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Estadıstica I

MarioFrancisco

Conceptosgenerales

Intervalospara unamuestra

Intervalospara dosmuestra

Part VIII

Estimacion por inervalos de confianza

Mario Francisco Estadıstica I

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Conceptos generales

Intervalo de confianza

Dada una m.a.s. X1,X2, . . . ,Xn, se llama intervalo deconfianza para un parametro θ, con nivel o coeficiente deconfianza 1− α, 0 < α < 1, a un intervalo aleatorio(

θ1(X1,X2, . . . ,Xn), θ2(X1,X2, . . . ,Xn))

tal que, para cada θ ∈ Θ,

P(θ1(X1,X2, . . . ,Xn) < θ < θ2(X1,X2, . . . ,Xn)

)= 1− α


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Conceptos generales

Intervalo de confianza

Para una realizacion de la muestra, x1, x2, . . . , xn, seobtiene un intervalo numerico(

θ1(x1, x2, . . . , xn), θ2(x1, x2, . . . , xn))

que se llama tambien intervalo de confianza.

Si se toman infinitas realizaciones, x1, x2, . . . , xn, de lamuestra aleatoria y se construyen los correspondientesintervalos numericos(

θ1(x1, x2, . . . , xn), θ2(x1, x2, . . . , xn))

el 100(1− α)% de los mismos contienen el valor delparametro, mientras que los restantes, 100α%, no.


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Conceptos generales

Metodo de la cantidad pivotal

Sea X1, . . . ,Xn una m.a.s. de X , cuya distribuciondepende de θ, y sea W = W (X1, . . . ,Xn; θ) un estadısticocuya distribucion no depende de θ, llamado estadısticopivote.

Fijado 1− α se determinan a y b tales que

P (a < W (X1, . . . ,Xn; θ) < b) = 1− α

Despejando θ se obtienen variables Θ−11 (X1, . . . ,Xn) y

Θ−12 (X1, . . . ,Xn), tales que, para cualquier θ,

P(Θ−1

1 (X1, . . . ,Xn) < θ < Θ−12 (X1, . . . ,Xn)

)= 1− α


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Conceptos generales

Ejemplo

Sea X1,X2, . . . ,Xn una muestra aleatoria simple de unapoblacion con distribucion teorica N (µ, σ), donde σ, es unaconstante conocida. Obtener un intervalo de confianza para µ.


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Conceptos generales

Ejemplo

X ∈ N

(µ,

σ√n

), entonces W =

X − µ

σ/√

n∈ N(0, 1).

Fijado un nivel de confianza 1− α, se tiene

1− α = P

(−zα/2 <

X − µ

σ/√

n< zα/2

)= P

(X − zα/2

σ√n< µ < X + zα/2

σ√n

).

El intervalo de confianza es(X − zα/2

σ√n,X + zα/2

σ√n

)Mario Francisco Estadıstica I

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Conceptos generales

Intervalos de confianza. Comentarios

¿Como elegir el estadıstico pivote?: debe ser una funcionde la muestra y del parametro, cuya distribucion en elmuestreo sea independiente del parametro. se puede elegirel estimador de maxima verosimilitud de θ, θ, ya que

W =θ − θ

σ(θ) tiene distribucion asintoticamente N(0, 1).

¿Como determinar las constantes a y b?: interesara elegira y b de forma tal que el intervalo de confianza sea delongitud mınima.

¿Como elegir α?: se elegira segun la confianza deseada,teniendo en cuenta que, en general, a menor α, elintervalo sera mas largo. Normalmente, se suele tomarcomo α uno de los valores 0′1, 0′05 o 0′01.


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Intervalos para una muestra. Intervalos deconfianza para la media

Intervalo de confianza para la media de una poblacion normal,con desviacion tıpica conocida

Un intervalo de confianza para la media de una poblacionnormal, cuando σ es conocida, es(

X − zα/2σ√n,X + zα/2

σ√n

),

siendo zα/2 tal que Φ(zα/2

)= 1− α/2.

Este caso no suele darse en la practica, dado que lo mashabitual es que se desconozca la desviacion tıpica.


