40 m abaixo da viga superior e acima da fundação
O espaçamento entre as armaduras longitudinais é inferior a 30 cm.
Todos os varões estão cintados ou a menos de 15 cm de um varão que está cintado.
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 55 EXERCÍCIO 9
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
09 EXERCÍCIO PROPOSTO
Considere o pilar pertencente a um pórtico isolado de betão armado de dimensões 0,45m x 0,60m e com 3,70m de altura, onde estão a actuar simultaneamente as cargas que seguidamente se discriminam.
Acção permanente: Força F1 = 2200 kN (valor característico)
Força F2 = 300 kN (valor característico)
Acção do vento: Carga uniforme pw = 10 kN/m (valor característico)
Tenha em conta a seguinte informação adicional:
- Considere que na direcção x o comprimento de encurvadura do pilar é 20% superior ao seu comprimento efectivo (l0 = 1,20 l);
- A fundação do pilar garante encastramento perfeito;
- O peso próprio da estrutura é desprezável;
- Os materiais a utilizar serão o betão C25/30 e o aço S500.
a) Esboce os gráficos de momentos iniciais (antes do estudo da encurvadura) que estão a actuar no pilar em cada uma das direcções;
b) Determine a esbelteza do pilar em cada uma das direcções;
c) Determine as excentricidades adicionais a considerar no dimensionamento do pilar;
d) Obtenha os esforços de dimensionamento a considerar na verificação da segurança ao estado limite último de encurvadura, localizando as respectivas secções críticas;
e) Calcule a armadura corrente do pilar e represente-a numa secção transversal. Justifique convenientemente todas as opções tomadas.
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 56 EXERCÍCIO 9
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
09 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
Alínea a)
NEd = (2200 + 300) x 1,35 = 3375 kN
Topo: MxEd,inicial = 300 x (0,25 + 0,30) x 1,35 = 222,75 kNm
Base: MxEd,inicial = 222,75 + 10 x 3,70 x 1,85 x 1,50 = 325,425 kNm
MyEd,inicial = 0 ( não existem momentos iniciais)
Alínea b)
• Direcção x – nós móveis Pilar
=
=
m 0,45 h
m 0,60 b
Como l0 > l ⇒ Estrutura de nós móveis
l0 = 1,2 l = 1,2 x 3,70 = 4,44 m
λ = 34,18 12 x 0,45
4,44
12
h
l
i
l 00 ===
=
=⇒
=
=⇒
MPa 435 f
MPa 500 f S500 Aço
MPa 16,7 f
MPa 25 f C25/30 Betão :Materiais
yd
yk
cd
ck
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 57 EXERCÍCIO 9
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Condições para dispensa da verificação do E. L. U. Encurvadura (nós móveis) (basta verificar uma condição para que seja dispensada a verificação do E.L.U. Encurvadura)
h 3,5
N
M
aEncurvadur E.L.U. do overificaçã a dispensa 35 34,18 λ
h 3,5
N
M
35 λ
Ed
Ed
Ed
Ed
≥
⇒<=⇒
≥
≤
• Direcção y – nós móveis Pilar
=
=
m 0,60 h
m 0,45 b
Pórtico isolado ⇒ Estrutura de nós móveis
l0 = 2 l = 2 x 3,7 = 7,40 m
λ = 42,72 12 x 0,60
7,40
12
h
l
i
l 00 ===
Condições para dispensa da verificação do E. L. U. Encurvadura (nós móveis)
2,10 0,60 x 3,5 h 3,5 0,0964
3375325,425
N
M
35 42,72 λ
h 3,5
N
M
35 λ
Ed
Ed
Ed
Ed
==<==
>=⇒
≥
≤
⇒ calcular as excentricidades adicionais: ey = eay + e2y
Alínea c)
• Direcção y - excentricidades adicionais: ey = eay + e2y
⇒ m 0,02467 aye == ⇒ 3007,40
aye
Excentricidade de 2ª ordem: 1 N
Ac f 0,4 η η 10 x
h 5
r 1
10
l
r 1 e
Ed
cd3-2
02Y ≤===
0,5344 3375
0,60 x 0,45 x 10 x 16,7 x 0,4 η 1
N
Ac f 0,4 η
3
Ed
cd ==⇒≤=
0,5344 x10 x 0,60
5 r 1 η 10 x
h 5
r 1 -3-3 =⇒=
m 0,02439e2y =⇒== 10
7,40 x 0,5344 x10 x
0,60 5
10
l
r 1 e
23-
20
2y
ey = eay + e2y = 0,02467 + 0,02439 ⇒ ey = 0,049 m
Excentricidade acidental: cm 2 300
l e 0
ay ≥=
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 58 EXERCÍCIO 9
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Alínea d)
Estrutura de nós móveis nas duas direcções ⇒ Secções críticas: extremidades do pilar
• Esforços de dimensionamento
Menc,x = NEd x ey = 3375 x 0,049 = 165,375 kNm
Extremidade superior ⇒
kNm 0,0 M
kNm 388,125 165,375 222,75 M 222,75 M
kN 3375 N
yEd,
xenc,xEd,
Ed
=
=+=+=
=
Extremidade inferior ⇒
kNm 0,0 M
kNm 490,8 165,375 325,425 M 325,425 M
kN 3375 N
yEd,
xenc,xEd,
Ed
=
=+=+=
=
Alínea e)
Esforços condicionantes (ext. inferior):
kNm 0,0 M
kNm 490,8 M
kN 3375 N
Ed,y
xEd,
Ed
=
=
=
32) (pág. 3 Tabela ou 67) (pág. 1 Ábaco
A' A
S500 C50;-C12
composta Flexão
⇒
=
0,7485 10 16,7 0,60 0,45
3375 f h b
N ν
3cd
Ed =×××
==
0,1814 10 16,70,60 0,45
490,8
f h b
M μ
32cd
2xEd,
x =×××
==
0,30 ω 0,1814 μ
0,7485 ν
x
≈⇒
=
=
=≤=≥
⇒=×××== 2más,
2míns,2
yd
cds
cm 108 xA
cm 7,76 A cm 31,10
43516,7 0,60 0,45 0,30
ff . h . b . ω
A
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 59 EXERCÍCIO 9
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Armadura mínima
2
23yd
Ed
