estrutura de dados e técnicas de programação

7/31/2019 estrutura de dados e tcnicas de programao

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Estruturas de Dados

e

Tecnicas de Programacao

Tomasz Kowaltowski

Instituto de ComputacaoUniversidade Estadual de Campinas

www.ic.unicamp.br/tomaszc2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Tecnicas de Programacao 1

Copyright c 2010 Tomasz Kowaltowski

Instituto de Computacao

Universidade Estadual de Campinas

Algumas transparencias foram adaptadas da apostila Estruturas de Dadose Tecnicas de Programacao de autoria de Claudio L. Lucchesi e TomaszKowaltowski.

Estas transparencias somente podem ser copiadas para uso pessoal dosdocentes e alunos das disciplinas oferecidas pelo Instituto de Computa caoda UNICAMP.

c2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Tecnicas de Programacao 2

Introducao

c2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Tecnicas de Programacao Introducao 3

Pre-requisito e objetivos

Pre-requisito: curso basico de programacao em C

Objetivos:

Programacao em (relativamente) baixo nvel Tecnicas de programacao e estruturacao de dados Preparacao para:

Analise de algoritmos Programacao de sistemas Programacao em geral Bancos de dados Engenharia de software . . .

c2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Tecnicas de Programacao Introducao 4


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Programa Introducao a analise de algoritmos Estruturacao elementar de dados: matrizes, registros, apontadores Estruturas lineares: pilhas, filas, filas duplas Recursao e retro cesso Arvores binarias: representacao, percursos Arvores gerais: representacao, percursos

Aplicacao de arvores:arvores de busca (AVL), filas de prioridade,arvores B, arvores digitais

Listas generalizadas Espalhamento Processamento de cadeias de caracteres Gerenciamento de memoria Algoritmos de ordenacao Algoritmos em grafos

Tipos abstratos de dados e orientacao a objetosc2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Tecnicas de Programacao Introducao 5

Bibliografia

c2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Tecnicas de Programacao Bibliografia 6

A. Drozdek.Estrutura de Dados e Algoritmos em C++.Thomson, 2002.

J. L. Szwarcfiter e L. Markenzon.Estruturas de Dados e seus Algoritmos.

LTC Editora, 1994.

C. L. Lucchesi e T. Kowaltowski.Estruturas de Dados e Tecnicas de Programacao.Instituto de Computacao UNICAMP, 2003.

P. Feofiloff.Algoritmos em Linguagem C.Elsevier Editora Ltda., 2009.

G. H. Gonnet.

Handbook of Algorithms and Data Structures.Addison-Wesley, 1984.


E. Horowitz and S. Sahni.Fundamentals of Data Structures in Pascal.Computer Science Press, 1984.

D. E. Knuth.The Art of Computer Programming, volume I: Fundamental

Algorithms.Addison-Wesley, 1978.

E. M. Reingold and W. J. Hanson.Data Structures.Little Brown and Company, 1983.

R. Sedgewick.Algorithms in C.Addison-Wesley, 1990.

D. F. Stubbs and N. W. Webre.

Data Structures with Abstract Data Types and Pascal.Brooks/Cole, 1985.



3/89

A. M. Tenenbaum and M. J. Augenstein.Data Structures using Pascal.Prentice-Hall, 1986.

N. Wirth.

Algorithms + Data Structures = Programs.Prentice-Hall, 1976.

N. Ziviani.Projeto de Algoritmos (2a. ed.)Thomson, 2004.


Nocoes de Analise de Algoritmos

c2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Tecnicas de Programacao Nocoes de Analise de Algoritmos 10

Escolha da estrutura

Importancia da escolha de estrutura de dados busca de um elementonuma sequencia:

. . .x = a [ k ] ;. . .

. . .p = a ; i = 0 ;w h i l e ( i prox ;i ++;

}x = p> i n f o ;. . .

(a) (b)

(a) Numero de operacoes constante (vetor).(b) Numero de operacoes proporcional a k (lista ligada).


Exemplo de analise de trechos de programas

. . .x = a+b ;. . .

. . .f o r ( i =0; i


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Significado intuitivo da notacao O()

c = O(1) para qualquer constante c

2 = O(1)

5n + 2 = O(n)5n2 + 5n + 2 = O(n2)

n2 = O(n3)

nk = O(nk+1), k 0

loga n = O(logb n), a, b > 0

log2 n = O(log10 n)


Exemplo de analise de um procedimento de ordenacao

v o i d Ordena( i n t v [] , i n t n ) {i n t i , k , m, t ;f o r ( i =0; i


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Exemplo (cont.)

n M1 M2

16 16 400

32 32 500

64 64 600

128 128 700

256 256 800

512 512 9001024 1024 1000

2048 2048 1100

. . . . . . . . .

220 1.048.576 2000

221 2.097.152 2100

. . . . . . . . .

230 1.073.741.824 3000

Supondo que a unidade seja 1 microssegundo, 2.097.152s corresponde a 17 minutos e1.073.741.824s equivale a cerca de 12 horas.


Execucao de programas

c2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Tecnicas de Programacao Execucao de programas 18

Exemplo de funcoes simples

v o i d g ( i n t x , i n t y ) { y = x ;

} / g /

v o i d f ( i n t z ) {i n t y ; c h a r b ;y = 2 3 5 ;g( y , z );

} / f /

i n t main () {i n t i ; c h a r c ;c h a r v [ 5 ] ;

f ( & i ) ;r e t u r n 0 ;} / main /

Pilha de execucao (supoe inteiros de dois bytes):

i c v

main

z y b

f

235

x y

235

g

235

Obs.: Na realidade, os inteiros sao armazenados sob a forma binaria.

c2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Tecnicas de Programacao Execucao d e pr ogramas 19

Exemplo de funcoes com alocacao dinamica

t y p e d ef c h ar Cad eia [ 5 ] ;t y p e d e f C a d e i a ApCadeia ;t y p ed e f s t r u c t {

C a d e i a n om e ;i n t i d a d e ;

} Reg , ApReg ;

ApCadeia apc ;ApReg apr ;i n t a p i ;

v o i d Aloca (ApCadeia c , ApReg r ) {a p i = m a l l o c ( s i z e o f ( i n t ) ) ; a p i = 1 0 ; c = m a l l o c ( s i z e o f ( C a d e i a ) ) ; r = m a l l o c ( s i z e o f ( R e g ) ) ;

} / A l o c a /

i n t main () {A l o c a (& ap c , & a p r ) ; f r e e ( a p c ) ;f r e e ( a p r ) ; f r e e ( a p i ) ;r e t u r n 0 ;

} / main /

memoria dinamica

pilha de execucao

apc apr api

global main

c r

Aloca

10

10

c2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Tecnicas de Programacao Execucao de programas 20


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Exemplo de funcao recursiva

i n t main () {i n t m;

m = f a t ( 4 ) ;r e t u r n 0 ;

} / main /

i n t f a t ( i n t n ) {i f (n==0)

r e t u r n 1 ;e l s e

r e t u r n n f a t ( n 1) ;} / f a t /

m res n

4

res n

3

res n

2

res n

1

res n

011262424

c2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Tecnicas de Programacao Execucao d e pr ogramas 21

Estruturas ligadas

c2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Tecnicas de Programacao Estruturas ligadas 22

Listas ligadas simples

p

. . .

Declaracoes (equivalentes):

t y p e d e f

s t r u c t R e g L i s t a L i s t a ;t y p e d e f

s t r u c t R e g L i s t a {T i n f o ;L i s t a p r o x ;

} R e g L i s t a ;

t y p e d e f

s t r u c t R e g L i s t a {T i n f o ;s t r u c t R e g L i s t a prox ;

} R e g L i s t a , L i s t a ;


Insercao e remocao com passagem por valor

. . . x . . .

p q

v o i d I n s e r e ( L i s t a p , T x ) {L i s t a q =

m a l l o c ( s i z e o f ( R e g L i s t a ) ) ;q>i n f o = x ;q>p r o x = p>prox ;p>p r o x = q ;

}

v o i d R em ov e ( L i s t a p , T x ) {L i s t a q = p>prox ; x = q> i n f o ;p>p r o x = q>prox ;f r e e ( q ) ;

}



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Insercao e remocao com passagem por valor (cont.)

. . . x . . .

p q

O argumento p e o apontador para o predecessor do no a ser inseridoou removido.

A funcao Remove nao pode remover um no que e o unico da lista.

A funcao Insere nao pode inserir um no no incio da lista, inclusivese ela for vazia.


Insercao e remocao com passagem por referencia

. . . x . . .

p q

v o i d I n s e r e ( L i s t a p , T x ) {L i s t a q =

m a l l o c ( s i z e o f ( R e g L i s t a ) ) ;q>i n f o = x ;q>p r o x = p ;p = q ;

}

v o i d Remove( Lis ta p , T x ) {L i st a q = p ; x = q> i n f o ;p = q>prox ;f r e e ( q ) ;

}

Esta convencao elimina os problemas da passagem por valor. Note-se queas variaveis p e q tem tip os diferentes.


Lista simples com no cabeca

p

. . .

Lista vazia:

p

Esta convencao permite o uso de passagem por valor nas funcoes basicas.O campo de informacao do no cabeca pode ser aproveitado para guardaralguma informacao adicional (por exemplo, o comprimento da lista).


Lista simples circular

p

. . .

Problema: lista vazia?



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Lista circular com no cabeca

p

. . .

