Estatística GeralEstatística GeralFerramentas Matemáticas usadas em Ferramentas Matemáticas usadas em

ProbabilidadeProbabilidade(Análise Combinatória)(Análise Combinatória)

ICET/CUA/UFMTICET/CUA/UFMT

Profº: Glauco Vieira de OliveiraProfº: Glauco Vieira de Oliveira

BibliografiaCap. II – Nazareth, H.Curso Básico de Estatística. Cap. XXVI –Dante, L. R. Matemática: Contexto e Aplicações . Cap. VI – Spiegel, M. R.Estatística.

Análise CombinatóriaIntrodução

Analise a seguinte situação-problema:– Usando as 26 letras e os 10 algarismos conhecidos, quantas placas

diferentes de automóvel podem ser feitas de modo que em cada uma existam três letras (não repetidas) seguidas de quatro algarismos (repetidos ou não)?

Resposta Geral: Problemas como estes constituem o que chamamos de PROBLEMAS DE CONTAGEM

Princípio da multiplicação (princípio fundamental da contagem)

Analise a seguinte situação-problema:– Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto Alegre passando por São

Paulo. Sabendo que há 5 roteiros diferentes para chegar a São Paulo partindo de Recife e 4 roteiros diferentes para chegar a Porto Alegre partindo de São Paulo, de quantas maneiras possíveis essa pessoa poderá viajar de Recife a Porto Alegre?

– Resposta Geral: Dizemos que a viagem de Recife a Porto Alegre é um evento composto de DUAS ETAPAS SUCESSIVAS E INDEPENDENTES

Análise CombinatóriaESQUEMA: Viagem de Recife a Porto Alegre passando por São Paulo

1

A

B

C

D

2

A

B

C

D

3

A

B

C

D

4

A

B

C

D

5

A

B

C

D

OU

Recife São Paulo

Porto Alegre

A

B

C

D

1

2

3

4

55 possibilidades 4 possibilidades

Resposta: 5 . 4 = 20 Possibilidades: 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 2A, 2B, 2C, ....5D

Principio fundamental da contagemGeneralizando

1) Se um evento é composto por duas etapas sucessivas e independentes de tal maneira que o n° de possibilidades na 1ª etapa é m e para cada possibilidade da 1ª etapa o nº de possibilidades na 2ª etapa é n, então o nº de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m . n

Exercícios1- Ao lançarmos uma moeda e um dado, quais são os resultados possíveis?2- Num restaurante há 2 tipos de salada, 3 tipos de pratos quentes e 3 tipos de sobremesa. Quais e quantas possibilidades temos para fazer uma refeição com uma salada, um prato quente e uma sobremesa?3. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6:

a) Quantos nºs de 3 algarismos podemos formar?b) Quantos nºs de 3 algarismos distintos podemos formar?

Permuta SimplesPermutar = trocar, embaralhar.

Exemplo 1: Quantos são os anagramas (diferentes disposições das letras de uma palavra) da palavra ANEL?

__ __ __ __ → 4 . 3 . 2 . 1 = 24 Possibilidades

Exemplo 2: de quantas maneiras podem 3 pessoas ocupar 3 lugares?– Considerando Pessoas (A, B e C) e Lugares ( L1, L2 e L3)

L1 L2 L3

Iniciando em A temos 3 possibilidades:

L1 L2 L3 L1 L2 L3 L1 L2 L3

A A A

A na 1ª posição A na 2ª posição A na 3ª posição

B C

C Bou

B C

C Bou

B C

C Bou

2 possibilidades de escolha para cada posição de A

Permuta SimplesConclusão do exemplo 2: são 6 as possíveis maneiras de 3 pessoas

ocuparem 3 lugares – Observação: há seis possibilidades de escolha. Para cada um dos três

lugares ocupados pela 1ª pessoa, há duas opções para a segunda pessoa e apenas uma opção para a 3ª.

– 3 . 2 . 1 = 6 → 3! Fatorial: n (n -1) (n – 2)...1

Esquematizando a solução do exemplo 1 (árvore de possibilidades)

A

L1 L2 L3

B

C

B

C

A

C

A

B

C

B

C

A

B

A

ABC

ACB

BAC

BCA

CAB

CBA

Maneiras de ocupar os lugares

3 X 2 x 1 = 6

Neste exemplo a ordem das pessoas é importante

Temos uma permuta de 3, 3 a 3

P3, 3= 3!

