ESPECULAÇÕES SOBRE O CENTRO DE MASSA E CAMPOS DE CORPOS ILIMITADOS

EM R3

Lossian B. Bacelar Miranda – lossian@oi.com.brCoordenação de Matemática e Física - IFPI1

Resumo. Fazemos uma síntese histórica extrema sobre o pensamento cosmológico clássico e algumas especulações acerca de campos e centros de massa associados a corpos ilimitados no espaço euclidiano tridimensional.

O Universo clássico e seus paradoxos

1. Newton inicialmente pensou que o Universo fosse infinito e eterno, com uma finita quantidade de massa.

2. Tendo em conta que haveria uma tendência de aglomeração para o centro de massa deste Universo, Newton abandonou esta idéia e assumiu que a massa era infinita e que, portanto, não poderia haver nenhuma tendência para a aglomeração de toda a matéria do Universo, e sim para aglomerações parciais que tenderiam a construir centros enormes de massas bastante afastados uns dos outros.

3. Paradoxo gravitacional (Seeliger e Carl Neumann 1894-1896): Como a força gravitacional exercida por uma casca esférica em seus pontos interiores é nula, então a força gravitacional exercida por toda a matéria do Universo sobre uma partícula de massa m localizada no ponto M se restringe à força exercida pela matéria contida na bola maciça de raio PM (fig. 01, abaixo), a qual depende da distância PM. Portanto, se o Universo é infinito com distribuição uniforme de matéria, a força exercida por toda a matéria sobre uma partícula de prova irá depender do referencial, isto é, do ponto P escolhido.

1 Palestra apresentada em 1 de dezembro de 2009 no IFPI por ocasião da realização da VI Semana de matemática e Física do IFPI. Lossian Barbosa Bacelar Miranda é professor do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Piauí.

Raio PM da esfera de centro P

P Figura 01. Paradoxo gravitacional

4. Propostas de soluções conhecidas para o paradoxo gravitacional:a) Quantidade finita de matéria: os cálculos mostram que não surge

nenhum paradoxo nesta situação. Mas cai-se na hipótese do colapso;

b) Correção de Seeliger-Neumann para a lei da gravitação (1895-1896). Eles propuseram que o potencial gravitacional deve ser

mudado de

−Gmr para

−Gmr

e−αr

. Com esta correção os cálculos indicam que a força exercida por uma casca esférica sobre um ponto que não seja o centro da esfera não é obrigatoriamente nulo.

c) No Universo existem massas negativas, as quais repelem as positivas (tomadas como as usuais, por nós “conhecidas”) e atraem as negativas. Os cálculos feitos para este modelo evitam o paradoxo gravitacional, mesmo com um Universo infinito com quantidade infinita de matéria. Tal modelo foi inicialmente proposto por Föppl em 1897.

Campo elétrico de uma distribuição infinita de cargas

M

Considere o conjunto N={(m,n , s )/m ,n , s∈Z } dos nós de uma malha tridimensional infinita contida em R3 . Colocando-se uma partícula carregada com carga de intensidade q em cada um dos nós e usando-se diretamente a lei de Coulomb, teremos que o campo

E :R3→R3 será dado pelo somatório

E⃗( x , y , z )=ε0 q( ∑m,n , s∈ Z

x−m[ ( x−m)2+( y−n)2+( z−s )2 ]3/2 , ∑

m,n , s∈ Z

y−n[ ( x−m)2+( y−n)2+( z−s )2 ]3/2 ,

∑m,n , s∈ Z

z−s[ ( x−m)2+( y−n)2+( z−s )2 ]3/2 ) .

Os casos bidimensional e unidimensional (respectivamente,

z=s=0 e z=s= y=n=0 ) se restringem às expressões:

E⃗( x , y )=ε0q ( ∑m,n∈ Z

x−m[ ( x−m)2+( y−n)2 ]3/2 , ∑

m,n∈ Z

y−n[ ( x−m)2+( y−n )2 ]3 /2 )

.

E⃗( x )=ε0 q ∑m∈Z

x−m[( x−m)2 ]3/2

.

Corpos ilimitados com centros de massa determinados

DEFINIÇÃO (Centro de massa): O centro de massa de um corpo de massa m é a posição média das massas infinitesimais que compõem o corpo. Matematicamente, temos:

a) Para um sistema Ω de partículas de posições dadas em um

sistema cartesiano tridimensional por r⃗ i e massas

mi , o

centro de massa de Ω é definido por

cm(Ω)=∑ mi r⃗ i

∑ mi .

b) Para uma distribuição contínua Ω , de massa total M e

função de densidade ρ( r⃗ ), o centro de massa é

cm(Ω)=∭⃗r ∈Ω

ρ( r⃗ ) r⃗ dV

∭⃗r ∈Ω

ρ( r⃗ )dV.

