Estatística II
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Estatstica II
Aula 3
Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc.
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Estimao por Intervalo
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Objetivos
Nesta semana, veremos:
Como construir e interpretar estimativas por intervalos de confiana para a mdia e a proporo
Como determinar o tamanho da amostra necessrio para desenvolver um intervalo de confiana para a mdia e a proporo
Como usar estimativas por intervalo de confiana em auditoria
-
Tpicos
1. Intervalos de confiana para a mdia populacional,
Quando o desvio-padro da populao conhecido
Quando o desvio-padro desconhecido
2. Intervalos de confiana para a proporo populacional,
3. Determinao do tamanho de amostra requerido
-
Estimativa Pontual
Uma estimativa pontual um nmero nico. Para a mdia populacional (e o desvio-padro populacional), uma estimativa pontual a mdia de uma amostra (e o desvio-padro de uma amostra).
Um intervalo de confiana traz informao adicional sobre a variabilidade da informao
Estimativa Pontual
Limite Inferior de
Confiana
Limite Superior de
Confiana
Largura do Intervalo de
Confiana
-
Estimativas por Intervalo de Confiana
Um intervalo de confiana d uma estimativa
intervalar para os valores:
Leva em considerao a variao nas estatsticas
amostrais que ocorrem de amostra para amostra
Baseia-se em todas as observaes de uma amostra
D informaes sobre quo prxima aquela informao
est do parmetro populacional
estabelecido em termos do nvel de confiana
Ex. 95% de confiana, 99% de confiana
Nunca pode ser 100% de confiana
-
Estimativa por Intervalo de Confiana
A frmula geral para todos os intervalos
de confiana :
Estimativa Pontual (Valor Crtico) (Erro Padro)
-
Nvel de Confiana
Nvel de Confiana
Confiana em que o intervalo definido ir conter o
parmetro populacional desconhecido.
um percentual (menor que 100%)
-
Nvel de Confiana
Suponha nvel de confiana = 95%
Tambm escrito (1 - ) = 0,95
Uma interpretao em termos de frequncia
relativa:
No longo prazo, 95% de todos os intervalos de
confiana que puderem ser construdos, iro conter
o verdadeiro parmetro populacional desconhecido.
Um intervalo especfico pode conter ou no o
verdadeiro parmetro populacional.
-
Intervalo de Confiana
Por que no levar o nvel de confiana o mais
prximo de 100% possvel?
Porque isto implicaria aumentar tambm o intervalo de
confiana diminuindo a preciso;
Intervalos maiores so piores para a tomada de decises;
At aqui, quanto maior o nvel de confiana maior o
intervalo de confiana!
-
Intervalo de Confiana para a Mdia
( conhecido)
Premissas:
Populao com desvio-padro conhecido
Populao com distribuio nos moldes da
distribuio normal
Se a populao no for normal, use amostras
grandes
Estimativa do Intervalo de Confiana:
(onde Z o valor crtico para uma probabilidade /2 em cada cauda, de uma distribuio normal padronizada)
n
ZX
-
Encontrando o Valor Crtico, Z
Considere um intervalo com um nvel de confiana igual a 95%:
Z= -1,96 Z= 1,96
.951
.0252
.025
2
Limite Inferior do Intervalo de Confiana
Limite Superior do Intervalo de Confiana
Z unidades:
X unidades: Estimativa Pontual
0
-
Encontrando o Valor Crtico, Z
Os intervalos de confiana mais comuns so 90%,
95%, e 99%
Nvel de
Confiana
Coeficiente
de confiana
Valor-Z
1,28
1,645
1,96
2,33
2,58
3,08
3,27
.80
.90
.95
.98
.99
.998
.999
80%
90%
95%
98%
99%
99.8%
99.9%
-
Intervalos e Nveis de Confiana
x
Intervalos de Confiana
Intervalos se extendem de
at
(1-)x100%
dos intervalos
construdos
contm ;
()x100% no
contm.
Distribuio da Mdia
Amostral
n
ZX
n
ZX
x
x1
x2
/2 /21
-
Intervalo de Confiana para ( conhecido) Exemplo
Uma amostra de 11 circuitos retirada de uma
populao que segue a distribuio normal, tem
resistncia mdia de 2,20 ohms. Ns sabemos, de
testes passados, que o desvio padro da populao
.35 ohms.
Determine um intervalo de confiana a 95% de
confiana para a verdadeira resistncia mdia da
populao de circuitos.
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Intervalo de Confiana para ( conhecido) Exemplo
2,4068) ; (1,9932
.2068 2,20
)11(.35/ 1,96 2,20
n
ZX
Ns estamos 95% confiantes de que o intervalo 1,9932 a 2,4068
ohms contm a verdadeira mdia da populao.
Apesar da verdadeira mdia poder ou no estar dentro deste
intervalo, 95% dos intervalos formados desta maneira contero
a verdadeira mdia.
