Estimação não-paramétric da taxa de falha - USP · 2018. 1. 3. · 2 O Process Pontuao 2l 3 2.1...

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito: tO • O

A Comissão Julgadora:

Prof. Dr. Dorival Leão Pinto Júnior

Prof. Dr. José Galvão Leite

Prof. Dr. Paulo Régis Caron Ruffino

V A minha família,

minha namorada Roberta,

• • • e a todos os meus amigos,

Agradecimentos

A minha família, fundamental e sempre presente em todos os momentos. A meu ori-

entador Dorival Leão pela oportunidade, amizade, por sua dedicação e pelo seu empenho

na realização desse trabalho. Aos professores .Jorge Alberto Achcar e José Galvão Leite

participantes da, banca de qualificação. Aos professores Marinho Gomes de Andrade e

Reiko Aoki pelas disciplinas ministradas e pela constante ajuda que nos têm dado. A

meu ex-orientador de iniciação científica Sérgio Luis Zani. A alguns ex-professores meus

da graduação Sandra Seniensatto de Godói, Janete, Renata Meneglietti e Sueli Mieko.

A meus ex-companheiros de graduação e ã amiga Lívia que já não está mais aqui. Aos

funcionários da biblioteca pelo auxílio que nos têm dado. A todos os funcionários do

ICMC. A todo o pessoal legal do laboratório da Estatística (em ordem alfabética), Aline,

Flávia, Gecirlei, Paulo, Ricardo, pela ajuda e pela amizade e a todos os amigos que, de

uma forma ou outra contribuira.ni com um pedacinho para essa conquista. Desculpem-me

se por acaso eu tiver esquecido alguém.

Resumo

Vários autores tem construído estimadores de Bayes nâo-paramétricos para a função

de distribuição acumulada. A distribuição ã priori tem, por exemplo, sido processos de

Dirirhlet, processos neutral to the right. Neste trabalho nós estudamos o problema cie

achar estimadores de Bayes nâo-paramétricos para a taxa de falha acumulada de um

processo pontuai baseado no modelo de intensidade multiplicativo de Aaleu. Desta forma

nós consideramos uma classe conjugada de processos de Levy chamados de processos

beta e apresentamos fórmulas para obter um processo posterior. 0 estimador de Bayes é

comparado com dois outros estimadores nâo-paramétricos, Kaplan-Meier e Nelson-Aalen

e um estimador paramétrico, a taxa de falha acumulada de uma distribuição Weibull.

Abstract

Several authors havc construcled nonparametric Baycs estimators for a cumulative

distribuidor] function. The prior distribution have, for example, been Diriehlet processes,

neutra] to the right processes. In this work we studied the problera of hnding nonpara-

metric Bayes estimator to cumulative rate function oí the a point processes baseei in the

Aalen's multiplicative intensity model. This forni we considered a conjugate class of Levy

processes called beta processes and presented formulas for obtaining a posterior processes.

The Bayes estimator is compareci with two nonparametric estimator, Kapla.n-Meier and

Nelson-Aalen and one pararnetric estimator, the cumulative rate function of the Weibull

distribution.

IX

Sumário

1 Introdução 1

1.1 Estimadores Empíricos 2

1.1.1 Estimador de Kaplan-Meier 3

1.1.2 Estimador de Nelson-Aalen 5

1.1.3 Análise dos Dados 7

1.2 A estimação não-parametrica 11

1.2.1 Modelo Estatístico 15

1.2.2 Estimador de Bayes 17

2 O Processo Pontual 23

2.1 O Espaço de Trajetórias 23

2.2 Processo Pontual 29

2.3 Decomposição de Doob-Meyer 34

2.4 Taxa de Falha do Processo Pontual 40

2.5 Representação do Processo Pontual 42

3 Processos de Levy Puro Salto 45

3.1 Introdução 45

3.2 Processos de Levy Puro Salto 45

3.3 Representação do Processo de Lévy 52

3.4 Processos Beta 54

4 Inferência Bayesiana 57

4.1 Introdução 57

4.2 Estimação Bayesiana Não-Paramctrica 58

4.3 Estimador Bayesiano Não-Paramétrico para a Taxa de Falha Acumulada . 60

x Sumário

5 Considerações Finais 69 5.1 Conclusões 69

5.2 Propostas Futuras 73

6 Apêndice 75

6.1 Espaço de Cantor 75

6.2 Alguns Resultados Utilizados 77

Referências Bibliográficas 78

XI

Lista de Figuras

1.1 Gráfico das estimativas da taxa de falha via Nelson-Aalen o Wcibull . . . . 9

1.2 Gráfico das estimativas da função de confiabilidade 11

1.3 Gráfico das estimativas da taxa de falha acumulada 11

1.4 Martingalc para a taxa acumulada de uma Weibull 14

1.5 Martingalc para a taxa acumulada estimada via Kaplan-Meier 14

1.6 Gráficos da Taxa de Falha acumulada estimada via Kaplan-Meier, Nelson-

Aalen, Weibull e Bayesiano Empírico 21

4.1 Taxa de Falha Acumulada 66

4.2 Função de Confiabilidade 66

4.3 Taxa de Falha 67

5.1 Taxa de Falha Acumulada 70

5.2 Taxa de Falha 73

xii Lista de Figuras

Lista de Tabelas

1.1 Tempos de Vida, dos Freios em Tosto 2

1.2 Estimativas da variância da taxa de falha acumulada via Kaplan-Meier . . 5

1.3 Estimativas da variância da taxa de falha acumulada via Nelson-Aalen . . 6

1.4 Estimativas da taxa de falha via Kaplan-Meier, Nelson-Aalen e Weibull . . 8

1.5 Estimativas da taxa de falha acumulada 10

4.1 Estimativas da variância da taxa de falha acumulada via estimador Bayesiano 64

4.2 Estimativas para a taxa de falha, taxa de falha acumulada e função de

confiabilidade baseadas no estimador Bayesiano não-paramétrico 65

5.1 Estimativas da variância da taxa de falha acumulada via Kaplan-Meier . . 71

5.2 Estimativas da variância da taxa de falha acumulada via Nelson-Aalen . . 71

5.3 Estimativas da variância da taxa de falha acumulada via estimador Bayesiano 72

xiv Lista de Tabelas

1

Capítulo 1

Introdução

O estudo da inferência não paramétrica permite uma análise mais flexível e geral dos

dados, pois ela não se prende a nenhum tipo de distribuição paramétrica. A estimação não-

paramétrica possui boas propriedades mesmo para pequenas amostras, essa flexibilidade

no entanto, é custosa pois devemos trabalhar sobre um espaço de funções. Quando fazemos

a análise estatística através de modelos obtidos por famílias paramétricas de distribuições,

estamos restringindo um espaço de dimensão infinita à um de dimensão finita cujo objetivo

é geralmente estimar um número finito de parâmetros.

Neste trabalho, consideramos Xi,...,Xn uma sequência de variáveis aleatórias posi-tivas independentes e identicamente distribuídas com função distribuição acumulada F. Ao denotarmos por Ti, ...,Tn as estatísticas de ordem da amostra aleatória (X1: ...,Xn), podemos associar um processo pontual por

Desde que Nt é um processo não-decrescente, concluímos que Nt é um submartingale.

Utilizando a decomposição de Doob-Meyer, existe um único processo estocástico A (pre-

visível) tal que

é um martingale, onde Ys = n — Ns_ e A é a taxa de falha acumulada. Além disso, a

distribuição de probabilidade definida por Nt é unicamente determinada pelo processo

At. Desde que Ys é obtido diretamente da amostra, vamos analisar alguns estimadores

empíricos e utilizar uma abordagem Bayesiana não-paramétrica para estimar a taxa de fa-

lha acumulada At. Para estudá-la utilizando o enfoque Bayesiano não-paramétrico vamos

n Tl

2 1. Introdução 2

definir uma probabilidade inicial sobre o espaço das funções taxas de falha acumulada e

calcular o estimador de Bayes através da distribuição à posteriori.

Para ilustrar a aplicação das técnicas descritas acima, vamos considerar um conjunto

de tempos de falha obtidos pela EMBRAER. Com objetivo de estudar a performance dos

freios do avião ERJ 145, a EMBRAER realizou um estudo com 30 aviões. Um freio novo

(sem defeito) foi colocado em cada aeronave e acompanhado até a sua falha. O tempo de

falha (em horas) do freio de cada avião encontra-se abaixo:

19 43 44 148 169 171 205 232 248 250

263 271 282 290 347 349 398 477 514 595

603 662 700 701 706 709 710 763 777 869

Tabela 1.1: Tempos de Vida dos Freios em Teste

O objetivo da EMBRAER consiste em estimar a probabilidade de um freio falhar em

cada instante de tempo. A modelagem que faremos dos dados será feita sem a presença

de censuras, pois esses freios gastam-se muito rapidamente e todos os tempos de falha

são observados. Também em nossa análise não iremos considerar a presença de falhas

coincidentes(empates).

1.1 Estimadores Empíricos

Considere (íl, P) um espaço de probabilidade e T > 0 uma variável aleatória arbitrária com densidade / ( í ) e função distribuição F(t). Em confiabilidade temos interesse no estudo das funções de confiabilidade

S(t) = P[T>t} = l~F(t),

taxa de falha = ,im P{t t]

v ' Aí—>0 Ai

e taxa de falha acumulada

A{t) = í \{s)ds. J o

Desde que T possui densidade temos

P[t < T < t + At\T > í] 1 P[t

1. Introdução 3

Assim, a taxa de falha acumulada de T fica da seguinte forma,

A(t) = \{s)ds = Í §f\ds ./o Jo S{s)

= - í w = -tafs(i)}' (11) A função de confiabilidade representa a probabilidade do freio sobreviver mais que o

tempo t e a taxa de falha especifica a razão de falha instantânea no tempo T = t dado que a

falha não ocorreu até o tempo t. Para S(t) e A(t) existem estimadores não-paramétricos,

o produto limite ou Kaplan-Meier e o estimador de Nelson-Aalen. A fórmula 1.1 foi

usada por Nelson(1972) para obter um estimador não paramétrico para a taxa de falha

acumulada. Outra expressão que derivamos desta fórmula é

S(t) = exp{-A(í)}.

1.1.1 Estimador de Kaplan-Meier

O estimador de Kaplan-Meier, proposto em 1958, também chamado de produto-limite,

é um dos estimadores empíricos mais utilizados em análise de confiabilidade. Ele é uma

função escada, constante entre dois tempos de falha consecutivos. Esta função dá um salto

no instante da falha ou morte. Assim, dados os tempos de falha 0 = t0 < ti < ... < tn,

podemos encontrar o estimador de Kaplan-Meier da função de confiabilidade da seguinte

forma. Considere a função de confiabilidade até o tempo tk

S(tk) = P{T > tk}.

Vamos mostrar que a função de confiabilidade acima pode ser escrita na forma

k S{tk) = U(l-P[t^

4 1. Introdução 4

para k. Para isto, temos que

S{tk) = P[T > ífc] = 1 — P[T < tk] = 1 — {P[{T < tk-\} U {tk-i í J t _ 1 ] ) k

= - p[í j_i < r < ÍJ|ÍJ_I]).

Portanto o resultado é válido para k = 1, • • • ,n. Com isso, um estimador empírico para

a função de confiabilidade pode ser dado por

skm(Í) = n -k:tk ^ ^ — ,

e podem ser estimados empiricamente da seguinte forma

dk Qk = — nk

onde nk é o número de peças que não falharam em tk e dk é o número de falhas ocorridas

em íjt, que vamos considerar igual a 1 (pois admitimos que não há falhas coincidentes).

O estimador qk é considerado um estimador empírico para a taxa de falha A no intervalo

[tk-i,tk)- Assim, o estimador produto-limite ou Kaplan-Meier para a função de confiabi-

lidade é dado por

skmH) = n í 1 - - n í1 -

e um estimador para sua variância por

Qk n L. ( k:tk

1. Introdução 5

O estimador da variância desse estimador é obtido via fórmula de Greenwood e é dado

por

Para mais detalhes ver Kaplan e Meier [1958, pg. 477] e Ansell e Phillips [1994, pg. 38].