Lista vazia:

p


Busca em lista circular com no cabeca sentinelas

L i s t a B u s c aC i r c u l ar (L i s t a p , T x ) {

/ B us ca s em s e n t i n e l a /L i s t a q = p ;do {

q = q>prox ;} w h i l e (( q!=p) &&

( q> i n f o != x ) ) ;i f ( q==p)

r e t u r n NULL;e l s e

r e t u r n q ;}

L i s t a B u s c a C i r c u l a r (L i s t a p , T x ) {

/ B us ca com s e n t i n e l a /L i s t a q = p ;q> i n f o = x ;

do {q = q>prox ;

} w h i l e ( q>i n f o != x ) ;i f ( q==p)

r e t u r n NULL;e l s e

r e t u r n q ;}


Lista duplamente ligada com no cabeca

p

. . .

Lista vazia:

p

E possvel percorrer os elementos nas duas direcoes, a partir de

qualquer lugar da lista. E possvel remover o elemento apontado.


Operacoes sobre listas duplamente ligadas

t y p e d e f

s t r u c t R e g L i s t a D u p l a {T i n f o ;s t r u c t R e g L i s t a D u p l a esq , d i r ;

} R e g L i s t a D u p l a , L i s t a D u p l a ;

v o i d I n s e r e D u p l a E s q (L i s t a D u p l a p , T x ) {

L i s t a D u p l a q =m a l l o c ( s i z e o f ( R e g L i s t a D u p l a ) ) ;

q> i n f o = x ;q>e s q = p>esq ;q>d i r = p ;p>es q>d i r = q ;p>e s q = q ;

}

v o i d RemoveDupla(L i s t a D u p l a p , T x ) {

p>es q>d i r = p>d i r ;p>d i r >e s q = p>esq ; x = p> i n f o ;f r e e ( p ) ;

}

A funcao RemoveDupla supoe que ha pelo menos um elemento na lista.



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Exemplo: operacoes com polinomiosSeja um polinomio de grau n:

P(x) = anxn + an1x

n1 + . . . + a1x1 + a0x

0

onde an = 0, exceto possivelmente no caso n = 0.

Representacao ligada omite os termos nao nulos. Por exemplo, ospolinomios:

P1(x) = 5x20 3x5 + 7 e P2(x) = 0:

podem ser representados por:

-1p1 5 20 -3 5 7 0

-1p2

Por convencao, o expoente do no cabeca e -1.c2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Tecnicas de Programacao Estruturas ligadas 33

Exemplo de funcao: impressao

t y pe d ef s t r u c t AuxPol {i n t expo ;f l o a t c o e f ;s t r u c t AuxPol prox ;

} Termo , P o l i n o m i o ;

v o i d I m p r i m e P o l i n o m i o ( P o l i n o m i o p ) {i f ( p>prox==p) {

p r i n t f ( P o li n o m i o n u l o \n );r e t u r n ;

}p = p>prox ;w h i l e ( p>expo!=1) {

p r i n t f ( ( %2 d , % 5 . 1 f ) ,p>expo ,p>c o e f ) ;

p = p>prox ;}p r i n t f ( \n );

}


Soma de polinomios: paradigma de intercalacao

-1ppp0

. . .pp

-1qqq0

. . .qq

-1rrr0

. . .rr

As variaveis pp e qq representam os termos correntes dos polinomiosdentro da malha de repeticao e a variavel rr aponta para o ultimo termo jacalculado da soma; pp0, qq0 e rr0 sao os valores iniciais das variaveis pp,qq e rr.

A implementacao das operacoes e um exerccio. Note-se que o produto dedois polinomios po de ser calculado como uma sequencia de somas deprodutos de um polinomio por um termo.


Matrizes esparsas

Exemplo:

50 0 0 0

10 0 20 00 0 0 0

30 0 60 5

Dada uma matriz n n, quando o numero de elementos nao nulos e umapercentagem pequena de n2 (nao e o caso do exemplo!), pode serconveniente representar a matriz por meio de uma estrutura de listasortogonais.

Suporemos, neste exemplo, que as linhas e as colunas sao numeradas a

partir de 1.



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Matrizes esparsas: listas ortogonais

50 0 0 010 0 20 0

0 0 0 030 0 60 5

4 -1

3 -1

2 -1

1 -1

-1 -1 -1 1 -1 2 -1 3 -1 4

1 1

50

2 1

10

2 3

20

4 1

-30

4 3

-60

4 4

5

O acesso a matriz e feito a partir do no cabeca das listas das cabecas daslinhas e das colunas (super-cabeca!).


Operacoes sobre matrizes esparsas

Alguns exemplos:

t y p e d e f

s t r u c t R e g E s p a r s a {i n t l i n h a , c o l u n a ;d ou b l e v a l o r ;s t r u c t R e g E s p a r s a d i r e i t a , a b a i x o ;

} RegEsparsa , M a t r i z ;

v o i d I n i c i a l i z a M a t r i z ( M a tr i z a , i n t m, i n t n ) ;v o i d L i b e r a M a t r i z ( M a t r i z a ) ;d ou b l e E l e m e n t o M a t r i z ( M a t r i z a , i n t i , i n t j ) ;v o i d A t r i b u i M a t r i z ( M a t r iz a , i n t i , i n t j , d ou b l e x ) ;v o i d S o m aM a t ri z e s ( M a t r i z a , M a t r i z b , M a t r i z c ) ;v o i d M u l t i p l i c a M a t r i z e s ( M a t r iz a , M a t r iz b , M a t r iz c ) ;

E importante notar os casos em que a passagem do argumento do tipoMatriz e feita por referencia. (Nas duas ultimas operacoes, a variavel crecebe o resultado.)


Estruturas lineares

c2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Tecnicas de Programacao Estruturas lineares 39

Estruturas lineares em geral: operacoes tpicas

selecionar e modificar o k-esimo elemento;

inserir um novo elemento entre as posicoes k e k + 1;

remover o k-esimo elemento;

concatenar duas sequencias;

desdobrar uma sequencia;

copiar uma sequencia;

determinar o tamanho de uma sequencia;

buscar um elemento que satisfaz uma propriedade;

ordenar uma sequencia;

aplicar um procedimento a todos os elementos de uma sequencia;

. . .



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Estruturas lineares particulares

Pilha (stack): insercao e remocao na mesma extremidade da estrutura

Fila (queue): insercao numa extremidade (fim) e remocao na outraextremidade (incio)

Fila dupla (double ended queue): insercao e remocao em ambasextremidades da estrutura


Pilha: implementacao sequencial

. . .. . .0

topo

empilha (insere)

desempilha (remove)

Pilha vazia:

. . .0

topo(-1)

Inicialmente: topo=-1.c2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Tecnicas de Programacao Estruturas lineares 42

Pilha: implementacao sequencial (cont.)

. . .. . .0

topo

empilha (insere)

desempilha (remove)

t y p e d e f

s t r u c t {i n t topo ;

T el eme nt os [TAM MAX] ;} P i l h a ;

v o i d E m p i l h a ( P i l h a p , T x ) {i f ( ( p ) . t op o==(TAM MAX1) )

T r a t aE r r o ( P i l h a c h e i a ) ;( p ). t opo++;( ( p ) . e l e m e n t o s ) [ ( p ) . t o p o ] = x ;

}

Exerccio: a funcao Desempilha.


Pilha: implementacao ligada

topo

. . .

Pilha vazia:

topo

(Uma lista ligada simples.)



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Pilha: implementacao ligada (cont.)

topo

. . .

t y pe d ef s t r u c t E l e m P i l h a {T i n f o ;s t r u c t E l e m P i l h a prox ;

} E l e m P i l h a , P i l h a ;

v o i d E m p i l h a ( P i l h a p , T x ) {P i l ha q =

m a l l o c ( s i z e o f ( E l e m P i l h a ) ) ;i f ( q==NULL )

T r a t a E r r o ( F a l t a m emoria );q> i n f o = x ;qP r o x = p ;p = q ;

}

Exerccio: a funcao Desempilha.


Fila: implementacao sequencial

. . . . . . . . .

frente fim

remove insere

Convencao: frente precede o primeiro elemento da fila; consequentemente,

o tamanho da fila e dado por fimfrente.

Fila vazia:

. . . . . .

frentefim

Condicao de fila vazia: frente== fim.Inicialmente: frente= fim = 1.


Fila: implementacao ligada circular

fila

frente

. . .fim

Fila vazia:

fila

frentefim

A fila pode ser representada por uma unica variavel (fila) ou um par devariaveis (frente e fim).


Fila: implementacao sequencial circular

n-1 0 12

3

... frente

...

fim

...

Convencao: frente precede o primeiro elemento da fila; consequentemente,

o tamanho da fila e dado por (fimfrente+ n)%n.



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Fila: implementacao sequencial circular (cont.)

n-1 0 12

3

... frente

...

fim

...

Condicoes:

Inicial: frente== fim == 0 (ou qualquer outro valor) Fila vazia: frente== fim Fila cheia: frente== fim (a mesma condicao!) Solucao 1: sacrificar uma posicao do vetor; a condicao de fila cheia

fica: frente== (fim + 1)%n. Solucao 2: uma variavel adicional inteira com o tamanho da fila ou

booleana indicando se a fila esta vazia.c2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Tecnicas de Programacao Estruturas lineares 49

Fila: implementacao sequencial circular (cont.)

n-1 0 1 23

... frente

...

fim

...

