Diferentes Representações e Construções do Significado de Conceitos Geométricos

Prof. Dra Estela Kaufman Fainguelernt

Universidade Estácio de SáUniversidade Severino Sombra

Diretora da SBEM-RJ

Resumo O presente trabalho é o relato de uma investigação, que

vem sendo realizada com professores e alunos do Ensino Básico e alunos de Licenciatura em Matemática, desde 1994, para analisar o papel das múltiplas representações na construção dos conceitos geométricos.

Para fundamentar este estudo foram utilizadas a teoria construtivista e interacionista, principalmente os trabalhos de Piaget, Vygotsky; a teoria construcionista proposta por Papert; as teorias de representação, pautadas principalmente nos trabalhos desenvolvidos por Frege, Fischbein e Vergnaud, e na teoria das inteligências múltiplas proposta por Gardner.

Contexto e Complexidade

Construção do Conceito

Papert , 1985A compreensão da aprendizagem deve ser

genética. Deve referir-se à gênese do conhecimento. O que um indivíduo pode aprender e como ele aprende isso depende dos modelos que tem disponíveis. Isso impõe, recursivamente, a questão de como ele aprendeu esses modelos. Assim as ‘leis de aprendizagem’ devem estar em como as estruturas intelectuais se desenvolvem a partir de outras e em como, nesse processo, adquirem as formas lógica e emocional”

Síntese do Modelo de Frege

“O resultado de todas essas deficiências é que ao estudante só resta memorizar as leis da aritmética e ficar satisfeito com palavras que não entende”.

( Frege, 1974)

Relação entre os elementos de significação representativa

SIGNIFICANTEmassa sonora

imagem verbal

SIGNIFICADOconceitosentido

REFERENTEobjeto extra-lingüístico

realidade material

Fischbein - 1994

“O comportamento mental do indivíduo (a razão, a resolução, a compreensão, o prognóstico, a interpretação), incluindo a atividade matemática, está sujeito às mesmas pressões fundamentais. Para que o processo da razão seja uma atividade genuninamente produtiva, os ‘objetos’ mentais (conceitos, operações, afirmações) devem conseguir uma espécie de consistência intrínseca e de evidência direta semelhante àquelas dos objetos e acontecimentos reais, externos e materiais”.

Vergnaud, 1993

“ A representação não é uma espécie de reflexo da ação adaptativa do sujeito ao meio, é ao contrário, funcional e indispensável ao tratamento pelo sujeito, de numerosas situações”

Vergnaud, 1993

“ A representação não diz respeito somente à utilização pelo sujeito, de sistemas de significantes sociais. Muitas das habilidades motoras implicam em representação; certas escolhas de ações em situações supõem cálculos relacionais complexos sobre os quais é impossível fazer economia. “

Vergnaud, 1993

“ A representação deve ser analisada em todos os seus componentes funcionais. As teorias que a reduzem, seja a seus aspectos explicitamente simbólicos, seja a seus aspectos processuais, não permitem captar o conjunto de seu funcionamento. “

Vergnaud, 1985

“A interação do sujeito com o real é essencial, pois é nessa interação que o sujeito forma e põe à prova suas representações e concepções, ao mesmo tempo que estas são responsáveis pela maneira pela qual ele age e regula sua ação”.

Gardner, 1995

“Ao longo do curso do desenvolvimento das competências lógico-matemática, prossegue-se dos objetos para as afirmativas, das ações para as relações entre as ações, do domínio do sensório-motor para o domínio da pura abstração - enfim, para os ápices da lógica e da ciência. A cadeia é longa e complexa, mas não precisa ser misteriosa: as raízes das regiões mais elevadas do pensamento lógico, matemático e científico podem ser encontradas nas ações simples de crianças pequenas sobre objetos físicos do seu mundo”

Gardner , 1995

“ O propósito da escola deveria ser o de desenvolver as inteligências e ajudar as pessoas a atingirem objetivos de ocupação e passatempo adequados ao seu espectro particular de inteligências. As pessoas que são ajudadas a fazer isso, acredito, se sentem mais engajadas e competentes, e portanto mais inclinadas a servirem à sociedade de uma maneira construtiva”.

Objetivo Geral da Investigação

Investigar as relações entre os processo cognitivos e a representação desses processos no desenvolvimento da construção do significado das idéias matemáticas

Objetivos Específicos da Investigação Descrever os processos de representação e

linguagem na construção do conhecimento matemático

Investigar o papel e a relação das diferentes formas de linguagem (oral, escrita, gráfica, gestual entre outras) nos processos de desenvolvimento do pensamento matemático.

Perceber como se dá o acesso do sujeito ao universo simbólico da escrita matemática

Aspectos relevantes do processo de ensino e de aprendizagem

Construção eRepresentação

ArteMundo Real

Geometria dastransformações

Logo: Mundo Computacional

Processos Cognitivos Duval, 1995

processo de visualização com respeito à representação espacial;

processo de construção através de ferramentas (régua, compasso, esquadros e software);

processo de raciocínio, o que é básico para ser demonstrado e comprovado (teoremas, axiomas e definições).

Espaço Geométrico Procedural

É a representação do espaço geométrico em que a interiorização quantitativa do modelo espacial é feita por análise e síntese relativas a razão, a proporção, a medida e as coordenadas.

Exemplo: Geometria analítica, que é chamada espaço das geometrias quantitativas

Espaço Geométrico Estrutural

É a representação do espaço geométrico, onde a interiorização qualitativa do modelo espacial é feita pela análise e síntese das propriedades topológicas, projetivas, afim e métricas.