A tabela 5.1 apresenta as estimativas da variância do estimador da taxa de falha

acumulada via estimador de Kaplan-Meier.

t empos variância tempos variância

tempos variancia tempos variancia

19 0.001149 349 0.038095

43 0.002381 398 0.043590

44 0.003704 477 0.050000

148 0.005128 514 0.057576

169 0.006667 595 0.066667

171 0.008333 603 0.077778

205 0.010145 662 0.091667

232 0.012121 700 0.109524

248 0.014286 701 0.133333

250 0.016667 706 0.166667

263 0.019298 709 0.216667

271 0.022222 710 0.300000

282 0.025490 763 0.466667

290 0.029167 777 0.966667

347 0.033333 869 *

Tabela 1.2: Estimativas da variância da taxa de falha acumulada via Kaplan-Meier

1.1.2 Estimador de Nelson-Aalen

Nesta seção vamos apresentar o estimador proposto por Nelson (1972) e estudado por

Aalen (1978) para a função taxa de falha acumulada. Como visto anteriormente, o esti-

mador para a taxa de falha A(í) é dado por:

Ht) = Qi - — , U-i < t < U.

Assim, um estimador empírico para a taxa de falha acumulada pode ser obtida na forma,

i:ti

6 I. Introdução

O estimador da taxa de falha acumulada de Nelson-Aalen pode ser escrito na forma de

uma integral de Stieltjes,

d k , , 1 , ^ , N t k - N t k

[l hY(*)>0}_dNsj (12) k Y(tk)

J Jo y(s)

onde Nt = ^ ^ I{tk < tj é uma função de contagem, que conta o número de falhas até o k

tempo t, Nt~ = limTV,, /{.} é uma função indicadora e Y(t) = ^ ^ /{ti< J = n — Nt-. No i

caso de ocorrer Y(s) = 0, teremos A(t) = 0.

A variância do estimador de Nelson-Aalen A(t) é estimada mais adiante na seção 1.2 via decomposição de Doob-Meyer [ver Equação 1.8]. Um estimador para a variância do

estimador de Nelson-Aalen é dado por:

VarlAlt)) = s k:tk

1. Introdução 7

1.1.3 Análise dos Dados

Nesta seção, vamos aplicar os estimadores de Kaplan-Meier e Nelson-Aalen ao conjunto de

dados fornecidos pela EMBRAER. A esse conjunto de dados verificamos, através do papel

de probabilidade, que uma distribuição de Weibull com função densidade de probabilidade

dada por b

m = y - 1 exp , a, b > 0.

fica bem ajustada. Suas taxa de falha e taxa de falha acumulada são dadas, respectiva-

mente por:

h(t) = -rt b—l

= u

As estimativas de máxima verossimilhança obtidas para os parâmetros dessa distribuição

foram, parâmetro de escala a — 462,13 e parâmetro de forma 6 = 1, 6099. Desde que seu

parâmetro de fornia é próximo de 1, sua taxa de falha é aproximadamente constante, como

pode ser visto na Figura 1.1. A tabela 1.4 fornece as estimativas da taxa de falha A(í) e a

tabela 1.5 as estimativas da taxa de falha acumulada A(t) calculadas via Kaplan-Meier, Nelson-Aalen e Weibull.

8 I. Introdução

Tempos Kaplan-Meier Nelson-Aalen Weibull

19 0.033902 0.03333 0.000497

43 0.035091 0.03448 0.000818

44 0.036368 0.03571 0.000830

148 0.037740 0.03704 0.001739

169 0.039221 0.03846 0.001886

171 0.040822 0.04000 0.001899

205 0.042560 0.04167 0.002121

232 0.044452 0.04348 0.002288

248 0.046520 0.04545 0.002383

250 0.048790 0.04762 0.002395

263 0.051293 0.05000 0.002470

271 0.054067 0.05263 0.002515

282 0.057158 0.05556 0.002577

290 0.060625 0.05882 0.002621

347 0.064539 0.06250 0.002925

349 0.068993 0.06667 0.002935

398 0.074108 0.07143 0.00.3180

477 0.080043 0.07692 0.003551

514 0.087011 0.08333 0.003717

595 0.095310 0.09091 0.004064

603 0.105361 0.10000 0.004097

662 0.117783 0.11111 0.004337

700 0.133531 0.12500 0.004487

701 0.154151 0.14286 0.004491

706 0.182322 0.16667 0.004511

709 0.223144 0.20000 0.004522

710 0.287682 0.25000 0.004526

763 0.405465 0.33333 0.004729

777 0.693147 0.50000 0.004782

869 * 1.00000 0.005120

Tabela 1.4: Estimativas da taxa de falha via Kaplan-Meier, Nelson-Aalen e Weibull

1. Introdução 9

tempos (horas)

Figura 1.1: Gráfico das estimativas da taxa de falha via Nelson-Aalen e Weibull

Observe na f igura 1.1 que a taxa de (ailia. estimada de unia distribuição Weibull

subestima a taxa de falha. Além disso, após 700 horas a taxa de falha empírica cresce,

enquanto que a taxa estimada via distribuição de Weibull permanece constante.

10 I. Introdução

I eilipoS Kaplan-Meier Nelson-Aalen Weibull 19 0.03390 0.03333 0.00587 13 0.008!)!) 0.00782 0.02 180 44 0.10536 0.1035.3 0.02209 1 48 0.1 1310 0.1 1057 0.1 5992 169 0.182.32 0.1790.3 0.1 9800 171 0.22.314 0.21903 0.20179 205 0.205 70 0.20070 0.27020 232 0.31015 0.30-!! 7 0.32976 2 18 0.35667 0.3496.3 0.36713 250 0. 105 17 0.39725 0.37191 263 0.45676 0.44725 0.40.354 271 0.51083 0.49988 0.12318 282 0.5679N 0. 15149 290 0.02861 0.01426 0.17229 317 0.09.315 0.07670 0.03048 349 0.702 1 1 0.74.342 0.630.3 1 398 0.83625 0.81485 0.78023 477 0.9102!) 0.891 78 1.05231 5 1 1 1.00330 0.975 1 1 1.186=79 595 1.09861 1.00602 1.50207 0.3 1.20397 1.10002 1.5,3472 (>02 1.32176 1.27713 1.78359 700 1.4552!) 1.40213 1.95128 701 1 .60944 1.5 1 199 1.95577 706 1.79176 1.71165 1.97828 70!) 2.01 190 1.91 165 1.9918.3 710 2.30259 2.10105 1.99035 76.3 2.70805 2.49499 2.24167 777 3.(0120 2.99499 2.30826 869 * .3.99499 2.763!) 1

Tabela 1.5: Estimativas da taxa de falha, acumulada

As Figuras 1.2 e 1.3 mostram, respectivamente as («st.ima.vas da função de confiabilidade e da taxa de falha, acumulada via Kaplan-Meier. Nelson-Aalen e distribuição weibull.

1. Introdução 11

Kaplan-Meier

Nelson-Aalen

Weibull

i 1 1 1 1 1 1 r 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

tempos (horas)

Figura 1.2: Gráfico das estimativas da função de confiabilidade

4 -

ro "a m

3 -E Z3 O ro ro 2 -sz m cu TJ 1 -ro

-*—»

0 -

Kaplan-Meier

Nelson-Aalen

Weibull

i i i i i i i i i r 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

tempos (horas)

Figura 1.3: Gráfico das estimativas da taxa de falha acumulada

1.2 A estimação não-paramétrica

Neste trabalho, ao invés de utilizarmos os estimadores empíricos ou os estimadores paramétricos,

vamos propor um estimador não paramétrico para a taxa de falha acumulada

A(t)= í X(s)ds Jo

12 I. Introdução

baseado no trabalho d*1 lljort (1990) e Kim(l999). Através deste estimador, derivamos

um estimador para a taxa de falha A. Considere ( f i .3 , P) um espaço de probabilidade e

A'i Xv uma sequência de variáveis aleatórias positivas, independentes e identicamente

distribuídas com distribuição F e função densidade / , definidas sobre (íl.^s.P). Com

isso, podemos definir uma sequência cie processos pontuais

Ci' (/. ) — 1 j x, < i} ( ^ )

para todo t £ [0. OG ) . vC-" £ íl e / = f n.

1'tilizando o Teorema, 3.20 em Jacod e Shirvaev [1987. pg. 98]. obtemos que

Gl(Uu;)-A(t A.Y.;) = (? (Lu)- I 1 {x^)>s}(u)X(s)ds (1.3) ./ o

é um martiugale com respeito à menor filtração para o qual .V, é um tempo de parada,

para todo i = 1,....??. Além disso, obtemos da decomposição de Doob-Meyer que .1(/AA',)

é único. Como mostramos na seção 1.1. a função de confiabilidade é dada por

,S'(f) = exp{ - .4 ( / ) }= 1 - F ( f ) .

Assim, a dist ribuição de probabilidade de X; é unicamente determinada pela taxa de falha

acumulada. Por outro lado. observamos que a distribuição de probabilidade do processo

pontua] (/" é determinada pelo compensador .

mcnoics ou iguais a, /. Definimos.

v : ,m = » ~

para toclo s £ [0. do) e jj £ íl. Assim, obtemos da proposição 3.32 em Jacod e Shirvaev

[1987. pg. 99]. que

1/ A I ).M,ul, Jo

é um martingale com respeito à (ilt ração gerada por A. Além disso, sabemos que a

dist ribuição de probabilidade do processo A é determinada, (ou caracterizada) pelo com-

pensador [ver Capítulo 2]

/ KA;,.-/, I K-/.L (1.4) Jo Jo

1. Introdução 13

Observo que o processo V é determinado diretamente das observações ,V|. A'?-••., A „ •

Assim, para o compensador do processo pontual basta determinarmos a taxa de Falha

acumulada .4.

Como uma ilustração, vamos apresentar os gráficos tias estimativas de Ai, nos casos

onde a laxa de falha acumulada é estimada via o modelo Weibull e via o estimador do

Kaplan-Meier. No caso do estimador de Nelson-Aalen o martingale encontrado foi igual

a zero. As estimativas de

M = A'/ - / W 1 ./o

foram obtidas conforme o procedimento:

Mh = A,, - í * k./ . L = A,, - Ytl f 1

I. Int roduçâo

Martingale-Weibull

-0.69262 média

1 ; r 1 1 " " """ i"""" " í 100 200 300 400 500 600 700 800 900

tempos (horas)

•'igura 1.4: Martingale para a laxa acumulada de uma Weibull

Martingate-Kaplan-Meier

-0.48054

- 1

média

I ! I I I I I I [ 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

tempos (horas)

Figura 1.5: Martingale para a taxa acumulada estimada via Kaplan-Meier

Observe no gráfico 1.5 que a estimativa do martingale considerando o estimador de

Kaplan-Meier é negativo, o que sugere que o estimador de Kaplan-Meier seja um esti-

mador viciado, com vício não negativo. Fste resultado está demoust.ra.do em Flemming e

1. Introdução 15

Harrington [Lema 3.2.1, pg. 99],

1.2.1 Modelo Estatístico

A seguir, vamos apresentar um modelo para descrever os dados. Considere (x 1 ,x 2 , ...,xn)

as observações do tempo de falha. Conforme proposto anteriormente, vamos admitir

que não temos falhas coincidentes, isto é, xt Xj para todo i / j = 1 ,...,n. Sejam

t\ < t2,... < tn a ordenação das observações (a^, x2,..., xn). A ordenação é feita para

simplificar a notação e esta não altera o processo pontual associado,

n n

2 - 1 i= 1

para todo s £ [0, 00).

Considere 0 = t0 < ti < ... < tk £ [0, 00) os sucessivos tempos de falha de itens em

teste, para algum k £ N, onde N é o conjunto dos números naturais. Assim, definimos

uma função x : [0, 00) —> S°° por

z(0) = (0,0,0,...)

= ( A [ t i , o o ) } ( s ) , - J { [ t * , o o ) } ( s ) , 0 , 0 , . . . ) ; S > 0

onde /{.}(.) é a função indicadora de conjunto e S°° = {0,1} x {0,1} x ... corresponde ao

espaço de Cantor (ver apêndice).