# d e f i n e TAM MAX FILA 100 0

t y p ed e f s t r u c t {i n t f r e n t e , f i m ;T el eme nt os [TAM MAX FILA ] ;

} F i l a ;

v o i d I n s e r e F i l a ( F i l a f , T x ) {i f ( ( f ) . f r e n t e = =( (( f ) . fi m+1)%TAM MAX FILA))

T r a t aE r r o ( F i l a c h e i a ) ;( f ) . f i m = ( ( f ) . fi m+1)%TAM MAX FILA;( f ) . e l e m e n t o s [ ( f ) . f i m ] = x ;

}

Exerccio: a funcao RemoveFila.


Aplicacoes de pilhas

c2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Tecnicas de Programacao Aplicacoes de pilhas 51

Aplicacoes de pilhas

Processamento de linguagens parenteticas:

linguagens de programacao XML

Implementacao da recursao

Percurso de estruturas hierarquicas (arvores)

Avaliacao expressoes em notacao pos-fixa (notacao polonesa reversa)

Transformacao entre notacoes



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Exemplo de aplicacao simples: balanceamento de parenteses

Correto Incorreto

(

() )[()] [)

[]()[()[]] ()()[

((([[[]]]))) )(


Balanceamento de parenteses (cont.)

Pilha Resto da sequenciaVazia ([([][()])])( [([][()])])

([ ([][()])])

([( [][()])])

([([ ][()])])

([( [()])])

([([ ()])])

([([( )])])

([([ ])])

([( )])

([ ])

( )

Vazia


Notacoes para expressoes aritmeticas

Infixa: um operador unario precede o operando um operador binario separa os dois operandos parenteses indicam prioridades

Pos-fixa: os operadores seguem os operandos

Pre-fixa: os operadores precedem os operandos

Exemplos:

infixa p os-fixa pre-fixa

a a aa + b ab+ +aba + b c abc + +a bc

(a + b) c ab + c + abc


Exemplo: avaliacao de expressoes sob forma pos-fixa

Notacao infixa: (3 + 5) 2 (10 3)/2

Notacao pos-fixa: 3 5 + 2 10 3 2/

Estados consecutivos da pilha:

Pilha EntradaVazia 3 5 + 2 10 3 2/3 5 + 2 10 3 2/3 5 +2 10 3 2/8 2 10 3 2/8 2 10 3 2/16 10 3 2/16 10 3 2/16 10 3 2/16 7 2/1 6 7 2 /

16 3 13 Vazia



15/89

Exemplo: transformacao de notacao infixa para pos-fixa

a b + c d e/f g h

Entrada infixa: a b+c de / fg h

Sada pos-fixa: a b c d ef/+g h

As varaveis sao copiadas diretamente para a sada.

Os operadores precisam ser lembrados numa pilha.

Um operador e copiado da pilha para a sada somente quando aparecena entrada um operador de prioridade menor ou igual.


Transformacao de notacao infixa para pos-fixa (cont.)

Sada Pilha Entradaa b + c d e/f g h

a b + c d e/f g ha b + c d e/f g hab + c d e/f g hab + c d e/f g h

ab + c d e/f g hab c + d e/f g hab c + d e/f g hab cd + e/f g hab cd + e/f g hab cde + /f g hab cde + /f g h

(continua)


Transformacao de notacao infixa para pos-fixa (cont.)

Sada Pilha Entradaab cde + /f g hab cde +/ f g h

ab cde f +/ g hab cde f / + g hab cde f /+ g hab cde f /+ g hab cde f / + g hab cde f / + g hab cde f / + gh ab cde f / + gh ab cde f / + gh


Exemplos de recursao

c2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Tecnicas de Programacao Exemplos de recursao 60


16/89

Exemplo 1: funcao fatorial

i n t f a t o r i a l ( i n t n ) {i f (n==0)

r e t u r n 1 ;

e l s er e t u r n n f a t o r i a l (n 1) ;

}

i n t f a t o r i a l ( i n t n ) {i n t i , f =1;f o r ( i =1; i


17/89

Torres de Hanoi: movimento do maior disco

X Y Z

. .. .. .

N-1

Move X para Y

X Y Z

. .. .. .

N-1


Torres de Hanoi: transferencia recursiva final de N-1 discos

X Y Z

. .. .. .

N-1

Hanoi(Z,Y,X,N-1)

X Y

. .. .. .

N

Z


Torres de Hanoi: funcao Hanoi

v o i d H a n o i ( c h a r org , c h a r d e s t , c h a r aux , i n t n ) {i f ( n>0) {

H a no i ( o r g , a ux , d e s t , n 1) ;p r i n t f ( Mova d e %c p a r a % c\n , o r g , d e s t ) ;H a no i ( a u x , d e s t , o r g , n 1) ;

}}

Chamada inicial: Hanoi(A,B,C,64).

Numero de movimentos: 2N 1 (prova por inducao).

Este e o numero mnimo.


Torres de Hanoi: exemplos de sada

N=1: N=3:

Mova de A p a r a B Mova de A p a r a BM o v a d e A p a r a CM o v a d e B p a r a C

N=2: Mova de A p a r a BM o v a d e C p a r a A

Mova de A p a r a C Mova de C p a r a BMova de A p a r a B Mova de A p a r a BM o v a d e C p a r a B



18/89

Torres de Hanoi: exemplos de sada (cont.)

N=4

Mova de A pa ra C Mova de C pa ra BMova de A pa ra B Mova de C pa ra A

Mova de C pa ra B Mova de B pa ra AMova de A pa ra C Mova de C pa ra BMova de B pa ra A Mova de A pa ra CMova de B pa ra C Mova de A pa ra BMova de A pa ra C Mova de C pa ra BM o v a d e A p a r a B


Exemplo 4: geracao de permutacoes

Problema: Gerar todas as permutacoes dos m elementos de um vetor.

. . .

0 k-1 k m-1

. . .

Suponha uma funcao Permuta(k,m) que gera (imprime) todas aspermutacoes dos elementos de 0 a k-1, seguidas dos elementos de k am-1.

A chamada inicial Permuta(m,m) resolveria o problema.

A solucao consistira em trocar o elemento de ndice k-1consecutivamente com todos os elementos que o precedem e aplicar afuncao recursivamente.


Geracao das permutacoes (cont.)

Passo recursivo: i=k-1, ..., 0

. . .

0 k-1 k m-1

. . . . . .

i

Troca(i,k-1)

. . .

0 k-1 k m-1

. . . . . .

i

. . .

0 k-1 k m-1

. . . . . .

i

Permuta(k-1,m)

Troca(i,k-1)

. . .

0 k-1 k m-1

. . . . . .

i



. . .

0 k-1 k m-1

. . .Funcao Permuta:

v o i d Permuta( i n t k , i n t m) {i f ( k==0)

Imprime (m);

e l s e {i n t i ;f o r ( i=k 1; i >=0; i ) {

T r o c a ( i , k 1) ;Permuta(k 1,m);T r o c a ( i , k 1) ;

}}

}

A funcao Imprime imprime os m elementos do vetor.

Chamada inicial: Permuta(m,m).



19/89


Sada de Permuta(2,3)

1 2 32 1 31 3 23 1 23 2 1

2 3 1

Desafio: imprimir em ordem lexicografica:

1 2 31 3 22 1 32 3 13 1 23 2 1


Exemplos de retrocesso

c2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Tecnicas de Programacao Exemplos de retrocesso 74

Exemplo 1: movimentos do cavalo

Movimentos p ossveis do cavalo no jogo de xadrez:

-2

-2

-1

-1

0

0

1

1

2

2

0

12

3

4

5 6

7


Movimentos do cavalo (cont.)

Um percurso da posicao (0,0) ate (4,4) (existem 27.419 solucoes).

0

0

1

1

2

2

3

3

4

4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15



20/89


Um percurso da posicao (0,0) ate (4,4) cobrindo todas as posicoes:

0

0

1

1

2

2

3

3

4

4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

Obs.: Nao existe solucao para o tabuleiro da transparencia anterior(provar!).



Tipos de solucao:

1. Achar uma solucao

2. Achar uma solucao que cobre todas as posicoes livres3. Enumerar todas as solucoes

Observacao: Esta nao e a melhor maneira de resolver este problema masilustra bem o mecanismo geral de retrocesso.



-2

-2

-1

-1

0

0

1

1

2

2

0

12

3

4

5 6

7

# d e f i n e TAM MAX 20# d e f i n e NUM MOV 8typ e d e f enum { f a l s e , t r ue } Boolean ;i n t t a b [ TAM MAX ] [ TAM MAX ] ;i n t d l [NUM MOV] = { 1, 2, 2, 1, 1 , 2 , 2 , 1 } ;

i n t dc [NUM MOV] = { 2 , 1 , 1, 2, 2, 1, 1 , 2 } ;

v o i d ImprimeT ab( i n t tam) {i n t i , j ;f o r ( i =0; i


21/89

Movimentos do cavalo: exemplo de entrada e sada0

0

1

1

2

2

3

3

4

4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

E n t ra d a S a d a

5 1 4 9 12 10 0 10 13 6 3 04 4 5 2 11 8 00 4 0 7 14 0 13 4 1 0 0 0 154 0

1 1c2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Tecnicas de Programacao Exemplos de retrocesso 81

Movimentos do cavalo: achar uma solucao completaB o o l e a n T e nt a M ov i m en t o ( i n t tam , i n t num, i n t l i n ,

i n t c o l , i n t l d , i n t cd , i n t n o c ) {i n t k , l p , cp ;B oo le an r e s = f a l s e ;i f ((0


