Estruturas Algébricas - Aula 2 - Relações e Aplicações I
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Antes de iniciarmos o tema relações, precisamos de
alguns pré-requisitos.
Um deles é o par ordenado.
Relações e Funções
Um par ordenado é um conjunto formado por dois
elementos e que a ordem na qual são escritos é
relevante.
Relações e Funções
Por exemplo, dadas as equações x + y = 3 e x – y =
1, o par ordenado (2, 1) soluciona as duas equações
simultaneamente. Se invertemos os valores, apenas
a primeira equação terá resposta.
Graficamente, podemos dizer que um par ordenado
é um ponto no plano cartesiano xOy. Assim, o par
ordenado no exemplo será:
1
2
x
y
1 2
Relações e Funções
(2, 1)
Os pares ordenados formam um conjunto
denominado produto cartesiano, definido como A X
B tal que:
A X B = {(x, y) | x A y B}
Por exemplo, se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2},
enumerar os pares ordenados e representar
graficamente AXB e BXA:
Relações e Funções
Sabendo que {(1, 2);(4, 2)} A² e n(A²) = 9,
represente pelos elementos o conjunto A².
Relações e Funções
Uma relação entre conjuntos é um “teste” que une
um elemento de um conjunto a um elemento do
outro conjunto.
As relações formam um conjunto, R, associado a um
produto cartesiano, então R A X B.
Relações e Funções
As relações podem ser representadas tanto por um
plano cartesiano quanto por um diagrama de flechas,
dependendo do caso.
Relações e Funções
Por exemplo, dados os conjuntos A = {2, 3, 4} e B =
{2, 3, 4, 5, 6}, e a relação R = {(x, y) | x|y}.
Representar a relação R através do diagrama de
flechas e graficamente. (x|y significa “x divide y”)
Toda relação apresenta um Domínio, Contradomínio
e Imagem.
O Domínio da relação é o conjunto do qual o
primeiro elemento do par ordenado pertence.
Relações e Funções
A Imagem é o subconjunto do contradomínio
formado pelos elementos do par ordenado.
O Contradomínio da relação é o conjunto do qual o
segundo elemento do par ordenado pertence.
Uma relação pode apresentar três propriedades:
Relações e Funções
• Simétrica: para todo x, y A, x R y y R x
• Reflexiva: para todo x A, x R x;
• Transitiva: para todo x, y, z A, x R y y R z
x R z.
Se uma relação apresentar as três propriedades
simultaneamente, ela será uma relação de
equivalência.
Por exemplo, nas relações abaixo, verificar cada uma
das propriedades, definindo se são de equivalência.
Relações e Funções
• Simétrica:
a) x R y x > y
• Transitiva:
• Reflexiva:
1) Dados os conjuntos A = {1, 3, 4}; B = {-2, 1} e C
= {-1, 0, 2}, represente pelos elementos e pelo
gráfico cartesiano os seguintes produtos:
a) A X B
b) B X A
c) A X C
d) C X A
e) B²
f) C²
2) Considerando A B, {(0, 5), (-1, 2), (2, -1)} A
X B e n(A X B) = 12, represente A X B por seus
elementos.
Exercícios
3) Sejam os conjunto A = {x Z | -1 < x 2} e B =
{3, 4, 5}. Qual é o número de elementos do
conjunto D = {(x, y) A X B | y x + 4}?
4) Sejam os conjuntos A = {-2, -1, 0, 1, 2} e B = {-3,
-2, -1, 1, 2, 3, 4}. Enumere os pares ordenados,
represente por meio de flechas e faça o gráfico
cartesiano de cada uma das relações abaixo:
a) x R y x + y = 2
b) x R y x² = y
c) x R y |x| = |y|
d) x R y x + y > 2
e) x R y (x – y)² = 1
Exercícios
5) Dado o conjunto A = {m Z | -7 m 7},
construa o gráfico da relação binária R definida
por: x R y x² + y² = 25.
