estatistica experimental

Estatística Experimental

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Estatística

Experimental Material Didático

Apostila da disciplina de estatística experimental destinada aos acadêmicos do

curso de pós-graduação em genética e melhoramento de plantas da

Universidade do Estado de Mato Grosso – UNEMAT

2012

Prof. Dr. Willian Krause

UNEMAT

2012

Estatística Experimental Prof. Dr. Willian Krause

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1. Noções básicas de experimentação agrícola

A Estatística Experimental é a ciência que tem como objetivo estudar experimentos (ensaios),

englobando etapas como o planejamento, execução, coleta e análise dos dados experimentais e interpretação

dos resultados obtidos. Ela foi proposta inicialmente na área de ciências biológicas por Ronald A. Fisher em

1919. Fisher propôs o uso da análise de variância (ANAVA) como ferramenta para análise e interpretação de

dados. A ANAVA permite a decomposição do grau de liberdade e da soma de quadrados total em somas de

quadrados correspondentes às fontes de variação previamente definidas no planejamento do experimento.

A fase de planejamento do experimento merece considerável atenção por parte do pesquisador, pois

dela dependerá o sucesso da análise e interpretação dos resultados sendo, portanto, recomendável uma

consulta a um estatístico antes da instalação do experimento. O planejamento envolve etapas como:

a) Formulação de hipóteses

Ao planejar o problema que se vai pesquisar, deverá ser dada especial atenção aos seguintes pontos:

- Definição da importância do problema que se estuda;

- Determinação do(s) objetivo(s) e finalidade da investigação.

Definir a importância do problema que se estuda é explicar o que vamos estudar. Será impossível o

planejamento das etapas subseqüentes se não ficar claramente evidenciado o problema a investigar. Não

basta, por exemplo, dizer que se vai estudar a biodiversidade do Pantanal, o efeito da poluição do rio

Sepotuba, pois provavelmente nenhum pesquisador terá possibilidade e capacidade de abordar todos os

aspectos da biodiversidade ou da poluição. É importante também especificar sua extensão.

Antes de empreender o experimento, o pesquisador deve revisar tudo o que diz respeito ao fato em

estudo, com a finalidade de saber o que já se conhece sobre o assunto. Decerto serão encontrados vários

subsídios que fornecerão valiosa colaboração para o estudo. A revisão bibliográfica sobre o assunto deverá

sofrer cuidadosa seleção para que os resultados mais afins possam ser aproveitados no conforto e discussão

posteriores à da pesquisa.

A hipótese, resultado de um raciocínio indutivo (consciente ou subconsciente), requer demonstração

ou prova de sua adequação. Sabemos que a veracidade de uma hipótese nunca pode ser demonstrada ou

provada definitivamente. O que se faz é verificar se ela não seria falsa; o que nos levaria a rejeitá-la e a

formular outra, se necessário. Enquanto não se possa demonstrar que ela é incorreta, mantém-se a hipótese

como boa. Dela deduzimos as conseqüências ou fazemos previsões. Por sua vez, essas conseqüências e

previsões serão testadas, para ver se a hipótese adotada ainda se mantém ou não.

A hipótese estatística formulada é denominada hipótese de nulidade e é simbolizada por Ho. Suponha

que se deseja estudar qual cultivar (considerando, por exemplo, três cultivares diferentes) proporcionará a

melhor produtividade na cultura da soja. No exemplo, Ho seria: não existem diferenças significativas entre as

cultivares (ou seja, qualquer diferença observada é devida a fatores não controlados). Ho poderá ser aceita ou

rejeitada; caso seja rejeitada, aceitaremos uma hipótese denominada alternativa, simbolizada por H1 que no

exemplo seria: as cultivares diferem significativamente entre si (ou as cultivares se comportam de modo

diferente quanto a produtividade).


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b) Escolha dos fatores e seus respectivos níveis

Fatores (ou tratamentos) são aqueles que o pesquisador tem interesse em estudar o seu efeito sobre as

variáveis respostas. As subdivisões de um fator são os níveis dos mesmos. Por exemplo, se o interesse for

planejar um experimento para se estudar o efeito de seis tipos diferentes de rotações de cultura, o fator em

estudo é rotação e os níveis deste fator são os seis tipos de rotação. Em alguns casos, como por exemplo, nos

experimentos fatoriais ou em parcelas subdivididas, dois ou mais fatores são estudados. Suponha que se

deseja estudar o efeito de duas variedades de cana de açúcar e três doses de nitrogênio; neste caso se trata de

um experimento em fatorial 2x3, em que se tem dois fatores (variedade e dose de nitrogênio); dois níveis do

fator variedade e três níveis do fator dose de nitrogênio.

Um fator pode ser classificado em:

b.1) Qualitativo: quando os níveis do fator são categorias, atributos.

Por exemplo: nome de variedades de cana de açúcar (SP701143 e SP813250); métodos de plantio

(direto, convencional); origem de solos (MG, RJ, BA, SP); etc.

b.2) Quantitativo: quando os níveis do fator são mensurações de valores reais. Normalmente os

níveis são valores numéricos acompanhados de uma unidade de medida. Por exemplo: dose de nitrogênio (0,

25 e 50 kg ha-1); espaçamento de plantio de maracujá (1, 2, 3, 4m entre plantas), etc.

c) Escolha da parcela (unidade experimental)

Parcela é a unidade experimental que receberá o tratamento. A parcela pode assumir diferentes

formas e tamanhos. Por exemplo, uma parcela poderá ser constituída por uma ou várias plantas; um vaso

contendo uma ou mais plantas; uma placa de Petri com determinado meio de cultura; uma área com várias

plantas; um animal; etc.

d) Escolha do delineamento experimental

Delineamento experimental é o plano de distribuição dos tratamentos na área experimental. Como

exemplo de delineamentos tem-se o delineamento inteiramente casualizado (DIC), o delineamento em blocos

casualizados (DBC), o delineamento em quadrados latinos (DQL), os delineamentos em blocos incompletos

(por exemplo, os látices, blocos aumentados, etc.).

e) Escolha das variáveis a serem analisadas

Variáveis respostas ou variáveis dependentes ou simplesmente variáveis são características obtidas

em cada parcela. Os dados (observações) são realizações de uma variável e serão analisados para verificar se

há diferença entre os níveis dos fatores (tratamentos). Assim, exemplos de variáveis são: produção de grãos

de feijão; altura de plantas de milho; pH, teor de Ca, Mg e P em amostras de solo; número de plantas de

cana-de-açúcar atacadas por cercosporiose; etc.