22/89

Distancia de edicao: funcao Distancia

i n t D i s t a n c i a ( c h a r t e s t e , c h a r c o r r e t a ) {i n t dIns , dRem, dSub ;i f ( ( ( t e st e)==NUL CHAR) && (( correta)==NUL CHAR))

r e t u r n 0 ;dI ns = dRem = dSub = INT MAX;i f ( ( ( te st e )!=NUL CHAR) && (( co rr et a )!=NUL CHAR) &&

( ( t e s t e ) = = ( c o r r e t a ) ) )r e t u r n D i s t a n c i a ( t e s t e + 1, c o r r e t a + 1) ;

i f ( ( ( te st e )!=NUL CHAR) && (( co rr et a )!=NUL CHAR) )d Su b = c u s t o S u b+ D i s t a n c i a ( t e s t e + 1 , c o r r e t a +1 ) ;

i f ( ( teste )!=NUL CHAR)dRem = c u st o R em+ D i s t a n c i a ( t e s t e + 1 , c o r r e t a ) ;

i f ( ( co rr et a )!=NUL CHAR)d I n s = c u s t o I n s + D i s t a n c i a ( t e s t e , c o r r e t a + 1 );

r e t u r n m i n ( d I n s , m i n ( dRem , d Su b ) ) ;}


Distancia de edicao: desafios

Melhorar o desempenho do algoritmo: o algoritmo e exp onencial naosendo viavel, sob esta forma, em aplicacoes praticas

Imprimir o numero de operacoes de cada tipo (avanco, insercao,remocao e substituicao) para obter a solucao

Imprimir a sequencia de operacoes para obter a solucao


Eliminacao da recursao

c2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Tecnicas de Programacao Eliminacao da recursao 87

Esquema de funcao recursiva

v o i d E x em p l o ( T1 x 1 , T2 x 2 , . . . ) {S 1 y 1 ; S 2 y 2 ; . . . ;Ci ; / Comandos i n i c i a i s /i f (E ( . . . ) ) {

C0 ; / C as o b a s e /} e l s e { / C ha ma da s r e c u r s i v a s /

C1; Exemplo(e11 , e12 , . . . ) ;C2; Exemplo(e21 , e22 , . . . ) ;C3; Exemplo(e31 , e32 , . . . ) ;. . . ;

Cm; Exemplo (em1, em2 , . . . ) ;Cf ;

}}

Os smbolos Ci, C0, C1, . . ., Cm e Cf representam sequencias,possivelmente vazias, de comandos.



23/89

Esquema de eliminacao da recursao

v o i d E x e m p lo( T1 x 1 , T2 x 2 , . . . ) {S 1 y 1 ; S 2 y 2 ; . . . ;Ci ; / Comandos i n i c i a i s /i f (E ( . . . ) ) {

C0 ; / C a s o b a s e /} e l s e {

/ C ha ma da s r e c u r s i v a s /C 1; E x e m p lo( e 11 , e 12 , . . . ) ;C 2; E x e m p lo( e 21 , e 22 , . . . ) ;C 3; E x e m p lo( e 31 , e 32 , . . . ) ;. . . ;

Cm; Exemplo( em1, em2 , . . . ) ;Cf ;

}}

typ e d e f enum { chamada1 , chamada2 , chamada3 , . . . } Chamadas ;typ e d e f enum { e n t ra d a , s a i d a , r e t o r n o } Acoes ;

v o i d E x em p l o ( T1 x 1 , T2 x 2 , . . . ) {S 1 y 1 ; S 2 y 2 ; . . . ; / v a r i a v e i s l o c a i s o r i g i n a i s /T1 t 1 , T2 t 2 , . . . ; / v a r i a v e i s t e m p o r a r i a s /P i l h a f ; C ha ma da s c h ; A c oe s a c ao ;I n i c i a l i z a P i l h a (&f ) ; acao = en tr ad a ;

do {s w i t c h ( acao ) {

c a se ( e n t r a d a ) : . . . b re a k ;c a se ( r e t o r n o ) : . . . b re a k ;c a se ( s a i d a ) : b re a k ;

}} w h i l e ( a c a o ! = s a i d a ) ;

}


Esquema de eliminacao da recursao (cont.)


C0 ; / C a s o b a s e /} e l s e {

/ C ha ma da s r e c u r s i v a s /C 1; E x e m pl o( e 11 , e12 , . . . ) ;C 2; E x e m pl o( e 21 , e22 , . . . ) ;C 3; E x e m pl o( e 31 , e32 , . . . ) ;. . . ;

Cm; Exemplo(em1, em2 , . . . ) ;Cf ;

}}

c a se ( e n t r a d a ) :Ci ; / Comandos i n i c i a i s /i f (E ( . . . ) ) {

C0 ; a ca o = r e t o r n o ; / C as o b a s e /} e l s e { / P r i m e i r a c ha ma da r e c u r s i v a /

C1; Emp il ha ( f , x1 , x2 , . . . , y1 , y2 , . . . , chamada1 );t 1 = e 1 1 ; t 2 = e 1 2 ; . . . ;x1 = t 1 ; x2 = t 2 ; . . . ; / R e c a l c u l a a r g u me n t o s /

}b re a k ;


Esquema de eliminacao da recursao (cont.)


C0 ; / C a s o b a s e /} e l s e {

/ C ha ma da s r e c u r s i v a s /C 1; E x e m p lo( e 11 , e 12 , . . . ) ;C 2; E x e m p lo( e 21 , e 22 , . . . ) ;C 3; E x e m p lo( e 31 , e 32 , . . . ) ;

. . . ;Cm; Exemplo( em1, em2 , . . . ) ;Cf ;

}}

c a se ( r e t o r n o ) :i f ( P i l h a V a z i a ( f ) ) a c ao = s a i d a ;e l s e {

Desempil ha ( f ,&x1,&x2 , . . . , & y1,&y2 , . . . , & ch );s w i t c h ( c h ) {

c a se (chamada1 ):C2; Emp il ha ( f , x1 , x2 , . . . , y1 , y2 , . . . , chamada2 );t 1 = e 2 1 ; t 2 = e 2 2 ; . . . ;x 1 = t 1 ; x 2 = t 2 ; . . . ;a c a o = e n t r a d a ; b re a k ;

c a se (chamada2 ):C3; Emp il ha ( f , x1 , x2 , . . . , y1 , y2 , . . . , chamada3 );t 1 = e 3 1 ; t 2 = e 3 2 ; . . . ;x 1 = t 1 ; x 2 = t 2 ; . . . ;a c a o = e n t r a d a ; b re a k ;

. . . ;c a se (chamadam ) :

Cf ; b re a k ;} / s w i tc h ( c h ) /

}b re a k ;


Exemplo 1: funcao fatorial

i n t f a t o r i a l ( i n t n ) {i f (n==0)


r e t u r n n f a t o r i a l ( n 1) ;}



24/89

Funcao fatorial (cont.)

i n t f a t o r i a l ( i n t n) {i f (n==0)


r e t u r n n f a t o r i a l ( n 1);}

typ e d e f enum { chamada1 } Chamadas ;typ e d e f enum { e n t ra d a , s a i d a , r e t o r n o } Acoes ;

i n t f a t o r i a l ( i n t n ) {i n t r e s , t 1 ;P i l h a f ; C ha ma da s c h ; A c oe s a c ao ;I n i c i a l i z a P i l h a (&f ) ; acao = en tr ad a ;

do {s w i t c h ( acao ) {c a se ( e n t r a d a ) : . . . b re a k ;c a se ( r e t o r n o ) : . . . b re a k ;c a se ( s a i d a ) : b re a k ;

}} w h i l e ( a c a o ! = s a i d a ) ;r e t u r n r e s ;

} / f a t o r i a l /



i n t f a t o r i a l ( i n t n) {

i f (n==0)r e t u r n 1 ;

e l s er e t u r n n f a t o r i a l ( n 1);

}

c a se ( e n t r a d a ) :i f (n==0) {

r e s = 1 ; a ca o = r et o rn o ;} e l s e {

Empil ha ( f , n , chamada1 );t 1 = n ; n = t 1 1;

}b re a k ;



i n t f a t o r i a l ( i n t n) {i f

(n==0)r e t u r n 1 ;e l s e

r e t u r n n f a t o r i a l ( n 1);}

c a se ( r e t o r n o ) :i f ( P i l h a V a z i a ( f ) ) a c a o = s a i d a ;e l s e {

Desempi lha ( f ,&n,&ch );s w i t c h ( c h ) {

c a se (chamada1 ):r e s = n r e s ;b re a k ;

}b re a k ;

Obs.: Note como neste caso a variavel res e usada para guardar oresultado da funcao.