cm 5,40 0,60 x 0,45 x 0,002 Ac 0,002
ntecondiciona cm 7,76 10 x 435
3375 x 0,10 f
N 0,10
A
==
⇐==≥míns,
Armadura máxima
cm 108 0,60 x 0,45 x 0,04 Ac 0,04 A 2máxs, ===
• Armadura longitudinal escolhida
As = 31,10 cm2 ⇒ As = 10Ø20 (31,42 cm2) ⇒ A = A’ = 5Ø20
• Diâmetro das cintas
Diâmetro das cintas ntecondiciona mm 5,00 20 x 0,25 Ø
41
mm 6 Øc
máxl,
⇐==≥
Øc ≥ 5,00 mm ⇒ Øc = Ø6
• Cintas nas secções correntes
ntecondiciona m 0,30 mm 300
m 0,45 pilar do dimensão menor a
ntecondiciona m 0,30 0,020 x 15 Ø 15
s
mínl,
máx
⇐=
=
⇐==
≤ ct’s Ø6//0,30
Todos os varões deverão estar cintados ou a menos de 15 cm de um varão que esteja cintado.
• Espaçamento entre armaduras verticais
Na face com 0,60 m vai ser necessário colocar um varão para cumprir a regra (não explicitada no EC2) de afastamento máximo de 30 cm. Optou-se por colocar um varão Ø10 em cada face, que será considerada armadura construtiva.
cm 6,7 m 67 0, 4
0,02 x 5 - 0,006 x 2 - 0,035 x 2 - 0,45 varões entre livre Espaço === s)(ct'(rec)
Desenho da secção transversal do pilar
As = 10Ø20 (+2Ø10 nas faces com 0,60 m)
ct’s Ø6//0,30 - na secção corrente
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 60 EXERCÍCIO 10
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
10 EXERCÍCIO PROPOSTO
A figura representa uma máquina que está centrada sobre um pilar de betão armado que descarrega numa sapata também de betão armado.
A máquina é um equipamento fixo que pesa 550 kN (valor característico).
Para além das cargas permanentes, a estrutura está sujeita à acção do vento sobre a maior face da máquina conforme representado na figura.
Outros dados:
- Acção do vento: wk = 1,2 kN/m2 (valor característico).
- Materiais a utilizar: betão C20/25 e aço S400.
a) Considerando que o pilar está centrado na fundação, determine as acções de dimensionamento no centro de gravidade da face inferior da sapata;
b) Calcule a tensão admissível do terreno de fundação compatível com as dimensões indicadas da sapata;
c) Verifique a segurança em relação ao esforço transverso da sapata;
d) Verifique a segurança em relação ao punçoamento da sapata;
e) Aplicando o método das consolas, determine a armadura da sapata, escolha uma disposição de varões e represente-a num corte transversal devidamente cotado;
f) Refaça a alínea anterior aplicando o método das bielas.
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 61 EXERCÍCIO 10
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
10 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
Alínea a)
• Cálculo de Nk, Pk e Wk (valores característicos)
Peso da máquina = 550 kN
Peso próprio do pilar = 0,25 x 0,40 x 3,80 x 25 = 9,5 kN
Peso próprio da fundação = 1,65 x 1,20 x 0,50 x 25 = 24,75 kN
Nk = 550 + 9,5 = 559,5 kN
Pk = 24,75 kN
Nk + Pk = 584,25kN
Wk = 4 x 1,80 x 1,5 = 8,64 kN
• Cálculo de Mk (valor característico)
kNm 44,928 0,50) 3,80 2
1,80( x 8,64 =++=kM
Alínea b)
• Cálculo das tensões actuante no terreno
central núcleo no acções das resultante 0,275 6
1,65 6B 0,077
584,2544,928
P NM e ⇒==<==+=
kPa 377,59 1,65 x 1,20
44,928 x 6
1,65 x 1,20584,25
B x A
M 6 B x AP N σ
221 =+=++=
kPa 212,56 1,65 x 1,20
44,928 x 6 -
1,65 x 1,20584,25
B x A
M 6 - B x APN σ
222 ==+=
kPa 336,33 4
212,56 377,59 x 3
4
σ 3σ σ 21
ref =+=+=
kPa 336,33 σ σ σ admadmref ≥⇒≤
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 62 EXERCÍCIO 10
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
0,70d0,26
d
Alínea c)
Direcção do momento (ver desenho)
• Cálculo de NEd
NEd = 1,35 x (550 + 9,5) = 755,325 kN
• Cálculo de MEd
kNm 60,912 3,8)2
1.80( x 8,64 x 1,50 =+=EdM
• Cálculo das tensões actuante no terreno
central núcleo no acções das resultante
0,275 6
1,65 6B 0,081
755,32560,912
NM
eEd
Ed
⇒
==<===
kPa 493,35 1,65 x 1,20
60,912 x 6 1,65 x 1,20
755,325
B x A
M 6
B x AN
σ
2
2EdEd
Ed1,
=+=
=+=
kPa 269,61 1,65 x 1,20
60,912 x 6 - 1,65 x 1,20
755,325
B x AEdM 6
- B x A
EdN σ
2
2 Ed2,
==
==
d = h – 6 cm = 0,44 m ⇒ 0,70 – d = 0,26 m
kPa 458,094 σEd =
• Verificação da segurança em relação ao esforço transverso ⇒⇒⇒⇒ VEd ≤ VRd,c
kN 148,43 1,20) x (0,26 x 2
458,094 493,35 Área x σ V médEd =+==
d b f k 0,035 d b )f ρ (100 k 0,12 = V w1/2
ck3/2w1/3
cklcRd, ≥
Como ainda não foi calculada a armadura da sapata, vamos considerar:
d b f k 0,035 V w1/2
ck3/2
cRd, ≥
K = 1 + d
200 ≤ 2,0 ⇒ K = 1 + 1,6742 440200 =
kN 179,03 440 1200 20 1,6742 0,035 V 1/23/2cRd, =××××≥
VEd = 148,43 kN ≤ VRd,c ≥ 179,03 kN √
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 63 EXERCÍCIO 10
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
a
Direcção perpendicular ao momento (ver desenho)
d= 0,44 m
a = 0,40 m
Como a < d não se faz a verificação ao corte nesta direcção.
