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Estimativas do Valor em Risco e das Perdas Esperadas Além do VaR: Uma Aplicação de Metodologias Incondicionais e Condicionais à Posições Lineares e não Lineares no Ativo

Petrobrás PN. Autoria: Patrícia Barros Ramos, Josete Florencio dos Santos, Eduardo Facó Lemgruber Resumo

O presente trabalho busca comparar as estimativas de valor em risco e das perdas esperadas além do VaR (BVaR) para investidores com posições lineares e não lineares no ativo Petrobrás PN. São examinadas seis metodologias para o cálculo do VaR e do BVaR, sendo três incondicionais: o método histórico, a distribuição generalizada de valores extremos (GEV) e a aproximação normal; e três condicionais: a EWMA normal, que representa a abordagem padrão sugerida pelo RiskMetrics, o Garch (1,1) com distribuição normal nos resíduos e, finalmente, a aplicação da simulação histórica com bootstrap nos resíduos do EWMA. Dentre as metodologias incondicionais, a que apresentou as menores discrepâncias em relação ao método histórico foi a que utilizou a distribuição generalizada de valores extremos. Esta metodologia conseguiu captar adequadamente os incrementos de alavancagem produzidos com a introdução de opções na carteira inicialmente linear, obtendo estimativas de perdas além do VaR bastante próximas às calculadas com o método histórico. A análise das metodologias condicionais revelou que os métodos EWMA normal e Garch (1,1) subavaliaram em alguns casos tanto o valor em risco quanto as perdas esperadas além do VaR. 1. Introdução

Em virtude dos fracassos experimentados pela administração de riscos em diversas instituições financeiras em um passado recente, as instituições e a comunidade de investidores de um modo geral vêm atribuindo maior importância à mensuração acurada do risco de mercado. Com a disponibilização da metodologia RiskMetricsTM (1995) pelo banco de investimentos J.P. Morgan há alguns anos, ocorreu a popularização do cálculo desse tipo de risco que, desde então, vem sendo estimado através do valor em risco (VaR).

Atualmente, a abordagem do RiskMetricsTM de cálculo do VaR é considerada um padrão para a estimação do risco de mercado. O VaR permite que o risco possa ser resumido em um único valor, que representa a perda máxima esperada com um certo nível de confiança e para um determinado horizonte de previsão. Entretanto, como enfatizado por Longin (2001), uma questão natural que surge é quanto um investidor pode perder caso o valor em risco seja ultrapassado. O presente trabalho busca contribuir nessa direção, analisando diversas metodologias para a estimação do valor em risco e da perda esperada além do VaR (BVaR1).

São examinadas seis metodologias para o cálculo do VaR e do BVaR, aplicando-as à posições compradas e vendidas na ação Petrobrás PN, e à uma carteira não linear com a mesma ação-objeto. São utilizadas três metodologias incondicionais: o método histórico, a distribuição generalizada de valores extremos (GEV) e a aproximação normal, e três abordagens condicionais: a metodologia EWMA normal, o Garch (1,1) normal e a aplicação da simulação histórica com bootstrap nos resíduos do EWMA.

O presente artigo está organizado conforme o seguinte: a seção 2 discute as metodologias que foram empregadas para o cálculo do VaR e do BVaR. A seção 3 apresentada as características da amostra utilizada no estudo. Na seção 4 discutem-se os resultados obtidos para as posições lineares e para a carteira não linear. A seção 5 conclui o estudo.

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2. Metodologia

A aplicação do conceito de perdas além do valor em risco (BVaR) foi analisada recentemente no artigo publicado por Longin (2001) em duas situações: para posições lineares compradas e vendidas no ativo-objeto e para uma carteira não linear, composta por uma posição comprada no ativo-objeto S&P 500, venda de puts fora do dinheiro sobre o índice americano e compra de calls sobre o mesmo índice, também fora do dinheiro. No presente trabalho, as mesmas metodologias de cálculo do valor em risco e das perdas além do VaR são empregadas, utilizando-se como ativo-objeto a ação Petrobrás PN, negociada na Bolsa de Valores de São Paulo (BOVESPA). Além disso, foi empregada mais uma metodologia de cálculo do valor em risco condicional, a simulação histórica por bootstrap.

Assim, foram considerados dois grupos de metodologias, incondicionais e condicionais. Todas as estimativas de valor em risco da posição linear foram calculadas analiticamente na data de 28/09/2001 para holding periods de 1 e de 10 dias, enquanto que os respectivos BVaRs foram calculados através de simulação de Monte Carlo, excetuando-se o método histórico. Já para a posição não linear, os valores em risco e as perdas além do VaR foram calculadas por simulação também para a data de 28/09/2001, 10 dias úteis antes da data de exercício das opções, utilizando-se um holding period também de 10 dias. 2.1. Metodologias Incondicionais 2.1.1. Var Histórico

A abordagem incondicional mais comumente utilizada para o cálculo do valor em

risco é a histórica (Jorion, 1997). Para um nível de probabilidade p, o valor do VaR de uma posição corresponde ao quantil (1 - p)% da distribuição histórica, para todo o período de análise, que pode ser obtido através da seguinte expressão:

)1/,(),( pTtRInfpFVaR t

hisR −≥−= ∗ (1)

onde : hisRF - distribuição histórica acumulada; e

TttR ,1)( =∗ - série de retornos observada em ordem ascendente. De acordo com o método histórico, o BVaR para a posição linear corresponde

simplesmente à média dos retornos que excederam o VaR (Longin, 2001). Na abordagem histórica, como o valor em risco é estimado utilizando-se toda a distribuição empírica de retornos, ele não reflete as condições de mercado na data de análise, enquanto que pelos processos condicionais a atual situação do mercado é determinante nas estimativas do VaR e do BVaR, sendo especialmente relevante o nível da volatilidade.