Denotamos por Q = {x : [0,oo) —> 5°° | 0 = t0 < ti < ... < tk £ [0, 00 ) ,k £ N}, o

espaço de trajetórias e sobre ele vamos definir uma cr-álgebra Tomamos uma classe ©

de subconjuntos de Í2

© = {C[k; n; wn) : wn £ S, k £ Q, k > 0, n £ N},

onde C[k\ n; wTl] — {x £ fi : x(k) £ Tr^Hl^n})} são chamados de cilindros e Q é o conjunto

dos números racionais. Aplicando algumas operações de conjunto em O construímos uma

álgebra T, chamada álgebra dos cilindros e a a-álgebra ^ sobre Q, é a cr-álgebra gerada por

T, isto é 3 = A filtração gerada pelas trajetórias do processo pontual é definida

pela seguinte família crescente de rr-álgebras

cAí = a{C'[k; n\ wn], wn £ S, k £ Q n [0, í], k > 0, n £ N}, t£ [0, 00).

No capítulo 2 faremos uma análise detalhada do espaço de trajetórias e suas propriedades.

Assim, para definirmos o processo pontual considere uma probabilidade P sobre (Q,, S) e

16 I. Introdução

Tj : VI -—>• [O, oo) uma variável aleatória definida por

Tj(x) = inf{s G [O, oo] : x(s) = (1, 1, 1, ..., 1, O, O, ...)} = j vezes

= tj] se j < k

— +oo; se j > k.

Esta variável aleatória é urn tempo de parada [Teorema 2.2.1] e o processo definido

por

oo

Nt(x) = Y,I{T]

1. Introdução 17

onde Js = lim/40 I{vs-h>0} e quando Ys — 0 definimos = 0. Esse estimador corresponde

ao estimador 1.2, que é estimador de Nelson-Aalen na forma de uma integral de Stieltjes.

Utilizando a decomposição de Doob-Meyer, obtemos que,

JsdM, rí J,dN< rl J.dA* Jo ^s Jo ^s J 0 Xs

é um martingale quadrado integrável. Assim,

J 0 1 s JO

Agora, vamos calcular o erro quadrático médio e apresentar um estimador para a variância

do estimador de Nelson-Aalen.

JsdNs Ç JsdAs)2 = Ç JsdMs ^ 'o Vs Jo Ys J0 Ys

m i ^ - / = m 1 - ^ n Desde que

J*dMs Jo Ys

é um martingale quadrado integrável, concluímos da decomposição de Doob-Meyer, do

Teorema 2.4.2 em Flemming e Harrington (1991, pg-67) e do modelo de intensidade mul-

tiplicativa, que nt JsdMs ^ f' J^dAs ^. [' JsYsdAs

m f ^ f í = m i = Eií Jo 1s Jo rs j0

y 2 J S -J U 1 s

= Blí,£ir]-Substituindo dAs por J sdN s /YS l obtemos um estimador empírico para a variância do

estimador de Nelson-Aalen, conforme descrito abaixo

rl j dN Var[A(t)} = ^ p . (1.8)

Maiores informações sobre o estimador de Nelson-Aalen, como a consistência assintótica,

podem ser encontradas em Aalen (1978) e Flemming e Harrington (1991).

1.2.2 Estimador de Bayes

Ao invés de utilizarmos o estimador não paramétrico de Nelson-Aalen, vamos utilizar

um estimador Bayesiano não-paramétrico para a taxa de falha acumulada A, conforme

proposto em Hjort (1990) e Kim (1999). Além disso, vamos derivar um estimador para a

taxa de falha A.

18 I. Introdução

Sejam Xi,...,Xn variáveis aleatórias positivas independentes e identicamente distribuídas

com função de distribuição F. O objetivo consiste em estimar F, onde o parâmetro de

interesse toma valores em um espaço de funções. Assim, para aplicar o enfoque Bayesiano,

precisamos definir uma probabilidade sobre o espaço das funções de distribuição acumu-

lada. Para isto, basta construirmos um processo estocástico cujas trajetórias são funções

de distribuição acumulada. Neste sentido, destacamos os processos de Dirichlet [Ferguson

(1973),(1974)], processos tailfree e neutral to the right [Doksum (1974)]. Se F é absolu-

tamente contínua com função densidade / , Dikstra e Laud (1981) utilizaram processos

gama estendidos como distribuição à priori para a taxa de falha A. Ao invés de estimar a

função de distribuição acumulada F, Hjort (1990) propôs um método Bayesiano para esti-

mar a taxa de falha acumulada A. Sc a F é absolutamente contínua, então, os resultados

obtidos para estimar F podem ser facilmente adaptados para estimar A, pois

Além disso, sabemos que F é absolutamente contínua se, e somente se, A também é absolutamente contínua. Por outro lado, todos os processos estocásticos utilizados para

definir a distribuição à priori são processos de Lévy puro salto. Desta forma, os resultados

apresentados para estimar F não são diretamente adaptados para estimar A e vice-versa. Assim, todos os processos estocásticos à priori apresentam trajetórias do tipo escada,

consequentemente não são absolutamente contínuas. Neste trabalho, vamos apresentar

métodos para estimar a taxa de falha acumulada A, como apresentado em Hjort (1990) e

Kim (1999).

Considere o espaço de probabilidade P) definido na seção 2.2, vamos assumir

que o processo pontual Nt está definido em [0, 1], embora ele possa ser generalizado para o intervalo [0, r] e que o processo At satisfaz o modelo de intensidade multiplicativo

onde Y é um processo previsível (observável) e A é urna função determinística desconheci-

da, denominada taxa de falha acumulada. Abaixo, definimos o espaço das taxas de falha

acumulada.

A = {classe das funções não decrescentes A contínuas â direita

definidas em [0,1], AA < 1, A(0) = 0}

Para esta classe considere HA a a—álgebra gerada pelos cilindros. O espaço das obser-

vações corresponde ao Q definido na seção 2.2 com a cr-álgebra associada Para definir

F(t) = 1 - exp{ -A{t) } , V t G [0, oo).

1. Introdução 19

uma probabilidade à priori sobre vamos construir um processo estocástico com tra-

jetórias em A chamados de processo de Levy puro salto, conforme a definição abaixo

Definição 1.2.1 (Processo de Levy puro salto). Um Processo de Lévy puro salto é

um processo estocástico A, satisfazendo:

a) A é càdlàg (contínuo à direita e com limites à esquerda) e adaptado à filtração

St, t>0,Ae A;

b) Para todo t £ [0,1] eweO

At(u) = ^2&As(u)I{AAs(u,)>Q}(u;)I{[0!t]}(s); s

c) A tem incrementos independentes;

d) A0(u) = 0 ; AAt(u>) < 1 ; V w e f i ; V í 6 [0,1].

No Capítulo 3, fazemos um estudo detalhado sobre os processos de Lévy puro salto

e suas representações. Esta classe de processos foi introduzida por Lévy e pode ser car-

acterizada pela estrutura da função característica. Também neste capítulo, mostramos

que a classe de processos de Lévy puro salto pode ser caracterizada pelo compensador de

saltos i/, também conhecido como medida de Lévy. Para isso, associamos uma medida

aleatória [i, na forma

fj,(u-, [0,í] x B) = ^/{AAj(u;)>o}(w)/{[o>t]}(s)/{B}(AAs(cj)) ,

para u G fi, t G [0, 1] , B G /5((0,1]) e o compensador

u([0, t}xB) = E^t-[0, t] x B)} , B

20 I. Introdução

é a função densidade da distribuição beta com parâmetros a > 0 e ò > 0,

A) = f AQ(s)ds J o

é uma taxa de falha acumulada inicial e a , (3 são funções contínuas estritamente positivas

definidas em [0,1]. Além disso, a classe dos processos de Lévy é conjugada [Doksuin

(1974), Ferguson e Phadia (1979)]. Além disso, o processo beta também é conjugado e o

compensador à posteriori é dado por [Kim (1999)]:

vp{[0,t] x D) = í í (1 - x)y'-b(x : a{s)J{s))dxdA0{s) x 10 J D É r 1

-b{x : a(s), /3(s) + Y, - 1 )dxdNs, J 0 J D X

Ns = Ez hT,< ,} e r s = E , Im> s}=n-Assim, o estimador de Bayes para o processo beta com relação à função de perda

quadrática será dado pela esperança da distribuição à posteriori. Logo, do Teorema 3.2.1,

temos que o estimador de Bayes é

Ãt = E{At\N}= [ f xup{ds,dx) = í í {l-x)Y'b{x:a{s)J{s))dxdAo(s) Jo J0 J o J0

+ f [ b{x: a(s), P(s) + r5 - l)dxdN„ Jo J 0

/ • < r (a ( s ) + /?(s))F(/?(s) + ys.)^ , [f *(s) J„ r((3(s))r(a(s) + (3(s) + Ys)Xo{s)ds + J0 a(s) + fl(s) + Y. - 1 ^

Kim e Lee (2002) mostraram que At é consistente para estimar At se, e somente se,

a(s) = 1 , V s G [0, 1]. Além disso, quando a(.s') = 1 obtemos o processo beta de

Hjort(1990) com estimador de Bayes dado por:

A' = L m^Y,ds + J0 MTv, a i 0 )

Vamos assumir que as taxa de falha acumulada e taxa de falha iniciais .4o(s) e An(s') são

da distribuição Weibull, e dadas respectivamente por

= ( ; ) '

e

Ao (s) = \s"-í. a"

Além disso, propomos que a função (3{s) seja determinada por nS(s) onde

5 W = e x p - ( £ )

1. Introdução 21

é a. função de confiabilidade da distribuição Weibull, pois, conforme notado por Hjort

[1990, pg. 1264 ], /3(s) pode ser interpretada como o conjunto de risco em s à priori.

Vamos considerar v = l/ctb para simplificar a notação. Logo,

~ _ n nexp{-dsb}vbsb-1 ^ + ft dNs Jo n exp-í — + Ys Jo n exp{—vsb} -+- Ys Jo n e x p { — - f - \rs

onde a e 6 são os estimadores de máxima verossimilhança e v = l /a 6 .

Além disso no capítulo 4 propomos um estimador para a taxa de falha como sendo

fi{s)\o(s) , 1

( 1 . 1 1 )

A, = p(s) + J3{s) + Ys nexp{—vsb}vbsb~1 "1

+ — — . (1/12) n exp{—us6} + Ys n exp{—bsb} -f Ys

As estimativas de máxima verossimilhança, para os parâmetros a e b [apresentados na,

seção 1.1.3] são, respectivamente, « = 462.13 e b — 1.6099, logo v ~ 5.128 x IO -5.

O gráfico da Figura 1.6 mostra o comportamento dos estimadores da taxa de fa-

lha acumulada estimada via Kaplan-Meier, via Weibull e via inferência Bayesiana não-

paramétrica [conforme 1.10] para os dados do freio do ERJ-145.

Figura 1.6: Gráficos da Taxa de Falha acumulada estimada via Kaplan-Meier, Nelson-

Aalen, Weibull e Bayesiano Empírico

22 I. Introdução

23

Capítulo 2

O Processo Pontual

Neste capítulo iremos estudar o processo pontal, a decomposição de Doob-Meyer, a taxa

de falha do processo pontual e apresentar os teoremas de existência e unicidade para

o compensador do processo pontual. Para isso, deveremos ter bem definidos, o espaço

amostrai, a cr-álgebra e uma probabilidade com os quais iremos trabalhar.

2.1 O Espaço de Trajetórias

Considere 0 = t0 < tv < ... < tk G [0, oo) para algum k E N, os sucessivos tempos de

falhas de itens em teste . Assim, definimos a função x : [0, oo) —> S°° por

,x(0) = (0,0,0,0,0, . . . )

= (A[ti.°°)}(s)> %2,oo)}(.s)>..., I{[tktoo)}(s), 0, 0, 0,...),

oride /{.}(.) c a função indicadora de conjunto.

