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EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 20 1 Esta aula: ! Circuitos RLC com fontes (geral). Circuitos RLC com fontes não contínuas Consideremos na aula passada a análise de circuitos RLC com fontes independentes contínuas. Trataremos agora do caso mais geral de fonte independente variante no tempo. Vimos que a resposta de um circuito RLC com fontes independentes contínuas é dada por ) ( ) ( t x X t x n f + = , em que f X é a resposta forçada e ) exp( ) exp( ) ( 2 1 t s B t s A t x n + = é a resposta natural. Note que ) (t x pode representar uma corrente ou uma tensão do circuito em questão. Além disso, note que a resposta f X é constante, pois as fontes independentes são contínuas. EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 20 2 Vamos agora considerar o caso em que as fontes independentes não são constantes, representadas por ) (t f , de forma que a resposta do circuito passa a ser escrita como ) ( ) ( ) ( t x t x t x n f + = , em que ) (t x f depende da forma matemática que representa as fontes. Note que ) (t x n e ) (t x f devem, isoladamente, obedecer a equação diferencial do circuito, nas suas versões homogênea e não-homogênea, respectivamente: 0 ) ( ) ( ) ( 2 2 = + + t cx dt t dx b dt t x d a n n n , ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 t f t cx dt t dx b dt t x d a f f f = + + .
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Esta aula: ! Circuitos RLC com fontes (geral).
Circuitos RLC com fontes não contínuas
Consideremos na aula passada a análise de circuitos RLC com fontes independentes contínuas. Trataremos agora do caso mais geral de fonte independente variante no tempo. Vimos que a resposta de um circuito RLC com fontes independentes contínuas é dada por
)()( txXtx nf += , em que fX é a resposta forçada e
)exp()exp()( 21 tsBtsAtxn += é a resposta natural. Note que )(tx pode representar uma corrente ou uma tensão do circuito em questão. Além disso, note que a resposta fX é constante, pois as fontes independentes são contínuas.
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Vamos agora considerar o caso em que as fontes independentes não são constantes, representadas por )(tf , de forma que a resposta do circuito passa a ser escrita como
)()()( txtxtx nf += ,
em que )(tx f depende da forma matemática que representa as fontes. Note que )(txn e )(tx f devem, isoladamente, obedecer a equação diferencial do circuito, nas suas versões homogênea e não-homogênea, respectivamente:
0)()()(2
2=++ tcx
dttdx
bdttxd
a nnn ,
)()()()(
2
2
tftcxdttdx
bdt
txda f
ff =++ .
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Vamos nesse ponto considerar um exemplo:
H1Ω4)(tvg 1i 2i
Ω8H2
H1Ω4)(tvg 1i 2i
Ω8H2
em que ttvg 4cos20)( = . Vamos supor que estejamos interessados em determinar a expressão para 2i . • Note que, mesmo retirando a fonte de tensão,
o circuito não se assemelha aos circuitos RLC série e paralelo já estudados. Portanto, torna-se necessário determinar a equação diferencial desse circuito.
Vamos começar escrevendo a LKT para as duas malhas:
Malha 1: ( ) )(482 2111 tviiidtdi
g=−++ (1)
Malha 2: ( ) 04 212 =−− iidtdi (2)
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Isolando 1i na expressão (2), temos
!"#
$%& += 2
21 441 idtdii (3)
Portanto, a derivada de 1i
dtdi
dtid
idtdi
dtd
dtdi
222
2
221
41
441
+=
!"
#$%
&'()
*+, +=
Aplicando as últimas expressões em (1), chegamos à
)(444112
412 22
2222
2
tviidtdi
dtdi
dtid
g=−"#$
%&' ++""
#
$%%&
'+
ou
)(21610 22
22
2
tvidtdi
dtid
g=++
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A solução que estamos procurando tem a forma
)()()( ,2,22 ninini nf += em que a resposta natural é escrita como
)exp()exp()( 21,2 tsBtsAti n += e 1s e 2s são as raízes distintas da equação característica
010122 =++ ss . Portanto
!"#−
−=
×−±−=
82
21641010 2
2,1s .
Portanto,
)8exp()2exp()(,2 tBtAti n −+−= ,
e os coeficientes A e B são determinados pelas condições iniciais, como já estudado.
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Vamos agora determinar a resposta forçada )(,2 ti f . Note que estamos procurando )(,2 ti f
que satisfaça
tidtdi
dt
idf
ff 4cos401610 ,2,2
2,2
2
=++ (4)
Temos, então, ttvg 4cos40)( = . Note que funções envolvendo seno e cosseno se reproduzem na derivação, ou seja:
xxdtd sencos −= e xx
dtd coscos2
2
−=
e
xxdtd cossen = e xx
dtd sensen2
2
−= ,
Portanto, podemos concluir que )(,2 ti f terá a forma de t4sen e/ou t4cos . Portanto, tentaremos a solução
tBtAti f 4cos4cos)(,2 += , (5) e determinaremos os valores de A e B que tornam (5) uma solução válida.
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Para aplicar (5) em (4), vamos antes calcular as derivadas:
tBtAidtd
f 4cos44sen4,2 +−= (6)
tBtAidtd
f 4cos164cos16,22
2
−−= (7)
Aplicando (5), (6) e (7) em (4), obtemos
ttAtB 4cos404sen404cos40 =− ,
onde claramente vemos que devemos fazer 1=B e 1=A .
Portanto, tti f 4cos)(,2 = e, finalmente,
)8exp()2exp(4cos)(2 tBtAtti −+−+=
Os coeficientes A e B são determinados pelas condições iniciais.
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Alguns exemplos de funções que se reproduzem na derivação:
Excitação )(tf Resposta )(tx f k 0B t 10 BtB + 2t 01
20 BtBtB ++
)exp(at )exp(atA btat sen)exp( ou )cos()exp( btat [ ]btbtat sencos)exp( +