Para o cálculo do VaR e do BVaR para a posição não linear assumiu-se a repetição aleatória de toda a distribuição histórica dos retornos de 10 dias do ativo-objeto, simulando-se os valores do ativo para um período a frente. Vale ressaltar que um período a frente, no caso em questão 10 dias úteis, coincide com a data de exercício das opções. O valor da carteira não linear VT na data de exercício das opções pode ser obtido através da seguinte expressão:

)0,()0,( callT

callT

putputTT KSMaxNSKMaxNSV −+−−= (2)

Onde: ST - preço do ativo-objeto na data de exercício; Nput - número de opções de venda; Kput - preço de exercício das puts;

3

Ncall – número de opções de compra, e Kcall – preço de exercício das calls. 2.1.2. VaR pela Distribuição dos Valores Extremos (GEV)

A distribuição de valores extremos busca modelar apenas as caudas das distribuições de retornos, onde ocorrem as observações extremas de máximos ou mínimos, concentrando a atenção onde de fato ocorrem as maiores perdas: a cauda dos mínimos para a posição comprada ou a cauda dos máximos para a posição vendida.

Na obtenção da série de mínimos ou de máximos, a série original de observações de retornos deve ser dividida em blocos de tamanho n, onde são coletadas as estatísticas de máximos ou mínimos, o que é difícil. Por outro lado, o Teorema dos Valores Extremos garante a convergência para uma GEV quando o tamanho do bloco tende para o infinito(Embrechts et al., 1997). Existe, portanto, um trade-off na escolha do tamanho do bloco2. No presente trabalho, optou-se por realizar uma coleta de máximos e mínimos mensais nas séries de retornos diários. Já para a série de retornos de 10 dias, cujo tamanho é de apenas 178 observações, foram coletados máximos e mínimos a cada 6 observações de retornos, sendo um máximo e um mínimo coletado a cada trimestre, aproximadamente. Após o processo de coleta, para cada uma das séries de máximos ou de mínimos foi ajustada uma distribuição generalizada de valores, cujos parâmetros foram estimados por L-momentos e estão apresentados no quadro 1 a seguir. Vale destacar que a premissa básica para a utilização da GEV é a de que os retornos sejam iid. Tabela 1: Parâmetros de escala, forma e locação para as distribuições generalizadas de valores extremos estimadas para as séries de máximos e mínimos dos retornos diários e de 10 dias da ação Petrobrás PN. Os p-valores apresentados para os testes de Sherman indicam que não se pode rejeitar a hipótese nula de um bom ajuste, com 95% de confiança.

Freqüência Tipo de Parâmetro Parâmetro Parâmetro Teste de dos Retornos Extremo de Escala de Forma de Locação Sherman

Retornos Máximos

0,021 0,229 0,045 0,955

Retornos Diários

Mínimos 0,019 0,282 0,037 0,498

Retornos Máximos

0,051 0,216 0,102 0,680

Retornos 10 Dias

Mínimos 0,054 0,310 0,089 0,183

A partir de uma distribuição GEV, os valor em risco incondicional pode ser estimado

através da seguinte expressão:

( )[ ]nZZ pFpFVaR

nn−−= − 1),( 1

(4) Onde: FZn representa a distribuição acumulada de valores extremos, ajustada sobre um

período que inclui n retornos, e p é a probabilidade desejada. O BVaR foi calculado novamente através de simulação, como a média dos retornos

que ultrapassaram o valor em risco, conforme Longin (2001). Para a carteira não linear, assumiu-se como hipótese simplificadora, uma repetição da

distribuição empírica dos retornos de 10 dias para o período t+1. Foram calculados então os possíveis valores para a carteira 10 dias a frente e, então coletados os mínimos a cada 6 observações. Uma distribuição generalizada de valores extremos foi ajustada à série de

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mínimos e calculado o valor em risco com a confiança desejada. O BVaR foi então estimado através de simulação, na qual os quantis da GEV ajustada foram gerados aleatóriamente e calculados os valores mínimos para a carteira não linear que, em caso de ultrapassarem o VaR, eram guardados para posterior cálculo de sua média. 2.1.3 VaR Gaussiano ou Método Normal

A distribuição Gaussiana é caracterizada por apenas dois parâmetros: a média e a variância (Jorion, 1997). Se uma distribuição de retornos puder ser considerada normal com média igual a zero, o valor em risco incondicional em termos percentuais pode ser facilmente obtido através de :

tCSVaR ∆= **σ (5)

Onde: CS – coeficiente de segurança, calculado com base no quantil desejado da distribuição normal; σ – volatilidade de todo o período analisado, calculada através do desvio padrão da série histórica; ∆t – holding period.

De posse do valor destes parâmetros estimados com os dados históricos, na data de 28/09/2001 o VaR incondicional foi calculado analiticamente através da equação 5. Estimado o VaR, a perda esperdada além do VaR (BVaR) foi obtida por simulação, em que os valores do ativo foram gerados para o período seguinte através da seguinte expressão:

S S et tz

+ =1 * σ (6) Onde z é um quantil da distribuição normal gerado aleatoriamente.

Para a carteira não linear, através dos valores do ativo-objeto simulados para t+1 com base na distribuição normal com mesma média e desvio padrão da série de retornos de 10 dias, foram calculados os valores da carteira um período a frente através da equação 2. Estimado o VaR através do percentil desejado da distribuição da variação do valor da carteira, o BVaR foi novamente calculado como a média das variações que excederam o VaR. 2.2. Metodologias Condicionais 2.2.1 Método do Alisamento Exponencial - EWMA Normal

A metodologia EWMA sugerida pelo RiskMetricsTM(1995) para cálculo do VaR de ativos lineares assume que as modificações no preço da ação (S) seguem um movimento geométrico Browniano e, por esta razão, S possui uma distribuição lognormal3. Assim, considera-se que os retornos da ação são normalmente distribuídos em torno de um valor esperado, geralmente considerado igual a zero. Como a distribuição de probabilidade dos retornos é considerada normal, calcula-se a perda máxima esperada com base no quantil desejado desta distribuição, para um certo período de tempo e com um dado nível de confiança.