A função x definida acima representa todas as possibilidades de ocorrência para um ex-

perimento de confiabilidade onde, a cada item do experimento corresponde um tempo de

falha tj.

Lema 2.1.1. A função x : [0, oo) —>• S°° é mensurável.

Dem:

^ [ ^ ( { l } ) ] - ; 3 < k

^ H ^ ^ i O } ) ] = [ o . í , - ) ; j < k

•> \ - y ' ( { i } ) i = 0 ; i > k + 1

.x-^tt/HÍO})] = [0, oo) ; j > k + 1

24 2. O Processo Pontual

Mostramos que para qualquer C E % (ver Apêndice) temos, x~x(C) G /3([0,oo)). Temos

que mostrar que qualquer que seja A E G (ver Apêndice) temos xrx(A) E /3([0, oo)).

Considere então,

£ = {A C S°° : . x " 1 ^ ) E/?([0,oo))}.

Dessa definição temos que % C 5, então

Ç = a{n) Co{£).

Se £ for uma cr-álgebra então £ = &{£)• Basta então mostrar que £ é uma tr-álgebra. O

conjunto vazio e S*00 E £. Seja A £ £ então, x~l(Ac) = [ j ; " 1 ^)] 0 , desde que x~x(A) E

/j([0,oo)), temos que Ac E £. Considere agora Ai,A2, ••• E £ então,

oo oo

1 = 1 2 = 1

desde que x~l{Al) E /3([0,oo)), temos que At E £. Portanto £ é uma

cr-álgebra . •

Com isso fica definido nosso espaço de trajetórias. cujos elementos são as funções x, isto

é

Q = {x : [0, oo) —> | 0 = t0 < U < ... < tk E [0, oo), k E N}.

Vamos construir agora uma estrutura de mensurabilidade sobre o espaço de trajetórias

Í1 Considere o cilindro

C[k,]n]wn) = {x E fl : x(k) E tt^1 ({u;^})}

onde wne S = {0,1}, k E Q, k > 0, n E N.

Denotamos

© = {C{k; n; wn] : wn E S, k E Q, k > 0, n E N}

Definição 2.1.1. Urna classe A separa pontos em um conjunto V. se, para todo x, y E Q

distintos, existe A E A tal que

onde /{.}(•) é a função indicadora de conjunto.

Lema 2.1.2. A classe 0 é enumerável e separa pontos no espaço Q.

Deni: Desde que S é finito, Q enumerável e N enumerável, obtemos do Teorema 2 em

Kolmogorov e Fomim [1975,pag. 12] que O também é enumerável. Na sequência, vamos


mostrar que Q separa pontos no espaço í l

isto é, X[(s) x2(s), para algum s G [0, 00).

o = ti)


para algum k G Q e n G N. Assim, se tomarmos n0 = max{ji,^2} e teremos n o

n ^ = 0 -n = l

Portanto 0 é uma classe compacta. •

Definição 2.1.3. Urna, classe £ de subconjuntos de um conjunto E é chamada uma sem/i-

álgebra se ela satisfaz as seguintes condições:

1) 0 e E estão em £;

2) £ é fechada sobre intersecção finita;

3) se S G £ , então Sc é a união de uma família finita, de subconjuntos disjuntos dois

a dois de £.

Considere a classe A formada por intersecção finita de elementos de 0 união com o 0

e fi,

A = {C : C = Bx n ... n Bn, B, G 0 , n G N} U { 0 } U {fi}.

Lema 2.1.4. A classe A é uma semi-álgebra compacta.

Dem: Desde que A é formada via intersecção finita de elementos de uma classe compacta (0), obtemos que A também é compacta, Neveu [1965, lema 1.6.1, pg.26]. Só

falta mostrar que A é uma semi-álgebra. Por construção 0 e f i estão contidos em A.

Considere agora dois elementos Cx e C2 de A, C\ - B\ n ... n B\x e C2 = Bf fi ... n Bl , assim

C n c 2 = B\ nB\n... n Blki n b\2

é a intersecção finita de elementos de 0 pois cada B* G 0 , portanto Cj íl C2 G 0 . Seja

A G A então, A = BXC1 ... D Bkj Bt G 0 . Assim Ac = U[B[ U ... U B'k), onde B'3 = B} ou Bj = 5 • e a união é tomada sobre todas as possíveis combinações de Bj, exceto

B'3 — Bj, V j = 1 ,.. . ,n. Desde que todos os termos da união são disjuntos dois a dois,

concluímos que A é uma semi-álgebra. • A partir da semi-álgebra compacta A

podemos construir uma álgebra compacta de forma trivial.

Lema 2.1.5. A classe

T = {A : A = Bi U . . . U Bn, B, n B3 = 0 (i / j), n G N, B, G A}

é uma álgebra.


Dem: Desde que T é formada por união finita disjunta de elementos da classe com-

pacta A, obtemos que T também é compacta, ver Neveu(1965, lema 1.6.1, pg. 26). Agora,

vamos provar que T é uma álgebra. Para isto, basta mostrarmos que a classe T é fechada

por intersecção finita e pela operação de complementar. Considere Ai e A2 dois elementos

em T. Então temos que nt

A,t = { j B ) , * = i,2

onde {Bj : j = 1, ...n*, i = 1, 2} é uma família de elementos de A, tal que

B]nBl = 0 (J / / ; . / 1 . 2 .

Então, temos que n\ n 2

AlnA2 = {J\J(B^nB?).

j=u=\

Desde que os elementos da união são disjuntos dois a dois, concluímos que T é fechada

por intersecção finita. Para finalizar vamos mostrar que T é fechada por operação de

complementar. Seja A G T, então existe Bu...,Bn pertencentes a A com S j n B3 =

0 , {i^j), n A = [ j B r

j=í

Então, temos que

a - = n b í -j = i

Desde que B} e A obtemos que 6 T. Desta forma, concluímos que Ac E T. Portanto T é uma álgebra. • . A classe T é chamada álgebra dos cilindros.

Definição 2.1.4. Um espaço mensurável (E, 8) é separável se existe uma sequência {En}

que gera a o-álgebra, isto é, 8 = a{En}.

Definição 2.1.5. Um espaço mensurável separável (E,8) é Hausdorff se existe uma se-

quência {En} C 8 que separa pontos em (E,8), isto é, para cada xx e x2 G E distintos,

existe um m £ N tal que /{£m}(zi) ^ I{Em}{^2)-

Considere 3 a a-álgebra gerada pela álgebra dos cilindros T. Tendo í l e S obtemos

um espaço mensurável (íl, S) que é separável e Hausdorff, pois a álgebra T é enumerável

e separa pontos em (Q, S). Vamos definir agora uma função de conjunto sobre a álgebra

T. Dada uma função de conjunto A : T —> [0,1] satisfazendo


a) A(0) = 0;A(íí) = 1;

b) se A\, A2 £ T com Ai Pi A2 = 0 , então

X(A]uA2) = X(Al) + X(A2),

dizemos que A é uma função de conjunto finitamente aditiva sobre a álgebra dos cilindros

T.

Lema 2.1.6. Toda função de conjunto X : T —> [0, 1] finitamente aditiva é a-aditiva.

Dem: Desde que T é uma álgebra, é suficiente mostrarmos que A é contínua no vazio. oo

Seja {Cn} C T uma sequência tal que Cn D Cn+X e Cn = 0 , vamos mostrar que n= 1

lim X[Cn] = 0; Tl

no

ruas T é uma classe compacta, nesse caso existe n0 £ N, satisfazendo f^j Cn = 0 , então 7 1 = 1

n n o

= A [ f l CK] < A[p| CK] = A[0] = 0, Vn > n0. k=l k=l

Portanto, quando Cn | 0 nós temos que A[Cn] 4 0. • Considere F a classe formada por intersecção enumerável de elementos de T, isto é,

oo

r = {A : A = BI n B2 n B3 n . . . = p B7U B% e T, % e N} n— 1

Desde que T é uma álgebra, podemos formar elementos Dn = B\ r\B2n...P\Bn satisfazendo

a) Dn £ T;Vn € N;

b) D n D D n + i ; V n e N; oo oo

c) (~)Bn=f)Dn = A. n—1 n=1

Desta forma, os elementos de T podem ser representados como intersecção enumerável de

sequências monótonas decrescentes de elementos de T.

Lema 2.1.7. Considere X : T —> [0,1] uma função de conjunto finitamente aditiva. Então, existe uma única probabilidade P sobre tal que

a) P[B) = A[B]-y B 6 T;


oo b) Para todo K G F, existe urna sequência {En} C T com En D En+X e Ç^En = K.

n= 1 Além disso, temos que

P[K] = lim A[En\ n—> oo

cj /'ara temos que

P[A] = suP{P[K]

/4/em disso, a classe I é compacta.

Dem: Desde que T é formada por intersecção enumerável de elementos da álgebra

compacta Y, obtemos que P também é uma classe compacta , ver Neveu [1965, lema

1.6.1, pg. 26] Como consequência do lema 2.1.6 temos que a função de conjunto A é cr-

aditiva. Então, obtemos do teorema da extensão de Carathéodory, que existe uma única

probabilidade F sobre satisfazendo as propriedades a), b) e c). •

A seguir, vamos mostrar que (Í2, Q) é um espaço de Radon, conforme introduzido em Leão,

Fragoso, Ruffino (1999). Esta classe de espaços mensuráveis é importante para garantir

a existência de probabilidade condicional regular, que serão utilizadas para garantir uma

relação de existência e unicidade entre um processo previsível crescente e o processo

pontual. •

Teorema 2.1.1. O espaço mensurável (Í2, é Radon, isto é, para toda probabilidade P

sobre ternos que

P[A\ = sup{F[A'] : í c A , Á ' e r }

onde T é uma classe compacta.

Prova: Basta observarmos que toda probabilidade P sobre (Q, 5) é uma função de

conjunto P : Y —> [0,1] finitamente aditiva, e aplicamos o lema 2.1.7. •

2.2 Processo Pontual

Nesta seção vamos estudar probabilidades sobre (Q, 3) e o processo estocástico associado.

Para isto, começamos estudando filtrações sobre este espaço mensurável.

Definição 2.2.1. Uma família de sub-a-álgebras > 0} de uma a—álgebra T e

chamada crescente se s < t implica c Tt. Uma família crescente de sub-a—álgebras é

chamada uma filtração.


Definição 2.2.2. Quando {%,t > 0} é uma filtração, a a-álgebra P) ^St+h é denotado, h> o

por O limite à esquerda é a menor o-álgebra contendo todos os conjuntos e/m

[_J %-k e é escrito como ^t-h} h>0 h>0

Definição 2.2.3. Uma filtração é contínua à direita se =

Definimos uma filtração sobre o espaço de trajetórias Q por

3 o = { 0 , ^ } ;

% = a {C[k;n-,wn] : wn G 5, k G Q n [0, t},n G N } , í g [ 0 , O O ) ;

ôo = (J 3t} = 3. í€[0,oo]

A seguir, vamos mostrar que a filtração é contínua à direita.

Lema 2.2.1. Temos que

Sít = {̂ 4 G 3 : se x G A e x'(s) = x(s), s < t, então x' G A]

Além disso, temos que {S^} é contínua à direita.

Prova: Denotamos por

C o = ^ o !

Gt = {A G S : se x G A e x'(s) = x(s), s < t, então x! G ,4};

Temos que mostrar que = Gt, te [0,oo). Provemos que C Gt. Para isto, basta mostrarmos que todo cilindro C[k-,n;wn],wn G S, k G Q n [O, t],n G N, pertence a Gt. Temos que,

C[k- n; u>n} : {x G Q : x{k) G t t" 1 ({w„})} .

Assim, se x G C[k\ n; wn] e x'(s) — x(s),s < t, então

para todo k G Qfl [O, t], n G G S. Desta forma, obtemos que C Gt- Agora vamos

mostrar a volta, isto e, que D G t , t G [O, oo). Se A G Gt temos que

A £ C[k-n-w„}


para todo racional k > t, n 6 N e wn G 5. Se A = Q nada temos a fazer. Considere

A d Çl e A ^ Çl, existem elementos s G [0, t], n0 G N e wno G S tais que

A C C[s;n0 ;wn o] = {.x G íí : ;r(s) G ^ ( { w ^ } ) } .