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Intervalo de confianza para la media de una poblacion normal,con desviacion tıpica desconocida

Si X1, . . . ,Xn es una m.a.s. de X ∈ N (µ, σ),

W =X − µ

σ/√

n·

√(n − 1)S2

σ2(n − 1)

−1

=X − µ

S/√

n∈ tn−1

Fijado un nivel de confianza 1− α el I.C. para µ es:(X − tn−1,α/2

S√n,X + tn−1,α/2

S√n

)

con tn−1,α/2 el punto crıtico de la distribucion tn−1.


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Intervalo de confianza para la media con muestras grandes

Aunque la poblacion base no sea normal, por el T.C.L. ladistribucion de X es aproximadamente N

(µ, σ/

√n).

Si σ es conocida, un I.C. para µ con nivel aproximado1− α es: (

X − zα/2σ√n,X + zα/2

σ√n

)

Si σ es desconocida un I.C. para µ con nivel aproximado1− α es: (

X − zα/2S√n,X + zα/2

S√n

)


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Intervalo de confianza para la media. Determinacion del tamanomuestral

¿Cual debe ser el tamano muestral necesario para que, fijadoun nivel de confianza, se alcance una precision (o longitud)deseada en el intervalo?

σ conocida. Despejando n de L = 2zα/2σ√n, se obtiene

n =4z2

α/2σ2

L2

σ desconocida. Aproximando tn−1,α/2 por zα/2, se toma

una muestra preliminar para estimar σ por S , resultando:

n =4z2

α/2S2

L2


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Intervalos para una muestra. Intervalos deconfianza para la varianza de poblaciones normales

Intervalos de confianza para la varianza de poblaciones normales,con media conocida

Sea X1, . . . ,Xn una m.a.s de una X ∈ N(µ, σ), con µconocida.

W =n∑

i=1

(Xi − µ

σ

)2

=

∑ni=1 (Xi − µ)2

σ2∈ χ2

n

Fijado el nivel 1− α, P(χ2

n,1−α/2 < W < χ2n, α

2

)= 1− α

El I.C. con confianza 1− α para σ2 es(∑ni=1 (Xi − µ)2

χ2n,α/2

,

∑ni=1 (Xi − µ)2

χ2n,1−α/2

)


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Intervalos de confianza para la varianza de poblaciones normales,con media conocida

Es bastante comun tomar el intervalo de extremo inferiorcero, es decir, (

0,

∑ni=1 (Xi − µ)2

χ2n,1−α

)

I.C. para σ, a nivel 1− α,√√√√∑ni=1 (Xi − µ)2

χ2n,α/2

,

√√√√∑ni=1 (Xi − µ)2

χ2n,1−α/2


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Intervalos de confianza para la varianza de poblaciones normales,con media desconocida

Se tiene que

W =(n − 1)S2

σ2=

nS2

σ2∈ χ2

n−1

Utilizando W como estadıstico pivote, los I.C., a nivel1− α, para σ2 son:(

nS2

χ2n−1,α/2

,nS2

χ2n−1,1−α/2

)=

((n − 1)S2

χ2n−1,α/2

,(n − 1)S2

χ2n−1,1−α/2

)


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Intervalos de confianza para la varianza de poblaciones normales,con media desconocida

Si tomamos el cero como extremo inferior, el intervalopara σ2 es: (

0,nS2

χ2n−1,1−α

)=

(0,

(n − 1)S2

χ2n−1,1−α

)

Las raıces cuadradas de los extremos de los intervalosanteriores proporcionan los extremos de los intervalos deconfianza para la desviacion tıpica, supuesto desconocidoel valor de media.


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Intervalos para una muestra. Intervalos deconfianza para una proporcion

Intervalos de confianza para una proporcion

Construir un I.C. para la proporcion de elementos, p, deuna poblacion que poseen determinada caracterıstica deinteres, a partir de la informacion obtenida en una m.a.s.de elementos de la poblacion. Dispondremos de unamuestra aleatoria simple, X1, . . . ,Xn, de una variable deBernoulli de parametro p.

Por el T.C.L., para n > 30,

p =X1 + X2 + · · ·+ Xn

n=

T

n

con T = “numero de elementos en la muestra quepresentan la caracterıstica de interes”, tiene distribucion

aproximadamente N

(p,√

p(1−p)n


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Se utiliza como estadıstico pivote,

W =p − p√p(1− p)

n

que, para n grande, es aproximadamente N(0, 1).

