Rosa – 2012

Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241

Aula de hojeExemplos de v. a. contínuas: Erlang, Hiperexponencial, Gamma, Weibull, Normal, Chi­Square, Uniforme, Lognormal, Pareto

Aula passadaDistribuição da soma, máximo e mínimo de v.a. discretasV.A. Contínua: função distribuição, função densidade  V. A. Exponencial, Hypoexponencial

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Variável Aleatória Hypoexponencial

Exp1

Exp2

Exp3

Exp4

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Variável Aleatória Erlang

Exp Exp Exp Exp

r = número de estágios

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Variável Aleatória Erlang

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Variável Aleatória Erlang

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Variável Aleatória Hyperexponencial

p1p2p3p4

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Parâmetros de CDF's

Uma distribuição pode ser deslocada e reescalonada por uma transformação do tipo: y = (x-mu)/sigma, correspondendo a uma mudança de origem e unidade

Os parâmetros location e scale são usados para fazer esta transformação (ex: normal)

Location: fornece o posicionamento da distribuição com relação ao eixo das abcissasScale: define a amplitude da distribuição

Algumas distribuições podem ter a sua forma alterada através do parâmetro shape que define a forma da distribuição (ex: gamma, weibull)

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Variável Aleatória Gamma

Modela a soma de exponenciais onde o número de estágios é contínuo

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Variável Aleatória Gamma

alpha (shape), lambda (scale)

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Variável Aleatória Gamma

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Variável Aleatória Weibull - 1

É usada para descrever tempo para falha devido a fadiga de um componente

Também tem sido usada para modelar um usuário acessando a web (tempo em ON e intervalo entre requisições)

Assume diversas formas variando-se os parâmetros lambda(scale) e alpha(shape)

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Variável Aleatória Weibull - 2

Esta forma possui um parâmetro a mais, o theta (location)

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Variável Aleatória Weibull

Efeito do parâmetro alpha (shape)

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Variável Aleatória Weibull

Efeito do parâmetro lambda (scale)

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Variável Aleatória Weibull

Efeito do parâmetro theta (location)

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Variável Aleatória Weibull: Exemplo

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Variável Aleatória Gaussiana ou Normal

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Variável Aleatória Normal x Teorema do Limite Central

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Variável Aleatória Normal

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Variável Aleatória Normal Padrão

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Variável Aleatória Normal: exemplo

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Variável Aleatória Chi-Square

É a distribuição da soma do quadrado de variáveis aleatórias com distribuição Normal (0,1).

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Variável Aleatória Chi-square

Graus de liberdade (degrees of fredom) – n

Não existe somente uma distribuição Chi-square, existe uma família indexada pelo parâmetro n

A distribuição Chi-square com nn graus de liberdade é a distribuição da soma do quadrado de n v.a. Normal(0,1).

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Variável Aleatória Uniforme

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Variável Aleatória Uniforme (função densidade)

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Variável Aleatória Uniforme (função distribuição)

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Variável Aleatória Uniforme (função distribuição)

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Variável Aleatória Lognormal Seja Y v.a. normal e Y = ln(X)

X é v.a. lognormal com parâmetros mu e sigma

Exemplo: tempo de reparo, tempo de vida de componentes de um sistema

O produto de n variáveis lognormais é uma variável lognormal:

X =X 1∗X 2∗⋯X n

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Variável Aleatória Pareto

Tem sido usada para modelar: Tamanho de arquivo web armazenado em provedores Tempo em OFF de uma fonte web (tempo que o usuário está pensando) Tamanho de uma rajada FTPTempo de CPU consumido por um processoTamando de reservatórios de petróleo

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Variável Aleatória Pareto

K é o menor valor que v.a. pode assumir.

alpha é o parâmetro shape

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Variável Aleatória Pareto

K = 1, é o menor valor que v.a. pode assumir

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Princípio de Pareto

Para diversos eventos, aproximadamente 80% dos efeitos provém de 20% das causas

Exemplo: 80% das vendas provém de 20% dos clientes

80% das vendas

20% dos clientes

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Princípio de Pareto

Não existe uma relação de 1 para 1 entre a causa e o efeito

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Princípio de Pareto: por que é importante ?

É importante saber que a maioria dos resultados vêem de uma minoria:

20% dos trabalhadores contribuem para 80% dos resultados

20% dos bugs contribuem para 80% dos crashes

20% dos usuários contribuem para 80% das vendas

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Cauda Longa (Heavy Tail)

Uma distribuição possui cauda longa com parâmetro 0<p<=2, se existe uma constante k tal que para um valor grande de x:

1−F X x

k

x p

onde f(x) ~ g(x) significa que f(x)=g(x)(1+e(x)), com

lim x∞ e x=0

uma distribuição de cauda longa possui variância infinita e para p<=1, média infinita

~

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Teste para cauda longa

Teste para a cauda longa: plotar a distribuição complementar em escala log-log e procurar por uma relação linear com coeficiente p

Para a v.a. Pareto, temos:

1−F X x=kxp

Para a v.a. Exponencial temos: 1−F X x=e− x

1−F X xk

x p~

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Testando v.a. Pareto x v.a. Exponencial

1−F X x=kx

A distribuição complementar da v.a. Pareto obedece a uma Lei de Potência

Para k=1,=1, temos log 1 / xPara k=1,=2, temos log 1 / x2

Para v.a. Exponencial, temos:

1−FY y=e− x , Para=1, temos log e−x

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Testando v.a. Pareto x v.a. Exponencial