Uma variável também pode ser classificada, semelhantemente aos fatores (tratamentos), em:

e.1) Qualitativa

e.1.1) Nominal: quando são categorias, atributos, sem uma ordenação natural. Por exemplo: cor dos

grãos do feijoeiro (marrom, preto, branco); textura do solo (arenoso, argiloso, silte); etc.


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e.1.2) Ordinal: quando são atributos com uma ordenação natural. Por exemplo: suscetibilidade do

cafeeiro à ferrugem (alta, média, baixa); nota para o ataque de cercosporiose em cana-de-açúcar (escala de 1,

para ausência da doença, até 9, para o máximo de doença); etc.

e.2) Quantitativa

e.2.1) Discretas: quando são contagens de números inteiros positivos com uma ordenação natural.

Por exemplo: número de chuvas em 2002 superior a 80 mm/h (ex. 20 chuvas); número de plantas atacadas

com a broca do fruto do cafeeiro (ex. 200 plantas); número de minhocas encontradas em determinada

amostra de solo (ex. 50 minhocas).

e.2.2) Contínuas: quando são mensurações de valores reais; normalmente existe uma unidade de

medida acompanhando a variável. Por exemplo: produtividade (100,0 kg ha-1); renda (R$2.050,73/mês);

altura (2,5 m); diâmetro (8,18 cm); peso (98,5 g); pH (5,5); teor de P, Ca, Mg, K, matéria orgânica, etc.

f) Análise dos dados obtidos com o experimento.

2. Definições gerais

a) Pesquisa e experimentação: o termo pesquisa deve ser empregado quando se investigam

coisas novas, e experimentação, ao se verificar a adaptação de conhecimentos ou tecnologias a situações

diversas daquelas nas quais foram criadas ou desenvolvidas. Assim a criação de novas cultivares deve ser

considerada como pesquisa, mas a realização de um ensaio de competição de linhagens e/ou cultivares em

ambiente diverso àquele no qual foram criadas é uma experimentação.

b) Fator: aquilo que se aplica em um ensaio de forma não homogênea, por exemplo, cultivar,

quando se testam várias delas; adubação ao se compararem diversas formulações; etc.

c) Nível: as diferentes manifestações de um fator, por exemplo as doses de adubações

empregadas, os espaçamentos utilizados, as cultivares que se testam, diferentes temperaturas de cocção, etc.

d) Tratamento: cada um dos níveis do fator ou cada uma das combinações dos níveis dos

fatores, quando testando mais de um fator.

e) Testemunha: tratamento padrão de comparação. Pode ser a ausência de um fator (dose zero

de um adubo), ou a aplicação usual do fator (cultivar recomendada para cultivo na região, espaçamento

adotado pelos agricultores, etc).

f) Ensaio ou experimento: o conjunto de todos os tratamentos, aplicados de forma repetida.

Quando mais de um fator estiver sendo estudado, o ensaio é chamado de ensaio ou experimento fatorial.

g) Delineamento: o esquema adotado para a distribuição dos tratamentos.

h) Unidade experimental (parcela): sujeito ao se aplica um dos tratamentos. Pode ser uma área

de solo, um vaso, um animal, uma placa de petri, um indivíduo, etc.

i) Área útil: porção da unidade experimental efetivamente utilizada na avaliação do tratamento.

j) Bordadura: parte da parcela não coletada para avaliação do efeito do tratamento. É

empregada para evitar efeito de competição ou de contaminação entre parcelas vizinhas. Normalmente é

constituída pelo mesmo material da área útil.


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k) Repetição: cada uma das aplicações de um tratamento.

l) Bloco: conjunto ambiental homogêneo que contém todos os tratamentos ou parte deles (no

caso de blocos incompletos).

3. Análise de variância

A análise de variância (ANAVA) é um dos métodos para análise dos dados que visa decompor a

variação total entre parcelas em fontes (causas) de variação devidas a efeitos principais dos fatores, efeitos de

interações entre fatores, efeitos de aninhamento e resíduo (erro). Para facilitar o entendimento, antes de

partirmos para exemplos de análises de variância, é necessário fazer alguns comentários sobre os princípios

básicos da experimentação e também sobre as pressuposições da análise de variância.

3.1. Princípios básicos da experimentação

Os delineamentos experimentais clássicos são baseados nos três conceitos a seguir, estabelecidos por

Fisher (1935).

a) Repetição: refere-se ao número de parcelas que receberão um mesmo tratamento. Os tratamentos

devem ser repetidos, possibilitando, assim, estimar o erro experimental sem o qual não seria possível realizar

testes de hipóteses. O uso de um número adequado de repetições possibilita uma boa estimativa do erro

experimental, melhorando as estimativas de interesse. É fácil entender que o teste de hipóteses será tanto

mais preciso quanto menor for a estimativa do erro experimental que, em realidade, reflete a variância da

média dos tratamentos. No entanto, o número de repetições pode ser limitado, por exemplo, pelo número de

tratamentos que serão comparados, pela disponibilidade de material e de área experimental, entre outros

fatores.

b) Casualização: refere-se à distribuição aleatória dos tratamentos às parcelas de modo que todas as

parcelas tenham a mesma chance de receber qualquer um dos tratamentos. Com isso, a casualização evita

que determinado tratamento seja favorecido e garante que os erros sejam independentes (Mead & Curnow,

1983). Alguns programas computacionais elaboram planilhas de campo já com os tratamentos aleatorizados,

como por exemplo, o GENES, SISVAR e outros.

c) Controle local: a idéia básica do controle local é a partição do conjunto total de parcelas em

subconjuntos (blocos) que sejam os mais homogêneos possíveis. Para Hinkelmann & Kempthorne (1994), o

princípio do controle local é o reconhecimento de padrões supostamente associados às parcelas. Este

princípio é utilizado para atenuar problemas de heterogeneidade ambiental (por exemplo de solo, de

distribuição de água no caso de experimentos irrigados, etc.).