O método do alisamento exponencial representa uma tentativa de captar o comportamento heterocedástico da série de retornos de um ativo. Segundo Jorion RiskMetricsTM(1995), o método consiste de uma média móvel exponencial das observações históricas, na qual os pesos dados às observações crescem exponencialmente da observação mais antiga até a mais recente. A seguinte expressão apresenta a função de projeção para a variância diária de uma ação4:

$ ( ), , , , ,σ λσ λA t t A t t A tr+ −= + −12

12 21 (7)

5

onde: tAr , – retorno da ação A na data t;

$ , ,σ A t t+12 – variância estimada para a data t + 1 com informações disponíveis em t;

σ A t t, , −12 – variância estimada para este ativo na data imediatamente anterior;

λ – denominado constante de alisamento ou decaimento com valor sempre compreendido no intervalo [0,1].

Dessa forma, o VaR condicional pelo método EWMA normal pode ser calculado analiticamente através da equação 5, onde agora a volatilidade a ser usada na expressão é a estimada para um período a frente através do alisamento exponencial. Calculado o VaR, os valores possíveis do ativo para um período a frente foram gerados com a utilização da expressão 6, onde agora a volatilidade a ser utilizada é a condicional estimada pelo EWMA. Uma distribuição com a variação do valor da posição linear foi então obtida, e então o BVaR pôde ser calculado como a média das variações que excederam o VaR (Longin, 2001).

Para a carteira não linear o procedimento adotado foi semelhante ao descrito na seção 2.1.1 do presente estudo, apenas substituindo o desvio padrão histórico pela volatilidade condicional estimada pelo EWMA. 2.2.2 Método GARCH

O modelo de heterocedasticidade condicional autoregressiva generalizado – GARCH – pode ser descrito como: εt = σt εt’, εt’~iid

∑∑=

−=

− ++=p

jjtj

q

iitit

1

2

1

20

2 σβεαασ (8)

Onde: σt – é volatilidade estimada para a data t com base nas informações disponíveis até t-1; εt-i – é o retorno em t-i; σt-j – é a volatilidade estimada para t-j, e, αi > 0, βj > 0 para i = 0,1,...,q; j = 1,...,p (onde p e q representam a ordem do modelo e descrevem o número de termos passados da volatilidade e retorno, respectivamente, que compõe cada somatório).

Denota-se por GARCH (p,q) o modelo com p termos autoregressivos e q termos dependentes dos resíduos passados (Jorion, 1997). A representação mais comum para séries financeiras é o GARCH(1,1) que será utilizado no cálculo do VaR, com a seguinte representação para a variância:

212

2110

2−− ++= ttt σαεαασ (9)

De forma análoga a descrita na seção anterior, o VaR e o BVaR podem ser estimados,

utilizando-se a volatilidade obtida a partir da equação 9. 2.2.3. Simulação Histórica por Bootstrap

A terceira metodologia a ser utilizada para o cálculo do VaR é a simulação histórica por bootstrap, introduzida para que pudéssemos comparar os seus resultados com os das metodologias condicionais anteriores, que baseiam-se na normalidade dos resíduos (Jorion,1997). A diferença dos outros métodos está no cálculo do coeficiente de segurança utilizado no cômputo do VaR. Enquanto o EWMA e o Garch (1,1) utilizam um quantil da normal padrão, assumindo dessa forma que os resíduos padronizados do modelo seguem tal distribuição, a simulação histórica por bootstrap utiliza a distribuição empírica dos resíduos

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de um modelo, não assumindo normalidade ou qualquer outra distribuição estatística para os mesmos. Neste trabalho a simulação foi realizada utilizando-se os resíduos do modelo EWMA5.

Construída a distribuição dos resíduos padronizados por simulação para o dia seguinte, calcula-se o percentil desejado desta distribuição, que é utilizado como coeficiente de segurança. O VaR para um dia em termos percentuais, portanto, é então calculado multiplicando-se a estimativa da volatilidade da carteira para aquela data pelo coeficiente de segurança. Estimado o valor em risco, selecionam-se as perdas simuladas que foram superiores ao VaR, calculando-se a média desses valores e obtendo-se o BVaR. 3. Amostra

Com o objetivo de comparar os VaRs e os BVaRs fornecidos pelas metodologias empregadas, foi utilizada a série histórica de preços de fechamento da ação Petrobrás PN, para o período de 04/07/1994 a 28/09/2001, correspondendo a 1789 observações. A partir da série de preços foram obtidas as séries de retornos diários e de 10 dias. A série de retornos diários utilizada possui um total de 1788 observações, enquanto que a série de retornos de 10 dias contém 178 observações.

Os preços de mercado e de exercício das opções PETRJ54 e PETRV99 a 10 dias da data de vencimento foram conseguidos junto à Bolsa de Valores de São Paulo e as cotações da ação foram obtidas do software Economática. 4. Resultados 4.1. Resultados para a Série de Retornos Diários

Para investidores em posição comprada ou vendida em R$100.00 da ação Petrobrás PN na data de 28 de setembro de 2001, foram calculados os valores em risco de acordo com cada uma das metodologias apresentadas, para holding period de 1 dia e níveis de confiança de 90%, 95% e 99%. Os VaRs obtidos serão comparados dentro de cada abordagens incondicionais ou condicionais. Da mesma forma que no estudo de Longin (2001), os resultados das estimativas de risco obtidas variaram bastante em função da metodologia utilizada, especialmente no nível de confiança mais elevado de 99%. Os resultados obtidos para as posições comprada e vendida encontram-se nas tabelas a seguir.

