Estabilidade I - Vigas Isostáticas

1 ESTABILIDADE DAS CONSTRUES I VIGAS ISOSTTICAS

Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto / Profa. Tatiana Aiello

CAPTULO 01: VIGAS ISOSTTICAS 1. Objetivo:

O objetivo bsico da cadeira de Estabilidade das Construes I a determinao dos esforos que atuam numa estrutura, com o intuito de se executar obras que sejam estveis. Como Estrutura, entendemos o conjunto de elementos resistentes de uma construo que em princpio sero considerados como indeformveis. Assim, dada a estrutura abaixo composta por pilares AB e CD e por uma viga BC, submetida s cargas indicadas, deveremos como finalidade principal da Estabilidade, determinar os Esforos Internos Solicitantes e Externos Reativos.

P1 P2

H

B C

A D

Uma vez determinados os Esforos, o estgio seguinte o Dimensionamento das diversas peas componentes da estrutura, seguindo rotinas especficas do material que ser executada a obra. Assim, se a estrutura acima for de concreto armado, ela ser dimensionada segundo sistemtica de concreto armado, e assim por diante se o material utilizado for de madeira, ao, alumnio, etc..

2. Definies Gerais e Convenes de Sinais:

Seja um corpo rgido solicitado por foras externas. Este elemento tem apoios cujas Reaes so capazes de equilibrar as foras externas aplicadas. A determinao dos Esforos Reativos se faz aplicando-se as Condies de Equilbrio, como j visto em Resistncia dos Materiais. Estando o sistema em equilbrio, vamos imaginar que este corpo seja seccionado por um plano de modo a obtermos duas partes.

F1 F2 F3 F4

VI

MII MI VII RA RB

Vamos imaginar que se faa um corte imaginrio no elemento acima, subdividindo-o em duas partes I e II.

I II



3. Definies dos Esforos Internos Solicitantes e Convenes de Sinais: Seja um corpo rgido solicitado por foras externas. Assim:

Esforo Normal ( N ) a soma das projees sobre a tangente ao eixo da barra (eixo x) de todas as foras situadas esquerda ou direita da seo analisada.

Convenes de Sinais: - compresso - - trao +

Fora Cortante ( V ) a soma das projees perpendiculares ao eixo da barra (eixo x) de todas as foras situadas esquerda ou direita da seo analisada.

Convenes de Sinais: - sentido horrio + - sentido anti-horrio -

Momento Fletor ( M ) a soma dos momentos produzidos por todas as foras situadas esquerda ou direita da seo analisada.

Convenes de Sinais: - trao na fibra superior - - trao na fibra inferior +

Momento Toror ( Mt ) a soma dos momentos torores situados esquerda ou direita da seo analisada.

Convenes de Sinais: - sentido horrio +

- sentido anti-horrio - 4. Aparelhos de Apoio ou Vnculos: (vide esquemas na apostila)

Chamamos de Vnculo, o elemento de ligao de uma estrutura com o meio externo, cuja funo impedir movimentos. Existem quatro tipos de aparelhos de apoio:

a-) Aparelho de Apoio Mvel: impede apenas um movimento (perpendicular ao apoio) deixando livre os outros dois. Na prtica temos os seguintes Aparelhos de Apoio Mveis: roletes metlicos; aparelhos de Neoflon ; pndulos. RV RV b-) Aparelho de Apoio Fixo: impede dois movimentos (vertical e horizontal) permitindo apenas a livre rotao. Na prtica temos os seguintes Aparelhos de Apoio Fixos: apoios fixos metlicos; articulao Freyssinet; articulao Mesnager.

RH

RV



c-) Aparelho de Apoio Engastado: impede trs movimentos: as translaes e a rotao. Na prtica temos os seguintes Aparelhos de Apoio Engastados: marquises; muros de arrimo; vigas engastadas em pilares de grande largura.

M RH RV d-) Aparelho de Apoio Semi-Mvel: permite deslocamentos simultneos nas duas direes, rotaes de apoio, absoro de cargas verticais e horizontais de pequena durao. Na prtica trata-se do Neoprene.

5. Classificao das Estruturas: ( vide esquemas na apostila ) a.) Quanto ao nmero de Vnculos: as estruturas podem ser: Estruturas Isostticas: quando o nmero de reaes igual ao nmero das Equaes

de Equilbrio da Esttica, portanto igual a 3.