3.2. Pressuposições de uma análise de variância

Quando se realiza análise de variância, as seguintes condições devem ser satisfeitas:

a) os efeitos de tratamentos e ambientes devem ser aditivos porque a variação será decomposta

(Y=m+trat+erro).


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b) Os erros experimentais devem ser aleatórios, independentes e normalmente distribuídos com

média zero e variância comum (homogeneidade de variância).

• Aleatório: o único manejo que pode variar no experimento é o que se está testando;

• Independência dos erros: o erro deve ser independente da média, não pode haver

associação do erro com a média;

• Sem a distribuição normal dos erros não pode aplicar testes;

• Homogeneidade das variâncias: ao aplicar os testes, os erros precisam ser comuns para

todos os tratamentos.

3.3. Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC)

a) Características

- Os tratamentos são distribuídos nas parcelas de forma inteiramente casual (aleatória).

- O DIC possui apenas os princípios da casualização e da repetição, não possuindo controle local e, portanto,

as repetições não são organizadas em blocos.

- Normalmente é mais utilizado em experimentos de laboratório; experimentos em vasos ou bandejas em

casa de vegetação, onde há possibilidade de controle das condições ambientais. Nos experimentos em casa

de vegetação recomenda-se constantemente mudar as parcelas de posição para evitar diferenças ambientais

devido a posição da parcela na casa de vegetação. A instalação do DIC no campo experimental exige certa

homogeneidade das condições ambientais (como por exemplo, quanto à fertilidade do solo, distribuição

uniforme de água, etc.).

b) Vantagens

- Possui grande flexibilidade quanto ao número de tratamentos e repetições, sendo dependente, entretanto, da

quantidade de material e área experimental disponíveis.

- Pode-se ter DIC não balanceado, ou seja, com números de repetições diferentes entre tratamentos, o que

não leva a grandes alterações. Mas os testes de comparações múltiplas passam a ser aproximados e não mais

exatos. O ideal é que os tratamentos sejam igualmente repetidos.

- Considerando o mesmo número de parcelas e tratamentos avaliados, é o delineamento que possibilita o

maior grau de liberdade do erro.

c) Desvantagens

- Exige homogeneidade das condições experimentais. Se as condições não forem uniformes, como se

esperava antes da instalação do experimento, toda variação (exceto à devida a tratamentos) irá para o erro,

aumentando sua estimativa e reduzindo, portanto, a precisão do experimento.

d) Modelo estatístico do DIC

y�� = m + t� + e��, em que, y�� representa a observação do i-ésimo tratamento na j-ésima repetição;

m representa uma constante geral associada a esta variável aleatória; t� representa o efeito do i-ésimo

tratamento; e e�� representa o erro experimental associado a observação y��, suposto ter distribuição normal

com média zero e variância comum.


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e) Exemplo de DIC

Suponha que foi avaliado o peso seco da parte aérea (g/parcela) de 4 variedades de cana-de-açúcar.

O experimento foi instalado em casa de vegetação. O delineamento foi o inteiramente casualizado com 3

repetições. Cada parcela era constituída de 1 vaso com 3 plantas. Os dados de peso estão dispostos no

Quadro a seguir:

Peso seco da parte aérea (g/parcela) de 4 variedades de cana-de-açúcar (A, B, C e D) em um delineamento

inteiramente casualizado com 3 repetições.

Tratamento (Cultivares) Repetição Variável (Peso em g) Total dos Tratamentos A 1 200

730 A 2 280 A 3 250 B 1 390

1220 B 2 420 B 3 410 C 1 180

580 C 2 210 C 3 190 D 1 650

1885 D 2 610 D 3 625

Total Geral 4415

Croqui de campo

C A B B

D C C D

A B A D

A disposição das repetições de cada tratamento é realizada de forma totalmente aleatória às parcelas.

f) Esquema de análise de variância do DIC com fontes de variação e graus de liberdade

Considerando I tratamento e cada tratamento com J repetições, temos a representação esquemática

dos dados do exemplo acima num delineamento inteiramente casualizado.

Quadro dos dados:

Tratamento (Cultivares) Repetição Variável (Peso em g) Total dos Tratamentos 1 1 yij = y11 = 200

yi. = y1. = y11 + y12 + y13 = 730 1 2 yij = y12 = 280 1 3 yij = y13 = 250 2 1 yij = y21 = 390

yi. = y2. = y21 + y22 + y23 = 1220 2 2 yij = y22 = 420 2 3 yij = y23 = 410


8

3 1 yij = y31 = 180

yi. = y3. = y31 + y32 + y33 = 580 3 2 yij = y32 = 210 3 3 yij = y33 = 190 4 1 yij = y41 = 650

yi. = y4. = y41 + y42 + y43 = 1885 4 2 yij = y42 = 610 4 3 yij = y43 = 625

Total Geral y.. = 4415

Quadro da análise de variância:

Fonte de Variação

(FV)

Grau de Liberdade

(GL)

Soma de Quadrado

(SQ)

Quadrado Médio

(QM)

Teste F

(F)

Tratamento I-1 ∑ y�.�

j − y..�

ij SQ��GL��

QM��

QM�

Erro ou Resíduo I(J-1) SQ�� − SQ�� SQ�GL�

Total IJ-1 � y�� − y..�

ij

Média Geral #Y$..% = y..ij

Coeficiente de Variação = CV#%% = )*+,-$..

. 100

I = nº de tratamentos; J = nº de repetições

Resolvendo o exemplo anterior, temos:

GLTot = (4 x 3) – 1 = 11

GLTrat = 4 - 1 = 3

GLE = 4 (3-1) = 8

Considerando C = y..