Considerando-se os resultados obtidos para a posição comprada apresentados na tabela 2, para o nível de confiança de 95% o método histórico obtém um VaR de R$4.756, enquanto que pela aproximação normal é de R$5.465. Para um nível de confiança de 99%, estas duas estimativas são, respectivamente, R$9.062 e R$7.773, o que evidencia uma diferença ainda maior entre os métodos e na direção oposta. De acordo com Duffie & Pan (1997) e Longin (2001) as diferenças entre estas estimativas são explicadas em função do tipo de modelagem aplicada às caudas da distribuição de retornos. Como a maior parte das distribuições de retornos observadas no mercado apresenta o fenômeno fat tails, a probabilidade da obtenção de valores extremos é maior do que a prevista pela distribuição normal e, portanto, a medida de VaR de acordo com a aproximação normal tenderá a subavaliar o risco nos percentis mais extremos.

Tabela 2: Valores em risco e perdas esperadas além do VaR (BVaR) de acordo com três metodologias incondicionais e três métodos condicionais, para a posição comprada em R$100,00 da ação Petrobrás PN na data de 28 de setembro de 2001. Níveis de confiança de 90%, 95% e 99%. Holding Period de 1 dia.

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P = 0.90 P = 0.95 P=0.99

VaR BVaR

VaR BVaR

VaR BVaR

Método Histórico 3,514 5,851 66,498 4,756 7,582 59,406 9,062 13,067 44,192

Valores Extremos 3,551 5,987 68,615 5,033 7,977 58,480 9,743 13,440 37,942

Normal 4,234 5,842 37,969 5,465 6,891 26,105 7,773 8,918 14,735

EWMA 3,902 5,373 37,723 5,038 6,341 25,877 7,169 8,235 14,868

GARCH 3,963 5,481 38,287 5,117 6,426 25,585 7,281 8,336 14,484

Simulação Histórica 3,747 5,876 56,815 5,165 7,452 44,287 8,994 11,069 23,069

Tabela 3: Valores em risco e perdas esperadas além do VaR (BVaR) de acordo com três metodologias incondicionais e três métodos condicionais, para a posição vendida em R$100,00 da ação Petrobrás PN na data de 28 de setembro de 2001. Níveis de confiança de 90%, 95% e 99%. Holding Period de 1 dia.

P = 0.90 P = 0.95 P=0.99

VaR BVaR

VaR BVaR

VaR BVaR

Método Histórico 3,777 6,202 64,196 5,151 7,974 54,810 10,010 13,265 32,519

Valores Extremos 3,765 6,380 69,478 5,276 8,425 59,667 9,777 14,973 53,151

Normal 4,446 6,052 36,105 5,677 7,078 24,674 7,985 9,149 14,584

EWMA 4,114 5,616 36,511 5,250 6,552 24,800 7,381 8,453 14,519

GARCH 4,176 5,679 35,997 5,329 6,665 25,069 7,493 8,518 13,678

Simulação Histórica 4,125 6,107 48,048 5,591 7,498 34,107 8,593 10,214 18,860

Foram realizados procedimentos de Backtest para as metodologias incondicionais,

cujos resultados encontram-se na tabela 4 a seguir. Em função da leptocurtose na distribuição dos retornos diários da Petrobrás, para o percentil de 90% a metodologia normal superavaliou a exposição a risco, obtendo percentuais de falhas de 7.05% e de 7.10%, respectivamente para as posições comprada e vendida, quando o percentual esperado de falhas era de 10%. Os testes de razão de verossimilhanças de Kupiec indicaram que, com 99% de confiança, rejeita-se a hipótese nula de que os percentuais de falhas obtidos são iguais a proporção desejada de 10%. De modo contrário, a metodologia normal subavaliou significativamente o risco para a posição vendida no nível de confiança de 99%.

TABELA 4: Percentual de erros observados através do procedimento de Backtest realizado para os retornos diários da ação Petrobrás PN com a utilização de três metodologias incondicionais de cálculo do VaR: método histórico, distribuição dos valores extremos e aproximação normal. O número total de retornos diários incluídos na amostra é de 1788 e correspondem ao período de 05/07/1994 a 28/09/2001. Os fatores de segurança utilizados correspondem aos valores de 90%, 95% e 99%. Valores em vermelho rejeitados pelo teste de Kupiec com 99% de confiança.

Backtest das Metodologias Incondicionais para a Série de Retornos Diários

Posição Comprada Posição Vendida

Metodologia 90% 95% 99,0% 90% 95% 99,0%

Histórica 10,01% 5,03% 1,01% 10,01% 5,03% 1,01%

Valores Extremos 9,68% 4,47% 0,78% 10,12% 4,75% 1,17%

VaRVaRBVaR −

VaRVaRBVaR −

VaRVaRBVaR −

VaRVaRBVaR −

VaRVaRBVaR −

VaRVaRBVaR −

8

Gaussiana Incondicional 7,05% 3,80% 1,40% 7,10% 3,97% 1,85%

Quanto às estimativas obtidas para as perdas esperadas em caso do VaR ser

ultrapassado (BVaR), também foram observadas diferenças entre os métodos utilizados. Para a posição comprada e um nível de confiança de 95%, as estimativas do BVaR de acordo com os métodos histórico e normal aproximado são de R$7.582 e R$6.891, respectivamente. Para o nível de confiança de 99%, as diferenças nas estimativas do BVaR são ainda maiores, sendo de R$13.067 pelo método histórico e de R$8.918 pela aproximação normal. Como observado por LONGIN (2001), baseada na distribuição histórica dos retornos, a diferença (BVaR – VaR) aumenta em termos absolutos a medida em que o nível de confiança é aumentado, variando de 2.337 ao nível de 95% para 4.005 ao nível de 99%. De modo contrário, baseada na aproximação normal, a diferença (BVaR – VaR) diminui em termos absolutos de 1.608 ao nível 95% para 1.145 ao nível de 99%. Dessa forma, a medida em que o nível de confiança é aumentado, o BVaR calculado pelo método histórico tende a divergir do VaR, enquanto que pela aproximação normal o BVaR tende a convergir para o VaR.

