Escolas João de Araújo Correia MATEMÁTICA- 9.º ANOda de modo a fazer com o solo um ângulo de 3...

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MATEMÁTICA- 9.º ANO Setembro 2015

TEMA: Geometria – exercícios saídos em TI e exames

1. Na figura está representado um decágono regular [ABCDEFGHIJ], inscrito numa circunferência de centro O. Os segmentos de reta [ID] e [HC] são diâmetros desta circunferência.

a) Após uma rotação de centro em O e de amplitude 144° (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio), o ponto A desloca-se para uma posição que, antes da rotação, era ocupada por outro ponto. De que ponto se trata?

b) Ao observar a figura, a Rita afirmou: «A amplitude do ângulo CDI é igual à amplitude do ângulo CHI » Uma vez que a Rita não tinha transferidor, como é que ela poderá ter chegado a esta conclusão? Justifica a tua resposta.

c) Com o auxílio de material de desenho, inscreve, na circunferência abaixo desenhada, um triângulo equilátero. O ponto que está marcado no interior da circunferência é o seu centro. Não apagues as linhas auxiliares que traçares para construíres o triângulo.

2. O acesso a uma das entradas da escola da Rita é feito por uma escada de dois degraus iguais, cada um deles com 10 cm de altura.

Com o objetivo de facilitar a entrada na escola a pessoas com mobilidade condicionada, foi construída uma rampa. Para respeitar a legislação em vigor, esta rampa foi construída de modo a fazer com o solo um ângulo de 3°, como se pode ver no esquema que se segue (o esquema não está à escala).

Determina, em metros, o comprimento, c , da rampa. Indica o resultado arredondado às décimas e apresenta todos os cálculos que efetuares. Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva quatro casas decimais.

3. Arrumaram-se três esferas iguais dentro de uma caixa cilíndrica . Como se pode observar no esquema: • a altura da caixa é igual ao triplo do

diâmetro de uma esfera; •o raio da base do cilindro é igual ao

raio de uma esfera. Mostra que:

O volume da caixa que não é ocupado pelas esferas é igual a metade do volume das três esferas. Nota: designa por r o raio de uma esfera.

EX1ªch2005

4. Os espigueiros são construções que servem para guardar cereais, ao mesmo tempo que os protegem da humidade e dos roedores. Por isso, são construídos sobre estacas (pés do espigueiro), de forma que não estejam em contacto direto com o solo. Se o terreno for inclinado, os pés do espigueiro assentam num degrau, para que o espigueiro fique na horizontal, como mostra a fotografia.

No esquema do espigueiro, estão também representados os seis pés do espigueiro, bem como o degrau no qual eles assentam.

Escolas | João de Araújo Correia ESCOLA SECUNDÁRIA DR. JOÃO DE ARAÚJO CORREIA

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O esquema não está desenhado à escala. As medidas de comprimento indicadas estão expressas em metros.

a) O degrau onde assentam os pés do espigueiro é um prisma triangular reto. As duas bases deste prisma são triângulos retângulos. Determina (em metros) a altura a, do degrau. Apresenta todos os cálculos que efetuares e indica o resultado, arredondado às décimas. Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva quatro casas decimais.

b) O espigueiro é um prisma pentagonal reto, cujas bases são pentágonos não regulares. Cada pentágono pode ser decomposto num retângulo e num triângulo isósceles. Determina (em metros cúbicos) o volume do espigueiro. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

5. Na figura, está representado, num referencial ortogonal (eixos perpendiculares), um triângulo [ABC]. O segmento de reta [BC] é perpendicular ao eixo dos xx .

a) Sabe-se que 20AB , 5AC e 5BC

Indica um valor aproximado por defeito e outro por excesso do perímetro do triângulo [ABC], a menos de 0,1.

b) A imagem do segmento de reta [BC] obtida por meio de uma rotação de centro em A e amplitude 90° é um segmento de reta ... (A) ... paralelo ao eixo dos xx . (B) ... paralelo ao eixo dos yy . (C) ... perpendicular a [AB]. (D) ... perpendicular a [AC]. 6. Na figura, está representada uma circunferência, de centro O, em que: • A, B e C são pontos da

circunferência; • o segmento de reta [AC] é um

diâmetro;

• OAB = 30°

a) Qual é a amplitude do arco AB (em graus)?

b) Considera uma reta tangente à circunferência no ponto A. Seja D um ponto pertencente a essa reta. Sabendo que o ângulo BAD é agudo, determina a sua amplitude (em graus).