Exemplo 2: funcao Hanoi

v o i d H a n o i ( c h a r org , c h a r d e s t , c h a r aux , i n t n ) {

i f ( ! ( n >0) );

e l s e {H a n o i ( o r g , a u x , d e s t , n 1) ;p r i n t f ( Mova d e %c p a r a % c\n , o r g , d e s t ) ;H a n o i ( a u x , d e s t , o r g , n 1) ;

}}



25/89

Funcao Hanoi (cont.)

v o i d Ha n oi ( c h a r org , c h a r d e s t , c h a r aux , i n t n ) {i f ( ! ( n >0))

;e l s e {

Ha n oi ( or g , a u x , d e s t , n 1);p r i n t f ( Mo va d e % c p a r a % c\n , o r g , d e s t ) ;Ha n oi ( a u x , d e s t , or g , n1);

}}

typ e d e f enum { chamada1 , chamada2 } ;typ e d e f enum { e n t ra d a , s a i d a , r e t o r n o } Acoes ;v o i d H a n o i ( c h a r org , c h a r d e s t , c h a r aux , i n t n ) {

c h a r t 1 ; c h a r t 2 ; c h a r t 3 ; i n t t 4 ;P i l h a f ; C ha ma da s c h ; A c oe s a c ao ;I n i c i a l i z a P i l h a (&f ) ; acao = en tr ad a ;

do {s w i t c h ( acao ) {

c a se ( e n t r a d a ) : . . . ; b re a k ;c a se ( r e t o r n o ) : . . . ; b re a k ;c a se ( s a i d a ) : b re a k ;

}} w h i l e ( a c a o ! = s a i d a ) ;

}




;e l s e {


}}

c a se ( e n t r a d a ) :i f ( ! ( n >0) ) {

a ca o = r e t o r n o ;} e l s e {

Empil ha ( f , org , dest , aux ,n , chamada1 ) ;t 1 = o r g ; t 2 = a u x ; t 3 = d e s t ; t 4 = n 1;o r g = t 1 ; d e s t = t 2 ; a ux = t 3 ; n = t 4 ;

}b re a k ;




;e l s e {


}}

c a se ( r e t o r n o ) :i f ( P i l h a V a z i a ( f ) )

a c a o = s a i d a ;e l s e {

Desempil ha ( f ,&org ,&de st ,&aux,&n,&ch );s w i t c h ( c h ) {

c a se (chamada1 ):p r i n t f ( Mova d e %c p a r a % c\n , o r g , d e s t ) ;Empil ha ( f , org , dest , aux ,n , chamada2 ) ;t 1 = a u x ; t 2 = d e s t ; t 3 = o r g ; t 4 = n 1;o rg = t 1 ; d e s t = t 2 ; a ux = t 3 ; n = t 4 ;a c a o = e n t r a d a ;b re a k ;

c a se (chamada2 ):b re a k ;

}b re a k ;


Exemplo de eliminacao da recursao caudalAplicavel quando a ultima acao dentro do corpo da funcao e umachamada recursiva: reaproveita o mesmo registro de ativacao da funcao,mudando os valores dos argumentos.

v o i d H a n o i ( c h a r org , c h a r d e s t , c h a r aux , i n t n ) {i f ( n>0) {

H a no i ( o r g , a ux , d e s t , n 1) ;p r i n t f ( Mova d e %c p a r a % c\n , o r g , d e s t ) ;H a no i ( a u x , d e s t , o r g , n 1) ;

}}

v o i d H a n o i ( c h a r org , c h a r d e s t , c h a r aux , i n t n ) {c h a r t ;w h i l e ( n>0) {

H a n o i ( o r g , a u x , d e s t , n 1) ;p r i n t f ( Mova d e %c p a r a % c\n , o r g , d e s t ) ;

t = o r g ; o rg = a ux ; au x = t ;}}



26/89

Recursao m utua: Analise sintatica

c2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Tecnicas de Programacao Recursao mutua: Analise sintatica 101

Exemplo simples de recursao mutua

i n t g ( i n t n ) ;

i n t f ( i n t n ) {

i f (n==0)r e t u r n 0 ;

e l s e

r e t u r n g ( n 1) ;}

i n t g ( i n t n ) {i f (n==0)


r e t u r n f ( n 1) ;}


Analise de expressoes

Expressoes com operadores binarios +, , , / e parenteses ( e ):

e = t1 t2 tn, n 1

t = f1 f2 fn, n 1

f = x ou f = ( e )


Programa de traducao de infixa para pos-fixa:

c h a r en tr ad a [TAM MAX] ;c h a r pe ;

v o i d E x p r e s s a o ( ) ;v o i d Termo ( ) ;v o i d F a t o r ( ) ;

v o i d InPos () {pe = &ent rad a [ 0 ] ;E x p r e s s a o ( ) ;i f ( ( pe)!= \0 )

E r r o ( ) ;}



27/89

Fator

f = x ou f = ( e )

v o i d F a t o r ( ) {c h a r c o r r e n t e = pe ;s w i t c h ( c o r r e n t e ) {

c a se a : c a se b : . . . : c a se z :S a i ( c o r r e n t e ) ; p e++; b re a k ;

c a se ( :pe++;E x p r e s s a o ( ) ;i f ( ( pe)== ) )

pe++;e l s e

E r r o ( ) ;b re a k ;

d e f a u l t :E r r o ( ) ;

}}


Termo

t = f1 f2 fn, n 1

v o i d Termo() {c h a r op ;F a t o r ( ) ;do {

op = pe ;i f ( ( op== ) | | ( op== / )) {

pe++;F a t o r ( ) ;Sai (op );

} e l s eb re a k ; / do /

} w h i l e ( t r u e ) ;}


Expressao

e = t1 t2 tn, n 1

v o i d E x p r e s s a o ( ) {c h a r op ;Termo () ;do {

op = pe ;i f (( op==+ ) | | ( op== ) ) {

pe++;Termo () ;Sai (op );

} e l s eb re a k ; / do /

} w h i l e ( t r u e ) ;}


Operador de exponenciacao

Fator redefinido:

f = p1 p2 pn, n 1Primario:

p = x ou p = ( e )

Prioridade? Solucao:

f = p ou f = p f



28/89

Fator redefinido

f = p ou f = p f

v o i d F a t o r ( ) {P r i m a r i o ( ) ;

i f ( ( pe)== ) {pe++;F a t o r ( ) ;Sai ( ) ;

}}


Primario

p = x ou p = ( e )

v o i d P r i m a r i o ( ) {c o r r e n t e = pe ;s w i t c h ( c o r r e n t e ) {

c a se a : c a se b : . . . : c a se z :S a i ( c o r r e n t e ) ; p e++; b re a k ;

c a se ( :pe++;E x p r e s s a o ( ) ;i f ( ( pe)== ) )

pe++;e l s e

E r r o ( ) ;b re a k ;

d e f a u l t :E r r o ( ) ;

}}


Analogia para expressoes e termos

e = t ou e = e t

t = f ou t = t f

Problemas:

como distinguir as alternativas

repeticao infinita no segundo caso (recursao esquerda)

v o i d E x p r e s s a o ( ) {. . . ;

i f ( ? ? ? )Termo ( ) ;

e l s e

E x p r e s s a o ( ) ;. . .

}


Arvores binarias

c2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Tecnicas de Programacao Arvores binarias 112


29/89

E l d l 3 D fi i d bi i


30/89

Exemplo de arvore geral 3: organograma

UNICAMP

IC

DSC DSI DTC

IMECC

DE DM DMA

FEEC

DCA DEB DT

FCM

DAP DAN DTO

. . .

. . . . . .

Obs.: A UNICAMP tem 21 unidades academicas. Algumas unidades temmais de 10 departamentos.


Definicao de arvore binaria

Uma arvore binaria e um conjunto de nos que:

ou e vazio (arvore bin aria vazia)

ou contem um no especial denominado raiz da arvore e o resto doconjunto esta particionado em duas arvores binarias disjuntas(possivelmente vazias), denominadas subarvore esquerda e subarvoredireita.


Representacao grafica, convencoes e conceitos

nvel 1

nvel 2

nvel 3

nvel 4

A

B

D E

G

C

F

H

Raiz da arvore: AFilho esquerdo de A: B Filho direito de A: CPai de F: C Irmao de E: DDescendentes de B: B, D, E e G Antepassados de H: H, F, C e AFolhas: D, G e H Nos internos: todos exceto as folhasNveis: indicados na figura Altura (profundidade) nvel maximo: 4

Subarvores binarias vazias: 9 Subarvores binarias nao vazias: 7Obs.: Alguns autores comecam a numeracao dos nveis a partir de zero.


Fatos sobre arvores binarias

Uma arvore binaria com n nos tem:

altura maxima n altura mnima log2(n + 1) subarvores vazias: n + 1 subarvores nao vazias: n 1 (se n > 0)

Uma arvore binaria de altura h tem:

no mnimo h nos no maximo 2h 1 nos


R li d R li d d


31/89

Representacao ligada comum

p

A

B C

D E F

G H

O acesso a todos os nos da arvore pode ser realizado atraves de umapontador para a raiz.


Representacao ligada com tres apontadores

p

A

B

D E

G

C

F

H

O terceiro apontador possibilita descer e subir pela estrutura,analogamente as listas duplamente ligadas.


Representacao com o campo pai apenas

A

B C

D E F

G H

Problemas:

E necessario haver acesso (apontadores) pelo menos a todas as folhas.

Nao e possvel distinguir entre os filhos esquerdos e direitos.