Como Q n [0,t] é denso em [0, £], existe uma sequência {&,•} C Q fl [0,í] tal que

kn 4 s (k j > kj+í > s). Então, utilizando a propriedade de continuidade à direita

das funções indicadoras /{[tJ;0o)}(-)' concluímos que

oo C[s\n0;wno\ = f]C[kj;n0]Wno) G

J = I

Desde que A G obtemos que

A G [0, oo] é denominada tempo de parada

se {x : T(x) < í} G para todo t G [0, oo]

Para todo x G fi, temos 0 = t0 < ti < ... < tk G [0, oo) com k £ N e

x(0) = (0,0,0,0,0, . . . ) ,

:r(s) = (/{[iliOo)}(.s'),/{[Í2)OC)}(.s),...,/{[tfc)Oo)}(s),0,0,0,0,...), s > 0.

Assim, definimos uma função Tj : Q —> [0, oo] satisfazendo

Tj(x) = inf{s G [0, oo] : x(s) = (1, 1, 1, ..., 1, 0, 0, ...) = x v / j vezes

= tj\ se j < k

= +oo; se ] > k

Teorema 2.2.1. A função T3 : Q —> [0, oo] é um tempo de parada com respeito à filtração


Prova: Para todo t £ [0,oo], temos que

{x £ Q : Tj(x) = 0} = 0

{x £ Q : Tj{x) < +00} = íí

{x £ Q : Tj(x) j.}

Seja ki £ Q com {ki} 11, então

C\ki-1- l] = {xeQ: x{ki) £ TT-^ll})} £

Além disso, temos que

{x £ Q : Tj{x) < ki} = C[h; 1; 1] n C[h-2; 1] D 3; 1] D ... D C[kf, j- 1] £

Desde que é contínua à direita, concluímos que

00 {x £ n : Tj(x) < /.} = f | { x £ Q : T,(x) < kL} £ 3 t + = 3 t .

Portanto, Tj : f] —> [0, 00] é um tempo de parada. •

Com isso obtemos uma sequência de tempos de parada {Tj} satisfazendo

1) Tj(x) > 0; V x £ ft;

2) Tj(x) > Tj+\(x); V x t.q. Tj(x) < 00;

3) Tj(x) — Tj+i(x); V x t.q. T,(x) = 00.

Dados os tempos de parada {Tj} podemos definir uma função de contagem

N : [0, 00) x Q —> N U {00}, por

00 N t { x ) = ^ / { 7 - < Í } ( X ) , X £ Í Í , t e [0 , 0 0 ) , ( 2 . 1 )

1 Esta função é crescente em t, tem saltos unitários e admite limite à direita em t para

todo x £ Í2. Para mostrarmos que a função Nt é crescente em t, sejam j £ N e t\ < t2 £ K,

assim

^ j W ^ t i } ^ ) ^ hTj(x)


Além disso, segue do teorema da convergência dominada de Lebesgue, que

oo oo lim Nt_h(x) = lim V I{T0 z—' ~ ^—/ J — j=l j=l

Assim, iVj é contínua à direita e do mesmo teorema segue que Nt tem limite à esquerda

oo

lim Nt+h(x) = 1™ I{T, 0} pode ser encontrado em muitas aplicações, ele

é usado para modelar processos de chegada, como número de clientes que chegam em

um caixa eletrônico, emissão de partículas radioativas, número de chamadas telefónicas

que chegam num determinado intervalo de tempo etc.. Considere !7\, ...,T]t os tempos de

chegada sucessivos em um processo de Poisson definido sobre um espaço de probabilidade

(O, então T u T 2 — Ti, ...,Tk — são independentes e identicamente distribuídos

como uma distribuição exponencial com parâmetro l/A e a probabilidade induzida por

{Ni : t > 0} é a distribuição de Poisson com parâmetro Aí,

exp'At(Aí)fc P[Nt = k}^ kl

segue daí, que o valor esperado de {Nt : t > 0} é dado por E[Nt] = A t e a variância por

var[Nt} = A t. O parâmetro A é chamado de intensidade ou taxa de falha do processo e

no caso de A ser uma função de t, teremos o processo de Poisson não-homogêneo. Quando


ele for igual a um, diremos processo de Poisson com parâmetro unitário. Para o processo

de Poisson homogéneo temos que. para qualquer t, s > 0, TV, H — Ns é independente

de {Nu : u < t}, isto é, o processo de Poisson tem incrementos independentes e para

qualquer t, s > 0, a distribuição de Ns+t — Ns é independente de t, isto é, o processo

de Poisson tem incrementos estacionários. As trajetórias t —> Nt do processo são funções

escada, contínuas à direita, crescentes com saltos unitários e N0 = 0. A densidade de

probabilidade do n-ésimo tempo Tn de chegada do processo é uma Gama(n, X(t)) dada

por

desde que P[Tn < t] = P[Nt > n].

Exemplo 2.2.2. (Processo de Poisson Não-Homogêneo)

O processo de Poisson {Nt : t > 0} definido em um espaço de probabilidade (fi, P) é um processo de Poisson não-homogêneo quando os incrementos não são estacionários, isto é, para qualquer t, s > 0, a distribuição de Ns+t — Ns não é independente de t. Nesse caso a taxa de falha do processo para Nt é dada por uma função determinística A(t) e a taxa de falha acumulada é A(t) = JQf X(s)ds. A distribuição de probabilidade de Nt ê uma distribuição de Poisson com parâmetro A(t) = f*\(s)ds.

A densidade de probabilidade do n-ésimo tempo Tn de chegada do processo é dada por

2.3 Decomposição de Doob-Meyer

A decomposição de Doob-Meyer é um resultado fundamental na teoria dos processos

estocásticos, ele garante que um processo pontual Nt pode ser decomposto como a soma

de um martingale com um dado processo, chamado compensador. Para prosseguirmos,

daremos algumas explicações e definições de alguns termos que serão essenciais e que serão

bastante utilizados.

fTn(t) = X(t) exp (/oA(s)rfs)"-1

( n - 1 ) !


Definição 2.3.1. Um processo estocástico {Xt, t > 0} é adaptado para uma filtração

se, para cada t > 0, Xt é ^st-mensurável.

Definição 2.3.2. Seja X — {Xt : t > 0} um processo estocástico continuo à direita com

limites à, esquerda e {^t : t > 0} uma filtração, definida num espaço de probabilidade

(Q, P). X é chamado um martmgale com respeito à : t > 0} se

1) X é adaptado para : t > 0},

2) E\Xt\ < oo para todo t < oo,

3) = Xt (P - q.c.) para s > 0 e t > 0.

X será chamado um subrriartingale se 3) for trocado por

E[Xl+s l % ] > X e (P-q.c.)

e um supermartingale se 3) for trocado por

E[Xt+s\%}Ns, t > s, (P-g.c.)

pois Nt é uma função crescente. Assim, Nt é urn submartingale e segue desse resultado

que o processo de Poisson também é um submartingale.

Definição 2.3.3. Seja ( 0 , P ) um espaço de probabilidade com uma filtração

: t > 0}. A a-álgebra em [0, oo) x Q gerada por todos os conjuntos da forma

[0] x A, Ae

e

(a, b] x A, 0 < a < b < oo, A e $sa,

é chamada a a-álgebra previsível para a filtração {% : t > 0} e será denotada por


Definição 2.3.4. Um processo X é chamado previsível com respeito a uma filtração

se, como uma aplicação de [0, oo) x em R, ele é mensurável corri respeito a a-álgebra

previsível. Nós chamamos X de um processo Zst-previsível.

A previsibilidade de um processo implica que nós podemos prever valores em qualquer

ponto dado os valores em pontos precedentes como no caso de processos que são contínuos

à esquerda. Qualquer processo com trajetórias contínuas quase-certamente é previsível.

Por exemplo, o processo de Wiener é um processo previsível enquanto que o processo de

Poisson não é, pois suas trajetórias são do tipo escada. [B.L.S. Prakasa Rao(1987)]

Definição 2.3.5. Um tempo de parada 0 (com respeito à filtração t > Ojé chamado previsível se um processo pontual Nt = I{e 1}, tais que 9n < 9 e lim6n = 9 (P-q.c.). Tl

Definição 2.3.6. Um tempo de parada a(com respeito à filtração t > 0) é dito ser totalmente inacessível se P[0 = a < oo] = 0 para cada tempo de parada d previsível.

Definição 2.3.7. Um processo estocástico X = {Xt : t > 0} é quadrado integrável se

supE\M t \ 2 < oo, t > 0. t

Considere um martingale M quadrado integrável sobre P) então,

E[Mt2|3s] < {E[Mt|3.s])2 = Ma2, t > s

o sinal de desigualdade é garantido pela desigualdade de Jensen. Dessa forma, M2 é um

subrnartingale e segue da decomposição de Doob-Meyer a seguinte definição,

Definição 2.3.8. A variação quadrática previsível de um martingale M quadrado inte-grável é um processo previsível crescente contínuo à direita < M, M > tal que

M = M2- < M,M >

é um martingale.

Teorema 2.3.1. Supondo que E[Nt] < oo, t £ [0,oo); então, existe um único (no sentido

estocástico) processo crescente previsível At, adaptado para com, A0 = 0, tal que:

M — N - A


onde M é um martingale quadrado integrável e,

< M, M > = < M > = A,

também, o compensador At, t> O, é continuo t < oo (P — q.c.) se e somente se os tempos

de salto do processo Ntj t > 0, são totalmente inacessíveis.

Prova O processo Nt é um submartingale com trajetórias contínuas à direita e por-

tanto de classe DL (ver [Teorema 3.7, pag.62, Lipster e Shyriayev]) e da decomposição de

Doob-Meyer [Liptser e Shiryayev Teorema 3.8, pag. 65]

M = N - A

é um martingale. Agora precisamos mostrar que M é quadrado integrável, portanto

uniformemente integrável. Consideremos os seguintes instantes de salto Tn : n — 1,2,. . .

de N, totalmente inacessíveis. Dado que o processo {N t Arn ,^t) é quadrado integrável,

pois ele é não-decrescente e limitado, isto é,

P[0 < NtATn < n] = 1, para todo t. Assim, (ver [Meyer: Probabilités et Potentiel, seção

VIII, teorema 31]),

Mt/\Tn = A tATn - AtATn

é martingale quadrado integrável. Agora precisamos mostrar que:

ATATN = < M , M >T/\TN

que é o mesmo que mostrar

M l T n - AtATn (2.2)

é um martingale. Assim, para qualquer e > 0 e s < t arbitrário, define-se uma sequência

Sq < Si < S2 < ••• de tempos de parada, tal que

5*0 = s , limSfc = t k

AtKT^s^ < e (P - q.c.) (2.3)

0 < NtATnASk ~ NtWnAS^


oo ^^[NtATnASk - AWnASfc.! - AtATnASk + ^ÍATÂS^,]2 k = 1

y]WtATnASk ~ AîAÂS^,]2-k=1

fc=l

+ - AtATnASk^} (2.5)

Como, (NtATnASk ~ N^TnASk-i) só pode assumir os valores 0 ou 1, temos que

HATnASk — JVtATnASfc.,]2 YlíNt*T»*sk ~ Nt, k = 1

m

lim V[AWnA.sA - Ntf,Tn^sk^] = NtATn - NKATn m < * k=1

Então,

I E[J2[MtATnASk - MtATnASkJ2 - {NtATnASk NtATnASk„,]13S] |< k=l

oo

I - A/ÍA7'nA5;i;_1][/lÍATnAs(, - AÍATnA5fc_J I + k=1

oo

! ~ ^íATnASfc.J2 | = Jfc = l

usando 2.2, temos que o termo do lado direito da desigualdade fica

= 2e[AW„ - NtATn] + e[NlATn - NtATn]

e como e é arbitrário, oo

£[^(MiATnA5, - MtATnASk^)2 - (NtArnASk - NtATnASk^)\Qs} = 0 k=l

Usando o fato de que

E[(MtATnASk - MÍATnA.SVl)2=

^ « r „ A 5 t ~ MlTnASkJ%]

e como,

- AtAT


é um martingale segue que

E[NtATn - NSATn\%] = E[AtArn - AsATJ3s]

Daí,

- MtATnASk-J - {AtKrnhSk - ^tATnASfc-Jl^s] -k= 1

m

~ M?ATnASkJ - (AtATnASk -

= - Ma2ATJ - (AtATn - A s A T n ) = O

m k= 1 IS,

Portanto

M?ATn ~ AsATn

é um martingale. Com isso conclui-se que

^ÍAT„ — < M,M >t/\Tn (2.6)

Desde que MtAj-nconverge para Mt, segue do lema de Fatou que

E[M2] < lim E{NtAT• ] = E[Nt] Tl —>00

E pelo teorema da convergência dominada

E[M?\^s} = E[\imMlTJZs} =

= Um E[M?aTJ5s] < lim M^Tn = M 2 n ti Assim, M2 é um submartingale positivo, pela decomposição de Doob-Meyer existe um

único processo crescente previsível B, tal que

M2 - B

c um martingale. Agora usando 2.6 segue que

Bt = lim BtATn = lim AtATn = At, n n

a prova da segunda parte segue de [Liptser, Shiryayev, coroláriol,cap.l8]. Portanto a

prova está concluída. D

Exemplo 2.3.1.