Alínea d)
• Verificação da segurança em relação ao punçoamento
vED ≤ vRd
d u
V β v
redEd,Ed =
médauEdEdEdredEd, σ xA ΔV ΔV - V V ==
NM e
be 1,8 1 β =+=
ad 2 x f k 0,035
ad 2 x )f ρ (100 k 0,12 1/2
ck3/21/3
ckl ≥=Rdv
kPa 381,48 2
269,61 493,35
2
σ σ
Ed2,Ed1,médED,σ =+=
+=
ua = 2 x 0,25 + 2 x 0,40 +2 π a = 1,3 + 2 π a
Aua = 0,25 x 0,40 + 2 x 0,25 x a + 2 x 0,40 x a + π a2 = 0,10 + 1,3 a + π a2
VEd = NEd = 755,325 kN
VEd,red = 755,325 - ΔVEd
b = 0,25 + 2 a
2a 0,250,0806
1,8 1 be 1,8 1 β 0,0806
755,32560,912
NM e ++=+=⇒===
Como ainda não foi calculada a armadura da sapata, vamos considerar:
kPa a
298,4 MPa a
0,2984
a0,44 x 2 x 20 x 1,6742 x 0,035
ad 2x f k 0,035 v 1/23/2 1/2
ck3/2
Rd
==
==≥
a
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 64 EXERCÍCIO 10
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
a
(m)
ua
(m)
Aua
(m2)
ΔVEd
(kN)
VEd,red
(kN)
b
(m)
β d u
V β v
redEd, Ed =
(kPa)
vRd
(kPa)
Ed
Rd
v
v
0,35 3,4991 0,9398 358,532 396,792 0,95 1,1528 297,10 852,57 2,87
0,30 3,1850 0,7727 294,786 460,539 0,85 1,1708 384,75 994,67 2,59
0,25 2,8708 0,6213 237,032 518,293 0,75 1,1935 489,73 1193,60 2,44
0,20 2,5566 0,4857 185,271 570,054 0,65 1,2233 619,92 1492,00 2,41
0,15 2,2425 0,3657 139,502 615,823 0,55 1,2639 788,85 1989,33 2,52
0,10 1,9283 0,2614 99,725 655,600 0,45 1,3226 1021,94 2984,00 2,92
vED ≤ vRd em todos os perímetros de controlo. √
Alínea e)
• Método das consolas – Armadura paralela ao lado maior da sapata
NEd = 755,325 kN
MEd = 60,912 kNm
l = 0,70 + 0,15 x 0,25 = 0,7375 m
kPa 393,345 σ kPa 269,61 σ
kPa 493,35 σ Ed
Ed2,
Ed1,=⇒
=
=
kNm/m 125,10
0,7375 x 32 x
20,7375 x 393,345) - (493,35
2
0,7375 x 393,345 x 0,7375 MEd/m
=
=+=
0,05032 ω 0,0486 10 13,3 0,44 1
125,10
.fd . b
M μ
32cd
2Ed =⇒=
×××==
⇒≥=== ) A ( /mcm 8,46 348
13,3 x 0,44 x 0,05032
f
f.bω. A mín
2
yd
cd/m Ø12//0,125 (9,05 cm2/m)
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 65 EXERCÍCIO 10
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Armadura mínima
Espaçamentos máximos: s = 2h ≤ 0,25 m ⇒ s = 0,25 m
• Método das consolas – Armadura paralela ao lado maior da sapata
kPa 437,415 4
269,61 493,35 x 3
4
σ σ 3 σ
Ed2,Ed1,Ed3/4,
=+=
=+
=
l = 0,40 + 0,15 x 0,40 = 0,46 m
kNm/m 46,28 2
0,46 x 0,46 x 437,415 M Ed/m ==
0,0180 ω 0,0180 10 13,3 0,44 1
46,28
.fd . b
M μ
32cd
2Ed =⇒=
×××==
/mcm 3,03 348
13,3 0,44 0,0180
f
f.bω. A/m 2
yd
cd =××== ⇒ Amín = 6,292 cm2/m
⇒ Ø12//0,175 (6,46 cm2/m)
• Desenho
/mcm 5,72 0,44 x 0,0013 .d b 0,0013
ntecondiciona /mcm 6,292 0,44 x 4002,2
x 0,26 .d b f
f . 0,26
A
2
2
yk
ctm
mín
==
⇐==≥
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 66 EXERCÍCIO 10
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Alínea f)
• Método das bielas – Armadura paralela ao lado maior da sapata
d 8
)l-(LN F Maior//LMaior eqEd,
Ed =
menorMaiorEd3/4, eqEd, L . L .σ N =
fF
Ayd
Ed totals, =
menor
totals,s L
A A /m =
LMaior
Lmenor
Maior//Ll
d
–
–
–
–
maior dimensão da sapata
menor dimensão da sapata
dimensão do pilar paralela ao lado maior da sapata
altura útil da sapata
kPa 437,415 Ed3/4,σ =
L . L menorMaiorEd3/4, eqEd, .σ N = = 437,415 x 1,65 x 1,20 = 866,08 kN
kN 344,46 0,44 x 8
0,25)-(1,65 866,08 d 8
)l-(LN F Maior//LMaior eqEd,
Ed ===
) A ( /mcm 8,25 1,209,90
LA
A cm 9,90 10 x 348
344,46 fF
A mín2
menor
totals,s
23yd
Ed totals, /m >===⇒===
As/m = 8,25 cm2/m ⇒ Ø12//0,125 (9,05 cm2/m)
• Método das bielas – Armadura paralela ao lado menor da sapata
d 8
)l-(LN F menor//Lmenor eqEd,
Ed =
menorMaiorEd3/4, eqEd, L . L .σ N =
fF A
yd
Edtotals, =
Maior
totals,s L
A A /m =
LMaior
Lmenor
