Estatística básica
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Estatística básica Estatística é a ciência dos dados, envolvendo o desenvolvimento de processos, métodos e técnicas de coleta, classificação, organização, resumo, análise e interpretação de dados sobre uma população, e os métodos de tirar conclusões ou fazer predições com base nesses dados.
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Estatística básica
Estatística
Descritiva
Organização e descrição
dos dados
Cálculo de médias, variâncias, estudo de gráficos, tabelas, etc.
Indutiva
(Inferencial)
Estimação de parâmetros, teste de
hipóteses, etc.
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Estatística básica • A estatística tem a capacidade de sintetizar os dados; • A amostragem é o ponto de partida (na prática) para todo um Estudo Estatístico. É através da amostragem que obtemos os dados da medição de determinada característica ou propriedade de um objeto, pessoa ou coisa;
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Estatística básica • População: é a coleção de todas as observações potenciais sobre determinado fenômeno; •Amostra: é o conjunto de dados efetivamente observados, ou extraídos;
População
Amostras
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Estatística básica Cada observação individual ou item é denominada como unidade elementar, que pode estar composta por um ou mais itens medidos, propriedades, atributos, etc, denominados como variáveis.
Variável é uma característica, propriedade ou atributo de uma unidade da população, cujo valor pode variar entre as unidades da população.
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Estatística básica Exemplo:
Nome Idade Cargo Sexo Peso Escolaridade
João 27 Supervisor M 62 kg 2º grau
Alex 38 Chefe M 78 kg 1º grau
Ana 32 Secretária F 58 kg 3º grau
Unidade elementar
Variáveis
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Estatística básica •Tipos de variáveis
Variável
Qualitativa
Nominal
Ordinal
Quantitativa
Discreta
Contínua
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Estatística básica • Exemplo: Para uma população de peças produzidos em um
processo, poderíamos ter:
Variável Tipo
Estado: Perfeita ou defeituosa Qualitativa Nominal
Qualidade: 1ª, 2ª ou 3ª categoria Qualitativa Ordinal
Número de peças defeituosas Quantitativa Discreta
Diâmetro das peças Quantitativa Contínua
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Estatística básica Agrupamento de dados e distribuição de frequências
• Quando vamos fazer um levantamento de uma população, um dos passos é retirar uma amostra dessa população e obter dados relativos à variável desejada nessa amostra; • Cabe à Estatística sintetizar tais dados na forma de tabela e gráficos que contenham, além dos valores das variáveis, o número de elementos correspondentes a cada variável;
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Estatística básica Agrupamento de dados e distribuição de frequências
• A esse procedimento está associado o conceito de: • Dados brutos: é o conjunto de dados numéricos obtidos que ainda não foram organizados; • Rol: é o arranjo dos dados brutos em ordem crescente (ou decrescente); • Amplitude (H): é a diferença entre o maior e o menor dos valores observados; •Frequência absoluta (ni): é o número de vezes que um elemento aparece na amostra;
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Estatística básica Agrupamento de dados e distribuição de frequências
• n : número total de dados da amostra • k : número de valores diferentes na amostra • Frequência relativa (fi): • Frequência absoluta acumulada (Ni): é a soma da frequência absoluta do valor da variável i com todas as frequências absolutas anteriores; • Frequência relativa acumulada (Fi):
n
nf i
i 11
k
i
if
nnk
i
i 1
n
NF i
i
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Estatística básica Agrupamento de dados e distribuição de frequências
• Exemplo: Os seguintes dados foram amostrados do números de negócios efetuados diariamente por um operador financeiro:
População: Número de negócios efetuados diariamente Dados brutos: {14, 12, 13, 11, 12, 13, 16, 14, 14, 15, 17, 14, 11, 13, 14, 15, 13, 12, 14, 13, 14, 13, 15, 16, 12, 12} Rol: {11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 14,14, 15,15,15, 16,16, 17} Amplitude: 17 – 11 = 6 n = 26 observações
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Estatística básica Número de Operações
fechadas por dia
Freq. Absoluta
Freq. Relativa
Freq. Absoluta
Acumulada
Freq. Acumulada
11 2 7,69% 2 7,69%
12 5 19,23% 7 26,92%
13 6 23,08% 13 50,00%
14 7 26,92% 20 76,92%
15 3 11,54% 23 88,46%
16 2 7,69% 25 96,15%
17 1 3,85% 26 100,00%
Total 26 100,00%
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Estatística básica
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Estatística básica Classes • As classes são um artifício para condensar o número de elementos diferentes de uma amostra. Imagine construir uma tabela para 200 valores diferentes, nos moldes do problema anterior. • Os principais pré-requisitos para uma boa definição de classes em um conjunto de dados são: •a) as classes devem abranger todas as observações; •b) o extremo superior de uma classe é o extremo inferior da classe subsequente (simbologia: |, intervalo fechado à esquerda e aberto à direita); •c) cada valor absoluto deve enquadrar-se em apenas uma classe; •d) k 25, de modo geral, sendo k o número de classes; •e) As unidades das classes devem ser as mesmas dos dados.
