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EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 2 1 Esta aula: ! Circuito elétrico: nó, laço ! Leis de Kirchhoff das correntes e das tensões ! Associação de bipolos resistivos: serie e paralelo EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 2 2 Circuitos elétricos Conjunto de bipolos conectados de uma forma particular. Análise de um circuito: determinação das correntes e tensões em cada bipolo do circuito, usando: ! Relações entre tensão e corrente dos bipolos, ! Leis de Kirchhoff. ) ( 1 t v ) ( 2 t v ) ( 3 t v ) ( 4 t v ) ( 1 t i ) ( 2 t i ) ( 5 t i ) ( 4 t i C 2 R 1 R L ) ( 3 t i ) ( 5 t v ) (t e ) ( 1 t v ) ( 2 t v ) ( 3 t v ) ( 4 t v ) ( 1 t i ) ( 2 t i ) ( 5 t i ) ( 4 t i C 2 R 1 R L ) ( 3 t i ) ( 5 t v ) (t e Conhecido: ) (t e , 1 R , 2 R , L e C Desconhecido: ) ( 1 t i , ) ( 2 t v , ) ( 2 t i , ) ( 3 t v , ) ( 3 t i , ) ( 4 t v , ) ( 4 t i , ) ( 5 t v e ) ( 5 t i .
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Esta aula: ! Circuito elétrico: nó, laço ! Leis de Kirchhoff das correntes e das
tensões ! Associação de bipolos resistivos: serie e
paralelo
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Circuitos elétricos Conjunto de bipolos conectados de uma forma particular. Análise de um circuito: determinação das correntes e tensões em cada bipolo do circuito, usando:
! Relações entre tensão e corrente dos bipolos,
! Leis de Kirchhoff.
)(1 tv
)(2 tv )(3 tv
)(4 tv
)(1 ti )(2 ti)(5 ti)(4 ti
C2R
1R L)(3 ti
)(5 tv)(te)(1 tv
)(2 tv )(3 tv
)(4 tv
)(1 ti )(2 ti)(5 ti)(4 ti
C2R
1R L)(3 ti
)(5 tv)(te
Conhecido: )(te , 1R , 2R , L e C Desconhecido: )(1 ti , )(2 tv , )(2 ti , )(3 tv , )(3 ti ,
)(4 tv , )(4 ti , )(5 tv e )(5 ti .
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Dos modelos de funcionamento dos bipolos, sabemos que:
! )()(1 tetv =
! v2 (t) = −R1 i2 (t)
! v3(t) = −Ldi3(t)dt
! dttdvCti )()( 4
4 =
! )()( 525 tiRtv =
Outras equações são necessárias para resolver o problema: • Lei de Kirchhoff das correntes, • Lei de Kirchhoff das tensões.
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Lei de Kirchhoff das correntes: Nó: ponto de ligação entre dois ou mais bipolos • A soma algébrica das correntes que saem de
um nó é nula, ou • A soma das correntes que chegam a um nó é
igual à soma das correntes que saem daquele nó.
)(1 tv
)(2 tv )(3 tv
)(4 tv
)(1 ti )(2 ti)(5 ti)(4 ti
C2R
1R L)(3 ti
)(5 tv)(te
Nó A
Nó BNó C
)(1 tv
)(2 tv )(3 tv
)(4 tv
)(1 ti )(2 ti)(5 ti)(4 ti
C2R
1R L)(3 ti
)(5 tv)(te)(1 tv
)(2 tv )(3 tv
)(4 tv
)(1 ti )(2 ti)(5 ti)(4 ti
C2R
1R L)(3 ti
)(5 tv)(te
Nó A
Nó BNó C
Nó A: 0)()( 21 =− titi Nó B: 0)()( 32 =− titi Nó C: 0)()()( 542 =−− tititi
Para um circuito com n nós, podemos escrever (n – 1) equações independentes de corrente.
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Lei de Kirchhoff das tensões: Laço: percurso fechado formado por bipolos e que não passe duas ou mais vezes pelo mesmo bipolo. Circuito Plano: Um circuito é dito plano se pudermos desenhá-los em um plano sem cruzamento de bipolos. Malhas: laços em um circuito plano que não contém bipolos em seu interior.
A soma algébrica das tensões ao longo de um laço é nula.
Para um circuito de b bipolos e n nós, podemos escrever b – (n – 1) equações independentes relacionando as tensões.
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Considerando novamente o circuito anterior:
)(1 tv
)(2 tv )(3 tv
)(4 tvC
2R
1R L
)(5 tv)(te
Laço II
Laço I Laço III
2)14(54,5 =−−→== nb
• Laço I: 0)()()()( 432 =−++ tvtvtvte • Laço II: 0)()()()( 532 =−++ tvtvtvte ,
desnecessária, pois é redundante.
• Laço III: 0)()( 54 =− tvtv
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Associação de bipolos resistivos Consideremos o circuito resistivo:
2R1R
1i
2i
2v
1v
E
i
2R1R
1i
2i
2v
1v
E
i
São n = 3 nós, b = 3 bipolos: • b – (n – 1) = 1 equação de tensões, • n – 1 = 2 equações de correntes.
021 =−− vvE , 1ii = e 2ii =
Equações dos bipolos: 111 Riv = e 222 Riv = Resolvendo para i:
→−= iRiRE 2121 RR
Ei+
=
Portanto:
21
11 RR
REv+
= e 21
22 RR
REv+
=
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Note que: ! Os resistores 1R e 2R podem ser
representados por um resistor equivalente 21 RRRT += : Associação em série de
resistores. ! Os resistores 1R e 2R podem ser vistos como
um divisor de tensão.
1R
1R
nR
∑=
=n
iiT RR
1
1R
1R
nR
∑=
=n
iiT RR
1
Consideremos agora o circuito:
2i
2v1i
1vi
I v 1R 2R2i
2v1i
1vi
I v 1R 2R
b = 3, n = 2:
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! Uma equações de corrente: 21 iii += ! Duas equações de tensão: 1vv = e 2vv =
Bipolos: 111 Riv = , 222 Riv = e Ii =
Então, !!"
#$$%
&+=+=
212
2
1
1 11RR
vRv
RvI
Ou,
2111
1
RRIv
+×=
21
21
2111
1RRRR
RRRT +
=+
=
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Portanto:
21
21 RR
RIi+
= e 21
12 RR
RIi+
=
Note-se que: ! A combinação dos resistores 1R e 2R pode ser
substituída por 21
21
RRRRRT +
= : Associação em
paralelo. ! A combinação dos resistores pode ser vista
como um divisor de corrente
1R 1R nR TR1R 1R nR TR
nT RRRR1111
21+++= …
RG 1= é a condutância. Então, para associação em paralelo de resistores, temos
nT GGGG +++= …21
