Espaços Vectoriais 12-13

7/17/2019 Espaços Vectoriais 12-13

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Apontamentos sobre E

Recordemos cálculos que

sabemos efetuar com vetores.

A noção de espaço vetorial se

Definição 1.1:Diz-se que

1. é um co

2. Em está

representa

3. Está defini

faz corr

a. x

b. xc. x

d. x

Se se pretende representar

escolher dois eixos orienta

(2,3)=2(1,0)+3(0,1). De seg

deste conceito.

spaços Vetoriais

A figura mostra várias repr

de 2 vetores.

á uma generalização do que já conhecemos.

um Espaço Vetorial Real se:

njunto não vazio;

definida uma operação binária que se desig

or +, tal que ( ,+) é um grupo comutativo;

a uma aplicação de x em que a ca

sponder um elemento λ x de tal que:

yxy)α(x;αy,

xxx)α(;,α xx)α(;,α

xx1

um vetor no plano, costumamos

os. Assim, por exemplo, o vetor

uida apresentação a generalização

esentações

a por adição, e se

a par (λ ,x) de x



Espaços vetoriais

2/8

Definição 1.2:Seja um espaço vetorial real e n vetores de . Diz-se que

v é combinação vetorial de se existirem , n

escalares reais, tais que n21v .

Exemplos:

1. O vetor 1,2,1v é combinação linear de 1,1,0e0,1,1 ?

Resolução: Para que o vetor v seja combinação dos 2 vetores é necessário que existam

2 escalares tais que 1,1,00,1,11,2,1 21

2211 ,,1,2,1

1

2

1

2

21

1

0

1

1

00

10

01

1

1

1

10

10

01

1

2

1

10

11

01

1

1

2

1

Resposta: o vetor 1,2,1v é combinação linear dos 2 vetores 1,1,0e0,1,1 porque

existem 2 escalares 1e1 21 tais que 1,1,010,1,111,2,1

2. O vetor 1,2,1v é combinação linear de 1,0,1e1,1,0,0,1,1 ?


3 escalares tais que 1,0,11,1,00,1,11,2,1 321

322131 ,,1,2,1

1

2

1

32

21

31

01

1

200110

101

11

1

110110

101

12

1

110011

101

0

1

1

3

2

1

Resposta: o vetor 1,2,1v é combinação linear dos 3 vetores 1,0,1e1,1,0,0,1,1

porque existem 3 escalares 0e1,1 321 tais que

1,0,101,1,010,1,111,2,1



Espaços vetoriais

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3. O vetor 1,2,1v é combinação linear de 1,2,1e1,0,1,1,1,0,0,1,1 ?


4 escalares tais que 1,2,11,0,11,1,00,1,11,2,1 4321

432421431 ,2,1,2,1

1

22

1

432

421

431

0

1

1

0200

1110

1101

1

1

1

1110

1110

1101

1

2

1

1110

2011

1101

0λ

λ 1λ

λ 1λ

3

42

41

Resposta: o vetor 1,2,1v é combinação linear dos 4 vetores

1,2,1e1,0,1,1,1,0,0,1,1 porque existem 4 escalares

434241 e0,1,1 tais que

4444 1,2,11,0,101,1,010,1,111,2,1

4. O vetor 1,2,1v é combinação linear de 1,0,0e0,1,1 ?

Resolução: Para que o vetor v seja combinação dos 2 vetores é necessário que existam 2

escalares tais que 1,0,00,1,11,2,121

211 ,,1,2,1

1

2

1

2

1

1

sistema impossível, logo o vetor não é combinação linear dos

vetores dados

1

1

1

00

10

01

1

1

1

10

00

01

1

2

1

10

01

01

Resposta: o vetor 1,2,1v não é combinação linear dos 2 vetores 1,0,0e0,1,1 porque

não existem 2 escalares tais que 1,1,00,1,11,2,1 21

Definição 1.3:Seja um espaço vetorial real e n vetores de . Diz-se que

são vetores linearmente independentes se a única

combinação linear nula de é a trivialmente nula, isto é, se para

quaisquer escalares

00xn



Espaços vetoriais

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Exemplos:

1. Os vetores 1,1,0e0,1,1 são linearmente independentes?

Resolução: Para que os vetores sejam linearmente independentes é necessário que

00,0,01,1,00,1,1:, 212121

0,0,0,, 2211

0

0

0

2

21

1

0

0

0

00

10

01

0

0

0

10

10

01

0

0

0

10

11

01

0

0

2

1

Resposta: os vetores 1,1,0e0,1,1 são linearmente independentes porque qualquer

combinação linear nula destes vetores implica os escalares todos nulos. (c(A)= nº de

colunas)

2. Os vetores 1,0,1e1,1,0,0,1,1 são linearmente independentes?


00,0,01,0,11,1,00,1,1:,, 321321321

0,0,0,, 322131

0

0

0

32

2131

0

0

0

200

110

101

0

0

0

110

110

101

0

0

0

110

011

101

0

0

0

3

2

1

Resposta: os vetores 1,0,1e1,1,0,0,1,1 são linearmente independentes porque qualquer

combinação linear nula destes vetores implica os escalares todos nulos. (c(A)= nº de

colunas)

3. Os vetores 1,2,1e1,0,1,1,1,0,0,1,1 são linearmente independentes?


00,0,01,2,11,0,11,1,00,1,1:,,, 432143214321

0,0,0,2, 432421431

002

0

432

421

431



Espaços vetoriais

5/8

0

0

0

0200

1110

1101

0

0

0

1110

1110

1101

0

0

0

1110

2011

1101

0λ

λ λ

λ λ

342

41

Resposta: os vetores 1,2,1e1,0,1,1,1,0,0,1,1 não são linearmente independentes

porque qualquer combinação linear nula destes vetores não implica os escalares todos

nulos. (c(A)< nº de colunas)

Observação: Em3 qualquer conjunto de 4 ou mais vetores não são linearmente

independentes

Exercícios:

1. Escreva, se possível, o vetor v=(3,3) de 2como combinação linear dos seguintes vetores:

a) (1,1) de 2b) (1,2) de 2

c) (1,1) e (0,0) de 2

d) (1,1) e (2,2) de 2e) (1,1) e (1,3) de 2

Represente geometricamente, no plano, os vetores das alíneas anteriores.

2. a) De quantas maneiras diferentes é possível escrever o vetor (0,0) de 2 como

combinação linear dos seguintes vetores:

i) (1,1) e (2,2) de 2ii) (1,1) e (0,0) de 2

iii) (1,1) e (1,3) de 2

b) Represente geometricamente, no plano, os vetores das alíneas anteriores.

c) Quais dos três pares de vetores não formam um conjunto de vetores linearmente

independentes.

3. Determine, nos espaços vetoriais respetivos, se os vetores seguintes são linearmente

independentes:

a) (3,1) e (4,-2) de 2; b) (3,1), (4,-2) e (7,2) de 2

;

c) (-1,2,0,2), (5,0,1,1) e (8,-6,1,-5) de4; d) (0,-3,1), (2,4,1) e (-2,8,5) de 3

4. Nos espaços vetoriais respetivos, discuta, em função do parâmetro real , a independência

linear dos seguintes vetores:

a) (1,-2) e (,-1) de 2; b) (,1,1), (1,,1) e (1,1,) de 3



Espaços vetoriais

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Proposição 1.1: Seja um espaço vetorial real e n vetores de . Então os

vetores são vetores linearmente independentes se e só se

qualquer combinação linear dos vetores tem coeficientes

únicos.

Proposição 1.2: Seja um espaço vetorial real e n vetores de . Então os

vetores são vetores linearmente dependentes se e só se um

deles for combinação linear dos restantes.

Proposição 1.3: Seja um espaço vetorial real e n vetores de . Então as

seguintes afirmações são verdadeiras:

i) Se com então são linearmente dependentes.

ii) Se for o vetor nulo então são linearmente dependentes.

iii)Se são linearmente independentes e y, são linearmente

dependentes então é combinação linear de .

Proposição 1.4: Seja um espaço vetorial real e p vetores de . Se

são linearmente dependentes então qualquer conjunto que os

contenha é ainda linearmente dependente.