7. Nas figuras, podes observar o mesmo dado em duas

posições distintas.

Qual das quatro planificações seguintes é uma planificação desse dado?

(A) (B) (C) (D)

8. Na figura, está representado um octógono regular [ABCDEFGH], inscrito numa circunferência de centro O.

Ao observar a figura, e sem efetuar medições, a Ana afirmou:

«O quadrilátero [BDFH] é um quadrado.»

Como é que ela poderá ter chegado a esta conclusão? Justifica a tua resposta. Ex2ªch2005

9. A TAGARELA é uma nova empresa de comunicações que opera em Portugal. O preço, P, em cêntimos, de uma chamada telefónica feita através desta empresa é calculado da seguinte forma:

P = 8 + n.º de segundos de conversação, para além do 1.º minuto

preço, em cêntimos, por segundo de conversação, para além do 1.º minuto

Nesta fórmula, 8 é um valor fixo, em cêntimos, para pagar o início de qualquer chamada. Até ao fim do primeiro minuto de conversação, não há qualquer acréscimo de preço. Para além do primeiro minuto, o preço por segundo, em cêntimos, é calculado de acordo com o seguinte tarifário:

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TIPO DE CHAMADAS (de acordo com a

distância, d, em km, entre os telefones)

Horário Normal 9h - 21h

Horário económico 0h - 9h e 21h - 24h

LOCAIS d < 15

0,1 cêntimos

0,07 cêntimos

REGIONAIS

d 15 e d 35

0,2 cêntimos

0,14 cêntimos

NACIONAIS d > 35

0,3 cêntimos

0,21 cêntimos

Sabendo que a Marta vive em Vila Nova de Paiva e é cliente da TAGARELA, responde aos itens que se seguem.

a) Usando material de desenho e de medição e de acordo com a escala dada, assinala, pintando a lápis no mapa, a zona correspondente às chamadas regionais que a Marta pode efetuar de Vila Nova de Paiva. (Esta questão deve ser resolvida a lápis e não a tinta.)

b) A Marta efetuou, às 17 horas, uma chamada de sua casa para Faro, com a duração de 1 minuto e 20 segundos. Quanto irá pagar a Marta pela chamada, sabendo que Faro fica a mais de 400 quilómetros de Vila Nova de Paiva? Apresenta todos os cálculos que efetuares.

10. Na figura, está representado um triângulo retângulo em que: • a, b, e c são as medidas de comprimento dos seus lados, em centímetros; • x é a medida da amplitude de um dos seus ângulos agudos, em graus. Apresentam-se a seguir quatro igualdades. Apenas uma está correta. Qual?

(A) a

bxsen (B)

b

axsen

(C) c

bxsen (D)

a

cxsen

11. O símbolo ao lado está desenhado nas placas do Parque das Nações que assinalam a localização dos lavabos. As quatro figuras a seguir representadas foram desenhadas com base nesse símbolo. Em cada uma delas, está desenhada uma reta r. Em qual delas a reta r é um eixo de simetria? (A) (B)

(C) (D)

12. Na fotografia (figura A), podes observar um dos vulcões de água da Alameda dos Oceanos, no Parque das Nações, em Lisboa. Estes vulcões expelem, periodicamente, jatos de água. Na figura B, está representado um cone de revolução. A parte sombreada desta figura é um esquema do sólido que serviu de base à construção do vulcão de água.

As medidas de comprimento indicadas estão expressas em metros. 1,8 m e 0,6 m são os comprimentos dos raios das duas circunferências. A altura do cone é 6 m. Determina, em metros cúbicos, o volume do sólido representado no esquema a sombreado. Indica o resultado arredondado às unidades e apresenta todos os cálculos que efetuares. Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais.

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13. Na figura, estão representados três retângulos, A, B e C, cujas dimensões estão indicadas em centímetros (cm).

a) Apenas dois dos retângulos representados na figura são semelhantes. Indica a razão dessa semelhança, considerando-a uma redução. b) Existe um quadrado que tem o mesmo perímetro do que o retângulo A. Determina, em centímetros quadrados, a área desse quadrado. c) Imagina que o retângulo A está inscrito numa circunferência. Qual é o valor exato do diâmetro dessa circunferência? EX1ªch2006

14. Na figura ao lado, está representada uma circunferência, de centro O, em que: • A, B, C e D são pontos da

circunferência;

• DAB = 50°

• DOC = 60

Qual é, em graus, a amplitude do arco CB?