Representacao sequencial: arvores binarias completas

A

B

C

D E

F

G H

I

J

K L

M

N O

0

1 2

3 4 5 6

7 8 9 10 11 12 13 14

No n:

filho esquerdo: 2n + 1 (n 0)filho direito: 2n + 2 (n 0)pai: (n 1)/2 (n > 0)

A0

B1

I2

C3

F4

J5

M6

D7

E8

G9

H10

K11

L12

N13

O14


R t i l bi i l t P f did d


32/89

Representacao sequencial: arvores binarias quase completas

A

B

C

D E

F

G H

I

J

K

M

0

1 2

3 4 5 6

7 8 9 10 11

A

0

B

1

I

2

C

3

F

4

J

5

M

6

D

7

E

8

G

9

H

10

K

11


Percursos em profundidade

Pre-ordem:Visitar a raiz

Percorrer a subarvore esquerda em pre-ordem

Percorrer a subarvore direita em pre-ordem

Pos-ordem:

Percorrer a subarvore esquerda em pos-ordem

Percorrer a subarvore direita em pos-ordem

Visitar a raiz

Inordem (ou ordem simetrica):

Percorrer a subarvore esquerda em inordem

Visitar a raiz

Percorrer a subarvore direita em inordem


Exemplos de percurso em profundidade

A

B

D E

G

C

F

H

Pre-ordem: A,B,D,E,G,C,F,H

Pos-ordem: D,G,E,B,H,F,C,A

Inordem: D,B,G,E,A,F,H,C


Percurso em largura

Percurso p or nveis, da esquerda para a direita:

nvel 1

nvel 2

nvel 3

nvel 4

A

B

D E

G

C

F

H

Percurso: A,B,C,D,E,F,G,H


I l t i d Eli i d d l


33/89

Implementacao recursiva de percursos

t y pe d ef s t r u c t NoArvBin {T i n f o ;s t r u c t NoArvBin esq , d i r ;

} NoArvBin , ArvBin ;

v o i d PreOrdem( ArvBin p) {i f (p!=NULL) {

V i s i t a ( p ) ;PreOrdem(p>e s q ) ;PreOrdem(p>d i r ) ;

}} / PreOrdem /

v o i d InOrdem( ArvBin p) {i f (p!=NULL) {

InOrdem(p>e s q ) ;V i s i t a ( p ) ;InOrdem(p>d i r ) ;

}} / InOrdem /

v o i d PosOrdem( ArvBin p) {i f (p!=NULL) {

PosOrdem(p>e s q ) ;PosOrdem(p>d i r ) ;V i s i t a ( p ) ;

}} / PosOrdem /


Eliminacao da recursao caudal

v o i d PreOrdem( ArvBin p) {i f (p!=NULL) {

V i s i t a ( p ) ;PreOrdem(p>e s q ) ;

PreOrdem(p>d i r ) ;}

} / PreOrdem /

v o i d PreOrdem( ArvBin p) {w h i l e (p!=NULL) {

V i s i t a ( p ) ;PreOrdem(p>e s q ) ;

p = p>d i r ;}

} / PreOrdem /

Transformacao analoga pode ser feita para a inordem.

E a pos-ordem?


Percurso em pre-ordem, usando uma pilha explcita

A figura indica a situacao inicial e final do percurso de uma arvorearbitraria (p ode ser vazia). Inicialmente, o ap ontador para a arvore deveestar no topo da pilha. Terminado o percurso, a pilha tera um elemento amenos.


Percurso em pre-ordem, usando uma pilha explcita (cont.)

X

E D

Visita X Percorre E Percorre D


Perc rso em pre ordem sando ma pilha (cont ) Perc rso em larg ra sando ma fila


34/89

Percurso em pre-ordem, usando uma pilha (cont.)

v o i d PreOrdem( ArvBin p) {P i l h a p l ;I n i c i a l i z a P i l h a (& p l ) ;Empilha(&pl , p );do {

Desempil ha(&pl ,&p );i f (p!=NULL) {

V i s i t a ( p ) ;E m p i l h a (& p l , p>d i r ) ;E m p i l h a (& p l , p>e s q ) ;

}} w h i l e ( ! P i l h a V a z i a ( p l ) ) ;

} / PreOrdem /


Percurso em largura, usando uma fila

Os nos da arvore a serem visitados sao guardados numa fila.

X

E D

nv el k

nv el k+1

Visita X


Percurso em largura, usando uma fila (cont.)

v o i d L a r g u r a ( A r v B i n p ) {F i l a f l ;

I n i c i a l i z a F i l a (& f l ) ;I n s e r e F i l a (& f l , p ) ;do {

R e m o v e F i l a (& f l , & p ) ;i f (p!=NULL) {

V i s i t a ( p ) ;I n s e r e F i l a (& f l , p>e s q ) ;I n s e r e F i l a (& f l , p>d i r ) ;

}} w h i l e ( ! F i l a V a z i a ( f l ) ) ;

} / L a r g u r a /


Comparacao dos percursos em pre-ordem e em largura

v o i d PreOrdem( ArvBin p) {P i l h a p l ;I n i c i a l i z a P i l h a (&p l ) ;Empilha(&pl , p );do {

Desempi lha(&pl ,&p );i f (p!=NULL) {

V i s i t a ( p ) ;E m p i l h a (& p l , p>d i r ) ;E m p i l h a (& p l , p>e s q ) ;

}} w h i l e ( ! P i l h a V a z i a ( p l ) ) ;

} / PreOrdem /

v o i d L a r g u r a ( A r v B i n p ) {F i l a f l ;I n i c i a l i z a F i l a (& f l ) ;I n s e r e F i l a (& f l , p ) ;do {

R e m o v e F i l a (& f l , & p ) ;i f (p!=NULL) {

V i s i t a ( p ) ;I n s e r e F i l a (& f l , p>e s q ) ;I n s e r e F i l a (& f l , p>d i r ) ;

}} w h i l e ( ! F i l a V a z i a ( f l ) ) ;

} / L a r g u r a /

Quase identicos, exceto a troca de esquerda pela direita!


Preordem com pilha otimizada Pre ordem com pilha embutida: Deutsch Schorr e Waite


35/89

Preordem com pilha otimizada

v o i d PreOrdem( ArvBin p) {P i l h a p l ;B o ol e an f i m = f a l s e ;I n i c i a l i z a P i l h a (& p l ) ;do {

i f (p!=NULL) {

V i s i t a ( p ) ;i f ( p>d i r !=NULL)

Empilha ( pl , p>d i r ) ;p = p>esq ;

} e l s e i f ( P i l h a V a z i a ( p l ) )f i m = t r u e

e l s e

Desempi lha ( pl ,&p );} w h i l e ( ! f i m ) ;

} / PreOrdem /


Pre-ordem com pilha embutida: Deutsch, Schorr e Waite

... ...

. .. . .. . .. . ..

... ...

... ...

t p

NULL

A variavel p aponta para a subarvore a ser percorrida. A variavel t aponta para o topo de uma pilha formada pelos n os que

levam ao no p (apontadores invertidos). Cada no devera conter uma marca indicando qual dos dois

apontadores esta invertido. A funcao seguinte implementa os tres percursos em profundidade.


Pre-ordem com pilha embutida (cont.)v o i d DSW( Arv Bin p) {

A rv Bi n t = NULL ; A rv Bi n q ; B oo l ea n s o be ;do {

w h i l e (p!=NULL) { / a es qu er da /P r e V i s i t a ( p ) ; p>m a rc a = M a rc a Es q ; q = p>esq ;p>e sq = t ; t = p ; p = q ;

}s o be = t r u e ;w h i l e ( sob e && ( t !=NULL) ) {

s w i t c h ( t>marca) {c a se MarcaEsq : / a d i r e i t a /

I n V i s i t a ( t ) ; s ob e = f a l s e ; t>marca = MarcaDir ;q = p ; p = t >d i r ; t>d i r = t>e s q ; t>e s q = q ;b re a k ;

c a se MarcaDir : / s o b e /P o s V i s i t a ( t ) ; q = t>d i r ; t>d i r = p ; p = t ; t = q ;b re a k ;

}

}} w h i l e ( t !=NULL) ;

}


Desafios:

melhorar a pre-ordem com pilha otimizada

inordem com pilha otimizada

pos-ordem com pilha otimizada


Reconstrucao de arvores binarias Reconstrucao de arvores binarias (cont )


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Reconstrucao de arvores binarias

Pre-ordem AB:A

B

A

B

Inordem AB:B

A

A

B

Pos-ordem AB:B

A

B

A

Pre-ordem AB e pos-ordem BA:A

B

A

B

Conclusao: uma unica ordem e a combinacao de pre- e pos-ordens naodeterminam a arvore de maneira unica.


Reconstrucao de arvores binarias (cont.)

Verifica-se facilmente que a pre-ordem (ou a pos-ordem) combinada com ainordem determinam, de maneira unica, a forma da arvore. No caso dapre-ordem e inordem, pode-se seguir o seguinte algoritmo:

a partir da pre-ordem, determine a raiz da arvore

dada a raiz, ela separa a inordem em inordens das suas subarvoresesquerda e direita

a partir da pre-ordem, sao determinadas as pre-ordens das subarvoresque tem os mesmos comprimentos das respectivas inordens

recursivamente sao reconstrudas as subarvores

O caso da pos-ordem e analogo.


Representacoes externas de arvores binariasA

B

D E

G

C

F

H

percursos canonicos: inordem e pre (ou pos)-ordem (ja visto):

DBGEAFHCABDEGCFH

percurso canonico com indicadores de subarvores (pre-ordem):

A11B11D00E10G00C10F01H00

O ndice 0 indica a ausencia e 1 indica a existencia de filho esquerdoou direito.

descricao parentetica (inordem):

(((()D())B((()G())E()))A((()F(()H()))C()))

() representa uma arvore vazia; (X) representa uma arvore de raizX e subarvores descritas pelas cadeias e .


Arvores binarias de busca

c2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Tecnicas de Programacao Arvores binarias de busca 144

Exemplo de arvore de busca: numeros Exemplo de arvore de busca: nomes


37/89

Exemplo de arvore de busca: numeros

16

8

5 15

10

27

21

25

Para qualquer no da arvore, os elementos da sua subarvore esquerda(direita) sao menores ou iguais (maiores ou iguais) do que o elemento dono.


Exemplo de arvore de busca: nomes

jul

fev

ago

abr dez

jan

set

mai

jun mar

nov

out

Para qualquer no da arvore, os elementos da sua subarvore esquerda(direita) precedem (seguem) em ordem alfabetica o elemento do no.