menor//Ll
d
–
–
–
–
maior dimensão da sapata
menor dimensão da sapata
dimensão do pilar paralela ao lado menor da sapata
altura útil da sapata
eqEd, N = 866,08kN ⇒ kN 196,84 0,44 x 8
0,40)-(1,20 866,08 d 8
)l-(LN F menor//Lmenor eqEd,
Ed ===
) A ( /mcm 3,43 1,655,66
LA
A cm 5,66 10 x 348
196,84 f F
A mín2
Maior
totals,s
23yd
Edtotals, /m <===⇒===
As/m = Amín = 6,292 cm2/m ⇒ Ø12//0,175 (6,46 cm2/m)
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 67 EXERCÍCIO 10
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
• Desenho
Como todas as armaduras são iguais às calculadas na alínea anterior, o desenho também é o mesmo da alínea anterior.
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 68 EXERCÍCIO 11
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
11 EXERCÍCIO PROPOSTO
Na figura anexa está representada uma estrutura constituída por uma laje de betão armado com forma triangular em planta e que se apoia num único pilar. A laje dá apoio a uma caixa de armazenagem de cereais com a mesma forma em planta da laje e com 2,5 m de altura.
Outros dados:
- O peso volúmico dos cereais a armazenar é de 18 kN/m3.
- Materiais a utilizar: betão C16/20 e aço S400.
- O peso da caixa é desprezável.
- A laje tem espessura 0,25 m.
a) Calcule a tensão admissível do terreno de fundação compatível com as dimensões indicadas da sapata;
b) Verifique a segurança em relação ao esforço transverso da sapata;
c) Verifique a segurança em relação ao punçoamento da sapata;
d) Aplicando o método das consolas, determine a armadura da sapata paralela ao seu lado maior;
e) Aplicando o método das consolas, determine a armadura da sapata paralela ao seu lado menor;
f) Represente todas as armaduras da sapata num desenho cotado;
g) Refaça o cálculo aplicando o método das bielas.
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 69 EXERCÍCIO 11
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
M
N+P
11 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
Alínea a)
• Cálculo de Nk e Pk
kN 28,125 25 x 0,25 x 2
3,00 x 3,00 laje p. p. ==
p. p. pilar = 0,40 x 0,25 x 5,00 x 25 = 12,50 kN
p. p. fundação = 1,30 x 1,15 x 0,35 x 25 = 13,08 kN
kN 202,50 18 x 2,50 x 2
3,00 x 3,00 cereais dos Peso ==
Nk = 28,125 + 12,50 + 202,50 = 243,125 kN
Pk = 13,08 kN
Nk + Pk = 256,205 kN
• Cálculo de Mk
Posição do centro de gravidade do pilar = 0,55 m
b = 1,5 2 m
Posição do centro de gravidade da laje: a = 22
3b = m
c = 0,55 – a = 0,55 - 22
= 0,1571 m
kNm 36,23 0,1571 x 230,625 c x 202,50) (28,125 ==+=kM
• Cálculo das tensões actuante no terreno
central núcleo no acções das resultante 0,2167 6
1,30
6L 0,1414
256,20536,23
PN
M e x ⇒==<==+=
kPa 283,22 1,30 x 1,15
36,23 x 6
1,30 x 1,15256,205
L .L
M 6 L . LP N σ
2y2xyx 1 =+=++=
kPa 59,52 1,30 x 1,15
36,23 x 6 -
1,30 x 1,15256,205
L .L
M 6 - L . LP N σ
2y2xyx 2 ==+=
kPa 227,30 4
59,52 283,22 x 3
4
σ 3σ σ 21
ref =+=+=
kPa 227,30 σ σ σ admadm ref ≥⇒≤
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 70 EXERCÍCIO 11
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
0,45d0,16
d
Alínea b)
Direcção do momento (ver desenho)
• Cálculo de NEd
NEd = 1,35 x (28,125 + 12,5) + 1,5 x 202,5 = 358,59 kN
• Cálculo de MEd
kNm 54,39
0,1571 x 205,5) x 1,5 28,125 x 1,35(
=
=+=EdM
• Cálculo das tensões actuante no terreno
central núcleo no acções das resultante
0,217 6
1,30
6Lx 0,1517
358,5954,39
N
M e
Ed
Ed
⇒
==>===
kPa 407,77 1,30 x 1,15
54,39 x 6
1,30 x 1,15358,59
Ly .Lx
M 6
Ly . Lx
N
2
2EdEd
Ed1,σ
=+=
=+=
kPa 71,95 1,30 x 1,15
54,39 x 6 -
1,30 x 1,15358,59
Ly .Lx
M 6 -
Ly . Lx
N
2