2

ij, temos:

SQTot = (2002 + 2802 + 2502 + 3902 + 4202 + 4

102 + 1802 + 4102 + 1902 + 6502 + 6102 + 6252) - 001230 4 5

SQTot =350972,917

SQTrat = 675839 1��839 2:839 1::235 ; − C = 345956,250

SQE = 350972,917 - 345956,250 = 5016,667

QMTrat = 502<2=,�28

5 = 115318,750

QME = 5016,667

8 = 627,083

Fc = 11251:,728

=�7,8:5 = 183,897

Y$.. = 00120 4 5 = 367,917


9

CV#%% = √=�7,8:55=7,<17 . 100 = 6,81


FV GL SQ QM Fc

Tratamento 3 345956,250 115318,750 183,897

Erro ou Resíduo 8 5016,667 627,083

Total 11 350972,917

Média 367,917

CV#%% 6,81

g) Conclusão e interpretação da análise de variância

Para verificar a significância do teste F, num nível α pré-estabelecido, o valor de F calculado (Fc) é

comparado com o valor de F tabelado (Ft). O valor de Ft é obtido da seguinte forma: Ft = Fα (GLTrat; GLE),

onde o valor do GLTrat é observado para identificar a coluna e o valor do GLE é observado para identificar a

linha. O valor da tabela encontrado mediante a intercessão da linha e coluna será o valor de Ft. Deve-se

observar o valor de Ft para α a 5% (Anexo 3)e 1% (Anexo 4). Assim:

- Se o valor de F calculado é maior ou igual que o valor de F tabelado (Fc ≥ Ft), rejeita-se H0, diz-se que o

teste foi significativo no nível de probabilidade esperado, logo existe diferença significativa entre os

tratamentos.

- Se o valor de F calculado é menor que o valor de F tabelado (Fc < Ft), não rejeita-se H0, diz-se que o teste

foi não significativo, logo não existe diferença significativa entre os tratamentos.

No exemplo acima, temos:

- Hipóteses

H0: trat 1 = trat 2 = trat 3 = trat 4

H1: trat 1 ≠ trat 2 ≠ trat 3 ≠ trat 4

- Fc = 183,897

- Ft = Fα (GLTrat; GLE) = F5% (3; 8) = 4,07 (Anexo 3)

Ft = Fα (GLTrat; GLE) = F1% (3; 8) = 7,59 (Anexo 4)

- Conclusão: Fc ≥ Ft, rejeita-se H0. Desta forma, existe diferença significativa entre os tratamentos ao nível de

1% de probabilidade de erro. Ou seja, as cultivares de cana de açúcar avaliadas no experimento acima

diferem estatisticamente quanto ao peso de massa seca.

As médias dos tratamentos são calculadas conforme a seguinte fórmula Y$�. = -@.� . Assim, temos:

Y$1. = 7303 = 243,33 Y$5. = 580

3 = 193,33

Y$�. = 12203 = 406,67 Y$0. = 1885

3 = 628,33


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3.4. Delineamento em Blocos Casualizados (DBC)

a) Características

Os tratamentos são distribuídos aleatoriamente em blocos (princípio do controle local) de modo que

haja maior uniformidade possível dentro de cada bloco. O número de parcelas por bloco é igual ao número

de tratamentos, ou seja, cada bloco deverá conter todos os tratamentos. O DBC possui os três princípios

básicos da experimentação: casualização, repetição e controle local e, portanto, as repetições são organizadas

em blocos. Normalmente, é o delineamento mais utilizado em condições de campo. A eficiência do DBC

depende da uniformidade dentro de cada bloco, podendo haver heterogeneidade entre blocos. Os blocos

podem ser instalados na forma quadrada, retangular ou irregular, desde que seja respeitada a uniformidade

dentro do bloco.

b) Vantagens

- Controla diferenças nas condições ambientais de um bloco para outro.

- Leva a uma estimativa mais exata da variância residual, uma vez que a variação ambiental entre blocos é

isolada.

d) Desvantagens

- Há uma redução no número de graus de liberdade do erro, pois o DBC utiliza o princípio do controle local.

- O número de tratamentos a ser utilizado é limitado pela exigência de homogeneidade dentro dos blocos,

não podendo ser muito elevado.

e) Modelo estatístico do DBC

y�� = m + b� + t� + e��, em que, y�� representa a observação do i-ésimo tratamento no j-ésimo bloco;

m representa uma constante geral associada a esta variável aleatória; b� representa o efeito do j-ésimo bloco;

t� representa o efeito do i-ésimo tratamento; e e�� representa o erro experimental associado a observação y��,

suposto ter distribuição normal com média zero e variância comum.

f) Exemplo de DBC

Estudou-se a influência de 4 tipos de cobertura morta (sorgo, crotalária, milheto e vegetação

espontânea) no peso seco de brócolis. O experimento foi instalado em DBC com 5 repetições. Os dados de

peso seco estão dispostos na Tabela a seguir:


11

Peso seco (kg/parcela) de brócolis em um experimento em blocos casualizados (DBC) com 5 repetições em que foi avaliada a influência de 4 tipos de cobertura morta (1: sorgo, 2: crotalária; 3: milheto e 4: vegetação espontânea)

Tipos de cobertura morta Repetição Peso seco (kg/parcela) Sorgo 1 yij = y11 = 72,8 Sorgo 2 yij = y12 = 58,3 Sorgo 3 yij = y13 = 50,4 Sorgo 4 yij = y14 = 51,6 Sorgo 5 yij = y15 = 59,0

Crotalária 1 yij = y21 = 69,0 Crotalária 2 yij = y22 = 64,1 Crotalária 3 yij = y23 = 72,1 Crotalária 4 yij = y24 = 73,6 Crotalária 5 yij = y25 = 65,0 Milheto 1 yij = y31 = 45,3 Milheto 2 yij = y32 = 60,9 Milheto 3 yij = y33 = 67,2 Milheto 4 yij = y34 = 66,2 Milheto 5 yij = y35 = 52,0