Esta abordagem está preocupada com os tipos de Geometria. ( Espaço das Geometrias qualitativas)

Espaço Social

É a representação do espaço pelo qual os profissionais que atuam na sociedade, como por exemplo, o carpinteiro, o pedreiro, o engenheiro e outros representam o espaço e utilizam a Geometria.

Espaço Virtual

É a utilização do computador como meio para envolver os alunos e professores em atividades de exploração e simulação

Faixa grega e mosaicos

Madsen , 1993

Translação - Desenho de Escher

Simetria – Desenho de Escher

Representação da Simetria Central no Plano

Representação da Simetria Axial no Plano

Representação da Translação

René Descartes

“ Não é propósito meu ensinar aqui o método que cada um deveria seguir para bem orientar a sua razão, porém somente demonstrar de que modo procurei conduzir a minha. “

Esquema da Investigação

ESTUDO PRELIMINAR

1993

PROFESSORES

Atividade de Sala de aula e laboratório de informática.Diagnóstico do trabalho do professor.

Curso semanal de geometria, através de jogos e da informática.Análise das atividades dos alunos.Entrevistas em grupo e/ou individual.

Atividades em sala de aula e no laboratório de informática.

Reuniões bimestrais, acompanhamento das atividades. Planejamento anual.

ESTUDO DE CASO1994/1995

Observação em sala de aula e no laboratório visando a ação do professor. Existe modificação?

ALUNOS

implicação

simultâneos

Tipos de atividades desenvolvidas

ATIVIDADES EM SALA DE AULA

ATIVIDADES COM O CORPO

ATIVIDADES NO LABORATÓRIO DE INFORMÁTICA

ESCREVER O PROGRAMA NO PAPEL

DIGITAR O PROGRAMA NO TECLADO

ATIVIDADES COM MATERIAIS DIVERSOS

Simetria Axial Trabalho de simetria

axial realizado com dobradura pelo aluno Pedro de 9 anos de idade, da terceira série

Simetria Axial

Trabalho de simetria axial realizado pelos alunos Helder e Hugo de 10 anos de idade, da quarta série

Translação Trabalho de

translação realizado no computador pelos alunos Carlos e Bruno de 9 anos de idade, da terceira série, denominado caminhão

Atividade 1 -Jogo dos Trens

+

Atividade 1 -Jogo dos Trens

+

Atividade 1 -Jogo dos Trens Consideremos o conjunto

e a operação + de adição

Complete o quadro ao lado

Mostre que este conjunto tem uma estrutura de grupo

Procure definir em linguagem corrente a tabela

{ }0 1 2 3, , ,T T T T T=

T3

T2

T1

T0

T3T2T1T0+

Atividade 1 -Jogo dos TrensGrupo Cíclico Z4:

Conjunto dos restos da divisão de um número inteiro por quatro.

A operação é fechada

Elemento neutro: T0

A operação é comutativa O elemento gerador éT2T1T0T3T3

T1T0T3T2T2

T0T3T2T1T1

T3T2T1T0T0

T3T2T1T0+

Atividade 2: Grupo das TransformaçõesR0 : rotação em torno do

ponto O de 00

R1: rotação do ponto O de 1800

S1: simetria em relação a diagonal AB

S2: simetria em relação a diagonal CD

A B

C

D

O

Atividade 3 Consideremos o conjunto

e a operação o de composição de função

Complete o quadro ao lado Mostre que este conjunto

tem uma estrutura de grupo Procure definir em linguagem

corrente a tabela

{ }0 1 1 2, , ,G R R S S=

S2

S1

R1

R0

S2S1R1R0o

Atividade 3: respostaGrupo de Klein: A operação é fechada

Elemento neutro: R0

Cada elemento é simétrico de si mesmo

A composição de dois elementos, diferentes do elemento neutro, dá o terceiro elemento.

R0R1S1S2S2

R1R0S2S1S1

S1S2R0R1R1

S2S1R1R0R0

S2S1R1R0o

Atividade 4: Gráfico

4

1( )f x

x= −

2 ( )f x x= −

3

1( )f x

x=

( )f x x=

Atividade 4 Consideremos o conjunto

e a operação de composição o de funções, definidas por

Complete o quadro

{ }1 2 3 4, , ,F f f f f=

f4

f3

f2

f1

f4f3f2f1o

: {0} {0}F R R− → −

1 2

3 4

( ) ; ( ) ;

1 1( ) ; ( )

f x x f x x

f x f xx x

= = −

= = −

Atividade 4: resposta Grupo de Klein

f1f2f3f4f4

f2f1f4f3f3

f3f4f1f2f2

f4f3f2f1f1

f4f3f2f1o

Esquema dos tipos de atividades

Arcavi e Schoenfeld, 1992

“ A habilidade de pensar em termos de diferentes tipos de sistemas de representação favorece o bom desempenho e a competência no pensar Matemático em particular a Geometria.”

Fainguelernt , 1996“ Se o aluno ou qualquer aprendiz compreender a

diferença entre a aquisição de um conceito e as suas várias representações, ele tem possibilidade de realizar a passagem do estágio das operações concretas para o das operações abstratas através de ações. Partir da percepção e intuição de dados concretos e experimentais, explorar as representações, as aplicações e desenvolver o raciocínio lógico para, só então, chegar aos processos de abstração e de generalização.”