Considere o processo de Poisson homogéneo Nt definido em um espaço de probabilidade

(Í2, P) e adaptado para uma filtração Ele é um subrnartingale e sua taxa de falha

acumulada é At = Aí, usando a decomposição de Doob-Meyer podemos verificar que

Mt ~ Nt — At é um martingale

O item 3) da definição de martingale está provado, os itens 1) e 2) seguem de forma trivial.

Assim, At é o compensador do processo de Poisson homogéneo. Como ele é contínuo, do

teorema segue que os tempos de salto desse processo são totalmente inacessíveis, isto quer

dizer que para cada T instante de salto não existe uma sequência de tempos {Tn} tais

2.4 Taxa de Falha do Processo Pontual

Nesta seção faremos um estudo da taxa de falha at de um processo pontual Nt conforme Aalen (1978). Seja (íl, P), t £ [0,1], o espaço de probabilidade adaptado com a filtração (contínua à direita) definidos no início deste capítulo [Seções 2.1 e 2.2], Assim,

vamos assumir que as seguintes suposições são válidas

1) E[Nt] < oo , t < oo;

2) Os tempos de salto 7\ < T2 < ... de Nt são totalmete inacessíveis.

Além disso, vamos assumir que existe uru processo não negativo a com trajetórias contínuas

à esquerda, com limites à direita em cada ponto, adaptado à filtração ^ e

O processo a é chamado taxa de falha (ou processo intensidade) de N com respeito à filtração e a probabilidade P.

Teorema 2.4.1. Suponha N é um processo de pontual, e seja Ti,T2,... os sucessivos

tempos de salto de N, isto é, os tempos t, tais que ANt = Nt — Nf_ - 1. Assim,

E[Mt |3S] = E[Nt-At\%} = E[Nt-\t\%] = E[Nt\%}-E[\t\5ia]

= E[Nt + NS- Ns\%] - At = E[Nt - Ns|3S] + E[NS\%] - Aí

= E[Nt - Ns} + Ns - Aí = N„ - As= M,.

que Tn < T e lim Tn = T. n

P[Tn+\ Tn < fi absolutamente contínuo em t


se e somente se o compensador A de N pode ser escrito como

At = asds, J o

onde as é uru processo estocástico.

Esse Teorema diz que se a distribuição entre os tempos de falha for absolutamente

contínua o compensador do processo será absolutamente contínuo. O seguinte teorema

pode ser encontrado em Fleming e Harrington [1991,pg. 131, Teorema 4.2.1] ou Aalen

[1978, Lema 3.3, i e ii].

Teorema 2.4.2. Seja {Nt : t > 0} um processo pontual e {At : t > 0} o compensador com

respeito a uma filtração contínua à direita {$5t : t > 0}. Assuma At = J^ asds para algum

processo a que é contínuo à esquerda, tem limite direita e é limitado por uma variável

aleatória integrável Q, isto é, at < Q, para todo t e E[Q] < oo. Então,

(1) l]mjE[Nt+h-Nt\%] = at+ /i->o ri

(2) lim ~P{Nt+h -Nt = l | 3 t ] = a t + . h^y 0 h

Prova para o item (1)

\im\-E[Nt+h-Nt\%] = lim )-E[Mt+h - Mt + At+h - At\%] = /i->o h, h->o h

lim i { E [ M t + / l | S t ] - E[Mt\%] + E[At+h - At\%]} = h->0 h, 1 1 f t + h

lim -E[At+h - At\$st] = lim -E{ / asds\%] = h^Q h h->0 h Jt j rt+h

E[lim - / ascis|SÉ] = = at+ h—>0 ri Jt

vamos provar agora o item (2), fixemos t e seja S > t o instante do primeiro salto

depois de t. Desde que S é um tempo de parada, segue que I(t,s](u) é uma família

de variáveis aletórias adaptada para desde que ele é contínuo à esquerda, ele é um

processo previsível. Para h > 0, definimos a integral estocástica

/

t+h

I{t>s]{u)dM(u)


este processo, com h variando no tempo é um martingale, assim

1 1 f t + h \im-P[Nt+h-Nt>l\%] = lim -E{ I{t,s](u)dN(u)\% h->0 ti /40 tl Jf t

^ rf+k

lim -E[ I{ttS](u)dA(u+)\%] = hio n jj I rt+h

£ [ l i m - / I{ttS](u)dA(u+)\%} hio ti £[a(it+)|3t] = a(u+)

Agora só precisamos mostrar que

l i m ^ P [ A í + / t - A ( > 2 | ( A ( ] = 0 hl o h

Considere agora 5*1 o instante do segundo salto do processo N depois de t.

1 1 ft+h \im-P[Nt+h-Nt>2\%] = l im-E[ I{s,Sl](u)dN(u)\%} --hio n, hl o ti J,

1 rt+h = lim -E[ I{t,s]{u)dA{u+)\Çít]--hl o h Jt

rt+h = £[limi í I{t,S]{u)dA(u+)\Zt} = 0 hlO ri J f

e portanto o item (2) está demonstrado.

No Capítulo 4 vamos estimar a taxa de falha acumulada A do processo pontual NT de forma Bayesiana não-paramétrica para o modelo de intensidade multiplicativa [Aalen

(1978)], nesse caso a taxa de falha a tem a seguinte forma

as = YsdAs,

onde Y é um processo observável da amostra e A é uma função determinística desconhe-

cida. Também vamos apresentar um estimador para a taxa de falha desse processo.

2.5 Representação do Processo Pontual

Nesta seção nós apresentamos os teoremas de existência e unicidade do compensador,

esses teoremas garantem que

Teorema 2.5.1. Seja F(t) = P{Ty < t), e seja

Fi{t) = P(Ti2,


funções distribuições condicionais regulares. Então o compensador A = { A t , 3 t } , í < +00,

do processo pontual N = {Nt, t > O, pode ser definido pela fórmula

i>i

onde

JQ 1 - Fi(u-)

(A)Para fixados Sj_i,..., S), so, a função Ql(sl : s2_ 1,..., Si, s0) é não decrescente, contínua

ã direita, com saltos que não excedem uma unidade e, para Sj_i < 00,

lim QÍ(SÍ : Sj_i, ...,Si, s0) = 0; s jJ.A'i-1

(B)Qj(si : .Sj_i,..., Si, So) = 0 fora do domínio

{(•S;, -Sí-l,-•-, Si, s0) : s% > Sj_, > ... > s 1 > s0};

{C)A\(x)=Qi{tATi(x):Ti-i(x),...,Tl{x),0).

Teorema 2.5.2 (Teorema de Existência). Seja Ql(si : s t_!, ..., s1 ; s0), i > 1, uma

sequência de funções Borel satisfazendo (A) e (B). Então, no expaço mensurável (Q, S)

existe urna probabilidade n tais que o processo

A = {At(x), %,fi),t> 0 com At{x) = ^ T Aj(x)

e

A\(x) = QiitATiix) : T^.xCx), ...,T\(x),0),

é um compensador do processo pontual N = (Aft, fj,),t > 0

Teorema 2.5.3 (Teorema de Unicidade). Seja A = (A t(x), î) e B — (Bt(x), //),

í > 0, os compensadores dos processos pontuais (Nt(x), /i) e (Nt(x), t > 0, re-

spectivamente. Seja 9 = 0(x) um tempo de parada ( com respeito ao sistema (St),£ >

IÍCMS gue; ou v)(P-q.c.), AtAg — BtA&. Então as restrições e v/ê das medidas n

e u para a a-álgebra Qg = cr(^JSÂrn) coincidem.

45

Capítulo 3

Processos de Levy Puro Salto

3.1 Introdução

Neste trabalho estaremos assumindo que a taxa de falha acumulada A é um processo

Levy puro salto, chamado de processo Beta. Processos de Lévy têm surgido em vários

trabalhos de análise bayesiana não paramétrica, Doksum (1974), Ferguson (1974), Fergu-

son e Phadia (1979), Hjort (1990), Kim (1999), Kim e Lee (2001) e aparentemente um

dos primeiros trabalhos sobre o assunto foi de Ferguson e Klass (1972). A importância

dessa classe de processos está no fato de serem conjugadas, resultado devido a Doksum

(1974) e Ferguson e Phadia (1979). Interesse em fazer simulações têm feito alguns au-

tores estudarem a representação desses processos, Damien, Laud e Smith (1995), Walker

e Damien (1998,2000), Wolpert e Ickstad (1998). Aqui, vamos estudar os processos de

Lévy puro salto via o compensador.

3.2 Processos de Lévy Puro Salto

Para a obtenção de alguns resultados nessa seção precisamos que a base estocástica

[Q , ^t, P)t>o seja completa. Para completar uma dada base estocástica (Í2, S , P)t>o

procedemos conforme Jacod e Shiryaev [(1987), pg. 2]. Neste sentido, completamos

primeiro a a — álgebra Çy, denotando por M p a classe de todos os subconjuntos dos con-

juntos de probabilidade nula (com respeito à P) e por a menor cr—álgebra gerada

por 3 U Áíp . Da mesma forma, tomamos a menor a—álgebra gerada por e J \ íp e

denotamos por Qf. Assim, (fi, S f , P)t>o é a dada base estocástica completada e,

além disso, a filtração definida por Qf não perde a propriedade de continuidade à direita

46 3. Processos de Lévy Puro Salto

[Protter (1990), Teorema 31, pg. 22]. Para evitar carregar a notaçao vamos considerar

que (Í2, St, P)t>o é uma base estocástica completa.

Definição 3.2.1 (Processo de Lévy puro salto). Um Processo de Lévy puro salto é

um processo estocástico A definido sobre (Í2, P)t>o, satisfazendo:

a) A é càdlàg e adaptado à filtração t > 0;

b) Para todo t G [0,1] e u G Q

Desde que A tem trajetórias càdlàg, ele tem no máximo um número finito de saltos

de tamanho maior que e (e > 0, fixado) no intervalo (0, 1] [Billingsley(1968), Lema 1, pg.

