Universidad Fermín ToroDepartamento De Formación General

Escuela de IngenieríaCabudare

Dayanny AguilarProf: Adriana Barreto

SAIA

EJERCICIOS PROPUESTOS

1- Dado el siguiente grafo, encontrar:

a)Matriz de Adyacenciab) Matriz de incidencia c) Es conexo?. Justifique su respuesta d) Es simple?. Justifique su respuesta e) Es regular?. Justifique su respuesta f) Es completo? Justifique su respuesta g) Una cadena simple no elemental de grado 6 h) Un ciclo no simple de grado 5 i) Árbol generador aplicando el algoritmo constructor j) Subgrafo parcial k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury l) Demostrar si es hamiltoniano

Solución

a) Matriz de Adyacencia

Ma (G)=

b) Matriz de Incidencia

Mi (G) =

V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8V1 0 1 1 1 0 6 1 1

V2 1 0 1 0 1 1 0 1

V3 1 1 0 1 1 1 1 0

V4 1 0 1 0 1 0 1 0

V5 0 1 1 1 0 1 1 1

V6 0 1 1 0 1 0 0 1

V7 1 0 1 1 1 0 0 1

V8 1 1 0 0 1 1 1 0

V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8A1 1 1 0 0 0 0 0 0A2 1 0 1 0 0 0 0 0A3 0 1 1 0 0 0 0 0A4 1 0 0 1 0 0 0 0A5 1 0 0 0 1 0 0 0A6 1 0 0 0 0 0 1 0A7 0 0 1 0 0 0 0 1A8 0 1 0 0 0 1 0 0A9 0 1 0 0 0 0 1 0

A10 0 1 0 0 0 0 0 1A11 0 0 1 1 0 0 0 0A12 0 0 1 0 1 0 0 0A13 0 0 1 0 0 1 0 0A14 0 0 0 1 0 1 0 0A15 0 0 0 1 1 0 0 0A16 0 0 0 0 0 1 0 1A17 0 0 0 0 1 1 0 0A18 0 0 0 0 1 0 1 0A19 0 0 0 0 0 1 1 0A20 0 0 0 0 0 0 1 1

c) Es conexo?

Si es Conexo, ya que según la definición, nos dice que para cualquier par de vértices a y b en (G) existe al menos una trayectoria de (a) a (b) donde tienen un camino que los une.

d) Es Simple?

Si es simple, ya que no posee lazos en ninguno de sus vértices.

e) Es Regular?

Para que sea regular deben poseer los mismos grados y en este caso, No es regular, ya que no todos sus vértices tienen los mismos grados, como:V1= 5, V2= 5, V3= 6, V4= 4, V5= 6, V6= 4, V7= 5, V8= 5

f) Es Completo?

No es completo, ya que no cumple con la definición de una arista pues, no existen vértices, digamos (V1 y V6) no posee ninguna arista que los conecte.

g) Una cadena simple no elemental de grado 6

C=[v1 a1 v2 a10 v6 a16 v5 a14 v4 a11 v3 a3 v2] Nos indica que no es elemental, ya que repite el vértice [v2]

h) Un ciclo no simple de grado 5

C= [v5 a19 v8 a18 v7 a17 v5 a19 v7 a9 v2] Nos indica que no es simple, porque repite la arista [a19].

i) Árbol generador aplicando el algoritmo constructor

Elegimos S1=V1 Haciendo H1=[V1] Elegimos la arista A4 que conecta a V1 con V4 haciendo H2=[v1,v4]

V1 A4

V4

Elegimos la arista a15 que conecta a V4 con V7 haciendo H3=[v1 v4 v7]

V1 A4

V4

A15 V7

Eligimos la arista a17 que coneta a V7 con V5 haciendo H4[v1 v4 v5]

V1 A4 V5

V4 A17

A15 V7

Elegiremos la arista A19 que conecta a V5 con V8 haciendo H5=[v1 v4 v8]

V1 A4 V5 A19 V4 A17

A15 V8 V7

Elegiremos la arista A20 que conecta V8 con V6 haciendo H6=[V1 v4 v7 v5 v8 v6]

V1 A4 V5 V6 A19 V4 A17 A20

A15 V8 V7

Elegiremos la arista A10 que conecta a V6 con V2 haciendo H7=[v1 v4 v7 v5 v8 v6 v2]

V2

V1 A10 A4 V5 V6 A19

V4 A17 A20

A15 V8 V7

Elegiremos la arista A3 que conecta a v2 con v3 haciendo H8=[v1 v4 v7 v5 v8 v6 v2 v3]