Proposição 1.5: Seja um espaço vetorial real e p vetores de . Se

são linearmente independentes então qualquer subconjunto é

ainda linearmente independente.

Definição 1.4:Seja um espaço vetorial real e um subconjunto não vazio de. Diz-se que é

um conjunto de geradores de se qualquer vetor de é combinação linear dos

vetores de C . Representa-se por

Exemplos:

4. Os vetores 1,1e0,1 são geradores de 2?

Resolução: Para que os vetores sejam geradores de 2é necessário que

y,x1,10,1:,y,x 21212

y,x, 221

y

yx

y

x

21

221

y

x

10

11



Espaços vetoriais

7/8

Resposta: os vetores 1,1e0,1 são geradores de 2pois o sistema é possível para todo o

2y,x . (c(A)= nº de linhas)

5. Os vetores 1,2e1,1,0,1 são geradores de 2?

Resolução: Para que os vetores sejam geradores de 2 é necessário que y,x1,21,10,1:,,y,x 321321

2

y,x,2 32321

32

31

32

321

y

yx

y

x2

y

x

110

211

Resposta: os vetores 1,2e1,1,0,1 são geradores de 2pois o sistema é possível para

todo o 2y,x (c(A)= nº de linhas)

6. O vetor 0,1 é gerador de 2

?

Resolução: Para que o vetor seja gerador de 2é necessário que

y,x0,1:y,x 112

y,x0,1

y0

x1

y

x

0

1

Resposta: o vetor 0,1 não é gerador de 2pois o sistema só é possível para y=0

(c(A)< nº de linhas)

Proposição 1.6: Seja um espaço vetorial real e n vetores linearmente

independentes e geradores de . As seguintes afirmações são verdadeiras:

i) Quaisquer conjunto de m vetores com m>n são linearmente independentes

ii) Qualquer conjunto de vetores geradores de tem no mínimo n vetores

iii)Qualquer conjunto de n vetores geradores de são linearmente

independentes

iv)Qualquer conjunto de n vetores linearmente independentes são geradores de

v) Qualquer conjunto de vetores linearmente independentes e geradores de

são n.

Definição 1.5: Seja um espaço vetorial real. Denomina-se de base de a qualquer

conjunto de linearmente independentes e geradores de

Definição 1.6: Seja um espaço vetorial real. Denomina-se de dimensão de ao

número de vetores duma sua base.



Espaços vetoriais

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Exercícios:

5. Indique quais dos seguintes conjuntos de vetores são conjuntos de geradores do espaço

vetorial .

A = {(1,0), (0,1)} B = {(1,2), (-1,0)} C = {(1,0), (0,1), (1,3)}

D = {(1,2)} E = {(1,2), (-1,0), (1,-2)} F = {(1,-1), (-2,2)}

6. Seja 1,0,0,0,0,1,,,,,α0,1 um conjunto de vetores do espaço vetorial .

a) Determine os valores dos parâmetros e para que X seja um conjunto de geradores

de 3.

b) Para um dos valores de e determinados na alínea anterior, escreva o vector

2,1,1 como combinação linear dos vetores de X.

7. Seja um espaço vetorial real e C={c1, c2} um conjunto de geradores linearmenteindependentes de .

a) Seja A = {c1, c2, c3}, com c3 . Justifique:

i) Se A é um conjunto de geradores de ;

ii) Se A é constituído por vetores linearmente independentes.

b) Seja B = {c1}. Diga, justificando, se B é um conjunto de geradores de e se é ou

não constituído por vetores linearmente independentes.

c) Seja D um conjunto de geradores de . Que pode dizer sobre o número de vetores de

D?

d) Seja F um subconjunto de constituído por vetores linearmente independentes. Que

pode dizer sobre o número de vetores de F?

e) Seja c4 um vetor de . Em que condições é que G = {c1, c4} é um conjunto de

geradores de ?

8. Utilizando matrizes, determine os valores do parâmetro real para os quais o sistema de

vetores1,2,3, , 0,1,1, , 2,1,2,0 , ,1,0,1 é uma base de

4.

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