6) Estabeleça o domínio e a imagem das seguintes
relações:
a) {(1, 1), (1, 3), (2, 4)};
b) {(-2, 4), (-1, 1), (3, -7), (2, 1)};
c) {(2, 1), (1, -3), (5, 2)};
d) {(1 + 2, 2), (1 – 3, 1)};
e) {(3, 1
2), (
5
2, -1), (
3
2, 0)}.
Exercícios
7) Sejam os conjuntos A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5},
B = {-2, -1, 0, 1, 2} e R definida de A em B
como x R y x = y².
a) Enumere os pares ordenados de R;
b) Enumere os elementos do domínio e da imagem
de R;
c) Faça o gráfico cartesiano e de flechas de R.
Exercícios
1)
a) {(1, -2), (1, 1),(3, -2),(3, 1),(4, -2),(4, 1)}
b) {(-2, 1), (-2, 3),(-2, 4),(1, 1),(1, 3),(1, 4)}
c) {(1, -1), (1, 0), (1, 2),(3, -1),(3, 0),(3, 2)(4, -1),(4,
0),(4, 2)}
d) {(-1, 1), (-1, 3),(-1, 4),(0, 1),(0, 3), (0, 4),(2, 1),(2,
3),(2, 4)}
e) {(-2, -2), (-2, 1),(1, -2),(1, 1)}
f) C² {(-1, -1), (-1, 0),(-1, 2),(0, -1),(0, 0),(0, 2),(2, -
1),(2, 0),(2, 2)}
2) {(0, 0),(0, -1),(0, 2),(0, 5),(-1, 0),(-1, -1),(-1, 2),(-1,
5),(2, 0),(2, -1),(2, 2),(2, 5)}
Respostas
3) n(D) = 3 (D = {(1, 4), (0, 5), (1, 5)}
4)
a) {(-2, 4),(-1, 3),(0, 2),(1, 1)}
Respostas
1
2
x
y
1 2 -1
3 A B
-2
-1
0
1
2
-3
-2
-1
1
2
3
4 -2
4
-3
-2
-1
4)
b) {(-2, 4),(-1, 1),(1, 1),(2, 4)}
Respostas
1
2
x
y
1 2 -1
3 A B
-2
-1
0
1
2
-3
-2
-1
1
2
3
4 -2
4
-3
-2
-1
4)
c) {(-2, -2),(-2, 2),(-1, -1),(-1, 1),(1, -1),(1, 1),(2, -2),(2,
2)}
Respostas
1
2
x
y
1 2
-1
3 A B
-2
-1
0
1
2
-3
-2
-1
1
2
3
4 -2
4
-3
-2
-1
4)
d){(-1, 4),(0, 3),(0, 4),(1, 2), (1, 3),(1, 4),(2, 1),(2, 2),
(2, 3),(2, 4)}
Respostas
1
2
x
y
1 2 -1
3 A B
-2
-1
0
1
2
-3
-2
-1
1
2
3
4 -2
4
-3
-2
-1
4)
e){(-2, -3),(-2, -1),(-1, -2),(0, -1), (0, 1),(1, 2),(2, 1),
(2, 3)}
Respostas
1
2
x
y
1 2 -1
3 A B
-2
-1
0
1
2
-3
-2
-1
1
2
3
4 -2
4
-3
-2
-1
6)
a) D = {1, 2}; Im = {1, 3, 4}
b) D = {-2, -1, 2, 3}; Im = {-7, 1, 4};
c) D = {1, 2, 5}; Im = {-3, 1, 2};
d) D = {1 + 2, 1 – 3}; Im = {1, 2};
e) D = {3
2, 5
2, 3}; Im = {-1, 0,
1
2}.
7)
a) {(0, 0),(1, -1),(1, 1),
(4, -2),(4, 2)};
b) D = {0, 1, 4},
Im = {-2, -1, 0, 1, 2};
Respostas
c)
2
0 1
-1 -2
-2 -1 0 1 2 3 4 5