Permuta SimplesGeneralizando

2) Se temos n elementos distintos, então o nº de agrupamentos ordenados que podemos obter com todos esses n elementos é dado por: n(n – 1)(n – 2) ... 1 = n! esses agrupamentos ordenados (diferem pela ordem) recebem o nome de Pn = n!

Exercícios1- Quantos Anagramas tem a palavra PERDÃO?2- Quantos Anagramas tem a palavra PERDÃO que iniciam com P e terminam com O?3- Quantos são os anagramas da palavra PERDÃO em que as letras A e O aparecem juntas e nessa ordem (ÃO)?

Respostas1) nº de anagramas = P6 = 6! = 7202) P4= 4! = 243) 5 (posições de ão) x P4 (anafgrama das demais letras da palavra perdão) = 5 x4! = 120

Permutações com repetiçõesExercício resolvido: Quantos são os Anagramas da palavra BATATA?– Resposta. Temos: 1B, 3 As e 2 Ts isto significa que as permutações

entre os 3 As ( P3 = 3!) não produzirão um novo anagrama. O mesmo ocorre com os Ts (Permutas com os 2 Ts = P2 = 2!).

Portanto, o nº de anagramas da palavra BATATA é:

Exercícios1- Quantos são os anagramas da palavra ARARA?2- Quantos são os anagramas da palavra CAMARADA?

60!2!3

!3.4.5.6

!2!3

!6

. 23

6 PP

P

Generalizando 2.1) A Permutação de n elementos dos quais α é um tipo, β é outro e γ é outro ainda, com α + β + γ = n, é dada por:

!!!

!,,

n

Pn

Análise Combinatória: Arranjos Simples

Exemplo: De quantas maneiras pode, 4 lugares ser ocupados por 2 pessoas?

Esquematizando a solução do exemplo (árvore de possibilidades)

Escolhas de A Escolhas de B

L1

L2

L3

L4

L2L1

L3

L4

L3L1

L2

L4

L4L1

L2

L3

L1 L2 L3 L4

A B 1

A B 2

A B 3

B A 4

A B 5

A B 6

B A 7

B A 8

A B 9

B A 10

B A 11

B A 12

Arranjos simples– Temos uma permutação de 4, 2 a 2. → Pn, p → P4, 2 = 4 . 3 = 12

Observação: não serão ocupados todos os lugares ao mesmo tempo. Neste caso teremos um arranjo. A4,2 = 4 . 3

Reescrevendo a igualdade A4,2 = 4 . 3 Usando conceito de fatorial.

Temos: A4, 2 = 4 . 3 . 2 . 1 A4, 2 = 4 ! 2 . 1 (4-2)!

Exercícios1- Quantos números de dois algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?

2- Quantas “palavras” de 4 letras distintas podemos formar com as letras da palavra CONTAGEM?

)!(

!, pn

nA pn

Generalizando

3) Arranjos simples de n elementos tomados p a p (p≤n) são agrupamentos ordenados diferentes que se podem formar com p dos n elementos dados. Assim: An,p= n (n – 1) (n – 2) . ... (n – p +1)

p fatores

Ou:

Análise Combinatória: Combinação simplesExemplo 3: – De quantas maneiras posso

escolher 2 pessoas entre 5, para que sejam candidatas a uma eleição?

Escolhaspossibilidades

1ª 2ª

A

B ABABC ACACD ADADE AEAE

B

A BABAC BCBCD BDBDE BEBE

C

A CACAB CBCBD CDCDE CECE

D

A DADAB DBDBC DCDCE DEDE

E

A EAEAB EBEBC ECECD EDED

Observação:– AB e BA correspondem a

escolha das mesmas pessoas (A e B), a ordem em que as pessoas são escolhidas não influi, portanto, no agrupamento.

– Observe que cada agrupamento aparece 2! Vezes (p vezes)

– A quantidade de escolhas é: 5 . 4 = 10

2!Quando a Ordem dos elementos não influi no agrupamento, estamos diante

de um caso de combinação

Análise Combinatória: Combinação Simples

Exemplo: De quantas maneiras posso escolher 2 pessoas entre 5, para que sejam candidatas a uma eleição?