Espontânea 1 yij = y41 = 66,5 Espontânea 2 yij = y42 = 67,4 Espontânea 3 yij = y43 = 59,3 Espontânea 4 yij = y44 = 27,4 Espontânea 5 yij = y45 = 39,0 Total Geral 1187,1

Totais dos Tratamentos

yi. = y1. = y11 + y12 + y13 + y14 + y15 = 292,1

yi. = y2. = y21 + y22 + y23 + y24 + y25 = 343,8

yi. = y3. = y31 + y32 + y33 + y34 + y35 = 291,6

yi. = y4. = y41 + y42 + y43 y44 + y45 = 259,6

Totais dos blocos

y.j = y.1 = y11 + y21 + y31 + y41 = 253,6

y.j = y.2 = y12 + y22 + y32 + y42 = 250,7

y.j = y.3 = y13 + y23 + y33 + y43 = 249,0

y.j = y.4 = y14 + y24 + y34 + y44 = 218,8

y.j = y.5 = y15 + y25 + y35 + y45 = 215,0


12

Croqui de Campo

Bloco 1 2 3 1 4

Bloco 2 4 1 2 3

Bloco 3 2 1 4 3

Bloco 4 3 2 1 4

Bloco 5 1 4 3 2

A disposição dos tratamentos é realizada de forma aleatória dentro dos blocos.

g) Esquema de análise de variância do DBC com fontes de variação e graus de liberdade

No DBC as repetições representam os blocos, assim o quadro de análise de variância para os dados de

um DBC é expresso de uma maneira geral por:


FV GL SQ QM F

Bloco J-1 � y.��

i − y..�

ij SQJGLJ

QMJQM�

Tratamento I-1 ∑ y�.�

j − y..�

ij SQ��GL��

QM��

QM�

Erro ou Resíduo (I-1) (J-1) SQ�� − SQ�� − SQJ SQ�GL�

Total IJ-1 � y�� − y..�

ij

Média Geral #Y$..% = y..ij

Coeficiente de Variação = CV#%% = )*+,-$..

. 100

I = nº de tratamentos; J = nº de blocos


GLTot = (4 x 5) – 1 = 19

GLB = (5-1) = 4

GLTrat = (4-1) = 3

GLE = (4-1) (5-1) = 12

SQTot = (72,82 + 69,02 + … + 39,02) – 11:7,13

0 4 2 = 2748,7495

SQTrat = 6�<�,139 … 9 1::2�2<,=32 ; − C = 728,3935


13

SQJ = �25,=39 …9 �12,830 − C = 355,4020

SQE = 2748,7495 – 728,3935 – 355,4020 = 1664,9540

QMTrat = 7�:,5<52

5 = 242,7978

QMB = 522,08�8

0 = 88,8505

QME = 1==0,<208

:1� = 138,7462

Fc = �0�,7<7: 15:,70=� = 1,750 Média = 11:7,1

0 4 2 = 59,4 CV#%% = √15:,70=�2<,0 . 100 = 19,83


FV GL SQ QM Fc

Bloco 4 355,4020 88,8505 0,640

Tratamento 3 728,3935 242,7978 1,750

Erro ou Resíduo 12 1664,9540 138,7462

Total 19 2748,7495

Média 59,4

CV#%% = 6,81 19,83

h) Conclusão e interpretação da análise de variância

Para o DBC, valem as mesmas considerações realizadas para o DIC.

No exemplo acima, temos:

- Hipóteses

H0: trat 1 = trat 2 = trat 3 = trat 4

H1: trat 1 ≠ trat 2 ≠ trat 3 ≠ trat 4

- Fc = 1,750

- Ft = Fα (GLTrat; GLE) = F5% (3; 12) = 3,49 (Anexo 3)

Ft = Fα (GLTrat; GLE) = F1% (3; 12) = 5,95 (Anexo 4)

- Conclusão: Fc < Ft, não rejeita-se H0. Desta forma, não existe diferença significativa entre os tratamentos.

Ou seja, os quatro tipos de cobertura morta avaliadas no experimento acima não influenciaram sobre o peso

seco de brócolis.

As médias dos tratamentos são calculadas conforme a seguinte fórmula Y$�. = -@.� . Assim, temos:

Y$1. = 292,15 = 58,42 Y$5. = 291,6

5 = 58,32

Y$�. = 343,85 = 68,76 Y$0. = 259,6

5 = 51,92


14

3.5. Experimentos fatoriais

a) Características

Em alguns experimentos, o pesquisador avalia dois ou mais tipos de tratamentos e deseja verificar se

há interação entre estes tipos. Tais experimentos são denominados experimentos fatoriais e os tipos de

tratamentos são denominados fatores. As categorias (subdivisões) de cada fator são ditas níveis do fator.

Como exemplo, considere um experimento em que se comparou o efeito de 3 cultivares de maracujá (FB

100, BRS Ouro Vermelho e IAC 275) e o efeito de um determinado produto químico para o controle da

verrugose (Cobre-S, Recop). Neste caso, existem dois fatores: cultivares e produto químico. Os níveis do

fator cultivar são 3 ((FB 100, BRS Ouro Vermelho e IAC 275) e do produto químico são 2 (Cobre-S,

Recop).

Costuma-se representar o fatorial pela multiplicação dos níveis. No exemplo anterior o fatorial é 3x2

(fatorial 3 por 2), assim fica claro que existem dois fatores, o primeiro fator com 3 níveis de cultivar e o

segundo com 2 níveis de produto. O número total de tratamentos avaliados também é dado pela

multiplicação dos níveis, ou seja, no exemplo são avaliados 3x2 = 6 tratamentos avaliados (1: FB 100 com

Cobre-S; 2: FB 100 com Recop; 3: BRS Ouro Vermelho com Cobre-S; 4: BRS Ouro Vermelho com Recop;

5: IAC 275 com Cobre-S; 6: IAC 275 com Recop. Se fossem, por exemplo, 3 fatores com 5, 2 e 3 níveis para

cada fator respectivamente, a representação seria: fatorial 5x2x3, sendo avaliado um total de 30 tratamentos e

assim por diante. Vale lembrar que os experimentos fatoriais não são delineamentos e sim um esquema de

desdobramento de graus de liberdade de tratamentos, e podem ser instalado em qualquer dos delineamentos

experimentais, DIC, DBC, etc.

b) Vantagens

- Permite estudar os efeitos principais dos fatores e os efeitos das interações entre eles.

c) Desvantagens

- Como os tratamentos correspondem a todas as combinações possíveis entre os níveis dos fatores, o número

de tratamentos a ser avaliado pode aumentar muito, não podendo ser distribuídos em blocos completos

casualizados devido à exigência de homogeneidade das parcelas dentro de cada bloco. Isto pode levar a

complicações na análise, sendo preciso lançar mão de algumas técnicas alternativas (como por exemplo, o

uso de blocos incompletos).