Un I.C. a nivel 1− α para p es(p − zα/2

√p(1− p)

n, p + zα/2

√p(1− p)

n

)

con zα/2 el punto crıtico de la distribucion normalestandar.


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El I.C. anterior no es calculable, al depender del valordesconocido de p.

1 Sustituir p por su estimador p.(p − zα/2

√p(1− p)

n, p + zα/2

√p(1− p)

n

)

2 Considerar la situacion mas desfavorable, p = 1/2.(p − zα/2

√1

4n, p + zα/2

√1

4n

)


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Determinacion del tamano muestral

Cual es el tamano muestral necesario para que, con unaconfianza predeterminada, la longitud del intervalo sea ladeseada.

Despejando n en L = 2zα/2

√p(1− p)

n, se obtiene:

n =4z2

α/2p(1− p)

L2

El problema del desconocimiento de p se siguemanteniendo, por lo que las dos soluciones apuntadasanteriormente siguen siendo igualmente validas.


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Intervalos para dos muestras. Intervalos deconfianza para la diferencia de medias

Intervalo de confianza para la diferencia de medias de dos pobla-ciones normales independientes, con varianzas conocidas

Sean X1, . . . ,Xn e Y1, . . . ,Ym m.a.s. independientes de Xe Y con distribuciones N (µX , σX ) y N (µY , σY ).

Bajo los supuestos de independencia de las muestras ynormalidad de X e Y ,

X ∈ N

(µX ,

σX√n

)Y ∈ N

(µY ,

σY√m

)

⇒ X − Y ∈ N

µX − µY ,

√σ2

X

n+σ2

Y

m


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Intervalo de confianza para la diferencia de medias de dos pobla-ciones normales independientes, con varianzas conocidas

El estadıstico

W =

(X − Y

)− (µX − µY )√

σ2X

n+σ2

Y

m

∈ N(0, 1)

Puede ser utilizado como estadıstico pivote.

Un I.C., a nivel 1− α, para µX − µY es:X − Y − zα/2

√σ2

X

n+σ2

Y

m,X − Y + zα/2

√σ2

X

n+σ2

Y

m

con zα/2 el punto crıtico de la distribucion normal

estandar. Mario Francisco Estadıstica I

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Intervalo de confianza para la diferencia de medias de dos pobla-ciones normales independientes, con varianzas desconocidas perosupuestas iguales

Dadas S2X y S2

Y las cuasivarianzas de ambas muestras, elestimador “unido” insesgado mas eficiente de la varianzacomun σ2 es

S2T =

(n − 1)S2X + (m − 1)S2

Y

n + m − 2

que, bajo las hipotesis de independencia y normalidad, verificaque

(n + m − 2)S2T

σ2∈ χ2

n+m−2


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Intervalo de confianza para la diferencia de medias de dos pobla-ciones normales independientes, con varianzas desconocidas perosupuestas iguales

En consecuencia,

W =

(X − Y

)− (µX − µY )

ST

√1

n+

1

m

∈ tn+m−2

Utilizando W como estadıstico pivote, un intervalo deconfianza para µX − µY , a nivel 1− α, es(

(X − Y )∓ tn+m−2,α/2ST

√1

n+

1

m


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Intervalo de confianza para la diferencia de medias de dos pobla-ciones normales independientes, con varianzas desconocidas yque no pueden suponerse iguales

El estadıstico pivote que se utiliza en este caso es

W =

(X − Y

)− (µX − µY )√

S2X

n+

S2Y

m

Si n ≥ 30 y m ≥ 30, W es aproximadamente N(0, 1), y unI.C., al nivel 1− α, para µX − µY , es(X − Y )∓ zα/2

√S2

X

n+

S2Y

m


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Intervalo de confianza para la diferencia de medias de dos pobla-ciones normales independientes, con varianzas desconocidas yque no pueden suponerse iguales

Si n ≤ 30 o m ≤ 30, se utiliza la aproximacion de Welch:W es una tn+m−2−δ, siendo δ el entero mas proximo a

ψ =[(m − 1)ψ1 − (n − 1)ψ2]

2

(m − 1)ψ21 + (n − 1)ψ2

2

con ψ1 =S2

X

ny ψ2 =

S2Y

m.