Estas propriedades também podem ser verificadas através das razões (BVaR – VaR)/VaR calculadas nas tabelas 1 e 2 com o objetivo de padronizar os resultados. Para todos os níveis de confiança a razão é maior pelo método histórico do que pela aproximação normal. Considerando-se as três metodologias incondicionais analisadas, verifica-se que as maiores razões (BVaR – VaR)/VaR foram obtidas pelo método histórico e GEV. Segundo Embrechts, Klüppelberg & Mikosch (1997) a diferença (BVaR – VaR) pela distribuição dos valores extremos também tende a divergir a medida em que o nível de confiança é aumentado, apresentando razões (BVaR – VaR)/VaR tão elevadas quanto as calculadas pelo método histórico. Assim, dentre as metodologias incondicionais, a distribuição dos valores extremos consegue captar adequadamente o efeito de que, em distribuições de retornos leptocúrticas como a analisada, as perdas obtidas quando o VaR é ultrapassado estão dispersas além do VaR, e não concentradas junto dele como previsto pela normal.

Com relação as metodologias condicionais, observa-se que a simulação histórica por bootstrap nos resíduos do EWMA apresentou as maiores razões (BVaR – VaR)/VaR para todos os níveis de confiança utilizados, sugerindo a captação adequada da leptocurtose na distribuição dos retornos diários. As duas outras metodologias condicionais, que utilizam a distribuição normal nos resíduos do modelo, apresentaram estimativas de VaR e BVaR bastante semelhantes entre si. Os resultados obtidos para os procedimentos de Backtest estão apresentados na tabela a seguir.

TABELA 5: Percentual de erros observados através do procedimento de Backtest realizadopara os retornos diários da ação Petrobrás PN com a utilização de três metodologias condicionais de cálculo do VaR: EWMA normal, Garch(1,1) normal e simulação histórica com bootstrap nos resíduos do EWMA. O número total de retornos diários incluídos na amostra é de 1788 e correspondem ao período de 05/07/1994 a 28/09/2001. Os fatores de segurança utilizados correspondem aos valores de 90%, 95% e 99%. Valores em vermelho rejeitados pelo teste de Kupiec com 99% de confiança.

Backtest das Metodologias Condicionais para a Série de Retornos Diários

Posição Comprada Posição Vendida

Metodologia 90% 95% 99,0% 90% 95% 99,0%

EWMA Normal 8,90% 5,37% 1,96% 9,85% 5,43% 2,18% Garch(1,1) Normal 8,11% 4,59% 1,68% 8,79% 4,92% 1,73% Simulação Histórica 10,07% 4,92% 1,06% 10,02% 4,98% 0,95%

9

Da tabela anterior, verifica-se que tanto o EWMA normal quanto o Garch(1,1) normal

apresentaram um percentual de falhas superior ao desejado no nível de confiança de 99%, subavaliando o real valor do risco. Como ambos os modelos utilizaram a distribuição normal nos resíduos, não foram capazes de captar adequadamente o efeito das fat tails. GRÁFICO 1: Valores em risco em termos percentuais calculados pelas metodologias condicionais EWMA normal, Garch(1,1) normal e simulação histórica com bootstrap nos resíduos do EWMA. O número total de retornos diários incluídos na amostra é de 1788 e correspondem ao período de 05/07/1994 a 28/09/2001. O fator de segurança utilizado é o de 99% e o holding period igual a 1 dia.

De modo contrário, para a simulação histórica por bootstrap os testes de razão de

verossimilhanças de Kupiec não rejeitaram as hipóteses nulas de que as proporções observadas de falhas são iguais as desejadas, com 99% de confiança. O gráfico 1 acima apresenta uma comparação visual entre os valores em risco calculados pelas três metodologias condicionais para todo o período de análise. 4.2. Resultados para a Série de Retornos de 10 Dias

Para a série de retornos de 10 dias verifica-se que todas as estimativas de VaR e BVaR encontradas são superiores às obtidas para as séries de retornos diários, para todos métodos utilizados, para o mesmo montante de R$100. A explicação para este fato é a maior volatilidade da série de retornos de 10 dias: o desvio padrão histórico da série de retornos diários é de 3.387% para o período de análise, enquanto que para a série de retornos de 10 dias o desvio padrão histórico é de 11.365%. Outro aspecto interessante é o aumento da relação (BVaR – VaR)/VaR pelo método histórico incondicional, o que evidencia que, para a série de retornos de 10 dias, as perdas obtidas em caso do VaR ser ultrapassado são ainda maiores, tanto para a posição comprada quanto para a vendida. Este fato demonstra que na série de retornos de 10 dias as perdas estão ainda mais dispersas além do VaR.

Comparação entre Metodologias de Cálculo do VaR Condicional Aplicadas à Série de Retornos Diários: Método EWMA Normal, Garch(1,1) Normal e Simulação

Histórica com Bootstrap. Nível de Confiança 99%.

-32%

-22%

-12%

-2%

8%

18%

28%

jun/94 out/95 mar/97 jul/98 dez/99 abr/01

Retornos Diários EWMA Normal Garch(1,1) Normal Simulação Histórica

10

Para a série de retornos de 10 dias da ação Petrobrás PN as conclusões obtidas são semelhantes às encontradas para a série de retornos diários. Novamente, as maiores estimativas de valor em risco para os níveis de confiança de 90% e de 95% foram obtidas com a aproximação normal. De modo contrário, para o nível de confiança de 99%, a aproximação normal forneceu as menores estimativas para o VaR, tanto para a posição comprada quanto para a vendida. As estimativas de VaR obtidas pela GEV foram, para todos os níveis de confiança, mais próximas das obtidas com a utilização do método histórico.