2EdEd
Ed2,σ
==
==
d = h – 6 cm = 0,29 m ⇒ 0,60 – d = 0,16 m
kPa 366,44 Edσ =
• Verificação da segurança em relação ao esforço transverso ⇒⇒⇒⇒ VEd ≤ VRd,c
kN 71,23 1,15) x (0,16 x 2
407,77 366,44 Área x σ V méd Ed =+==
d b f k 0,035 d b )f ρ (100 k 0,12 = V w1/2
ck3/2w1/3
cklcRd, ≥
Como ainda não foi calculada a armadura da sapata, vamos considerar:
d b f k 0,035 V w1/2
ck3/2
cRd, ≥
K = 1 + d
200 ≤ 2,0 ⇒ K = 1 + 290200 = 1,830
kN 115,58 290 1150 16 1,830 0,035 V 1/23/2cRd, =××××≥
VEd = 71,23 kN ≤ VRd,c ≥ 115,58 kN √
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 71 EXERCÍCIO 11
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
d
Direcção perpendicular ao momento (ver desenho)
kPa 407,77=Ed1,σ
kPa 71,95=Ed2,σ
d = h – 6 cm = 0,29 m
• Verificação da segurança em relação ao esforço transverso ⇒ VEd ≤ VRd,c
kN 49,89 1,30) x (0,16 x 2
71,95 407,77
Área x σ V méd Ed
=+=
==
Como ainda não foi calculada a armadura da sapata, vamos considerar:
d b f k 0,035 V w1/2
ck3/2
cRd, ≥
K = 1,830
kN 130,66 290 1300 16 1,830 0,035 V 1/23/2cRd, =××××≥
VEd = 49,89 kN ≤ VRd,c ≥ 130,66 kN √
Alínea c)
• Verificação da segurança em relação ao punçoamento
vED ≤ vRd
d u
V β redEd, =Edv
médEd,auEd EdEdredEd, σ x A V V Δ - V V =∆=
NM e
be 1,81 β =+=
ad 2 x f k 0,035
ad 2 x ) f ρ (100 k 0,12 1/2
ck3/21/3
ckl ≥=Rdv
σEd,méd (tensão no centro de gravidade de Aua) = 239,86 kPa
ua = 2 x 0,40 + 2 x 0,25 +2 π a = 1,3 + 2 π a
Aua = 0,40 x 0,25 + 2 x 0,40 x a + 2 x 0,25 x a + π a2 = 0,10 + 1,3 a + π a2
VEd = NEd = 358,59 kN
VEd,red = 358,59 - ΔVEd
b = 0,40 + 2 a
2a0,400,1517 1,81
be 1,81 β 0,1517
358,5954,39
NM
eEd
Ed++=+=⇒===
a
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 72 EXERCÍCIO 11
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Como ainda não foi calculada a armadura da sapata, vamos considerar:
kPa a
201 MPa a
0,201 a0,29 x 2 x 16 x 1,830 x 0,035
ad 2xf k 0,035 1/23/21/2
ck3/2 ===≥Rdv
a
(m)
ua
(m)
Aua
(m2)
ΔVEd
(kN)
VEd,red
(kN)
b
(m)
β
du
β redEd, V=Edv
(kPa)
vRd
(kPa)
Ed
Rd
v
v
0,40 3,8133 1,1227 269,280 89,310 1,20 1,2275 99,14 502,50 5,07
0,35 3,4991 0,9398 225,431 133,159 1,10 1,2482 163,79 574,29 3,51
0,30 3,1850 0,7727 185,350 173,240 1,00 1,2730 238,77 670,00 2,81
0,25 2,8708 0,6213 149,037 209,553 0,90 1,3034 328,06 804,00 2,45
0,20 2,5566 0,4857 116,491 242,099 0,80 1,3413 437,97 1005,00 2,30
0,15 2,2425 0,3657 87,713 270,877 0,70 1,3900 578,99 1340,00 2,31
0,10 1,9283 0,2614 62,703 295,887 0,60 1,4550 769,88 2010,00 2,61
vED ≤ vRd em todos os perímetros de controlo. √
Alínea d)
• Método das consolas – Armadura paralela ao lado maior da sapata
l = 0,45 + 0,15 x 0,40 = 0,51 m
kPa 276,025σ kPa 71,95 σ
kPa 407,77 σEd
Ed2,
Ed1, =⇒
==
kNm/m 47,32 0,51 32
20,51 276,025)-(407,77
20,51 276,025 0,51MEd/m =×××+××=
0,0546ω 0,05261010,70,291
47,32
cd.fd . b
Mμ
322Ed =⇒=
×××==
⇒≥=××== ) mínA ( /mcm 4,87 348
10,70,290,0546 f
f.bω. A/m 2
yd
cd Ø12//0,225 (5,02 cm2/m)
0,40
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 73 EXERCÍCIO 11
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Armadura mínima
ntecondiciona /mcm 3,77 0,29 x 0,0013 b.d 0,0013
/mcm 3,58 0,29 x 4001,9 x 0,26 b.d
ff
. 0,26 A
2
2
yk
ctm
mín
⇐==
==≥
Espaçamentos máximos: s = 2h ≤ 0,25 m ⇒ s = 0,25 m
Alínea e)
• Método das consolas – Armadura paralela ao lado menor da sapata
kPa 323,815 4
95,71407,77 x 3
4
σσ x 3 σ Ed2,Ed1,
Ed3/4,
=+=
=+=
l = 0,45 + 0,15 x 0,25 = 0,635 m
kNm/m 34,26 2
0,46 x 0,46 x ,815323 MEd/m ==
0,0381 1010,70,291
34,26 cd.fd . b
Mμ
322 Ed =
×××==
0,0391ω 0,0381 μ =⇒=
348
10,7 0,290,0391
ff.bω.