Estruturas Hipostticas: quando o nmero de reaes menor que o nmero das Equaes de Equilbrio da Esttica.

Estruturas Hiperestticas: quando o nmero de reaes maior que o nmero das Equaes de Equilbrio da Esttica.

b.) Quanto Forma: as estruturas podem ser:

Estruturas Barriformes: formadas por barras, que so elementos onde uma dimenso predomina com relao s outras duas.

Estruturas Superficiais: so estruturas em que h a predominncia de duas dimenses em relao terceira.

Estruturas Volumtricas: so estruturas que possuem as 3 dimenses da mesma ordem de grandeza.

6. Esforos nas Estruturas:

Os esforos considerados numa estrutura so basicamente:

a.) Esforos Externos Ativos: so esforos representados pelas cargas atuantes, classificadas em:

Cargas Permanentes: peso prprio, revestimentos, paredes, etc.

Cargas Acidentais Dinmicas: cargas que produzem impactos.

Cargas Acidentais Estticas: pessoas, sobrecargas de cofres, arquivos, etc.



b.) Esforos Externos Reativos: so as reaes de apoio, que no caso de estruturas isostticas determinamos seus valores utilizando das 3 Equaes de Equilbrio da Esttica.

c.) Esforos Internos Solicitantes: tendo sido obtido os esforos externos ativos e os externos reativos, poderemos obter todos os esforos internos solicitantes em qualquer seo de uma estrutura.

7. Anlise Geral de uma Estrutura:

A anlise geral de uma estrutura envolve as seguintes etapas:

Determinao dos esforos externos ativos (cargas);

Obteno dos esforos externos reativos (reaes);

Determinao das equaes dos esforos internos solicitantes;

Traado dos diagramas.

88-- VViiggaass eemm BBaallaannoo:: Traar os diagramas de M.F. e F.C. das vigas isostticas abaixo esquematizadas:

1-) 20 KN/m

Trecho AB :

A B C D 2,0 2,0 2,0 M = - (20. x).x/2 x = 0 MA = 0

40 KN x = 2 MB= -40 KN.m

V = - 20. x x = 0 VA = 0 M.F. x = 2 VB= -40 KN

- - - F.C. Trecho BC :

40 40 40 M = - (20. x).x/2 + 40.(x-2)

x = 2 MB= -40 KN.m x = 4 MC= -80 KN.m

V = - 20. x + 40 x = 2 VB= 0

x = 4 VC= -40 KN Trecho CD :

M = - (20. 4).(x-2) + 40.(x-2) x = 4 MC= -80 KN.m

x = 6 MD= -160 KN.m

V = - (20. 4) + 40 x = 4 VC = -40 KN

x = 6 VD= -40 KN



2-) 20 KN/m Respostas: MC = 0

A B C MB = - 13,3 KN.m

2,0 2,0 MA = 0 40 KN VC = 0 VB = 20 KN VA = 0

3-) 30 KN/m 30 KN/m Trecho AB:

A B C 3,0 3,0 M = - (p.x). x 20 KN 2 3 x = 0 MA = 0

x = 3 MB= -45 KN.m

M.F. V = - (p.x) x = 0 VA = 0

2 x = 3 VB= - 45 KN

F.C.

Trecho BC :

M = - (3. 3).(x-1) + 20.(x-3) p.(x-3).(x-3) x = 3 MB= -45 KN.m 2 2 3 x = 6 MC= -165 KN.m

V = - (3. 3) + 20 p.(x-3) x = 3 VB= -25 KN 2 2 x = 6 VC= -70 KN



4-) 100 KN Trecho CD:

200 KN.m 10 KN/m M = 200.x 10.x.(x/2)

A B C D x = 0 MD = 0 2,0 2,0 1,0 x = 1 MC= 195 KN.m 200 KN

V = -200 + 10.x

x = 0 VD = -200 KN

x = 1 VC= -190 KN M.F. Trecho BC : M = 200.x (10.1).(x-0,5) - 100.(x-1)

x =1 MC= 195 KN.m

F.C. x = 3 MB= 375 KN.m

V = -200 + (10.1) + 100 = - 90 (KN) Trecho AB:

M = 200.x (10.1).(x-0,5) - 100.(x-1) 200 x=3 MB=175 KN.m

x=5 MA= 355 KN.m

V = -200 + (10.1) + 100 = - 90 (KN)

99 -- VViiggaass BBii--AAppooiiaaddaass::

1. CASO:

q

VA = q.L VB = - q.L

A L B 2 2

M.F. RA = VA RB = - VB + + + F.C. - x = L/2

q.L

2

q.L

2

q.L2

8



2. CASO:

p

VA = p.L VB = - p.L

A L B 6 3

M.F. RA = VA RB = - VB + + + F.C. - x = 0,577.L 3. CASO: P

VA = P.b VB = - P.a

A a b

B L L M.F. RA = VA RB = - VB + + F.C. - 4. CASO: M

VA = - M VB = - M .

A a b

B L L M.F. RA = VA RB = - VB - VA = VB + F.C. -

p.L

6

p.L

3

p.L2 3

27

P.b

L

P.a

L

P.a.b

L

M . L

M.a

L

M.b

L



Traar os diagramas de M.F. e F.C. das vigas isostticas abaixo esquematizadas:

1-) 4 tf/m 2 tf/m

A B 8,00 M.F.

F.C.

RA = VA VA = qxL + pxL VA = 10,67 tf RA = 10,67 tf 2 6

RB = - VB VB = - qxL - pxL VB = -13,33 tf RB = 13,33 tf 2 3 Vo AB:

M = VA .x (2.x). x (p.x) .x 2 2 3

V = VA (2.x) (p.x) 2

Mmx. V=0

2-) 60 KN 20 KN/m 20 KN/m

A C D B 300 KN.m

4,0 4,0 4,0

M.F. F.C.



RA = VA VA = 60x8 + (20x8)x 6,66 - 300 + (20x4) x2 VA = 72,78 KN 12 2 12 12 12

RB = - VB VB = -60x4 - (20x8)x 5,33 - 300 - (20x4) x10 VB = -147,20 KN 12 2 12 12 12 Respostas: MA = 0 ; MC=264,45 KN.m ; VA =72,78 KN ; VC =-7,22 KN

3-)

50 KN.m 20 KN/m A C D B 2,0 4,0 2,0

10 KN

M.F.

F.C.

RA = VA VA = qxL - Pxb - M VA = 71,25 KN 2 L L

RB = - VB VB = - qxL + Pxa - M VB = -78,75 KN 2 L L

1100 VViiggaass BBii--AAppooiiaaddaass cc// BBaallaannooss::

Traado dos Diagramas de M.F. e F.C. das vigas abaixo: (VARAL)



1-) 10 KN/m

30 KN 20 KN.m 30 KN.m

A C D B

2,00 2,00 4,00 1,50 2,00 10 KN

Mom. - 20 -10

VO

-20 42 -8 -10

c ------ 1,33 1,33 ------

V=VO+c -20 43,33 -6,66 -10

R 63,33 -3,33 30 KN

MA = -20KN.m 10KN/m

20 KN.m

MB=-10KN.m

A C D B

M.F. F.C. VoA(dir) = Px b + Px b + M = 42 KN L L L

VoA(esq) = - 10 x 2 = - 20 KN ; VoB(dir) = - 10 KN

VoB(esq) = + M - Px a - Pxa = - 8 KN L L L

Trecho AC: M= VA(dir).x + MA (10.x).x/2 V = VA(dir) (10.x) Trecho CD: M= VA(dir).x + MA (10.2).(x-1) 30.(x-2) V = VA(dir) (10.2) - 30 Trecho BD: M= - VB(esq).x + MB V = VB(esq)



2-)

100 Kgf/m

80 Kgf

A C B

3,0 4,0 30 Kgf

3,0 2,0

Mom. - 45 -160

VO

-45 173,81 -251,19 80

c ------ -16,43 - 16,43 ------

V=VO+c -45 157,38 -267,62 80

R 202,38 347,62 100 Kgf/m

MA = -45Kgf.m

MB=-160 Kgf.m

30 Kgf/m

A C B

30 Kgf

M.F.

F.C.

3-) 60 KN/m

20 KN.m A C B 40 KN 3,0 3,0 3,0 1,5 1,5

4-) 40 KN 30 KN/m 60 KN/m

A C D B

3,0 3,0 2,0 3,0

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