Estimacão Estatística

INFERNCIA ESTATSTICA

ISEL ADM

1

2. ESTIMAO

Suponhamos que X, representa uma certa populao ou universo. O

comportamento de X conhecido quando se conhece a sua distribuio e o

valor dos parmetros caracterizadores dessa distribuio. Se ( ; )f x for a funo

de probabilidade ou de densidade da varivel X, neste caso o parmetro

desconhecido. Os mtodos de estimao so utilizados precisamente para

estimar um valor para um certo parmetro desconhecido.

Existem trs grandes reas dentro da estimao paramtrica:

Estimao pontual: produo de um valor, que se pretende que seja o melhor

para um determinado parmetro da populao, com base na informao

amostral.

Estimao intervalar: construo de um intervalo que, com certo grau de

certeza previamente definido, contenha o verdadeiro valor do parmetro da

populao.

Estimao por testes de Hipteses: trata-se de uma metodologia que permite

validar ou no determinadas hipteses sobre os parmetros de uma ou mais

populaes.

2.1 Estimao pontual

O objectivo da estimao pontual produzir um valor para , que pertena ao

conjunto de valores admissveis que o parmetro pode assumir, de acordo com

a distribuio de X. Por exemplo, se X segue uma Binomial, ( , )X B n p , os

parmetros da populao desconhecidos so o n e o p, sendo 0 1e 0p n .

Definio de Estimador: Designa-se genericamente por: 1 2 , ,..., nX X X ,

sendo uma estatstica (portanto, uma varivel aleatria funo da amostra)


ISEL ADM

2

cujas realizaes fornecem aproximaes (estimativas) para o parmetro

desconhecido.

(obs: Qualquer estimador uma estatstica, mas nem todas as estatsticas so estimadores.)

Um estimador no mais do que uma frmula, funo de variveis que

assumem determinados valores para uma dada amostra concreta, no

envolvendo nenhum valor desconhecido. Ou seja, com as observaes de uma

amostra concreta a referida frmula produz um valor determinado a que

chamamos estimativa para o parmetro desconhecido.

Definio de Estimativa: valor especifico assumido por um estimador, obtido

quando se concretiza uma amostra concreta na frmula matemtica do

estimador. Representa-se por .

Exemplo: A estatstica X um estimador do valor mdio , isto , para uma

amostra concreta, obtemos uma estimativa x para .

Propriedades desejveis nos estimadores Para estimar um certo parmetro da populao, podem-se utilizar estimadores

alternativos. A escolha do melhor estimador deve ser feita tendo em conta

algumas propriedades desejveis num bom estimador. Essas propriedades

dependem da dimenso da amostra considerada.

Propriedades desejveis num bom estimador obtido a partir de amostras

pequenas:

No Enviesamento: Um estimador diz-se no enviesado ou centrado

para , se E .

Exemplos: o A mdia amostral um estimador centrado do valor mdio da populao,

pois j vimos anteriormente que: E X .


ISEL ADM

3

o A varincia amostral

2

2

1 1

ni

i

X XS

n

um estimador centrado de 2 , pois

demonstra-se que 2 2E S .

Esta propriedade s por si no suficiente para optar por, um entre dois

estimadores, no caso por exemplo dos mesmos terem varincias muito

diferentes.

Eficincia: Um estimador diz-se eficiente se dentro da classe dos

estimadores no enviesados ou centrados, tiver varincia mnima (o que

significa que a magnitude dos erros de estimao mnima).

Exemplo: Demonstra-se que, de entre os estimadores para o valor mdio de uma

populao normal, a mdia amostral um estimador eficiente.

Suficincia: Um estimador diz-se suficiente, quando obtido utilizando

toda a informao disponvel na amostra, relevante para a estimao do

parmetro.

Nota: Estas propriedades tambm so vlidas para amostras grandes

Propriedades desejveis num bom estimador obtido a partir de amostras

grandes (propriedades assintticas):

No enviesamento assinttico: Um estimador diz-se no enviesado

assintoticamente quando a mdia da distribuio do estimador converge

para o parmetro medida que a dimenso da amostra aumenta, ou seja,

quando n tende para infinito tem-se: lim ( )nE .

Por exemplo, o estimador 2S (varincia da amostra), um estimador no

enviesado assintoticamente para a varincia da populao 2 .


ISEL ADM

4

Consistncia: Um estimador diz-se consistente simples ou em

probabilidade se medida que a dimenso da amostra aumenta se tem,

1, 0nP .

Eficincia assinttica: Um estimador diz-se assintoticamente mais

eficiente se, de entre os estimadores consistentes em mdia quadrtica, for o que

apresenta distribuio assinttica com varincia mnima.

Nota: um estimador consistente em mdia quadrtica se, medida que

aumenta a dimenso da amostra, se verifica 2lim ( ) 0nE .