A/myd
cd ××==
/mcm 3,77 mínA /mcm 3,49A/m 22 =⇒=
A/m = Ø10//0,20 (3,93 cm2/m)
Alínea f)
0,25
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 74 EXERCÍCIO 11
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Alínea g)
• Método das bielas – Armadura paralela ao lado maior da sapata
d 8
)l-(LN F Maior//LMaior eqEd,
Ed =
menorMaiorEd3/4, eqEd, L . L .σ N =
fF
Ayd
Ed totals, =
menor
totals,s L
A A /m =
LMaior
Lmenor
Maior//Ll
d
–
–
–
–
maior dimensão da sapata
menor dimensão da sapata
dimensão do pilar paralela ao lado maior da sapata
altura útil da sapata
kPa 323,815 σ Ed3/4, =
menorL . MaiorEd3/4,eqEd, L .σ N = = 323,815 x 1,30 x 1,15 = 484,10 kN
kN 187,80 0,29 x 8
0,40)-(1,30 484,10 d 8
)l -(LN F Maior//LMaior eqEd,
Ed ===
)A ( /mcm 4,70 1,155,40
LA
A cm 5,40 10 x 348
187,80 f F
A mín2
menor
totals,s
23yd
Edtotals, /m >===⇒===
As/m = 4,70 cm2/m ⇒ Ø12//0,225 (5,03 cm2/m)
• Método das bielas – Armadura paralela ao lado menor da sapata
d 8
)l-(LN F menor//Lmenor eqEd,
Ed =
menorMaiorEd3/4, eqEd, L . L .σ N =
fF A
yd
Edtotals, =
Maior
totals,s L
A A /m =
LMaior
Lmenor
menor//Ll
d
–
–
–
–
maior dimensão da sapata
menor dimensão da sapata
dimensão do pilar paralela ao lado menor da sapata
altura útil da sapata
eqEd,N = 323,815 kN ⇒ kN 125,62 0,29 x 8
0,25)-(1,15 323,81508 d 8
)l-(LN F menor//Lmenor eqEd,
Ed ===
) A ( /mcm 2,78 1,303,61
LA
A cm 3,61 10 x 348
125,62 f F
A mín2
Maior
totals,s
23yd
Edtotals, /m <===⇒===
As/m = Amín = 3,77 cm2/m ⇒ Ø10//0,20 (3,93 cm2/m)
• Desenho
Como todas as armaduras são iguais às calculadas nas alíneas d) e e), o desenho é igual ao da alínea f).
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 75 EXERCÍCIO 12
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
12 EXERCÍCIO PROPOSTO
No desenho está representada uma estrutura de betão armado que dá apoio a um reservatório de água.
A estrutura de betão armado é constituída por uma sapata, um pilar e uma laje maciça com 0,28 m de espessura.
Outros dados:
- O peso do reservatório é desprezável;
- Os materiais a utilizar são o betão C20/25 e o aço S400.
a) Considerando que a altura de água no depósito é no máximo 2,50 m, calcule a tensão admissível do terreno de fundação compatível com as dimensões indicadas da sapata;
b) Verifique a segurança em relação ao esforço transverso da sapata;
c) Verifique a segurança em relação ao punçoamento da sapata;
d) Aplicando o método das consolas, determine as armaduras da sapata e represente-as num desenho cotado.