Analisando-se as razões (BVaR – VaR)/VaR observa-se que, mais uma vez, as maiores razões foram obtidas pelos métodos histórico e de valores extremos em todas as situações. Dessa forma, em função da existência de leptocurtose na distribuição empírica de retornos de 10 dias, as perdas esperadas caso o VaR seja ultrapassado também estão dispersas além do VaR. Para o nível de confiança de 99% as estimativas do VaR e BVaR pelo método histórico não foram calculadas em função de existirem apenas 178 observações de retornos de 10 dias na amostra analisada.

Tabela 6: Valores em risco e perdas esperadas além do VaR (BVaR) de acordo com três metodologias incondicionais e três métodos condicionais, para a posição comprada em R$100,00 da ação Petrobrás PN na data de 28 de setembro de 2001. Níveis de confiança de 90%, 95% e 99%. Holding Period de 10 dias.

P = 0.90 P = 0.95 P=0.99

VaR BVaR

VaR BVaR

VaR BVaR

Método Histórico 11,873 20,529 72,900 15,710 27,470 74,865 n.c. n.c. n.c.

Valores Extremos 10,624 19,644 84,897 15,410 26,071 69,179 31,143 48,564 55,940

Normal 13,627 19,001 39,432 17,756 22,514 26,793 25,501 29,301 14,902

EWMA 6,798 9,661 42,127 8,990 11,499 27,899 13,103 15,086 15,127

GARCH 8,885 12,491 40,587 11,669 14,883 27,541 16,892 19,547 15,716

Simulação Histórica 8,788 12,302 39,984 10,407 15,326 47,262 19,631 23,453 19,464

Tabela 7: Valores em risco e perdas esperadas além do VaR (BVaR) de acordo com três metodologias incondicionais e três métodos condicionais, para a posição vendida em R$100,00 da ação Petrobrás PN na data de 28 de setembro de 2001. Níveis de confiança de 90%, 95% e 99%. Holding Period de 10 dias.

P = 0.90 P = 0.95 P=0.99

VaR BVaR

VaR BVaR

VaR BVaR

Método Histórico 11,414 19,146 67,741 17,378 24,455 40,725 n.c. n.c. n.c.

Valores Extremos 11,805 18,963 60,634 16,047 24,383 51,949 28,478 40,770 43,162

Normal 15,501 20,875 34,664 19,630 24,311 23,847 27,375 31,025 13,335

EWMA 8,672 11,544 33,123 10,864 13,343 22,816 14,978 16,936 13,077

GARCH 10,759 14,281 32,741 13,543 16,769 23,819 18,766 21,429 14,190

Simulação Histórica 8,184 12,910 57,750 10,093 17,712 75,490 17,328 33,588 93,840

Os resultados do procedimento de Backtest para as três metodologias incondicionais

estão apresentados na tabela a seguir. Em função do número reduzido de retornos da amostra, nenhum percentual de falhas pôde ser rejeitado pelo teste de Kupiec realizado com 95% de

VaRVaRBVaR −

VaRVaRBVaR −

VaRVaRBVaR −

VaRVaRBVaR −

VaRVaRBVaR −

VaRVaRBVaR −

11

confiança.

TABELA 8: Percentual de erros observados através do procedimento de Backtest realizado para os retornos de 10 dias da ação Petrobrás PN com a utilização de três metodologias incondicionais de cálculo do VaR: método histórico, distribuição dos valores extremos e aproximação normal. O número total de retornos diários incluídos na amostra é de 1788 e correspondem ao período de 05/07/1994 a 28/09/2001. Os fatores de segurança utilizados correspondem aos valores de 90%, 95% e 99%. Valores em vermelho rejeitados pelo teste de Kupiec com 99% de confiança.

Backtest das Metodologias Incondicionais para a Série de Retornos de 10 Dias

Posição Comprada Posição Vendida

Metodologia 90% 95% 99,0% 90% 95% 99,0%

Histórica 10,11% 5,06% n.c. 10,11% 5,06% n.c.

Valores Extremos 13,48% 6,18% 1,69% 10,11% 6,18% 1,12%

Gaussiana Incondicional 7,30% 3,93% 2,25% 6,74% 2,81% 1,12%

Nos resultados obtidos para o procedimento de Backtest pelas metodologias

condicionais apresentados na tabela 9, verifica-se que também para a série de retornos de 10 dias a simulação histórica por bootstrap apresentou as maiores razões (BVaR – VaR)/VaR, com magnitudes especialmente elevadas para a posição vendida. Devido ao pequeno tamanho da amostra, apenas o percentual de falhas obtido para o nível de confiança de 99% na posição comprada do método EWMA normal pôde ser rejeitado pelo teste de Kupiec, indicando que, nesta situação, o método subavaliou a exposição ao risco. Uma comparação entre as estimativas do VaR percentual pelas três abordagens condicionais pode ser encontrada no gráfico 2.

TABELA 9: Percentual de erros observados através do procedimento de Backtest realizado para a série de retornos de 10 dias da ação Petrobrás PN com a utilização de três metodologias condicionais de cálculo do VaR: EWMA normal, Garch(1,1) normal e simulação histórica com bootstrap nos resíduos do EWMA. O número total de retornos diários incluídos na amostra é de 1788 e correspondem ao período de 05/07/1994 a 28/09/2001. Os fatores de segurança utilizados correspondem aos valores de 90%, 95% e 99%. Valores em vermelho rejeitados pelo teste de Kupiec com 99% de confiança.