Insercao em arvore de busca

A insercao de um valor X cria uma nova folha em lugar de uma subarvorevazia. O ponto de insercao e determinado pelo percurso da arvore usandoa propriedade de arvores de busca.

Y

X < Y

Y

X

Y

X > Y

Y

X


Insercao recursivaB o o l e a n I n s e r e A r v B u s c a ( A r v B i n p , T x ) {

/ V e r s a o r e c u r s i v a /i f ( ( p)==NULL) {

p = m a l l o c ( s i z e o f (NoArvBin ));( p)>e s q = ( p)> d i r = N ULL ;( p)> i n f o = x ;r e t u r n t r u e ;

} e l s e {T i n f o = ( p)> i n f o ;i f ( xes q ) , x );e ls e i f ( x>i n f o )

r e t u r n I n s e r e A r v B u s c a ( & ( ( p)> di r ) , x );e l s e

r e t u r n f a l s e ;}

}

Note-se o uso de passagem de parametro p por referencia. Esta versao apresenta somente recursao caudal que p ode ser

facilmente eliminada.c2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Tecnicas de Programacao Arvores binarias de busca 148

Insercao iterativa Remocao em arvore de busca


38/89

Insercao iterativa

B o o l e a n I n s e r e A r v B u s c a ( A r v B i n p , T x ) {/ V e r s a o i t e r a t i v a /T i n f o ;w h i l e ( ( p)!=NULL) {

i n f o = ( p)> i n f o ;i f ( xe s q ) ;

e ls e i f ( x>i n f o )p = & ( ( p)> d i r ) ;e l s e

r e t u r n f a l s e ;}p = m a l l o c ( s i z e o f (NoArvBin ));( p)>e sq = ( p)> di r = NULL;( p)> i n f o = x ;r e t u r n t r u e ;

}


Remocao em arvore de buscaCaso 1: pelo menos uma das subarvores e vazia:

p

X

p e o endereco do campo ou da variavel que contem o apontador parao no com a informacao X.

O caso de ambas as subarvores vazias tambem esta coberto. O caso de subarvore esquerda vazia mas direita nao vazia e analogo. O no com a informacao X pode ser liberado.


Remocao em arvore de busca (cont.)Caso 2: as duas subarvores sao nao vazias

p

X

Y

p

X

Y

Y

Substituir a informacao X por Y o valor maximo contido nasubarvore esquerda (ou mnimo na subarvore direita).

Remover o no que originalmente continha Y (sua subarvore direita evazia aplica-se o caso 1).

Implementacao: exerccio.


Insercoes e remocoes em arvores binarias de busca

Problema: a altura da arvore pode crescer muito ja que numa arvorecom n nos:

altura maxima n altura mnima log2(n + 1)

Se n 1.000: altura maxima 1.000 altura mnima 10

Se n 1.000.000: altura maxima 1.000.000 altura mnima 20

O pior caso ocorre, por exemplo, quando a insercao e feita em ordem(crescente ou descrescente)


Balanceamento de arvores Arvores de altura balanceada (AVL)


39/89

Balanceamento de arvores

Algoritmo obvio nao garante balanceamento Balanceamento perfeito (altura mnima):

eficiencia de busca: O(log n)

eficiencia de insercao: O(n) inaceitavel Balanceamento aproximado:

arvores AVL eficiencia de busca, insercao e remocao: O(log n) arvores rubro-negras eficiencia de busca, insercao e remocao:

O(log n)


Arvores de altura balanceada (AVL)

Autores: G. M. Adelson-Velski e E. M. Landis (1962)

Uma arvore binaria de busca e do tipo AVL se ela e vazia, ou entao,

se para todos os seus nos a diferenca de alturas entre as subarvoresesquerda e direita e no maximo 1, em valor absoluto.

A diferenca entre as alturas direita e esquerda e chamada fator debalanceamento.


Exemplos de arvores AVL

0

0 0

+

+ 0 0

0

Note-se que a primeira arvore e de altura mnima enquanto que a segundanao e.


Pior caso de desbalanceamento: arvores de Fibonacci

F0NULL

F10

F2

0

F3

0

F4

0 0

0

Forma geral altura h 2:Fh

Fh1 Fh2


Arvores de Fibonacci: propriedades Insercao em arvores AVL


40/89

Arvores de Fibonacci: propriedades

Fh1 Fh2

Para uma dada altura h, a arvore contem o numero mnimo de nospossvel preservando ainda a propriedade AVL.

Qualquer outra arvore AVL com o mesmo numero de nos tem alturamenor ou igual este e o pior caso.

Numero de nos de Fh: N(h) = N(h 1) + N(h 2) + 1, h 2

Demonstra-se por inducao: N(h) = fh+2 1, onde fi e o i-esimonumero de Fibonacci.

Usando a aproximacao fi ((1 +

(5))/2)i/

(5) obtem-se:h 1, 44log2(n + 2) (no maximo).

Operacao de busca usara O(log n) operacoes.

A ser visto: insercao e remocao tambem usarao O(log n) operacoes.


Insercao em arvores AVLA explicacao a seguir supoe que a insercao e realizada por uma funcaorecursiva cujo cabecalho e:

B o o l e a n B u s c a I n s e r e ( A rv AV L p , T x , B o o l ea n a l t ) ;

onde

p: endereco da variavel que contem o apontador para a arvore x: valor a ser inserido de algum tipo T conveniente

alt: endereco da variavel na qual e devolvida a informacao que indicase a arvore aumentou ou nao de altura

se nao houver aumento de altura numa chamada recursiva, o resto daarvore nao sofre mudanca

conforme sera visto, o aumento da altura sera no maximo de um epode acontecer somente numa arvore vazia ou entao cuja raiz temfator de balanceamento igual a zero; neste caso, o fator resultantesera diferente de zero, exceto quando a arvore era vazia.

O valor devolvido pela funcao indica se a insercao foi efetivamenterealizada ou se o elemento x ja pertencia a arvore.


Insercao em arvores AVL (cont.)

Explicacao geral: caso de chamada recursiva sem aumento de altura

p

h

x alt: ? p

h

x ? a lt : f al se

Neste caso, nao havera mais modificacoes na arvore.



Explicacao geral: caso de chamada recursiva com aumento de altura

p

h

x alt: ? p

h+1

x ? al t: true

Neste caso, havera modificacao no no corrente com possvel propagacaopara as chamadas anteriores.


Insercao em arvores AVL (cont ) Insercao em arvores AVL (cont )


41/89


Caso 1: Insercao em arvore vazia:

NULL

h = 0

X0

h = 1

Neste caso a altura h aumenta. Este fato sera propagado no retorno dafuncao atraves de valor verdadeiro da variavel alt.

Nos casos seguintes, sera suposto sempre que a insercao foi realizada nasubarvore esquerda; o caso da insercao do lado direito e analogo.



Caso 2: Insercao do lado mais baixo:

+

h

+

x

h

alt: true

0

x

h

alt: false

O conteudo do retangulo representa o resultado da chamada recursiva. Ofator de balanceamento sera modificado somente se a arvore esquerdaaumentou de tamanho.

Neste caso a altura permanece inalterada. Este fato sera propagado noretorno da funcao atraves de valor falso da variavel alt. Comoconsequencia, o processo de insercao para (exceto os retornos).



Caso 3: Insercao quando as duas alturas sao iguais

0

h

0

x

h+1

alt: true

x

h+1

alt: true

Neste caso, se houve aumento de altura na chamada recursiva, a alturatotal tambem aumentara. Este fato sera propagado no retorno da funcaoatraves de valor verdadeiro da variavel alt.



Caso 4: Insercao do lado mais alto

h

x

h-1 h+1

alt: true

Neste caso, se houve aumento de altura na chamada recursiva, a arvoredeixara de ser do tipo AVL. Havera entao dois subcasos, dependendo dolado da subarvore esquerda em que houve insercao. A identificacao dosubcaso sera feita pelo valor do fator de balanceamento final da subarvoreque aumentou de altura durante a chamada recursiva.

Nos dois casos havera rearranjos convenientes mas locais da arvore.


Insercao em arvores AVL (cont.) Insercao em arvores AVL (cont.)


42/89

Insercao em arvores AVL (cont.)Caso 4a: insercao do lado esquerdo da subarvore (rotacao LL)

x

h-1 h+1

alt: true

A

B

x

h-2

h-1 h-2T1 T2

T3

0

0

B

A

x h-2

h-1

h-2

T1

T2 T3

0B

x

h

alt: false

Neste caso e realizada uma transformacao denominada rotacao simples LL(esquerda, esquerda). A altura final permanece inalterada e a variavel alt

recebe valor falso.c2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Tecnicas de Programacao Arvores binarias de busca 165

Insercao em arvores AVL (cont.)Caso 4b: insercao do lado direito da subarvore (rotacao LR)

x

h-1 h+1

alt: true

+

+0

A

B

C

x x

T1T2 T3

T4h-2

h-2h-2/h-3

AB

C0

/0 0/+

h-2/h-3

T1

T2 T3T4x x

h-2 h-2

0 C

x

h

alt: false

Neste caso, a insercao pode ter sido realizada na subarvore esquerda oudireita do lado que cresceu, ou entao no proprio no C quando h = 2. Osfatores de balanceamento finais dependem disto, mas o da raiz sera 0. Atransformacao e denominada rotacao dupla LR (esquerda, direita). Aaltura final permanece inalterada e a variavel alt recebe valor falso.