PROPRIEDADES DO CENTRO DE MASSA

A coleção das forças internas não pode alterar o movimento do centro de massa, tão somente, pode fazer com que o corpo possa girar. É o que ocorre com o gato em queda livre ao girar para cair com as patas no chão. O centro de massa de um corpo de massa m, e submetido a certo campo de forças, se move como se fosse uma partícula de massa m situada naquele mesmo campo.

A explicação da afirmação acima é fruto da própria definição do centro de massa, conforme segue:

PROPOSIÇÃO FUNDAMENTAL: Sejam n partículas 1,2 ,. . ., n

com posições dadas pelos raios vetores r⃗ i( t ) em função do tempo

(as partículas estão em movimento, talvez!), cada uma com massa

constante mi . Denotemos

F ik( t ) a força que a partícula i

exerce sobre a partícula k no instante t . Então

ddt

(∑i=1

n

mi

d r⃗ i( t )dt

)=∑i=1

n

R⃗i( t ), onde

R⃗i( t ) é a força resultante externa que atua sobre a partícula i.

DEFINIÇÕES: devido ao seu constante uso, denomina-se o somatório

∑i=1

n

mi

d r⃗ i ( t )dt

=P⃗ de momento linear total das n

partículas, e

p⃗i=mi

d r⃗ i( t )dt , momento linear da partícula

i .

A partir do resultado acima podemos, facilmente, colher o seguinte resultado, o qual é talvez o mais importante resultado que se refere a movimento de corpos quaisquer, sejam rígidos ou deformáveis.

∑i=1

n

r⃗ i( t )mi

∑i=1

n

mi

=def

r⃗ cm( t )⇒ v⃗ cm=

def d r⃗ cm( t )dt

=

∑i=1

n

mi v⃗ i ( t )

M=not P⃗

M⇒ d P⃗

dt=M a⃗cm⇒ F⃗ext=M a⃗cm

.

Isto significa que não importam as energias e possibilidades de movimentação do corpo humano e vontade de se flexibilizar, é

impossível uma pessoa mudar a posição de seu centro de massa, um milímetro sequer, caso esteja em queda livre.

Figura 02. Estrelas duplas girando em torno do centro de massa

CENTROS DE MASSA DE CORPOS ILIMITADOS

Dentro de um Universo clássico, pelo menos no plano teórico, é possível a existência de corpos ilimitados (que não cabem dentro de uma bola de R3) com volumes finitos ou infinitos. O senso comum nos indica que corpos limitados devem ter massa finita, a menos que haja uma concentração infinita de densidade em pelo menos um ponto do corpo. Espera-se, portanto, que corpos limitados, além de terem volumes finitos tenham, também, massa finita. Por outro lado, corpos ilimitados podem ter volumes e massas finitas. Até corpos de volumes infinitos, os quais são sempre ilimitados, podem ter massas finitas se supusermos para eles uma diminuição conveniente de densidade. A seguir, apresentamos o resultado de um estudo teórico vindo dos cursos de cálculo integral.

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Figura 03. Gráfico da função f ( x )= 1

xα , com α∈( 1

2,1)

0 ½ 1

Área

+∞Em ½, infinito

+∞Em 1, infinito

−x01−α

1−α

Volume

+∞ Em ½, infinito

−x

01−2 α

1−2α

Em 1,

αx0

−x01−2α

1−2αCentro de massa

+∞Em 0, infinito.

+∞ Em 1, infinito

1−2α2−2α

x0

Figura 04. Valores relativos ao sólido de revolução gerado pela

função

f ( x )= 1

xα , para diversos números α

Aqui cabem algumas indagações suscitadas pela análise da tabela acima:

i) Se um corpo possui subcorpo de modo que o centro de massa do subcorpo seja indeterminado, então o centro de massa do próprio corpo será indeterminado?

ii) Qualquer conjunto de corpos cuja união das massas seja finita possui centro de massa determinado?

iii) Corpos de volumes infinitos têm, sempre, centros de massa indeterminados?

iv) CONJECTURA: Sólido de revolução gerado por uma figura de área finita possui centro de massa determinado, e sólido de revolução gerado por figura de área infinita não possui centro de massa determinado.

v) CONJECTURA: Sendo finito o volume do corpo, seu centro de massa será determinado.

Referência Bibliográfica

1. ASSIS, A. K. T. Mecânica Relacional. CLE, UNICAMP, 1998.