Definidas as propriedades desejveis dos estimadores, a questo que se coloca

seguidamente a de saber como os definir. Existem diversos mtodos

alternativos de estimao pontual, nomeadamente o mtodo dos momentos e o

mtodo da mxima verosimilhana, os quais no sero estudados nesta unidade

curricular.

2.2 Estimao por Intervalos

A grande limitao dos mtodos de estimao pontual a de no fornecerem

qualquer informao relativa ao rigor das estimativas efectuadas, ou seja, a

grandeza do erro de amostragem. Esta dificuldade ultrapassada recorrendo

aos intervalos de confiana. Na estimao por intervalos, vamos construir um

intervalo, que com certo grau de certeza, previamente fixado, contenha o

verdadeiro valor do parmetro.


ISEL ADM

5

Definio de Estimador Intervalar

Um estimador intervalar para o parmetro um intervalo de limites

aleatrios 1 2 , , que tem uma certa probabilidade de conter o verdadeiro

valor do parmetro ( desejvel que essa probabilidade seja elevada). Os limites

do intervalo so aleatrios porque 1 2 e so estatsticas amostrais, so

portanto variveis aleatrias, j que dependem da amostra aleatria

1 2, ,..., nX X X . Amostras diferentes produzem estimativas de intervalo

diferentes.

S possvel construir um intervalo de confiana para um parmetro,

associando-lhe um determinado coeficiente de confiana se for conhecida a

distribuio do estimador intervalar utilizado.

Definio de Intervalo de confiana de nvel (1 ) 100%

Um intervalo de confiana a (1 ) 100% para o parmetro , representa-se

por (1 ) 100% 1 2 ] [ ,I , em que os limites de confiana so aleatrios tais que:

1 2 1P , sendo (1 ) 100% o nvel ou coeficiente de confiana e

o nvel de significncia.

2.2.1 Metodologia utilizada na construo de intervalos de confiana

A metodologia para a construo de um intervalo de confiana para um dado

parmetro segue os seguintes passos:

1. definio da populao, da sua distribuio e do parmetro a estimar;

2. escolha da varivel fulcral, ou seja, da estatstica que vamos utilizar para

obter a estimativa intervalar para o parmetro;


ISEL ADM

6

A varivel fulcral um estimador pontual para o parmetro que contm o

parmetro na sua expresso e cuja distribuio no depende dele, nem de

quaisquer outros valores que se desconheam.

3. Determinao da distribuio da varivel fulcral;

4. Escolha do nvel de significncia , ou do nvel de confiana

100(1 )% , os valores mais usuais so 90%, 95% e 99%;

5. Construo do intervalo aleatrio;

6. Determinao dos limites do intervalo aleatrio;

7. Determinao dos limites do intervalo de confiana concretos, a partir

dos valores de uma amostra concreta 1 2( , ,..., )nx x x .

Exemplo

A varivel aleatria X representa o tempo de processamento em milsimas de

segundo, de um novo processador desenvolvido por uma empresa de

hardware. Considere que o tempo segue uma distribuio normal com desvio

padro 3.0 . Com base numa amostra aleatria de dimenso 25 a qual

forneceu uma mdia amostral 48x milsimas de segundo, construa um

intervalo de confiana ao nvel de 95% para o verdadeiro valor mdio do tempo

de processamento.

1) , 0.3X N ; Parmetro a estimar: .

2) Para estimar , vamos utilizar o estimador pontual X , a mdia amostral.

Dado que a caracterstica em estudo tem distribuio normal com desvio

padro conhecido, sabemos por aplicao do teorema do limite central que

,X Nn

e portanto

(0,1)

XN

n

. Assim a varivel fulcral a escolher

neste caso

X

Z

n

.

3) A distribuio da varivel fulcral

0,1

XN

n

.


ISEL ADM

7

4) Nvel de confiana 100(1 )% = 95%.

5)

1 12 2

0.95X

P z z

n

6) 1.96 1.96 0.95P X Xn n

7) Considerando agora as observaes da amostra, obtm-se a estimativa

48x , que aps ser substituda nos limites aleatrios do intervalo, produz a

estimativa intervalar ao nvel de confiana de 95% para , dada por

47.882 , 48.118 .

No exemplo dado foi relativamente fcil de determinar a varivel fulcral a

utilizar, bem como a sua distribuio terica, que com se viu essencial para a

construo do intervalo. Na construo de um intervalo de confiana para um

certo parmetro a varivel fulcral a utilizar depende do parmetro

desconhecido, da distribuio da caracterstica em estudo na populao ser ou

no conhecida e da dimenso da amostra. Assim, o quadro resumo que se segue

apresenta a varivel fulcral e a sua distribuio, em funo do parmetro

desconhecido, de existirem ou no outros parmetros desconhecidos

intervenientes, para alm do que estamos a estimar, da distribuio da

populao e da dimenso da amostra.