- A análise estatística e a interpretação dos resultados pode tornar-se um pouco mais complicada que nos

experimentos simples.

d) Modelo estatístico do fatorial

O modelo a seguir corresponde a um modelo de um delineamento em blocos casualizados (DBC) em

esquema fatorial com 2 fatores (A e D), mas pode ser estendido para os casos em que há mais fatores,

incluindo os fatores isolados e as interações duplas, triplas e outras entre os fatores.

Y�L� = m + b� + A� + DL + #AD%�L + e�L� em que, Yikj é o valor observado referente a parcela que recebeu o i-ésimo nível do fator A e o k-ésimo nível

do fator D no j-ésimo bloco; m representa uma constante geral; bj representa o efeito do j-ésimo bloco; Ai


15

representa o efeito do i-ésimo nível do fator A; D representa o efeito do k-ésimo nível do fator D; (AD)ik

representa a interação entre o efeito do i-ésimo nível do fator A e o efeito do k-ésimo nível do fator D e eikj

representa o erro experimental associado à observação Yikj, suposto ter distribuição normal com média zero e

variância comum.

e) Exemplo de fatorial

Em um experimento em blocos casualizados com 4 repetições, no esquema fatorial 2x3 foi avaliado

o efeito de 2 variedades de cana de açúcar (V1 e V2) e 3 tipos de inoculantes (I1, I2 e I3) quanto ao peso do

colmo (ton ha-1). Os dados estão apresentados na Tabela a seguir.

Tabela. Peso do colmo (ton/ha) para os 6 tratamentos de um experimento em blocos casualizados (DBC),

com 4 repetições, em esquema fatorial 2x3

Variedades de cana (Fator A)

Tipos de inoculantes (Fator D)

Repetição Peso do colmo (ton/ha) Totais (A x D)

1 1 1 yikj = y111 = 238,1

yik. = y11. = 925,4 1 1 2 yikj = y112 = 256,0 1 1 3 yikj = y113 = 267,7 1 1 4 yikj = y114 = 163,6 1 2 1 yikj = y121 = 223,6





yik. = y23. = 1517,1 2 3 2 yikj = y232 = 406,5 2 3 3 yikj = y233 = 374,5 2 3 4 yikj = y234 = 363,8

Total Geral y... = 7295,4

Totais dos blocos

y..j = y..1 = y111 + y121 + y131 + y211 + y221 + y231 = 1819,5

y..j = y..2 = y112 + y122 + y132 + y212 + y222 + y232 = 1941,7

y..j = y..3 = y113 + y123 + y133 + y213 + y223 + y233 = 1802,4

y..j = y..4 = y114 + y124 + y134 + y214 + y224 + y234 = 1731,8


16

Totais da Interação AxD (variedades de cana x tipos de inoculantes)

yik. = y11. = y111 + y112 + y113 + y114 = 925,4

yik. = y12. = y121 + y122 + y123 + y124 = 835,8

yik. = y13. = y131 + y132 + y133 + y134 = 977,1

yik. = y21. = y211 + y212 + y213 + y214 = 1541,0

yik. = y22. = y221 + y222 + y223 + y224 = 1499,0

yik. = y23. = y231 + y232 + y233 + y234 = 1517,1

Tabela Auxiliar

D1 D2 D3 Total A1 925,4(4) 835,8(4) 977,1(4) 2738,3(12) A2 1541,0(4) 1499,0(4) 1517,1(4) 4557,1(12)

Total 2466,4(8) 2334,8(8) 2494,2(8) 7295,4(24) *Os valores entre parênteses correspondem ao número de parcelas que deu origem.

Totais do Fator A (variedades de cana)

yi.. = y1.. = y111 + y112 + y113 + y114 + y121 + y122 + y123 + y124 + y131 + y132 + y133 + y134 = 2738,3

yi.. = y2.. = y211 + y212 + y213 + y214 + y221 + y222 + y223 + y224 + y231 + y232 + y233 + y234 = 4557,1

Totais do Fator D (tipos de inoculantes)

y.k. = y.1. = y111 + y112 + y113 + y114 + y211 + y212 + y213 + y214 = 2466,4

y.k. = y.2. = y121 + y122 + y123 + y124 + y221 + y222 + y223 + y224 = 2334,8

y.k. = y.3. = y131 + y132 + y133 + y134 + y231 + y232 + y233 + y234 = 2494,2

Croqui de Campo

Tratamento 1 = variedade de cana 1, inoculante 1







17

Bloco 1 2 4 1 3 6 5

Bloco 2 5 2 6 1 4 3

Bloco 3 3 4 5 2 1 6

Bloco 4 6 1 3 4 5 2

A disposição dos tratamentos é realizada de forma aleatória dentro dos blocos.

g) Esquema de análise de variância do DBC num esquema fatorial com fontes de variação e graus de

liberdade


FV GL SQ QM F

Bloco J-1 � y..��

ik − y...�

ikj SQJGLJ

QMJQM�

(Tratamento) - - - -

Fator A I-1 � y�..�

kj − y...�

ikj SQPGLP

QMPQM�

Fator D K-1 � y.L.�

ij − y...�

ikj SQQGLQ

QMQQM�

Interação AxD (I-1) (K-1) � y�L.�

j − y...�

ikj − SQP − SQQ SQPQGLPQ

QMPQQM�

Erro ou Resíduo (IK-1) (J-1) SQ�� − SQJ − SQP − SQQ − SQPQ SQ�GL�

Total IKJ-1 � y�L�� − y...�

ikj

Média Geral #Y$...% = y...ikj

Coeficiente de Variação = CV#%% = )*+,-$...