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 76 EXERCÍCIO 12
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
12 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
Alínea a)
• Cálculo de Nk e Pk
p. p. laje = 4,00 x 2,30 x 0,28 x 25 = 64,4 kN
p. p. pilar = 0,45 x 0,30 x 4,00 x 25 = 13,5 kN
p. p. fundação = 1,55 x 1,40 x 0,40 x 25 = 21,7 kN
Peso da água ≈ 4,00 x 2,30 x 2,50 x 10 = 230,0 kN
Nk = 64,4 + 13,5 + 230,0 = 307,9 kN
Pk = 21,7 kN
Nk + Pk = 329,6 kN
• Cálculo de Mk
( )kNm 73,6 0,25 x 294,4
0,150,75 - 2
2,30 x 230,0) (64,4
==
=
++=k M
• Cálculo das tensões actuante no terreno
central núcleo no acções das resultante 0,233 6
1,40 6Lx 0,223
329,673,6
PNM e ⇒==<==+=
kPa 297,25 1,40 x 1,55
73,6 x 6 1,40 x 1,55
329,6 Ly .Lx
M 6 Ly . LxPNσ
221 =+=++=
kPa 6,53 1,40 x 1,55
73,6 x 6 - 1,40 x 1,55
329,6 Ly .Lx
M 6 - Ly . LxPNσ
222 ==+=
kPa 224,57 4
6,53297,25 x 3 4
σ3σ σ 21
ref =+=+=
kPa 224,57 σ σ σ admadmref ≥⇒≤
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 77 EXERCÍCIO 12
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
d0,21
0,55
d
Alínea b)
Direcção do momento (ver desenho)
• Cálculo de NEd
NEd = 1,35 x (64,4 + 13,5) + 1,5 x 230,0 = 450,165 kN
• Cálculo de MEd
( )kNm 107,985 0,25 x 431,94
0,150,75 - 2
2,30 x 230,0) x 1,5 64,4 x (1,35 M Ed
==
=
++=
• Cálculo das tensões actuante no terreno
central núcleo do fora acções das resultante
0,233 6
1,40 6Lx 0,240
450,165107,985
N M
eEd
Ed
⇒
==>===
6Lx e > ⇒
m 1,380 )450,165107,985 2 - (1,40 1,5 x ==
kPa 420,91 1,380 x 1,55
450,165 x 2 σ Ed1, ==
d = h – 6 cm = 0,34 m ⇒ 0,55 – d = 0,21 m
kPa 388,88 σ CGEd, =
• Verificação da segurança em relação ao esforço transverso ⇒⇒⇒⇒ VEd ≤ VRd,c
kN 126,58 1,55) x (0,21 x 388,88 Área x σV médEd ===
VRd,c = vRd,c x Área,corte Área,corte = Ly . d
corteÁrea, f k 0,035 corteÁrea, )f (100 k 0,12 = V 1/2 ck
3/21/3cklcRd, ×≥×ρ
Como ainda não foi calculada a armadura da sapata, vamos considerar:
corteÁrea, f k 0,035 V 1/2 ck
3/2cRd, ×≥
K = 1+ d
200 ≤ 2,0 ⇒ K = 1+
340200
= 1,767
kN 193,75 340 1550 20 1,767 0,035 V 1/23/2cRd, =××××≥
VEd = 126,58 kN ≤ VRd,c ≥ 193,75 kN √
)NM
2 - (Lx 1,5 x x . Ly
N 2σ
Ed
Ed Ed 1 ==
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 78 EXERCÍCIO 12
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Direcção perpendicular ao momento (ver desenho)
NEd = 450,165 kN
kNm 107,985=Ed M
m 1,38 =x
kPa 420,91 =Ed1,σ
d = h – 6 cm = 0,34 m
• Verificação da segurança em relação
ao esforço transverso ⇒⇒⇒⇒ VEd ≤ VRd,c
kN 68,25 1,38) x (0,235 x 2
0 420,91
Área x σ V médEd
=+=
==
Como ainda não foi calculada a armadura da sapata, vamos considerar:
d . LX corteÁrea, corteÁrea, f k 0,035 V 1/2 ck
3/2cRd, =×≥
K = 1,767
kN 175,00 340 1400 20 1,767 0,035 V 1/23/2cRd, =××××≥
VEd = 68,25 kN ≤ VRd,c ≥ 175,00 kN √
Alínea c)
• Verificação da segurança em relação ao punçoamento
vED ≤ vRd
d u
V β redEd, =Edv
médEd,auEd EdEdredEd, σ x A V V Δ - V V =∆=
NM e
be 1,81 β =+=
ad 2 x f k 0,035
ad 2 x ) f ρ (100 k 0,12 1/2
ck3/21/3
ckl ≥=Rdv
σEd,méd (tensão no centro de gravidade de Aua) = 207,405 kPa
ua = 2 x 0,30 + 2 x 0,40 +2 π a = 1,4 + 2 π a
Aua = 0,30 x 0,40 + 2 x 0,30 x a + 2 x 0,40 x a + π a2 = 0,12 + 1,4 a + π a2
VEd = NEd = 450,165 kN
VEd,red = 450,165 - ΔVEd
a
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 79 EXERCÍCIO 12
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
b = 0,30 + 2 a
2a0,300,240 1,81
be 1,81 β 0,240
450,165107,985
NM
eEd
Ed ++=+=⇒===
Como ainda não foi calculada a armadura da sapata, vamos considerar:
kPa a
250 MPa a
0,25 a0,34 x 2 x 20 x 1,767 x 0,035
ad 2xf k 0,035 v 1/23/21/2
ck3/2
Rd ===≥
a
(m)
ua
(m)
Aua
(m2)
ΔVEd
(kN)
VEd,red
(kN)
b
(m)
β
du
β redEd, V=Edv
(kPa)
vRd
(kPa)
Ed
Rd
v
v
0,50 4,5416 1,6054 332,968 117,197 1,30 1,3323 101,12 500,00 4,94
0,45 4,2274 1,3862 287,505 162,660 1,20 1,3600 153,91 555,55 3,61