110]. Logo, A terá no máximo um número enumerável de saltos . Assim, a representação

(b) está bem definida. Observe que podemos caracterizar o processo de Lévy puro salto

através das distribuições dos saltos e do tamanho do salto. Para isto, associamos uma

medida aleatória na forma

para ui G Q, t G [0,1] e B G /3((0,1])

Para todo B G /?((0,1]), definimos tempos de parada com respeito à filtração [ver,

Delacherie e Meyer (1978), Teorema 44, pg. 66] da seguinte forma

T0B{UJ) = 0 ; w £ í í

T / V ) = i n f { í > T ( f ( W ) : / { A / 1 ( M > 0 } ( W ) / { B } ( A / l í ( ^ ) ) = l}

s

c) A tem incrementos independentes;

d) A)(u;) = 0 ; AAt{u) < 1 ; V u e f i ; V £ £ [0,1],

s

T r f H = i n f { í > T r f _ 1 ( a ; ) : / { A / l t H > o } ( ^ ) / { f í } ( A A í ( W ) ) = l}


A partir da sequência de tempos de parada {T^}, podemos interpretar /j, como um pro-

cesso pontual da seguinte forma

//(w; [0,í] x B) = ^ / { A ^ H > 0 } ( t j ) / { [ 0, < ]}(s ) / { £ j } (Ayl , (w)) ,s oo

= (3-1) i—l

L e m a 3.2.1. Para todo B G /3((0,1]); tornamos uma medida sobre ([0,1] x (0,1]; /3([0,1] x

(0,1])), na forma

t] x B) — E[fi(.; [0, t] x B)}

Além disso, o processo estocástico

MtB{u) = /j.(OJ; [0,£] x B) - i/([0,t] x B) (3.2)

é um martingale com respeito a filtração e u é única, no sentido de que se existe u,

uma medida sobre ([0,1] x (0,1]; /3([0,1] x (0,1])) satisfazendo 3.2, então u = v.

Prova : Vamos mostrar que de fato u é uma medida sobre ([0,1] x [0, l];/3([0,1] x

(0, 1])). Assim, devemos mostrar que v satisfaz:

i) f(0) = 0;

ii) x Bi)) = HAi x B{) , ^ G p([0,1]) , Bt G /?((0,1]) ,

{AI x BI) R\(AJ x B3) = 0 , i í j.

O item i) sai direto do fato de p ser medida. Considere x ^i) com {Ai x Bl) H(A? x

Bj) = 0 , i / j e Ai G /3([0,1]) e Bt G /3((0,1]). Utilizando o Teorema da Convergência

Monótona, temos

x Bi)) = E lp{ . , \ J{A l xBi ) )} = E [ f 2 » { , A l x B l ) } i=i i=i

n n

£[lirn Y»{.,Aí x Bt)\ = lim S l V M ^ . * (3.3) n—>oo z — ' n—y oo í — ' i=l 1=1

n oo oo

lim y E[fx{., Ai x Bi)} = y E[p{., A, x Bi)] = V HA x B,). n—>oo ' ^ ' J 2=1 1 = 1 2=1


Agora, vamos mostrar que Mb(uj) é um martingale. Assim, para s


'B f2(x)v(\O, t] X dx) = Var[ / f(x)M(- [O, t] x dx)}. (3.5)

Prova: Vamos provar 3.4, para isso, vamos primeiro considerar /(ar) como sendo

uma função simples f ( x ) = í aj-^9j(x')- Assim,

El/ fn(x)f,(-[Q,t}xdx)} = £[/ J]a,/Bj(x)M(.;[0,t}xdx)} JB j = l

n ,

/ /Í(.;[0,Í] x d i ) ] J = 1 J BnBj Tl

£ £ a j í l ( . ; [ 0 , i ] x B n B J ) ]

= f(x)v([0,t]x dx). J B

Vamos supor agora que f(x) é uma função mensurável não-negativa. Seja /„ uma se-

quência de funções simples, tais que f n ( x ) —> f(x) e fn(x) = Então,

aplicando o Teorema 6.2.1 e o Teorema da Convergência Monótona, temos

E{ [ fi.c)fi(.: [0, t] x dx)] = E[f lim fn{x)fx(.; [0, t] x dx)} Jb JB

„ n

= £ [ l i m / V a"IBn(x)fj,(.;[0,t} x dx)} Tl—y OO / D ^ ' 3 J B J=l Tl

= £ [ l i m y a > ( . ; [ 0 , í ] x f í n 5 " ) ] n—>oo ^ — '

Tl = lim V a > ( . ; [0, í ] x f i í l fí")]

J = 1

= lim / /ra(x)i/([0, í] x dx) n->ooJB

= í Um fn(x)v([0,t] x dx) J B n~>°°

= f f(x)v([0,t]xdx) I B

Considere / ( x ) uma função mensurável geral. Temos que toda função mensurável é de-

composta como a diferença entre suas partes positiva e negativa, isto é / = f+ — f~,

onde / + e / " são funções mensuráveis não-negativas. Dessa forma, aplicando o resultado


anterior

E[í f(x)fi(-[0,t}xdx)} = £ [ / [ / + ( x ) - / - ( x ) M . ; [ ( U ] x dx)] J B J B

E{ f+(x)i,(-[Q,t]xdx)- / f 0 e E[M'{] — 0. Supondo que B, e Bj são

disjuntos. Nós temos

E\MiMi\ = - -k l

para qualquer partição 0 = t0 < ti < ... < tn = t. Usando a propriedade martingale,

temos

E[M\MÍ) = ~ < ) « + 1 ~ K)] k

e da desigualdade \ab\ < (a2 + b2)

- MlKK+l - K) < ( £ ( < + . - + ( £ « + , - K))2 k k k

Além disso,

+ 1 - M]k)f < [0, t] X B,))2 + (£[/,(.; [0, í] x Bi)])2. k

Portanto as somas são dominadas por uma variável aleatória integrável. Desde que e

M( tem trajetórias de variação finita em [0, t], nós podemos tomar uma sequência (7rn)n>1 de partições onde o maxfc \tk - tk_i\ —v 0, nós temos

E[M\Ml\ = E[J^ A M ;A M í1 = E[ £ A/x(.; [0, s] x Bt) A/x(.; [0, s] x Bj)} = 0; 0


A esperança acima é O porque, se A / Í (CJ ; [0, S] X Bt) = 1 no instante s então, A^4S £ Bu caso contrário é 0 e como B, e Bj são disjuntos, AA,S não pode saltar no mesmo instante para lugares distintos. Considere agora f(x) = aj^B3(x) urna função simples, temos

2 E[ f(x)^-[0,t]xdx)- / f(x)u([0,t]xdx)] J B J B

« ri . n Ei yZo,jIB](x)^(.;[0)t}xdx)- / J2ajIBj(x)v([0,t]xdx)]2

J b J b j=i ri n

x BílBj) - x B n Bj)}2

3=1 3=1 Tl ^EMM-; [M x -^(M x B n BJ)]]2

3 = i Tl 71 71 Tl

E^ajMlf = ̂ ^ [ M / f + ^ ^ a A ^ M ^ ] j = l j = l r=l s=l

n

xBnfij)= I J2a2LB]{x)u([0,t] x dx)

f2(x)v{[0,t] x dx). J B

O resto da prova segue da mesma forma como foi feito para 3.4. •

Considere o processo,

Ht{u) = At{u)-E[At} =

= At(u) - / xu([0, t] x dx), Jo

pois,

E[At] = E[f xfi(.; [0, t) x dx)] = f xis([0, t] x dx) (3.6)

Proposição 3.2.1. O processo Ht é um martingale corri respeito à filtração {St}.

Prova: E semelhante à prova feita no lema 3.2.1. •

Desde que A é um submartingale, obtemos da decomposição de Doob-Meyer que E[At] é

o compensador do processo de Lévy puro-salto At.


3.3 Representação do Processo de Lévy

Considere A : í) x (0,1] —> [0,1] um processo de Lévy puro salto. Então, A tem a seguinte representação

M") = M U ) > 0 }(U)I{ [o,í] }(s), t e [o , i ] , U g a s

Nesta seção, vamos introduzir uma representação para o processo de Lévy que será uti-lizada para obtermos um algoritmo de simulação de tais processos. Nossa representação é uma generalização da representação de Ferguson e Klass(1972) e Walker e Damien (2000).

Seja B^ = (T^, um intervalo diádico para k = 0,1,..., 2n - 1 c n k m < { }

s f^ ) = £ 7 f r H k =0

obtemos que S\n^ é um tempo de parada, e

2n — l 2n — 1 oo

k=0 k=0 i=l { T-* H< t }

oo 2"-l oo

I = 1 k=0 1 1 \ / — J l=i pois,

2n — 1 U { < í } = ( 'tHco) < t }. k=0

Assim, concluímos que

2"-l [0, t] x (0,1]) = ( M x Bk]) = E h soo

obtemos que 5", é um tempo de parada, e

^ J O , í ] x ( 0 , l ] ) = n l i r n E / { ^ ) M < i } M = i-i


V lim / • ^ n —i rví sln)(U)< t } i=l

LU = SiM< t } H , i—l

pois,

{ u : s j N ) ( U ) < t } = { OJ : S^u) < t }

Assim, concluímos que a medida aleatória /i pode ser representada por oo

n{u>l[0,t] X B) = J ] / { B } ( A A S I H ( ( J ) ) / { 5 I M < t](uj), i=i

para todo u É Í ] , í e [ 0 , l ] e B e /3((0,1]).

Além disso, obtemos que para todo t £ [0,1] e cu £ í], rl °° /-t

AT(U) = / XFI{U : [0,í] X dx) = ]T&ASíM(U))I{Sí{w)< T](UJ) = / A A s d G s ( u j ) , i=i

onde Gf(oj) = X ^ i t } ^ ) c o r r e s P o n de ao processo pontual que conta o número de

saltos do processo de Lévy puro salto A. Com isso, obtemos o seguinte lema.

Lema 3.3.1. Considere A um processo de Lévy puro salto, então oo

M") = Si(u)< t }• i=l

Na maioria dos processos de Lévy puro salto encontrados na prática, o compensador

v é dado por

i / ( [ 0 , i ] x f i ) = / / fs(x)dxds J 0 J B

Lema 3.3.2. O compensador do processo de salto Gt é dado por:

i / ( [ 0 , í ] x ( 0 , 1 ] ) = fs{x)dx ds ; te [0,1].

Prova: Inicialmente, temos que

[0,t] x B) - v{[0,t] x B)

6 um martingale. Assim, concluímos que " rt r r

i=1 J o Uo fs{x)dx ds

é um martingale com respeito a filtração Finalmente, obtemos da unicidade da de-

composição de Doob-Meyer que o compensador é único. •

Observe que o processo pontual Gt é um processo de Poisson não-homogêneo com taxa

de falha / fs(x)dx.


3.4 Processos Beta

Vamos fazer uma aplicação aos processos beta [Kim(1999),Hjort(1990)j. Assim, considere

Ao, OL e (3 funções contínuas estritamente positivas definidas em [0,1] e AQ = f* A0(s)ds,

para todo t £ [0,1]. Vamos denotar por b(x : a, b) a densidade da distribuição beta com

parâmetros a, b > 0 , ou seja

b(x : a, b) = l í ^ L ^ l - x)b~\ Q < x < 1. r(a)r(6)

Assim, o processo beta com parâmetros (A0, a(t), (3(t)) é um processo de Lévy A com

compensador dado por

i/([0,t}xB) = [ [ h(x : a(s),P(s))dxdA0{s) J 0 JB

—b(x : a(s), /3(s))dx\o(s)ds t r !

0 JB X

= f í - f Jo JB a ; r (a(s)) + r(/?(s))

Considerando o Teorema 3.2.1, vamos calcular o valor esperado e a variância do processo

de Lévy A.

E[At} = I xv([0,t] x dx) = I J b(x : a(s), fls)dA0(s)dx

= / " / " ^ f l ^ - 1 ! ' - * r > - u X M S ) é S j0 j0 r(a(s))r(p{s))

t \Q(s)ds o

Var[At] = [ x2u([0,t] x dx) = [ í xb(x : a(s), (3s)dA(](s)dx J o J o J o

-t r 1

o Jo r (a (s ) )r (^(s ) ) "4 ais)

/0 a(s) + /?(s) A0(s)ds.

Quando a(s) = 1 para todo ,s G [0, 1] teremos o processo beta de Hjort(1990) com parâmetros 1 e /3(s). Logo,

V a r l ' 4 «l = Í T T T T i ' " -./o l + p ( « )


Os saltos do processo beta é um processo de Poisson não-homogêneo com taxa de falha

í -b(x : a(s)J(s))dxX0(s) = E[~]X0(s), J 0 £ Xs

onde Xs tem distribuição beta com parâmetros a(s) e /3(s), para todo s £ [0,1].