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Estatística básica Classes • Cálculo de k (Formas de calcular) :
(Fórmula de Sturges) Obs.: N é o número de elementos diferentes da amostra e, muitas vezes, pode ser considerado N = n (no. de observações). • Intervalo da classe (h): h H/k • Ponto médio da classe (xi) : Ponto médio entre o limite inferior e o limite superior de cada classe.
Nk 2log1
Nk
2ln
ln22
nknn kk
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Estatística básica • Exemplo: Utilizando os dados do exemplo anterior, temos:
32ln
ln
47log1
37
2
Nk
k
k
23
6
6
h
H
Faixa de negócios
Xi
Freq. Absoluta
Freq. Relativa
Freq. Absoluta Acumulada
Freq. Acumulad
a
11|13 12 7 26,92% 7 26,92%
13|15 14 13 50,00% 20 76,92%
15|17 16 6 23,08% 26 100,00%
Total 26 100,00% Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar (21) 9-8126-2831 [email protected]
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Estatística básica Medidas de Posição
n
x
n
xxxxxx
n
i
i
n
14321 ...
n
i
i
i
n
i
i
n
nn
p
px
pppp
pxpxpxpxx
1
1
321
332211
.
...
.......
• Mostram o valor representativo em torno do qual os dados tendem a agrupar-se com maior ou menor frequência.
• Média aritmética:
• Média aritmética ponderada:
pi : peso da amostra xi
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Estatística básica Medidas de Posição
• Exemplo: Os dados {11, 13, 15, 17, 19} apresenta a seguinte média (n=5, pois temos cinco números) : • Se um aluno obteve as notas {7, 10, 6, 8} com pesos {1, 2, 2, 3}, qual será a nota final do aluno:
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155
1917151311
x
875,78
63
3221
3.82.62.101.7
x
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Estatística básica Medidas de Posição
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PROPRIEDADE
• A soma dos desvios é sempre igual a zero
•A soma dos quadrados dos desvios das observações de uma série é sempre um valor mínimo
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Estatística básica Medidas de Posição
n
i
i
i
n
i
i
n
nn
n
nx
nnnn
nxnxnxnxx
1
1
321
332211
.
...
.......
n
i
inn1 n
nf i
i
i
n
i
inn fxfxfxfxfxx
1
332211 ........
• Média aritmética ponderada para dados agrupados em classes: • Sabendo que: • fi : Frequência de ocorrência da amostra xi
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Estatística básica Medidas de Posição
• Exemplo: Qual a média do número de operações fechadas por dia:
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Estatística básica Medidas de Posição
• A média pela frequência absoluta é: • A média pela frequência relativa é:
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54,1326
352
1237652
1.172.163.157.146.135.122.11
x
x
54,13
%85,3.17%69,7.16%54,11.15%92,26.14
%08,23.13%23,19.12%69,7.11
x
x
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Estatística básica Medidas de Posição
• Exemplo: Calcule a média da tabela abaixo:
•Observe que o resultado apresentou uma pequena diferença do anterior (2,8% maior que 13,54 ). A precisão dos dados na tabela em classes diminuiu pouco em relação aos dados originais.
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92,1326
362
6137
6.1613.147.12
x
Valor médio da
classe
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Estatística básica Medidas de Posição
termon
x
o
2
1~
2
122~
termon
termon
x
oo
Se n é impar
Se n é par
• Mediana: É o valor do meio de um conjunto de dados, quando os dados estão dispostos em ordem crescente ou decrescente, ou seja, o Rol de Dados.