-
Intervalo de Confiana para ( Desconhecido)
Se o desvio-padro da populao desconhecido,
ns podemos usar o desvio-padro da amostra, S
Isso introduz uma incerteza adicional, j que S
varia de amostra para amostra
Ento, utiliza-se a distribuio t ao invs da
distribuio normal
-
Intervalo de Confiana para ( Desconhecido)
Premissas:
Populao com desvio-padro desconhecido
Populao normalmente distribuda
Se a populao no for normal, use amostras grandes
Use a distribuio t de Student
Estimativa do Intervalo de Confiana:
(onde t o valor crtico de uma distribuio t com n-1 g.l. e reas /2 em cada cauda)
n
StX 1-n
-
Distribuio t de Student
O valor t depende dos graus de liberdade (g.l.)
Nmero de observaes que so livres para variar
depois que a mdia da amostra foi calculada
g.l. = n - 1
-
Graus de Liberdade
Se a mdia dos trs valores
8.0, ento
X3 tem que ser igual a 9
(i.e., X3 no livre para variar)
Aqui, n = 3, ento os graus de liberdade so = n 1 = 3 1 = 2
(2 nmeros podem assumir qualquer valor, mas o terceiro no est
livre para variar dada uma certa mdia)
Idia: Nmero de observaes que so livres para
variar depois que a mdia da amostra foi
calculada
Exemplo: Suponha que a mdia de 3 nmeros
seja igual a 8.0
Seja X1 = 7
Seja X2 = 8
Qual deve ser o valor de X3?
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Distribuio t de Student
t 0
t (gl = 5)
t (gl = 13) Distribuies t so em forma de sino, simtricas, mas com caudas mais gordas que a distribuio normal
Normal Padro (t com gl = )
Obs: t Z medida que n aumenta
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Tabela da Distribuio t de Student
Area Cauda Sup.
gl
.25 .10 .05
1 1,000 3,078 6,314
2 0,817 1,886 2,920
3 0,765 1,638 2,353
t 0 2,920
O corpo da tabela contm
valores t, no probabilidades
Seja: n = 3
gl = n - 1 = 2
= .10
/2 =.05
/2 = .05
-
Intervalo de Confiana para ( Desconhecido) Exemplo
Uma amostra aleatria com n = 25 elementos tem X
= 50 e S = 8. Construa um intervalo de confiana
para a mdia a um nvel de confiana de 95%
g.l. = n 1 = 24, ento
O intervalo de confiana
25
8(2,0639)50
n
S1-n /2, tX
(46,698 ; 53,302)
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Intervalo de Confiana para a Proporo
Populacional,
Uma estimativa de intervalo para a proporo
populacional ( ) pode ser calculada
acrescentando uma incerteza proporo na
amostra ( p )
-
Intervalo de Confiana para a Proporo
Populacional,
Lembre que a distribuio da proporo amostral
aproximadamente normal, se o tamanho da amostra
for grande, com desvio-padro
que pode ser estimado a partir dos dados da
amostra com:
n
p)p(1
n
)(1p
-
Intervalo de Confiana para a Proporo
Populacional,
Os limites superiores e inferiores do intervalo de
confiana para a proporo populacional so
calculados a partir da frmula
onde
Z o valor crtico para o intervalo de
confiana desejado, obtido na distribuio
normal padronizada
p a proporo na amostra
n o tamanho da amostra
n
p)p(1Zp
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Intervalo de Confiana para a Proporo
Populacional, Exemplo
Uma amostra aleatria de 100 pessoas mostrou
que 25 delas fizeram saques em seus fundos para
aposentadoria no ltimo ano. Construa um
intervalo de confiana a 95% para a verdadeira
proporo da populao que recorreu aos fundos
de aposentadoria.
00.25(.75)/196,125/100
p)/np(1p
Z
0,3349) ; (0,1651
(.0433) 1,96 .25
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Intervalo de Confiana para a Proporo
Populacional, Exemplo
Com 95% de confiana podemos afirmar que o
intervalo entre 16,51% e 33,49% contm a
verdadeira proporo da populao que fez saques
em seus fundos de aposentadoria. Apesar do
intervalo .1651 a .3349 poder ou no conter a
verdadeira proporo, 95% dos intervalos formados
desta maneira a partir de amostras de tamanho 100,
contero a verdadeira proporo.
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Determinando o Tamanho da Amostra
O tamanho da amostra pode ser definido de tal
forma que a margem de erro (e) fique em
determinado tamanho com um nvel de confiana
(1 - ) especificado.
A margem de erro tambm chamada erro
amostral
a impreciso na estimativa do parmetro populacional
o tamanho do intervalo que se soma e se subtrai da
estimativa pontual para construir o intervalo de confiana
-
Determinando o Tamanho da Amostra
Para determinar o tamanho da amostra necessrio
estimativa da mdia, voc deve conhecer:
O nvel de confiana desejado (1 - ), que
determina o valor crtico Z
O erro amostral aceitvel (margem de erro), e
O desvio-padro,
n
Ze 2
22
e
Zn
Resolvendo
para n
n
ZX
-
Determinando o Tamanho da Amostra
Se = 45, qual o tamanho da amostra necessria
para estimar a mdia com erro igual a 5 com
90% de confiana?