Un I.C., al nivel 1− α, para µX − µY , es(X − Y )∓ tg ,α/2

√S2

X

n+

S2Y

m


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Si m = n, ¿cual es el n necesario para que la longitud delintervalo para la diferencia de medias, con un nivel de confianzaprefijado 1− α sea igual a una cantidad predeterminada?

Si las varianzas poblacionales son conocidas, se obtiene

n =4z2

α/2(σ2X +σ2

Y )L2

Si las varianzas son desconocidas pero pueden suponerse

iguales, n =8z2

α/2bS2

T

L2

Si las varianzas son desconocidas y no pueden suponerseiguales, supuesto que n es suficientemente grande,

n =4z2

α/2(bS2X +bS2

Y )L2


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Intervalos de confianza para la diferencia de medias con datosapareados

Cuando los datos vienen en pares (Xi ,Yi ), i = 1, . . . , n quemiden observaciones realizadas sobre un mismo individuo en elque ha variado una condicion, se llaman datos apareados, y loque se hace es trabajar con la diferencia de pares

Di = Xi − Yi , i = 1, 2, . . . , n

Ası podemos calcular el intervalo de confianza para la media

µD = µX − µY


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Intervalos para dos muestras. Intervalos deconfianza para la razon de varianzas

Intervalos de confianza para la razon de varianzas de poblacionesnormales independientes

Dadas dos muestras normales independientes, se quiereconstruir I.C. para σ2

Y /σ2X .

Teniendo en cuenta las hipotesis de normalidad eindependencia de ambas poblaciones,

(n − 1)S2X

σ2X

∈ χ2n−1

(m − 1)S2Y

σ2Y

∈ χ2m−1

⇒ W =

(n − 1)S2X

σ2X

1

n − 1

(m − 1)S2Y

σ2Y

1

m − 1

=

=S2

X

S2Y

σ2Y

σ2X

∈ Fn−1,m−1


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Intervalos para dos muestras. Intervalos deconfianza para la razon de varianzas

Intervalos de confianza para la razon de varianzas de poblacionesnormales independientes

Utilizando W como estadıstico pivote, un I.C., a nivel1− α, para σ2

Y /σ2X es:(

Fn−1,m−1,1−α/2S2

Y

S2X

,Fn−1,m−1,α/2S2

Y

S2X

)

con Fn−1,m−1,α el punto crıtico de la Fn−1,m−1.

Si se toma como extremo inferior del intervalo el 0, el I.C.,a nivel 1− α, es (

0,Fn−1,m−1,αS2

Y

S2X


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Intervalos para dos muestras. Intervalos deconfianza para la diferencia de proporciones

Intervalos de confianza para la diferencia de proporciones

Construir I.C. para la diferencia de proporciones, pX − pY ,de elementos de poblaciones independientes, X e Y , queverifican cierta caracterıstica de interes.

Recogemos sendas muestras independientes de ambaspoblaciones, X1, . . . ,Xn e Y1, . . . ,Ym, donde Xi e Yj

(i = 1, 2, . . . , n; j = 1, 2, . . . ,m) toman el valor 1 si losrespectivos individuos elegidos en la muestra presentan lacaracterıstica de interes y el valor 0 en otro caso.

Las proporciones muestrales

pX =X1 + · · ·+ Xn

ny pY =

Y1 + · · ·+ Ym

m


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Intervalos de confianza para la diferencia de proporciones

Si n > 30, m > 30, W = pX − pY es aproximadamente

N

(pX − pY ,

√pX (1− pX )

n+

pY (1− pY )

m

)

Un I.C. para pX − pY , es(pX − pY ± zα/2

√pX (1− pX )

n+

pY (1− pY )

m

)

El problema del desconocimiento de pX y pY se resuelveanalogamente al caso de intervalos para una proporcion


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Si m = n, ¿cual es el tamano muestral necesario para quela longitud del intervalo de confianza para la diferencia deproporciones sea igual a una cantidad predeterminada, conun nivel de confianza 1− α.

Si n > 30,

n =4z2

α/2 [pX (1− pX ) + pY (1− pY )]

L2


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Si reemplazamos las proporciones poblacionales por lasproporciones muestrales estimadas con muestraspreliminares,

n =4z2

α/2 [pX (1− pX ) + pY (1− pY )]

L2

Si suponemos pX = pY = 1/2,

n =2z2

α/2

L2


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