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Estatística básica Medidas de Posição
Exemplo: Qual a mediana dos dados abaixo:
Dados brutos: {14, 12, 13, 11, 12, 13, 16, 14, 14, 15, 17, 14, 11, 13, 14, 15, 13, 12, 14, 13, 14, 13, 15, 16, 12, 12} Rol: {11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 14,14, 15,15,15, 16,16, 17} n = 26 observações (par) A mediana dos dados é 13,5.
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5,132
1413
2
1413
2
12
26
2
26~
termotermo
termotermo
xoo
oo
![Page 27: Estatística básica](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020716/547f0bc5b4af9fa41b8b459f/html5/thumbnails/27.jpg)
Estatística básica Medidas de Posição
• Exemplo: Calcule a mediana dos dados abaixo:
• A mediana estará na faixa de 13 a 15, pois temos no total 26 observações e mediana encontra-se no meio (13º termo) (aqui não iremos calcular a média entre o 13º e o 14º - Verique !).
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92,13720
713
1315
13
13
~13
~
x
x
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Estatística básica Medidas de Posição
• Moda ou classe modal (mo): É o valor que representa a maior frequência em um conjunto de observações individuais. Em alguns casos, pode haver mais de uma moda.
X Xi ni
0| 3 1,5 7
3| 6 4,5 13
6| 9 7,5 6
9| 12 10,5 2
Classe modal
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Estatística básica Medidas de Posição
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Média
• Sensível a valores extremos de um conjunto de observações
• Usa todos os dados disponíveis
Mediana
• “Robusta” : Não sofre muito com a presença de alguns valores muito altos ou muito baixos
• Não usa todos os dados disponíveis
Moda
• Não é afetada por valores extremos
• Não usa todos os dados disponíveis
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Estatística básica Medidas de Posição
• Percentil: De forma geral, o percentil de um conjunto de valores postos em ordem crescente é um valor que contém p% das observações abaixo dele. Os percentis de ordem 25, 50 e 75 são chamados de quartis. Os decis são os percentis de ordem 10, 20, ..., 90.
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x
p
1 n
1
1
0100
0
n
xp
1
1.100
n
xp
![Page 31: Estatística básica](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020716/547f0bc5b4af9fa41b8b459f/html5/thumbnails/31.jpg)
Estatística básica Medidas de Posição
• Calcular o percentil de ordem 50 (2º Quartil). Q50 = mediana (são 50 dados o Q50 está no 25º termo)
X ni Acum.
1,810| 1,822 7 7
1,822| 1,834 14 21
1,834| 1,846 18 39
1,846| 1,858 7 46
1,858| 1,870 4 50
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2139
2125
834,1846,1
834,1~
x
18
4
012,0
834,1~
x
837,1~
x
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As medidas de dispersão possuem a finalidade de verificar quanto os valores da série estão distantes da média da série. O principal meio de calcular a variabilidade é através da variância, que é calculada pela fórmula abaixo: Onde n é o número de observações, é a média e xi são os valores individuais. Esta fórmula é valida para população. Para amostra deve-se considerar n-1 ao invés de n.
Estatística básica Medidas de Dispersão ou Variabilidade
2
1
2
1
2
2 xn
x
n
xx
s
n
i
i
n
i
i
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x
![Page 33: Estatística básica](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020716/547f0bc5b4af9fa41b8b459f/html5/thumbnails/33.jpg)
Estatística básica Medidas de Dispersão ou Variabilidade
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Exemplo: Os dados {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} apresentam qual média, variância e desvio padrão ? A sequência apresenta n=10 números. A média é igual a soma dos valores dividido pelo número de elementos. A variância e desvio padrão são calculados na sequência:
87,225,8
25,85,510
385
385109...21
2
221
2
2
2222
1
2
ss
xn
x
s
x
n
i
i
n
i
i
5,510
55x
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Para calcular a variância quando os dados estiverem dispostos em classes deve-se utilizar a seguinte fórmula: k é o número de classes, ni é a frequência absoluta, n o número de observações e fi a frequência relativa;
•Quando extraímos a raiz quadrada da variância, obtemos o desvio padrão (s). • Uma observação importante é que a variância possui as unidades dos dados individuais elevado ao quadrado, enquanto que o desvio padrão e média possuem mesma unidade.