V3 A3 V2

V1 A10 A4 V5 V6 A19 V4 A17 A20

A15 V8 V7

Árbol Generador

j) Subgrafo parcial

V1 v2 V3 A2 a3 v4 v6 v8 a15 v5 a17 a20 v7

k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury

Seleccionamos a1

Seleccionamos a3

Seleccionamos a2

Seleccionamos a4

Seleccionamos a11

Seleccionamos a12

Seleccionamos a5

Seleccionamos a6

Seleccionamos a9

Seleccionamos a10

Seleccionamos a7

Seleccionamos a13

Seleccionamos a14

Seleccionamos a15

Seleccionamos a18

Seleccionamos a20

Seleccionamos a16

El grafo no es auleriano, ya que los vértices no tienen grado par, lo cual no es posible construir un ciclo euleriano.

l) Demostrar si es hamiltoniano

V1 v2 A2 A3 A14 v3 a10

V4 v5 v6

A15 a17 a19 a20 V7 v8

Es Hamiltoniano ya que el número de vértices de G en 8, Gr (v1) ≥ 8/2=4 (i=1,2,8)

2- Dado el siguiente dígrafo a) Encontrar matriz de conexión b) Es simple? Justifique su respuesta c) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5 d) Encontrar un ciclo simple e) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidadf) Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el algoritmo de Dijkstra

a) Encontrar matriz de conexión

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14

V1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

V2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

V3 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

V4 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0

V5 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1

V6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0

b) Es simple? Justifique su respuesta

El dígrafo si es simple, porque no tiene ningún lazo y tampoco existen arcos paralelos que puedan partir de un mismo vértice a otro.

c) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5

v1 v4a6 a11 a12 a13 v5 v6 a14

C= [v1 a6 v5 a11 v4 a12 v6 a14 v5 a13 v6]

d) Encontrar un ciclo simple

V4 A11 a12

V5 A14

C=[ v5 a11 v4 a12 v6 a14 v5 ]

e) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad

V1 V2 V3 V4 V5 V6V1 0 1 1 0 1 0

V2 0 0 1 1 0 1

V3 0 0 0 1 1 0

V4 1 0 0 0 0 1

V5 0 1 0 1 0 1

V6 0 0 0 0 1 0

Ma(D)=

M ² (D)=

M ³ (D)=

V1 V2 V3 V4 V5 V6V1 0 0 1 1 1 1

V2 1 0 0 1 1 1

V3 1 1 0 1 0 1

V4 0 1 1 0 1 0

V5 1 0 1 1 1 1

V6 0 1 0 1 0 1

V1 V2 V3 V4 V5 V6V1 1 1 1 1 1 1

V2 1 1 1 1 1 1

V3 1 1 1 0 1 1

V4 0 1 1 1 1 1

V5 0 1 1 1 1 1

V6 1 0 1 1 0 1

V1 V2 V3 V4 V5 V6V1 1 1 1 1 1 1

V2 1 0 1 1 1 1

V3 0 1 1 1 1 1

V4 1 1 0 1 1 1

V5 1 1 1 1 1 1

V6 1 1 1 1 0 1

M (D)=⁴

M (D)=⁵

Acc (D)= Bin

Componentes iguales a cero (0) permanecerá como cero (0) Componentes diferentes de cero (0) se convertirá en uno (1)

V1 V2 V3 V4 V5 V6V1 1 1 1 1 1 1

V2 1 1 1 1 1 1

V3 1 1 1 1 1 1

V4 1 1 1 1 1 1

V5 1 1 1 1 1 1

V6 1 1 1 1 0 1

V1 V2 V3 V4 V5 V6V1 3 4 5 4 5 4

V2 4 2 5 5 5 5

V3 3 4 3 4 4 4

V4 4 4 3 5 4 4

V5 3 4 4 5 4 5

V6 3 3 3 4 1 4

V1 V2 V3 V4 V5 V6V1 1 1 1 1 1 1

V2 1 1 1 1 1 1

V3 1 1 1 1 1 1

V4 1 1 1 1 1 1

V5 1 1 1 1 1 1

V6 1 1 1 1 1 1

Acc (D)= Bin

Dígrafo Fuertemente Conexo

f) Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el algoritmo de Dijkstra

[2,2](1) v1 a1 v2 [0],(0)

A6

A5 [3,2](1) a2 a3 a4 A9 V3 v4 A7 a12 A10 a11 V6 [3,2](1)

[3,2](1) V5 a13 a14

Dv2 a v1: 2Dv2 a v3: 3Dv2 a v5: 3Dv2 a v4: 4Dv2 a v6: 3

Ponderación de las aristas Aristas a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14

Ponder. 2 3 4 3 2 3 4 1 4 3 2 2 4 3