0,40 3,9133 1,1827 245,298 204,867 1,10 1,3927 214,44 625,00 2,91
d=0,34 3,5363 0,9592 198,943 251,222 0,98 1,4408 301,05 735,29 2,44
0,30 3,2850 0,8227 170,632 279,533 0,90 1,4800 370,41 833,33 2,25
0,25 2,9708 0,6663 138,194 311,971 0,80 1,5400 475,64 1000,00 2,10
0,20 2,6566 0,5257 109,033 341,132 0,70 1,6171 610,74 1250,00 2,05
0,15 2,3425 0,4007 83,107 367,058 0,60 1,7200 792,69 1666,67 2,10
vED ≤ vRd em todos os perímetros de controlo. √
Alínea d)
• Método das consolas – Armadura paralela ao lado menor da sapata
NEd = 450,165 kN
MEd = 107,985 kNm
l = 0,55 + 0,15 x 0,30 = 0,595 m
kPa ,91420σ Ed1, =
kPa ,43239σEd =
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 80 EXERCÍCIO 12
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
kNm/m 63,80 0,595 x 32 x
20,595 x 239,43)-(420,91
20,595 x 239,43 x 0,595MEd/m =+=
0,0425ω 0,04151013,30,341
63,80
.fd . b
Mμ
32cd
2 Ed =⇒=
×××==
⇒≥=××== ) mínA ( /mcm 5,52 348
13,30,340,0425 f
f.bω. A/m 2
yd
cd Ø12//0,20 (5,65 cm2/m)
Armadura mínima
/mcm 4,42 0,34 x 0,0013 b.d 0,0013
ntecondiciona /mcm 4,862 0,34 x 4002,2 x 0,26 b.d
ff
. 0,26 A
2
2
yk
ctm
mín
==
⇐==≥
Espaçamentos máximos: s = 2h ≤ 0,25 m ⇒ s = 0,25 m
• Método das consolas – Armadura paralela ao lado maior da sapata
kPa 315,68 420,91 43 σ
43 σ Ed1,Ed3/4, ===
l = 0,575 + 0,15 x 0,40 = 0,635 m
kNm/m 63,65 2
0,635 x 0,635 x ,68315 M /mEd ==
0,04141013,30,341
63,65
cd.fd . b
EdMμ
322=
×××==
0,0424ω 0,0414μ =⇒=
348
x13,3 40,0424x0,3
ydfcdf.bω.
A/m ==
⇒= ≥ )A mín( /m2cm 5,51A/m Ø12//0,20 (5,65 cm2/m)
• Desenho
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 81 EXEMPLOS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
DESENHOS EXEMPLIFICATIVOS DE PROJECTO DE ESTABILIDADE
QUADRO DE PILARES ................... pág. 82 QUADRO DE SAPATAS .................. pág. 83
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 82 EXEMPLOS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
C
ober
tura
QU
AD
RO
DE
PIL
AR
ES
P1
P2
Pis
o 1
Pis
o 2
Pis
o 3
P5
P6
P8
cint
as Ø
6//0
.225
10Ø
16
cint
as Ø
6//0
.20
8Ø16
cint
as Ø
6//0
.20
6Ø16
cint
as Ø
8//0
.30
4Ø25
+6Ø
20
cint
as Ø
6//0
.30
8Ø20
cint
as Ø
6//0
.20
8Ø20
+8Ø
16
cint
as Ø
6//0
.20
6Ø20
+4Ø
16
Fun
daçã
o
P4
cint
as Ø
6//0
.30
4Ø20
cint
as Ø
6//0
.20
6Ø16
P3
cint
as Ø
6//0
.175
10Ø
12
cint
as Ø
6//0
.175
6Ø12
cint
as Ø
8//0
.30
14Ø
25+
14Ø
20
cint
as Ø
6//0
.30
16Ø
20
cint
as Ø
6//0
.225
16Ø
16
cint
as Ø
6//0
.225
6Ø20
+6Ø
16
cint
as Ø
6//0
.20
8Ø16
P7
cint
as Ø
6//0
.24
6Ø20
+6Ø
16
cint
as Ø
6//0
.175
8Ø12
10Ø
20ci
ntas
Ø6/
/0.3
0
10Ø
16ci
ntas
Ø6/
/0.2
25
6Ø16
cint
as Ø
6//0
.225
4Ø16
cint
as Ø
6//0
.225
No
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As
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Ne
stas
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pre
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e 6
0%
do
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o n
o Q
uad
ro p
ara
as z
on
as c
orr
ente
s.
I
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 83 EXEMPLOS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
A A
2.20 1.20 0.40 Ø12//0.125 Ø10//0.25Ø10//0.25Ø12//0.12554.95
1.90 1.20 54.95
54.95
0.251.80 1.80
1.00 1.00
1.50 1.50
2.40 1.35
1.20 1.20
0.40
0.50
0.40
0.40
0.40
0.40
0.200.20
0.30
Ø12//0.15Ø16//0.15
Ø12//0.15 Ø10//0.30Ø10//0.30Ø12//0.15
Ø16//0.15 Ø10//0.15Ø10//0.15Ø16//0.15
Ø12//0.125 Ø10//0.25Ø10//0.25Ø12//0.125
Ø12//0.125 Ø10//0.25Ø10//0.25Ø12//0.125
0.30
Quando não cotado na planta de fundações, o centro de gravidade das sapatas coincide com o centro de gravidade dos pilaresSAPATAS ISOLADAS
0.25
40Ø
Betão de limpeza
estribos
A'y A'x
a
H
0.05
Lx
pav. térreo
Cota
0.300.60 Ø10//0.30Ø10//0.30
Ø12//0.125Ø12//0.125 Ø10//0.25Ø10//0.25
AxAy
estribosreforçados
40Ø
SAPATAS ISOLADAS * QUADRO RESUMO
54.95
54.95
Lx
Ly
a
b