Estatística básica Medidas de Dispersão ou Variabilidade
k
i
ii
k
i
ii
fxxn
nxx
s1
21
2
2 .
.
Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar (21) 9-8126-2831 [email protected]
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Exemplo: Calcular a variância e desvio padrão dos dados abaixo:
X Freq.
Absoluta
1,810|1,822 7
1,822|1,834 14
1,834|1,846 18
1,846|1,858 7
1,858|1,870 4
Iremos realizar os cálculos na forma de tabela, porque os dados ficam mais organizados e os cálculos mais fáceis de serem entendidos.
n
nxx
s
k
i
ii
1
2
2
.
Verifique que as colunas serão organizadas de acordo com a fórmula para calcular a variância.
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x xi ni xi-xm (xi-xm)2 (xi-xm)2.ni
1,810|1,822 1,816 7 -0,0024 0,00058 0,0040
1,822|1,834 1,828 14 -0,012 0,00014 0,0020
1,834|1,846 1,840 18 0,000 0,00000 0,0000
1,846|1,858 1,852 7 0,012 0,00014 0,0010
1,858|1,870 1,864 4 0,024 0,00058 0,0023
Soma 9,200 Soma 0,00936
Média (xm) 1,840 s2 0,00187
%4,2%100.840,1
043,0%100.
043,0
00187,02
xsCV
s
s
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Outra forma de expressar a dispersão dos dados é através do Coeficiente de Variação (CV), que é dado pela fórmula: onde s é o desvio padrão, e é a média. • O Coeficiente de Variação dá uma indicação de quanto os dados estão dispersos em torno da média. Quanto maior o valor de CV, maior a dispersão.
%100.x
sCV
x
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Exemplo: No exemplo de cálculo de variância e desvio padrão, obtivemos os valores 8,25 e 2,87 respectivamente. A média tinha resultado em 5,5 O valor do Coeficiente de Variação será: Um valor de 52% indica que os dados estão muito dispersos com relação a média. Por exemplo, os dados {5,1; 5,2; 5,3; 5,4; 5,5; 5,6; 5,7; 5,8; 5,9; 6,0} apresentam média: 5,55; desvio-padrão: 0,29 e CV = 5% (Confira!)
%52%100.5,5
87,2%100.
x
sCV
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Estatística básica
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Covariância: Mede a correlação (dependência) linear entre duas variáveis x e y. É calculada como: A covariância entre as mesmas variáveis, isto é, Cov(x, x) por exemplo, é igual a própria variância Var(x) = s2.
yxyx
n
yyxx
yxCov
n
i
ii
..
.
),( 1
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Estatística básica
21 )(
.
),( sxVarn
xxxx
xxCov
n
i
ii
0),( yxCov
0),( yxCov
0),( yxCov
Variáveis independentes
Correlação linear positiva
Correlação linear negativa
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• Os seguintes valores de covariância dão uma indicação se os valores são independentes, ou possuem correlação positiva ou negativa.
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Estatística básica 0),( yxCov0),( yxCov 0),( yxCov
Variáveis independentes
Correlação linear positiva
Correlação linear negativa
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• Na prática quando as variáveis são independentes o valor da covariância resulta em um valor próximo de 0 (entre -3 a 3), mas não sendo estes valores fixos e, portanto, é sempre recomendável considerar o gráfico das variáveis x e y para uma avaliação conjunta.
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Estatística básica
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Exemplo: Calcular a covariância dos dados abaixo, e verifique se a correlação é positiva ou negativa.
X Y
10 21
15 15
18 12
12 18
9 20
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Estatística básica
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Solução: Sempre esboce o gráfico das variáveis X e Y para confirmar!
X Y X.Y
10 21 210
15 15 225
18 12 216
12 18 216
9 20 180
Média 12,8 17,2 209,4
76,10
2,17.8,124,209
..),(
yxyxyxCov
A covariância resultou em um valor negativo, indicando uma correlação linear negativa que podemos confirmar pelo gráfico.