Funcao de insercao em arvores AVL

B o o l e a n B u s c a I n s e r e ( A rv AV L p , T x , B o o l ea n a l t ) {/ D e v o l v e t r u e o u f a l s e c o n f or m e h o uv e o u n a o i n s e r c a o ;

s e h ou ve i n s e r c a o , a l t i n d i c a s e h ou ve au me nt o d a a l t u r a ./

i f ( p==NULL) {p = m a l l o c ( s i z e o f (NoArvAVL ) ) ;( p)>e s q = ( p)> d i r = NULL ; ( p)> i n f o = x ;( p)> b a l = z e r o ; a l t = t r u e ;r e t u r n t r u e ;

} e l s e {T i n f o = ( p)> i n f o ;i f (x==in fo )

r e t u r n f a l s e ;e ls e i f ( xe s q ) , x , a l t ) ;i f ( ! r e s )

r e t u r n f a l s e ;


Funcao de insercao em arvores AVL (cont.)

i f ( a l t ) { / a um en to d e a l t u r a /ArvAVL p1 , p2 ;s w i t c h ( ( p)> b a l ) {

c a se m a i s : ( p)> b a l = z e r o ; a l t = f a l s e ; b re a k ;c a se z e r o : ( p)> bal = menos ; b re a k ;c a se menos :

p 1 = ( p)>esq ;i f ( p1>bal==menos) {

/ Rotac a o s i m p l e s L L /} e l s e {

/ Rotac ao dup la LR /}p1>b a l = z e r o ; a l t = f a l s e ;b re a k ;

}}r e t u r n t r u e ;

} e l s e {

/ d e sc e a d i r e i t a an al og o /}

}c2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Tecnicas de Programacao Arvores binarias de busca 168

Exemplos de insercao em arvores AVL Exemplos de insercao em arvores AVL (cont.)


43/89

e p os de se cao e a o es

Insercao de 33:

50

25 65

20 35 55

6010 30 45

70

4033

+

+

0 0

0

+

0

0

50

25 65

20 35 55

6010 30 45

70

4033

+

+

0 +

00

0

0

0

Neste caso, houve uma insercao simples e a mudanca de fatores debalanceamento afetou os nos marcados.


e p os de se cao e a o es (co t )

Insercao de 63:

50

25 65

20 35 55

6010 30 45

70

40 63

+

+

0 0

0

+

0

0

50

25 65

20 35 60

6310 30 45

70

40

55

+

0

0 0

0

0

+

0

0

Neste caso, a insercao causou uma rotacao simples do tipo RR, afetandoos nos marcados.


Exemplos de insercao em arvores AVL (cont.)

Insercao de 41:

50

25 65

20 35 55

6010 30 45

70

40

41

+

+

0 0

0

+

0

0

50

25 65

20 35 55

6010 30 41

70

40 45

+

+

0 0

0

+

00

0

0

Neste caso, a insercao causou uma rotacao dupla do tipo LR, afetando os

nos marcados.


Remocao em arvores AVL

1. Transformacao em remocao de uma folha - tres casos: o no tem grau zero: ja e uma folha o no tem grau um: pela propriedade AVL, a sua unica subarvore e

necessariamente constituda por uma folha, cujo valor e copiado para ono pai; o no a ser eliminado e a folha da subarvore

o no tem grau dois: o seu valor e substit do p elo maior valor contido nasua subarvore esquerda (ou o menor valor contido na sua subarvoredireita); o no que continha o menor (ou maior) valor copiado temnecessariamente grau zero ou um, recaindo num dos casos anteriores.

2. Remocao propriamente dita.

3. O algoritmo de remocao sera apresentado novamente como umafuncao recursiva que indica se houve diminuicao da altura da arvoreapos a remocao. Serao estudados apenas os casos de remocao dolado esquerdo; os outros sao analogos.

4. A implementacao do algoritmo e um exerccio.


Remocao em arvores AVL (cont.) Remocao em arvores AVL (cont.)


44/89

( )

Caso 1: Remocao de uma folha

X0

h = 1

NULL

h = 0

Neste caso a altura h diminui. Este fato sera propagado no retorno dafuncao atraves de valor verdadeiro da variavel alt.


( )

Caso 2: Remocao quando as duas alturas sao iguais

0

x

h

0

h

alt: true

+

h

alt: false

O conteudo do retangulo representa o resultado da chamada recursiva. Ofator de balanceamento sera modificado somente se a arvore esquerdadiminuiu de tamanho.

Neste caso, mesmo que haja diminuicao de altura na chamada recursiva, aaltura total permanece a mesma. Este fato sera propagado no retorno dafuncao atraves de valor falso da variavel alt.


Remocao em arvores AVL (cont.)

Caso 3: Remocao do lado mais alto

x

h

alt: true

h-1

0

alt: true

h-1

Neste caso, se a chamada recursiva indica diminuicao da altura dasubarvore, a altura final da arvore tambem diminui e o processo continua.



Caso 4: Remocao do lado mais baixo

+

x

h

+

alt: true

h h-2

Caso a subarvore esquerda tenha sua altura diminuda, a arvore deixa deser do tipo AVL. Ha tres subcasos, dependendo do fator de balanceamentodo filho direito da raiz.Note-se que, neste caso, tem-se h 3.


Remocao em arvores AVL (cont.) Remocao em arvores AVL (cont.)


45/89

( )

Caso 4a: Fator de balanceamento 0 (rotacao RR)+

alt: true

h h-2

+

0

A

B

h-2

h-3

h-2

T1

T2 T3

+

B

A

h-2

h-3

h-2

T1T2

T3

B

h

alt: false

Neste caso e realizada uma transformacao denominada rotacao simples RR(direita, direita). A altura final permanece inalterada e a variavel altrecebe valor falso. O processo de ajuste da arvore para.


( )

Caso 4b: Fator de balanceamento +1 (rotacao RR)

+

alt: true

h h-2

+

+

A

B

h-2

h-3

h-3

T1

T2T3

0

0

B

A

h-2

h-3 h-3T1 T2

T3

h-1

0B

h-1

alt: true

Neste caso tambem e realizada a transformacao denominadarotacao simples RR (direita, direita). A altura final diminui e a vari avel altrecebe o valor verdadeiro. O processo de ajuste da arvore continua.



Caso 4c: Fator de balanceamento -1 (rotacao RL)

+

alt: true

h h-2

+

+0

A

B

CT1

T2 T3

T4

h-3

h-3h-3/h-4

C

A B

0

/0 0/+

h-3/h-4

T1

T2 T3T4

h-3 h-3

0C

h-1

alt: true

Neste caso tambem e realizada uma transformacao denominada

rotacao dupla RL (direita, esquerda). A altura final diminui e a variavelalt recebe o valor verdadeiro. O processo de ajuste da arvore continua.


Exemplos de remocao em arvores AVL

Remocao de 40:

50

25 65

20 35 55

6010 30 45

70

40

+

+

0 0

0

+

0

0

50

25 65

20 35 55

6010 30 45

70

0

0

+

0 0

0

00

0

Neste caso, houve uma remocao s imples e a mudanca de fatores debalanceamento afetou os nos marcados.


Exemplos de remocao em arvores AVL (cont.)


46/89

p ( )

Remocao de 60:

50

25 65

20 35 55

6010 30 45

70

40

+

+

0 0

0

+

0

0

35

25 50

20 30 45 65

10 40 55 70

0

0 0 0

+

0 0

0

Neste caso, a remocao causou, apos a volta da chamada com a raizoriginal, uma rotacao dupla do tip o LR, afetando os nos marcados.


Arvores do tipo B

(B trees)

c2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Tecnicas de Programacao Arvores do tipo B 182

Discos magneticos

Esboco esquematico do corte vertical de uma unidade com quatro discos(oito superfcies):

0

1

2

3

4

5

6

7

cabecas leitoras/gravadoras


Discos magneticos (cont.)Esboco esquematico de uma superfcie de um disco:

.

..

uma trilha um cilindro(trilhas iguais)

setores


Discos magneticos (cont.) Arvores B


47/89

( )Dados para um disco fictcio de 40 gigabytes:

10 cabecas leitoras/gravadoras

20.000 trilhas (2.000 por superfcie)

400 setores por trilha

512 bytes por setor (unidade mnima de enderecamento)

tempo medio de busca da trilha enderecada (seek): S(10 milissegundos)

tempo medio de latencia esp era pelo setor enderecado: L(10 milissegundos)

tempo de transferencia de dados: T (60 megabytes/segundo)

Estes tempos sao varias ordens de grandeza maiores do que tempo deacesso a memoria RAM (tipicamente 100.000 vezes).

Numero de acessos: altura da arvore log2 n nao e mais aceitavel

Solucao: logk n, com k >> 2


Autores: Rudolf Bayer e Ed McCreight (1971) T e uma arvore B de ordem b 2 se:

1. todas as folhas de T tem o mesmo nvel;2. cada no interno tem um numero variavel r de registros de informacao e

r+1 de filhos, onde

b/2 r b se no = raiz

1 r b se no = raiz

3. cada folha tem um numero variavel r de registros obedecendo a mesmarestricao do item anterior;

4. os campos de informacao contidos nos registros obedecem apropriedade de arvores de busca.

Alguns autores definem de maneira diferente o conceito de ordem. Pode-se provar que a altura maxima h de uma arvore B de ordem b

que contem n registros e dada por:

logb/2(n + 1)/2.


Exemplo de arvore B de ordem 3

Neste caso, cada no tem no mnimo um e no maximo tres registros deinformacao.

3 5 20 35 48 51 80 85 150 205

17 50 83 203

125

c2010

estrutura de dados e técnicas de programação

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