Esquematizando a solução do exemplo (árvore de possibilidades)

1º Candidato 2º Candidato → Possibilidades:

A

B

C

D

BC

D

E

CD

E

DE

E

→ AB

→ AC

→ AD

→ AE

→ BC

→ BD

→ BE

→ CD

→ CE

→ DE

Generalizando4) Combinações simples de n elementos tomados p a p (p≤n) são os subconjuntos com exatamente p elementos que se podem formar com os n elementos.

Indica-se por Cn, p ou

Calcula-se por:

p

nouC p

n

!

!

)!(!

! ,,, p

ACou

pnp

nC pn

pnpn

Análise Combinatória: Combinação simples

Nos problemas de contagem, o conceito de combinação esta Nos problemas de contagem, o conceito de combinação esta intuitivamente associado à noção de subconjuntos.intuitivamente associado à noção de subconjuntos.– Ex 1Ex 1: Ane, Elisa, Rosana, Felipe e Gustavo formam uma : Ane, Elisa, Rosana, Felipe e Gustavo formam uma

equipe. Dois deles precisam representar a equipe em uma equipe. Dois deles precisam representar a equipe em uma apresentação. Quais e quantas são as possibilidadesapresentação. Quais e quantas são as possibilidades

Resposta: os subconjuntos de 2 elementos são: Resposta: os subconjuntos de 2 elementos são: {A, E}, {A, R}, {A, F}, {A, G}, {E, R}, {E, F}, {E, G}, { R, F}, {R,G}, {F,G}{A, E}, {A, R}, {A, F}, {A, G}, {E, R}, {E, F}, {E, G}, { R, F}, {R,G}, {F,G}

Estes subconjuntos chamados de combinações simples de 5 Estes subconjuntos chamados de combinações simples de 5 elementos tomados com 2 elementos, ou tomados 2 a 2 e elementos tomados com 2 elementos, ou tomados 2 a 2 e escrevemos Cescrevemos C5,25,2=10 =10

– Ex 2: Ex 2: Recalcule o “Ex 1” considerando agora três Recalcule o “Ex 1” considerando agora três representantes da equipe para a apresentação.representantes da equipe para a apresentação.

Resposta: os subconjuntos de 3 elementos são: CResposta: os subconjuntos de 3 elementos são: C5,35,3=10=10

{A,E,R}, {A,E,F}, {A,E,G}, {A,R,F}...{R,F,G}{A,E,R}, {A,E,F}, {A,E,G}, {A,R,F}...{R,F,G}

Propriedade importante: Cn, p = Cn, n-p

Análise Combinatória

Problemas que envolvem os vários tipos de agrupamento

Analisando o problema da introdução do capítulo:– Usando as 26 letras e os 10 algarismos conhecidos, quantas placas

diferentes de automóvel podem ser feitas de modo que em cada uma existam três letras (não repetidas) seguidas de quatro algarismos (repetidos ou não)?

– Resolução:– As 26 letras serão agrupadas de 3 em 3 sem repetição:

– 26 x 25 x 24 = 15.600 agrupamento de letras → A26,3

– Os 10 algarismos serão agrupados de 4 em 4, com repetição:– 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000 agrupamentos de algarismos

– Para cada agrupamento de letras podemos usar todos os agrupamentos de algarismos. Então, o total de placas é:

– 15.600 x 10.000 = 156.000.000 placas

Qual será o nº de placas se as letras também puderem ser repetidas?

Análise CombinatóriaLista de exercícios1) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7:a) Quantos números de 3 algarismos podemos formar? R: 512

b) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar? R: 336

2) Um estudante tem 5 lápis de cores diferentes. De quantas maneiras diferentes ele poderá pintar os estados da região Centro-Oeste do Brasil, cada um de uma cor? R: 60 ou 120 (se incluir o DF)

3) De quantas maneiras 5 meninos podem sentar-se num banco que tem apenas 3 lugares? R: 60

4) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de 3 algarismos distintos maiores que 300 podemos formar? R: 80

5) De quantas maneiras diferentes um técnico pode escalar seu time de baskete tendo 12 atletas à sua disposição? (1 time = 5 jogadores) R: 792

6) Um conselho de uma escola é formado por 2 professores e 3 alunos. Candidataram–se 5 professores e 30 alunos. De quantas maneiras diferentes esse conselho pode ser eleito? R: 40600

7) De quantos modos posso escolher 4 livros em uma coleção de 10? R: 210

8) Quantos anagramas podemos formar com a palavra LÓGICA? R: 720

9) Quantos anagramas podemos formar com a palavra DEZESSETE? R: 30240