Backtest das Metodologias Condicionais para a Série de Retornos de 10 Dias

Posição Comprada Posição Vendida

Metodologia 90% 95% 99,0% 90% 95% 99,0%

EWMA Normal 15,25% 7,34% 2,82% 9,04% 3,95% 1,69%

Garch(1,1) Normal 12,43% 5,65% 2,26% 6,21% 3,95% 0,00%

Simulação Histórica 10,17% 5,08% 1,13% 10,17% 4,52% 1,13%

GRÁFICO 2: Valores em risco em termos percentuais calculados pelas metodologias condicionais EWMA normal, Garch(1,1) normal e simulação histórica com bootstrap nos resíduos do EWMA. O número total de retornos de 10 dias incluídos na amostra é de 178 e corresponde ao período de 05/07/1994 a 28/09/2001. O fator de segurança utilizado é o de 99% e o holding period igual a 1 dia.

12

4.3. Resultados para a Posição Não Linear

A criação de uma posição alavancada envolveu a compra da ação-objeto, a venda de opções de venda fora do dinheiro e a compra de opções de compra também fora do dinheiro, semelhante a posição não linear criada por Longin (2001). O objetivo central da criação de uma posição não linear é a verificação empírica de que as perdas esperadas além do VaR aumentam com o grau de alavancagem.

O número de calls compradas foi escolhido de modo a igualar a quantia recebida pela venda das puts com a quantia paga pela compra das calls. Dessa forma, o valor inicial da posição comprada é igual ao preço do ativo-objeto na data de análise, que era de R$51.30. O holding period utilizado foi de 10 dias úteis, igual ao tempo até o vencimento das opções. A posição não linear foi construída a partir das seguintes informações: Preço do ativo-objeto em 28 de setembro de 2001 R$51.30 Valor inicial da posição comprada no ativo-objeto R$51.30 Preço de exercício da opção de venda R$50.00 Preço de mercado da opção de venda em 28 de setembro de 2001 R$0.50 Número de opções de venda vendidas 1 Preço de exercício da opção de compra R$54.00 Número de opções de compra compradas 0.588 Tempo até o vencimento (em dias úteis) 10

Os resultados obtidos para a posição alavancada encontram-se na tabela 9 a seguir. Como era esperado, embora a posição apresente o mesmo valor inicial de R$51.30 e tenha sido utilizado um holding period de 10 dias como na tabela 6, as estimativas para VaR e ,conseqüentemente, as do BVaR são maiores para a posição alavancada. Além disso as perdas esperadas além do VaR encontram-se, em termos absolutos, ainda mais distantes.

De acordo com o método histórico incondicional as estimativas de VaR e BVaR para a

Comparação entre Metodologias de Cálculo do VaR Condicional Aplicadas à Série de Retornos de 10 Dias: Método EWMA Normal, Garch(1,1) Normal e Simulação

Histórica com Bootstrap. Nível de Confiança 99%.

-100%

-80%

-60%

-40%

-20%

0%

20%

40%

60%

80%

100%

jun/94 out/95 mar/97 jul/98 dez/99 abr/01

Retornos de 10 Dias EWMA Normal Garch(1,1) Normal Simulação Histórica

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série de retornos de 10 dias eram, respectivamente, de R$15.710 e R$27.470 para a posição comprada e um nível de confiança de 95%. Já para a posição alavancada, o método histórico obteve um VaR de $28.885 e um BVaR de 52.407, também com 95% de confiança. Dessa forma, a razão (BVaR – VaR)/VaR que anteriormente era de 74.865, passou para 81.433 com a inclusão das opções.

TABELA 10: Valores em risco e perdas esperadas além do VaR (BVaR) de acordo com três metodologiasincondicionais e três métodos condicionais, para a posição alavancada na data de 28 de setembro de 2001.Níveis de confiança de 90%, 95% e 99%. Holding Period de 10 dias.

P = 0.90 P = 0.95 P=0.99

VaR BVaR

VaR BVaR

VaR BVaR

Método Histórico 21,213 38,524 81,609 28,885 52,407 81,433 n.c. n.c. n.c.

Valores Extremos 20,724 38,329 84,954 30,772 54,603 77,441 63,846 99,253 55,457

Normal 24,426 35,003 43,301 32,939 42,224 28,188 48,869 56,155 14,908

EWMA 11,001 16,746 52,222 15,385 20,414 32,694 23,471 27,394 16,712

GARCH 15,196 22,562 48,480 20,893 27,226 30,309 31,122 36,153 16,166

Simulação Histórica 15,129 22,069 45,876 18,286 28,227 54,359 36,729 44,233 20,432

A metodologia condicional simulação histórica por bootstrap também apresentou

aumentos nas razões (BVaR – VaR)/VaR para todos os níveis de confiança analisados, em relação aos valores obtidos na tabela 6. Estas razões mais elevadas indicam, novamente, que as perdas além do VaR estão ainda mais dispersas para a posição alavancada. As demais metodologias analisadas que tem como base a distribuição normal continuaram a apresentar razões (BVaR – VaR)/VaR inferiores para os níveis de confiança mais elevados. No grupo incondicional, o método normal aproximado apresentou razões muito inferiores às obtidas pelo método histórico e pela distribuição de valores extremos. Semelhantemente, no grupo de metodologias condicionais, tanto o EWMA quanto o Garch (1,1), que utilizam uma distribuição normal nos resíduos, estimaram perdas além do VaR mais próximas do valor em risco para os níveis de confiança de 95% e 99%. Infelizmente, não foi possível a realização de um procedimento de Backtest em função do curto período de vida útil das opções analisadas. 5. Conclusões

Para a série de retornos diários, os resultados obtidos para o valor em risco pelas metodologias incondicionais variaram bastante, em todos os níveis de confiança utilizados. A utilização da distribuição generalizada de valores extremos gerou estimativas de VaR muito próximas das obtidas com o método histórico, enquanto que o método normal aproximado gerou estimativas maiores para o nível de confiança de 90% e menores para o de 99%.