. 100

I = níveis do Fator A; K = níveis do Fator D; J = nº de blocos


SQTot = (238,12 + 256,02 + … + 363,82) – 7�<2,03� 4 5 4 0 = 172067,105

SQJ = 1:1<,239 …9 1751,:3� 4 5 − C = 3806,8083

SQA = 6�75:,5390227,135 4 0 ; − C = 137834,7267

SQD = 6�0==,039⋯9�0<0,�3� 4 0 ; − C = 1812,49


18

SQAD = 6<�2,039⋯91217,130 ; − C − SQP − SQQ = 964,9733

SQE = 172067,105 – 3806,8083 – 137834,7267 – 1812,49 – 964,9733 = 27648,1067

QMB = 5:8=,:8:5

5 = 1268,9361

QMA = 157:50,7�=7

1 = 137834,7267

QMD = 1:1�,0<

� = 906,245

QMAD = <=0,<755

� = 482,4867

QME = �7=0:,18=7

12 = 1843,2071

Fator A

Fc = 157:50,7�=7

1:05,�871 = 74,78

Fator D

Fc = <8=,�02

1:05,�871 = 0,492

Fator AD

Fc = 0:�,0:=7 1:05,�871 = 0,262

Média = 7295,42 x 3 x 4 = 303,98

CV#%% = √27648,1067303,98 . 100 = 14,12


FV GL SQ QM Fc

Bloco (4-1) = 3 3806,8083 1268,9361 0,688

(Tratamento) (6-1) = 5 140612,19 28122,483 15,257

Fator A (2-1) = 1 137834,7267 137834,7267 74,78

Fator D (3-1) = 2 1812,49 906,245 0,492

AxD (2-1) (3-1) = 2 964,973 482,4867 0,262

Erro ou Resíduo (2 x 3 – 1) (4-1) = 15 27648,1067 1843,2071

Total 2 x 3 x 4 -1 = 23 172067,105

Média 14,12

CV#%% 303,98


Fator A

- Hipóteses

H0: A1 = A2

H1: A1 ≠ A2


19

- Fc = 74,78

- Ft = Fα (GLA; GLE) = F5% (1; 15) = 4,54 (Anexo 3)

Ft = Fα (GLA; GLE) = F1% (1; 15) = 8,68 (Anexo 4)

- Conclusão: Fc > Ft, rejeita-se H0. Desta forma, existe diferença significativa entre os níveis do fator A ao

nível de 1% de probabilidade de erro. Ou seja, as variedades de cana avaliadas no experimento acima

diferiram entre si para a característica peso do colmo.

Fator D

- Hipóteses

H0: D1 = D2 = D3

H1: D1 ≠ D2 ≠ D3

- Fc = 0,492

- Ft = Fα (GLD; GLE) = F5% (2; 15) = 3,68 (Anexo 3)

Ft = Fα (GLD; GLE) = F1% (2; 15) = 6,36 (Anexo 4)

- Conclusão: Fc < Ft, não rejeita-se H0. Desta forma, não existe diferença significativa entre os níveis do fator

D. Ou seja, as variedades de cana avaliadas no experimento acima não diferiram entre si para a característica

peso do colmo.

Interação AD

- Hipóteses

H0: AD1 = ... = AD6

H1: AD1 ≠ ... ≠ AD6

- Fc = 0,262

- Ft = Fα (GLAD; GLE) = F5% (2; 15) = 3,68 (Anexo 3)

Ft = Fα (GLAD; GLE) = F1% (2; 15) = 6,36 (Anexo 4)

- Conclusão: Fc < Ft, não rejeita-se H0. Desta forma, a interação AD foi não significativa.

Quando a interação é significativa, temos que estudar o comportamento dos níveis de um fator

dentro de cada nível do outro fator. Quando a interação é não significativa podemos testar as hipóteses sobre

os efeitos principais dos fatores A e D.

Segue abaixo a Tabela com as médias:

Fator A Fator D

Y$�.. = Y�..kj Y$.L. = Y.L.

ij

Y$1.. = 2738,312 = 228,19 Y$.1. = 2466,4

8 = 308,3

Y$�.. = 4557,112 = 379,76 Y$.�. = 2334,8

8 = 291,8


20

Y$.5. = 2494,28 = 311,8

Exemplo 2: Foram avaliados 7 cultivares de maracujá amarelo com e sem o uso da polinização

artificial, num esquema fatorial (2 x 7), com delineamento em blocos casualizados e 5 repetições. Os dados

estão na Tabela abaixo:

Polinização Artificial

Cultivares Rep Peso de Frutos

(g)

Polinização Artificial

Cultivares Rep Peso de Frutos

(g)

Com IAC 275 1 210,1

Sem IAC 275 1 109,2 Com IAC 275 2 138,6

Sem IAC 275 2 95,0 Com IAC 275 3 166,1

Sem IAC 275 3 131,7 Com IAC 275 4 169,2

Sem IAC 275 4 153,5 Com IAC 275 5 181,8

Sem IAC 275 5 173,2 Com IAC 277 1 149,7

Sem IAC 277 1 132,4 Com IAC 277 2 181,7

Sem IAC 277 2 161,0 Com IAC 277 3 170,2

Sem IAC 277 3 121,9 Com IAC 277 4 180,1

Sem IAC 277 4 172,0 Com IAC 277 5 166,3

Sem IAC 277 5 168,8 Com FB 100 1 242,8

Sem FB 100 1 85,5 Com FB 100 2 286,9

Sem FB 100 2 145,2 Com FB 100 3 194,3

Sem FB 100 3 187,9 Com FB 100 4 236,3

Sem FB 100 4 135,3 Com FB 100 5 261,3

Sem FB 100 5 166,5 Com FB 200 1 251,3

Sem FB 200 1 149,4 Com FB 200 2 295,3

Sem FB 200 2 220,9 Com FB 200 3 319,0

Sem FB 200 3 216,3 Com FB 200 4 247,1

Sem FB 200 4 160,4 Com FB 200 5 260,4

Sem FB 200 5 132,3 Com Sol do Cerrado 1 253,3

Sem Sol do Cerrado 1 167,4 Com Sol do Cerrado 2 239,3




Sem Sol do Cerrado 5 147,7 Com Gigante Amarelo 1 171,2

Sem Gigante Amarelo 1 181,1 Com Gigante Amarelo 2 226,1




Sem Gigante Amarelo 5 218,1 Com Ouro Vermelho 1 231,1

Sem Ouro Vermelho 1 155,9 Com Ouro Vermelho 2 278,8




Sem Ouro Vermelho 5 205,8


21

Os cálculos para a montagem do quadro da análise de variância é igual ao exemplo anterior. Dessa

forma o resultado seria:


FV GL SQ QM Fc

Bloco 4 6176,5043 1544,1261

Polinização (P) 1 69336,5926 69336,5926 74,684

Cultivares (C) 6 39050,1419 6508,357 7,01

P x C 6 14711,4887 2451,9148 2,641

Erro ou Resíduo 52 48276,507 928,3944

Total 69 177551,2345

Média 189,95

CV#%% 16,04


Polinização (Fator A)

- Hipóteses

H0: Com = Sem

H1: Com ≠ Sem

- Fc = 74,684

- Ft = Fα (GLA; GLE) = F5% (1; 52) = 4,03 (Anexo 3)

Ft = Fα (GLA; GLE) = F1% (1; 52) = 7,12 (Anexo 4)

- Conclusão: Fc > Ft, rejeita-se H0. Desta forma, existe diferença significativa entre os níveis do fator A ao

nível de 1% de probabilidade de erro. Ou seja, a polinização artificial influencia no peso do fruto de

maracujá.

As médias com e sem polinização artificial foram as seguintes: Y$�.. = [email protected]�

Polinização Artificial Peso do fruto (g)

Com Y$1.. = 7749,87 x 5 = 221,4

Sem Y$1.. = 5546,77 x 5 = 158,5

Cultivares (Fator D)

- Hipóteses

H0: IAC 275 = IAC 277 = ... = Ouro Vermelho

H1: IAC 275 ≠ IAC 277 ≠ ... ≠ Ouro Vermelho

- Fc = 7,01

- Ft = Fα (GLD; GLE) = F5% (6; 52) = 3,14 (Anexo 3)


22

Ft = Fα (GLD; GLE) = F1% (6; 52) = 2,28 (Anexo 4)

- Conclusão: Fc > Ft, rejeita-se H0. Desta forma, existe diferença significativa entre os níveis do fator D ao

nível de 1% de probabilidade de erro. Ou seja, as cultivares diferiram entre si para a característica peso do

fruto de maracujá.

As médias das cultivares foram as seguintes: Y$.L. = -.T.��

Cultivares Peso do fruto (g)

IAC 275 152,8

IAC 277 160,4

FB 100 194,2

FB 200 225,2

Sol Cerrado 189,6

Gigante Amarelo 206,4

Ouro Vermelho 200,9

Polinização x cultivar (Interação AD)

- Hipóteses

H0: AD1 = ... = AD14

H1: AD1 ≠ ... ≠ AD14

- Fc = 2,641

- Ft = Fα (GLAD; GLE) = F5% (6; 52) = 3,14 (Anexo 3)

Ft = Fα (GLAD; GLE) = F1% (6; 52) = 2,28 (Anexo 4)

- Conclusão: Fc < Ft, rejeita-se H0. Desta forma, a interação foi significativa ao nível de 5% de probabilidade

de erro.

Quando a interação é não significativa podemos testar as hipóteses sobre os efeitos principais dos

fatores A e D. Mas quando a interação é significativa, temos que estudar o comportamento dos níveis de um

fator dentro de cada nível do outro fator.

Neste exemplo, como a interação foi significativa, temos que realizar o desdobramento para estudar

o comportamento dos níveis de um fator dentro de cada nível do outro fator.

Primeiramente vamos estudar os níveis do fator cultivar dentro dos níveis do fator polinização.

Desdobramento de cultivar dentro de com polinização, ou seja, D/A1: Y$�L. = -@T.�


IAC 275 173,1 IAC 277 169,6

FB 100 244,3 FB 200 274,3

Sol do cerrado 230,3

Gigante Amarelo 234,7

Ouro vermelho 223,1


23

Desdobramento de cultivar dentro de sem polinização, ou seja, D/A2: Y$�L. = -@T.�


IAC 275 132,5 IAC 277 151,2 FB 100 144,1 FB 200 175,9

Sol do cerrado 148,9

Gigante Amarelo 177,9 Ouro vermelho 178,8

Agora estudaremos os níveis do fato polinização dentro dos níveis cultivar.

Desdobramento de polinização dentro da cultivar 1 (IAC 275), ou seja, A/D1: Y$�L. = -@T.�


Com 132,5

Sem 173,1

Desdobramento de polinização dentro da cultivar 2 (IAC 277), ou seja, A/D2: Y$�L. = -@T.�


Com 151,2

Sem 244,3

Desdobramento de polinização dentro da cultivar 3 (FB 100), ou seja, A/D3: Y$�L. = -@T.�


Com 144,0

Sem 244,3

Desdobramento de polinização dentro da cultivar 4 (FB 200), ou seja, A/D4: Y$�L. = -@T.�


Com 175,9

Sem 274,6

Desdobramento de polinização dentro da cultivar 5 (Sol do Cerrado), ou seja, A/D5: Y$�L. = -@T.�


Com 148,9

Sem 230,3


24

Desdobramento de polinização dentro da cultivar 6 (Gigante Amarelo), ou seja, A/D6: Y$�L. = -@T.�


Com 177,9

Sem 234,8

Desdobramento de polinização dentro da cultivar 7 (Ouro Vermelho), ou seja, A/D5: Y$�L. = -@T.�


Com 178,8

Sem 223,1

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