57

Capítulo 4

Inferência Bayesiana

4.1 Introdução

Sejam Xi,..., Xn variáveis aleatórias positivas independentes e identicamente distribuídas com função de distribuição F. O objetivo consiste em estimar F, onde o parâmetro de

interesse (F) pertence a um espaço de funções. Assim, para aplicar o enfoque Bayesiano,

precisamos definir uma probabilidade sobre o espaço das funções de distribuição acumu-

lada. Para isto, basta construirmos uru processo estocástico cujas trajetórias são funções

de distribuição acumulada. Neste sentido, destacamos os processos de Dirichlet [Ferguson

(1973),(1974)], processos tailfree e neutral to the right [Doksum (1974)]. Se F é absolu-tamente contínua com função densidade / , Dykstra e Laud (1981) utilizaram processos

gama estendido como distribuição à priori para a taxa de falha A. Ao invés de estimar

a função de distribuição acumulada F, Hjort (1990) propôs um método Bayesiano para estimar a taxa de falha acumulada A. Se F é absolutamente contínua, então, os resultados obtidos para estimar F podem ser facilmente adaptados para estimar A, pois

F(t) = 1 - exp{ -A(t) } , V t G [0, oo).

Além disso, sabemos que F é absolutamente contínua se, e somente se, A também é

absolutamente contínua [Liptser e Shiryayev, Corolário, pg. 249, (1978)]. Por outro lado,

todos os processos estocásticos utilizados para definir a distribuição à priori são processos

de Lévy puro salto. Assim, todos os processos estocásticos à priori apresentam trajetórias

do tipo escada, consequentemente não são absolutamente contínuas. Desta forma, os

resultados apresentados para estimar F não são diretamente adaptados para estimar A

e vice-versa. Neste trabalho, vamos apresentar métodos para estimar a taxa de falha

58 4. Inferência Bayesiana.

acumulada A, como apresentado em Hjort (1990) e Kim (1999).

Considere a base estocástica (Q, P)t> o satisfazendo as condições usuais, vamos

assumir que o processo pontual Nt está definido em [0,1], embora ele possa ser generalizado para o intervalo [0, r] e que o processo A( satisfaz o modelo de intensidade multiplicativo

onde Y é um processo previsível (observável) e A é uma função determinística desconheci-

da, denominada taxa de falha acumulada. Abaixo, definimos o espaço das taxas de falha

acumulada.

A = {classe das funções não decrescentes A contínuas à direita

definidas em [0,1], AA < 1, A(0) = 0}

Para esta classe considere S^ a cr—álgebra gerada pelos cilindros. O espaço das obser-

vações corresponde ao fl definido na seção 2.2 com a u-álgebra associada S.

4.2 Estimação Bayesiana Não-Paramétrica

Para aplicarmos o enfoque Bayesiano, tomamos uma probabilidade à priori sobre o espaço

{A, XU) induzida por um processo de Lévy com trajetórias em A. Na seqiiência, utilizamos o modelo de intensidade multiplicativa de Aalen,

para construir uma única probabilidade PA sobre (í! x x X_4) [Teorema 2.5.2], tal

que a marginal sobre A coincide com a probabilidade induzida pelo processo de Lévy A. Além disso, dado A, o compensador do processo pontual satisfaz o modelo de intensidade

multiplicativa.

A distribuição à posteriori de A dado N está bem definida pois Í1 é um espaço de

Radon e A é uni espaço métrico completo (corri a topologia de Skorohod). Aqui, vamos estudar o processo à posteriori A\N. Hjort (1990) mostrou que se o produto integrado

for finito (P - q.c) e se A é um processo de Lévy puro salto, então, o processo à posteriori

A\N também é um processo de Lévy puro salto. Além disso, Hjort (1990) introduziu a


classe dos processos beta e mostrou que se A é um processo beta, então, o processo à

posteriori também é beta.

Finalmente, Kim (1999) utilizou a caracterização dos processos de Lévy puro salto via o

compensador [Capítulo 3] para generalizar os resultados de Hjort (1990). Sem a utilização

da hipótese da existência do produto integrado, Kim (1999) calculou o compensador do

processo à posteriori A\N dado como priori um processo de Lévy puro salto.

Um processo de Lévy puro salto tem a seguinte representação [ver Definição 3.2.1,

Capítulo 3]

A M = AAM/{A^(W)>0}(w)ir{[0,í]}(s), s

indicando que sua trajetória é uma função escada crescente com o tamanho do salto

e /{A>MW)>O}(wK{[O, «]}(s) correspondente ao tempo do salto. Definimos uma medida fj, em

Q x [0,1] x (0,1] como

fi(uj; [0,í] x B) = ^ / { A A S M > O } ( ^ H { [ O, t}}(s)I{B}(AAs(uj)) s

para u G tt, t G [0, 1] e B G /3((0,1]). Com isso, obtemos que

At{u)= í x / i ( . ; [ 0 , t ] x d x ) (4.1) J o

e a medida \JL caracteriza o processo de Lévy puro salto. Obtemos de Jacod [1979, pg.

80] que ji é uma medida aleatória de Poisson. Se definirmos uma medida cr-finita u em

[0,1] x (0, 1] por

^([0, í ] x B ) = E[fi{cj, [0, t] x B)], t G [0,1], B £ /3((0,1]),

obtemos do Teorema 3.2.1 que

E[At] = í xv{[0, í] x dx) = f f xu(ds x dx) Jo Jo Jo

Var[At} = / xlu Jo

Além disso, obtemos do Teorema 3.1.1 em Jacod (1979, pg. 70) que o compensador v caracteriza a medida aleatória fi. Assim, obtemos da Equação 4.1 que o compensador v caracteriza o processo de Lévy puro salto.

Varnos supor que o compensador à priori para o processo de Lévy A é dado por

ly([0,t]xB)= N dFs(x)ds, t G [0,1], B £ /3((0,1]) (4.2) Jo JB

([0, t] x dx) x2i/(ds x dx)


onde Fs são medidas finitas em [0,1] tais que f j ydFs(y) < oo, para todo s € [0,1].

Concluímos do Teorema 3.1 em Kim (1999) que, dado as observações do processo pon-

tual o processo à posteriori é também um processo de Lévy e o compensador à posteriori

é dado por t

YS up([0,t]xB) = / / (1 -x)YsdFs{x)ds J 0 J B

onde Ns = hTi< t}, AiVs = Na - Ns_, Ys = YJU hn> '} e

c(s) = f xAN°{ 1 - x)Y>~AN°dFs{x). J o

Desta forma o estimador de Bayes de A será dado pela esperança condicional

E[At\N] = I [ xvp{d,S)dx)= I I x(l - x)YsdFs{x)ds J o J o J o J o

+ f c - \ s ) [ l xxAN*(l - x)Y°-AN°dFs(x)-^-dNs. ./o ./o

4.3 Estimador Bayesiano Não-Paramétrico para a

Taxa de Falha Acumulada

Considere A um processo de Lévy com compensador v dado por 4.2. Vamos definir funções

de distribuição Gt sobre [0,1] por

r ( r ) - fpydFt(y) GtiX) ~ Ao(t)

onde Ao(í) = fy xdFt(x). Logo,

dGt(x)X(t) = xdFt{x),

e a esperança e variância ficam, respectivamente,

E\M = Í í xvids *dx)= [ í xdFs(x)ds = í I xdFs{x)ds Jo Jo Jo Jo ./o ./o ndGs(x)X0(s)ds = / X0(s)ds. Jo

e ( i Var[At} = í I xdGs(x)X0(s)ds.

Jo Jo


Então para escolhermos um processo de Lévy correspondendo à uma informação à priori

dado pela média e variância, simplesmente escolhemos uma função Ao(s) e uma função

Gt{x) apropriadas.

Se considerarmos as funções de distribuição Gt(x) como sendo distribuições beta com

parâmetros a(t) e (3(t) e denotando por b(x : a, b) a função densidade de probabilidade

da distribuição beta com parâmetros a e b, obtemos

up([0,t]x B) = [ [ {1 - x)Y°dFs{x)ds ./O JB

+ f c - \ s ) f xAN°(l - x f i - ^ d F . W - ^ - d N , J 0 JB LX^S t r i

(1 - x)Y'-dGs(x)X0{s)ds 'o JB X

+ f ^{s) I x(l - x)Y^l-dGs{x)XQ{s)dNs J 0 JB X t r 1

(1 - x)Ys-b(x : ot(s), P(s))dx\Q(s)ds O J B x

+ I c~l{s) í x(l-x)Y°-l-b{x:a{s)J3{s))dx\0{s)dNs J 0 J B X

-t r 1 \V5 1 (1 - x)Ys-b(x : a(s),/3(s))dxX0(s)ds

'o JB x

+ [ [ b{x:a(s),(3{s) + Ys-l)dxdNs. J 0 JB

Com isso, o estimador de Bayes é dado por:

-t ri. A(t) = E{A(t)\N] = / / xpv{ds x dx)

J o J o •É /-l

(1 - x)Ysb{x : a.(s), (3(s))dxX0(s)ds 'o Jo

xb(x:a{s):P(s) + Ys-l)dxdNs

l0 r(P(s))r(a{s)+P(s) + Ys) 0{'} '

• fl -dN< . 'o a (s) + P(s) + YS- 1

Como exemplo vamos considerar o processo Beta definido por Hjort (1990) (c*(s)

1 V s G [0,1]), na forma,


onde Gt{:r) corresponde à distribuição Beta com parâmetros 1 e fi(t). Ao tomarmos o

processo beta como distribuição à priori, obtemos que

Â(t) = E[A(t)\N] = f í xup(ds x dx) JO J B

r m u s ) [ i d,N(s) J0 p{s) + 5 Jo P(s) + n '

Hjort (1990) propõe que um estimador para a taxa de falha, baseado no estimador

Bayesiano da taxa de falha acumulada, seja dado por

- P ( s ) x 0 ( s ) d s I 1 (A o A

Propomos que a função /?(s) seja determinada por nS(s), onde

S W = e x p { - ( £ ) '

c a função de confiabilidade da distribuição Weibull, pois, conforme notado por Hjort

[1990, pg. 1264 ], (3(s) pode ser interpretada como o conjunto de risco em s à priori.

Tomando v = l / a 6 temos,

~ fl nexpt-vòhvb s*-1 , fl dN, , x A{t)= / 1 ^ J ds+ / — , (4.4) Jo n exp{—ws6} + Y(s) Jo n exp{-vs 6} + Y(s)

onde a b e v = l/a? são os estimadores de máxima verossimilhança de a, b e v, respecti-vamente. Logo,

5(.) = 1 m + Y, p(s) + Y,

n exp{—vsh}v b n

+ • (4.5) exp{-ws6} + y, n e x p { - í s " } + Ys

As estimativas de máxima verossimilhança para os parâmetros a e b apresentados na seção

1.1.3 são, respectivamente, a — 462.13 e b = 1.6099 com v ~ 5.128 x IO"5.


A variância do processo posteriori c dada por

Var(Ât) = f f x 2 - T ( f x^({x},dx))2 Jo Jo ç < ( Jo nx(l - x)Ysb(x : a(s), /3(s))dxdA0(s) _ + [ f x2b{x : a(s),P(s) + YS- 1 )dxdNs

Jo Jo

~ Io ( / : + "

J0 T(p(s))T{a(s) +P{s) + Ys + 1)

a{s)(P{s) + Y8- 1) o (a(.s) + + Ks - l)2(a(5) + + YS) s'

Considerando novamente o processo beta de Hjort(1990) com a(s) = 1, obtemos

+ r w + y - - v dN

Logo,

rt n exp{—vsb}v b sb~l Var(AL) = ..

Jo (n exp{—t>sb}íís + Ys + l)(nexp{-vsb} + KJ

, f l ( n e x p { - ^ } + y s - l ) ^ Jo (nexp{-í;s6} + F s)2(nexp{ —vsb} + Ys + 1)

onde v = l/ab. A tabela 5.3 apresenta as estimativ

Estimação não-paramétric da taxa de falha - USP · 2018. 1. 3. · 2 O Process Pontuao 2l 3 2.1...

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