Tanto para a posição comprada quanto para a vendida, os percentuais de falhas obtidos com a utilização da distribuição generalizada de valores extremos foram bastante próximos das proporções de falhas esperadas de 10%, 5% e 1%, de modo que o teste de Kupiec realizado com 99% de confiança não rejeitou a hipótese nula em nenhuma situação. Já com a utilização do método normal, no nível de confiança de 90% o percentual de falhas obtido no Backtest foi significativamente inferior a proporção esperada de 10%, tanto na posição comprada quanto na vendida. Dessa forma, o método normal superavaliou o risco para o nível de confiança de 90%. Já para o nível de confiança 99%, o método normal apresentou um

VaRVaRBVaR −

VaRVaRBVaR −

VaRVaRBVaR −

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percentual de falhas superior ao desejado e, para a posição vendida, o teste de Kupiec rejeitou a proporção observada e pode-se dizer que o método subavaliou o risco nesta situação.

Analisando-se as perdas esperadas além do VaR através das razões (BVaR – VaR)/VaR, observou-se que as menores razões foram as obtidas pelo método normal, indicando que na distribuição empírica as perdas esperadas em caso do VaR ser ultrapassado são na verdade muito mais dispersas além do VaR do que o previsto pela distribuição normal. Diferentemente, as razões calculadas com a utilização da GEV foram elevadas e mais próximas das obtidas com o método histórico, o que segundo Longin (2001) é um indicativo da captação adequada do fenômeno das fat tails.

Com relação as metodologias condicionais, tanto o método EWMA quanto o Garch (1,1) subavaliaram significativamente o risco no nível de confiança de 99% de acordo com o teste de Kupiec, para as posições comprada e vendida. De modo contrário, a simulação histórica por bootstrap nos resíduos do EWMA não apresentou, em nenhuma situação, um percentual de falhas estatisticamente diferente da proporção desejada. Assim, mesmo não tendo sido utilizada uma estimativa mais sofisticada para a volatilidade condicional, já que estas estimativas são as mesmas do modelo EWMA, a simples utilização da distribuição empírica dos resíduos, sem a premissa de normalidade, foi suficiente para a obtenção de estimativas acuradas para o valor em risco em todos os níveis de confiança. Quanto as perdas esperadas além do VaR, as maiores razões (BVaR – VaR)/VaR foram obtidas com o método simulado, indicando novamente que os métodos com base na distribuição normal esperam que estas perdas extremas estejam mais concentradas junto ao VaR do que na realidade estão.

Conclusões semelhantes as obtidas com a série de retornos diários podem ser deduzidas para a série de retornos de 10 dias. Entretanto, devido ao pequeno tamanho da amostra, o teste de Kupiec realizado com 99% de confiança não foi capaz de rejeitar nenhuma das proporções de falhas obtidas com as metodologias incondicionais. Baixando o nível de confiança do teste para 95%, apenas o percentual de falhas obtido pela metodologia condicional EWMA normal na posição comprada, pode ser considerado superior a proporção esperada, no nível de confiança de 99%. Como era esperado, todas as estimativas de VaR e BVaR para a série de retornos de 10 dias são maiores do que as obtidas para a série de retornos diários, em função da maior volatilidade.

As razões (BVaR – VaR)/VaR calculadas pelo métodos histórico incondicional são ainda mais elevadas do que as obtidas para a série de retornos diários. Semelhantemente, a metodologia condicional simulação histórica por bootstrap, que também não se baseia em nenhuma premissa de normalidade, apresentou maiores razões (BVaR – VaR)/VaR para a série de retornos de 10 dias. Estes resultados indicam que, para a série de 10 dias, as perdas esperadas além do VaR estão ainda mais dispersas.

As maiores razões (BVaR – VaR)/VaR obtidas para a posição alavancada pelos métodos que utilizam a distribuição empírica, confirmam os resultados encontrados por Longin (2001). Como o holding period utilizado foi de 10 dias e as razões são ainda mais elevadas do que as obtidas com as posições lineares de mesmo horizonte de análise, pode-se concluir que, como esperado, as perdas esperadas além do VaR aumentam com o grau de alavancagem. 6. Bibliografia BLACK, F. & SCHOLES, M. The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political

Economy, 81 (3): 637-59, May 1973. DUFFIE, D. & PAN, J. An overview of Value at Risk. The Journal of Derivatives, Spring 1997. EMBRECHTS, P.; KLÜPPELBERG, C. AND MIKOSCH, T. Modelling Extremal Events for

Insurance and Finance. Berlin: Springer Verlag, 1997.

15

HULL, J. C. Options, Futures and Other Derivatives. Prentice Hall. Third Edition, 1997. KUPIEC, P. Techniques for Verifying the Accuracy of Risk Measurements Models. 1995. JORION, P. Value at Risk: The New Benchmark for Controlling Derivatives Risk. Irwin

Professional Publishing, 1997. LONGIN, F. M. Beyond the VaR. The Journal of Derivatives, Summer 2001. MENDES, B.V.M. Teoria dos Valores Extremos. Livro não Publicado. RISKMETRICSTM - Technical Document - 3 a Edição (1995) e 4a Edição - Dezembro de 1996,

Reuters/J.P. Morgan. Notas 1 Do termo em inglês Beyond the VaR. 2 Ver Mendes (livro em fase final de publicação). 3 Para uma discussão mais aprofundada e demonstrações sobre a propriedade lognormal dos preços das ações ver Hull (1997), pp. 228, 3ed. 4 No presente trabalho a média dos retornos do ativo foi considerada igual a zero para a estimação da volatilidade. Se, entretanto, puder ser observada uma tendência na série de retornos da ação ou carteira, pode-se incluir a média dos retornos observados, obtendo-se a expressão para o alisamento exponencial com média diferente de zero.

( )2,,

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2,1, )1(ˆ tAtAttAttA rr −λ−λ+λσ=σ −+

onde

tAtAtA rrr ,1,, )1( λ−+λ= − 5 O resíduo do modelo EWMA em um dia t é obtido através da divisão do retorno observado pela volatilidade estimada para aquela data por alisamento exponencial.