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Espalhamento de oulomb

Vamos trabalhar no referencial de repouso do protão temos então que

   já que estamos considerando a massa do protão como infinita logo a variação domomento linear é zero. Temos que

   

   

|||| ||   porque   logo obtemosque

||||    

 

√

√  

√ ||    

logo

||

   

Depois de integrarmos em  obtemos ( )

||    

com  Vamos passar para coordenadas polares

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( )||||    onde

||

   

e como |||| || ficamos com ( )||    Como  ficamos com

||

   

então ficamos com

||  

||

||    Temos que

 como  ficamos com  logoficamos com

   

   

 

 

tomando

         

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Temos que

| | [     ]         

que é o mesmo que

| | [   ]            

e logo ∑ | |  fica

| |

[

  ]

 

 

       por outro lado

     

  ̅    

então a expressão  fica | |

  ̅

 

  ̅    Em termos dos índices a expressão  fica

| |

 ( ) ̅  

   ̅    

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Usando a expressão

   

a expressão

 fica

| |

 () ̅  

   ̅    ou ainda

| |

  ̅  

  ̅    

usando  outra vez obtemos

| |

̅

 

̅    que nos da

| |

̅

̅

   

ou seja

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| |

̅

̅    

onde usamos as propriedades cíclicas do traço. Usando a expressão  ficamoscom

   

onde

̅    

 

̅   

como o traço de um numero impar de matrizes gama é zero ficamos com

̅ ̅       ( ̅ ̅ )    ̅ (  )   por outro lado

( ) ( )   então a expressão  fica ̅  ( )   

que nos dá

̅

 

Temos também que

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   logo ficamos com

[  ]   

Do mesmo modo obtemos que

[ ]   que nos da que

 

      Ficamos com

     

Ficamos com

 

   então ficamos com

   

e então

   

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que nos dá que

   Como

 ficamos

   Temos que

 

Por outro lado como se vê na figura abaixo temos que

| |  então  fica

||

 

||

 

||  

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||

   

Por outro lado || com  nos dando que

|| já que

. Então

 fica