O processo de construo de uma estimativa intervalar para qualquer um dos

parmetros que esto na 1 coluna do quadro resumo segue as mesmas etapas

que descrevemos ao obter o intervalo de confiana para a mdia populacional

.


ISEL ADM

8

Quadro resumo das distribuies das estatsticas mais importantes

Parmetro 2

conhecido?

Tipo de populao

Dimenso da amostra

Distribuio amostral da Varivel fulcral

Sim

Normal Qualquer 0,1X

N

n

Qualquer 30n 0,1X

N

n

No

Normal 30n 1nX

tS

n

Normal ou outra

30n 0,1X

NS

n

2

Normal Qualquer 2

2

121

n

Sn

p

Bernoulli 30n

0,1

1

p pN

p p

n

1 2

2 21 2

e

conhecidas

Normais Quaisquer

1 2 1 2

2 2

1 2

1 2

( ) ( )(0,1)

X XN

n n

1 2

2 21 2

e

desconhecidas

Normais ou outras 1 2

30 e 30 n n

1 2 1 2

2 2

1 2

1 2

( ) ( )(0,1)

X XN

S S

n n

1 2

2 21 2

e

desconhecidas

(2 2

1 2 )

Normais 1

30n e

230n

1 2

1 2 1 22

2 2

1 1 2 2

1 2 1 2

( ) ( )

( 1). ( 1) 1 1.

2

n n

X Xt

n S n S

n n n n

1 2p p

Bernoulli 1 230 e 30 n n

1 2 1 2

1 1 2 2

1 2

( ) ( )(0,1)

(1 ) (1 )

p p p pN

p p p p

n n

2

1

2

2

Normais Quaisquer

2 2

1 21 22 2

2 1

. F( -1, 1)S

n nS


ISEL ADM

9

2.2.2 Interpretao de um intervalo de confiana

A probabilidade do intervalo aleatrio

0,95] [ 1.96 1.96I X Xn n

conter o verdadeiro valor de de 0.95. Trata-se de um intervalo aleatrio

pois os seus limites dependem de X que uma varivel aleatria, dependente

da amostra seleccionada.

O que varia de amostra para amostra o valor concreto, x que a varivel

aleatria X vai assumir, variando com ele a localizao do intervalo de

confiana (e no a sua amplitude), como se pode ver na figura seguinte.

Fazendo uma interpretao frequencista do intervalo de confiana, podemos

dizer que se recolhssemos 100 amostras aleatrias da mesma dimenso e se

para cada uma delas fosse calculado o intervalo acima referido,

aproximadamente 95 destes intervalos conteriam o parmetro , enquanto que

os outros 5 no o conteriam.

No exemplo anterior, ao calcularmos o intervalo de confiana para uma

amostra concreta obtivemos o intervalo 47.882 , 48.118 . J no se pode

afirmar que a probabilidade deste intervalo conter parmetro de 0.95, pois


ISEL ADM

10

este intervalo tem dois limites determinados (no aleatrios), e portanto ele

contm ou no contm o parmetro .

2.2.3 Planeamento da dimenso da amostra a recolher em funo da preciso da estimativa

A preciso do intervalo de confiana ao nvel (1 )100% para a mdia metade

da sua amplitude, portanto 2

1/z n ,

21

/z s n , ou 2

/t s n . Antes de recolher a

amostra possvel determinar a dimenso da amostra, que permite obter um

intervalo com um dado nvel de confiana (1 )100% , garantindo que o erro

mximo cometido preciso inferior a um valor E previamente fixado.

O menor inteiro n que verifique a desigualdade 2

1/z n E ou

21

/z s n E , ou

2

/t s n E , ser obtido resolvendo as respectivas inequaes, o que nos conduz

aos seguintes resultados, respectivamente:

2

2

1z

nE

, 22

1z s

nE

, e 22

t sn

E

.

Podemos verificar que a dimenso amostral inversamente proporcional ao

quadrado da preciso fixada. Frequentemente a varincia populacional

desconhecida. Nesse caso antes de determinar n temos de utilizar uma amostra

preliminar 30n para obter a varincia amostral 2s .

Exemplo: Para os dados do exemplo anterior, qual dever ser a dimenso da

amostra a recolher se pretendermos estimar o tempo mdio de processamento

com um erro inferior a 0,09 milsimas de segundo, ao nvel de confiana de

95%?

Substituindo 2

11,960z , 0,3 e E=0,09, em

2

2

1z

nE

, obtm-se:

21,96 0,3

430,09

n n

.

Estimacão Estatística

Documents

Transcript of Estimacão Estatística