219,195
(45)(1,645)2
22
2
22
e
Zn
Ento o tamanho da amostra necessria n = 220
-
Determinando o Tamanho da Amostra
Para determinar o tamanho da amostra necessrio
estimativa da proporo populacional, voc deve
conhecer:
O nvel de confiana desejado (1 - ), que determina o
valor crtico Z
O erro amostral aceitvel (margem de erro), e
A verdadeira proporo de sucessos,
pode ser estimado a partir de uma amostra piloto, se necessrio (ou para ser conservador use = .50)
2
2 )1(
e
Zn
Resolvendo
para n nZe
)1(
-
Determinando o Tamanho da Amostra
Qual o tamanho da amostra necessria a uma
estimativa da proporo de defeituosos em uma
grande populao, com margem de erro menor ou
igual a 3%, com 95% de confiana?
(Assuma que uma amostra piloto identificou 12% de
defeituosos, ou seja, p = .12)
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Determinando o Tamanho da Amostra
Soluo:
Para 95% de confiana, use Z = 1.96
e = .03
p = .12, ento use este valor para estimar
Ento use n = 451
450,74(.03)
.12)(.12)(1(1,96))1(2
2
2
2
e
Zn
-
Aplicaes em Auditoria
Sete vantagens da amostragem em auditoria
Consome menos tempo
Custa menos
Proporciona resultados que so objetivos e
defensveis. Uma vez que o tamanho da amostra
baseado em princpios estatsticos que podem
ser demonstrados, a auditoria defensvel
perante superiores hierrquicos e perante um
tribunal
Permite estimar antecipadamente o tamanho da
amostra
-
Aplicaes em Auditoria
Sete vantagens da amostragem em auditoria
Proporciona uma estimativa para o erro de
amostragem
Permite que os auditores combinem e
posteriormente avaliem, coletivamente, amostras
coletadas por diferentes indivduos
Permite que os auditores generalizem para a
populao as suas descobertas, com um erro de
amostragem conhecido
-
Estimando o Valor Total da Populao
Estimativa Pontual:
Intervalo de Confiana para a Estimativa:
XN otalT
1N
nN
n
S)t(NXN 1n
(Como a amostragem sem reposio, use o fator de correo para
populaes finitas na frmula do intervalo de confiana)
-
Estimando o Valor Total da Populao
Exemplo
Uma firma tem uma populao de 1000 faturas e
deseja estimar o valor total das mesmas.
Uma amostra de 80 faturas selecionada com valor
mdio de $87,6 e desvio padro de $22,3.
Encontre o intervalo de confiana para o valor total
das faturas a um nvel de confiana de 95%.
-
O intervalo de confiana para o valor total das faturas a 95%
de confiana $82.837,52 to $92.362,48
4.762,4887.600
11000
801000
80
22,3905)(1000)(1,96)(1000)(87,
1N
nN
n
S)(tNXN 1n
22,3S 87,6,X 80, n 1000,N
Estimando o Valor Total da Populao
Exemplo
-
Estimativa do Intervalo de Confiana Unilateral da Taxa
de No-Conformidade com Controles Internos
Intervalo de Confiana Unilateral para uma Proporo Aplicao: encontrar o limite superior para a proporo de itens que
no atendem a requisitos de controle
Onde:
Z o valor crtico da normal padronizada para um determinado nvel de confiana desejado
p a proporo de itens na amostra que no atendem aos requisitos
n o tamanho da amostra
N o tamanho da populao
1N
nN
n
p)p(1ZpSuperior Limite
-
Intervalo de Confiana Unilateral para uma Proporo
Exemplo
Uma grande empresa de eletrnicos preenche 1 milho de
cheques por ano. Uma norma interna da empresa estabelece
que cada cheque s pode ser assinado depois de um
documento ter sido gerado por um supervisor do setor de
contas a pagar. A taxa de exceo tolervel da empresa para
esse controle de 4%. Se forem encontrados desvios em
relao ao controle em 8 dos 400 pagamentos selecionados
para a amostra, o que o auditor deve fazer? Para solucionar
este problema, utilize um nvel de confiana de 95%.
-
Intervalo de Confiana Unilateral para uma Proporo
Exemplo
Soluo: o auditor constri um intervalo de confiana unilateral de 95% para a proporo de faturas em desacordo com os padres de conformidade e compara esse resultado com a taxa de exceo tolervel:
Com 95% de confiana o auditor conclui que a taxa de no conformidade inferior a 3,15%. Como ela inferior taxa de exceo tolervel, o auditor conclui que os processos esto adequados.
0,0315 Superior Limite
0,01150,027)(0,9998)1,645(0,000,02 Superior Limite
1000.000.1
400000.000.1
400
)02,01(02,0645,1,020 Superior Limite
1
)1( Superior Limite
95% de confiana de nvel um para 645,102,0400
8
N
nN
n
ppZp
Zep
-
Questes ticas
Um intervalo de confiana (refletindo o erro de
amostragem) deveria ser sempre reportado
juntamente com a estimativa pontual
O nvel de confiana deve sempre ser informado
O tamanho da amostra deve ser informado
Uma interpretao do intervalo de confiana
tambm deve ser realada