15. A altura, h , do Sol é a amplitude, medida em graus, do ângulo que os raios solares fazem com o plano do horizonte. O gráfico que se segue dá a altura do Sol às t horas do dia 21 de Junho de 2006, solstício de Verão, na região de Lisboa, de acordo com os dados do Observatório Astronómico de Lisboa.

a) Durante quantas horas é que a altura do Sol foi superior ou igual a 60°?

b) A fotografia ao lado é a do monumento da praça dos Restauradores, em Lisboa. A altura desse monumento é de 30 metros. No dia 21 de Junho de 2006, às 15 horas e 38 minutos, qual foi, em metros, o comprimento da sombra projetada no chão pelo monumento? Começa por fazer um esboço que ilustre a situação. Indica o resultado arredondado às unidades e apresenta todos os cálculos que efetuares.

16. Na figura abaixo, está desenhado um triângulo equilátero que tem 6 cm de lado. Recorrendo a material de desenho e de medição, constrói a ampliação, de razão 1,5 , deste triângulo. Efetua a construção a lápis. (Não apagues as linhas auxiliares que traçares para construíres o triângulo.)

17. A piscina da casa do Roberto vai ser decorada com azulejos. Em cada uma das quatro figuras que se seguem, estão representados dois azulejos. Em qual delas o azulejo da direita é imagem do azulejo da esquerda, por meio de uma rotação, com centro no ponto O, de amplitude 90° (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio)? (A) (B)

(C) (D)

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EX2ªch2006

18. Na figura, está representado um esquema da piscina da casa do Roberto, esquema que não está desenhado à escala. No esquema: • as medidas estão expressas em metros; • [ABCDEFGH] é um paralelepípedo retângulo; • [IJKL] é uma rampa retangular que se inicia a 1,6 m de

profundidade da piscina e termina na sua zona mais funda.

a) Utilizando as letras da figura, indica dois planos concorrentes. b) Quantos litros de água serão necessários para encher totalmente a piscina? Apresenta todos os cálculos que efetuares. 19. Na figura, podes ver um cubo e, sombreada a cinzento, uma pirâmide quadrangular regular. A base da pirâmide coincide com a face ABCD do cubo. O vértice P da pirâmide pertence à face EFGH do cubo. a) Utilizando as letras da figura, indica uma reta que seja complanar com a reta EG e perpendicular a esta reta. b) Se a pirâmide da figura tivesse 9 cm3 de volume, qual seria o comprimento da aresta do cubo? Apresenta todos os cálculos que efetuares e, na tua resposta, indica a unidade de medida.

20. Diz-se que o ecrã de um televisor tem formato «4:3» quando é semelhante a um retângulo com 4 cm de comprimento e 3 cm de largura. O ecrã do televisor do Miguel tem formato «4:3», e o seu comprimento é de 60 cm. Determina a largura do ecrã. Apresenta todos os cálculos que efetuares e, na tua resposta, indica a unidade de medida.

21. Na figura, está representada uma circunferência, de centro O, em que: • E, F, G e H são pontos da

circunferência; • o segmento de reta BD é um

diâmetro; • E é o ponto de intersecção das

retas FH e EG; • o triângulo ADE é retângulo em E;

• CAD=30°

a) Qual é a amplitude, em graus, do arco CD ?

b) Sabendo que 5AD , determina ED . c) Sem efetuares medições, explica por que é que a seguinte afirmação é verdadeira.

«Os triângulos ADE e CDE são geometricamente iguais.» Ex1ªch2007

22. Considera um segmento de reta [AB] com 4 cm de comprimento. a) Efetuou-se uma redução do segmento de reta [AB]. O segmento de reta obtido tem 0,8 cm de comprimento. Qual dos seguintes valores é igual à razão de semelhança desta redução? (A) 0,2 (B) 0,3 (C) 0,4 (D) 0,5

b) Na figura abaixo, está desenhado o segmento de reta [AB], numa malha quadriculada em que a unidade de comprimento é um centímetro.

Existem vários triângulos com 6 cm2 de área. Recorrendo a material de desenho e de medição, constrói, a lápis, nesta malha, um desses triângulos, em que um dos lados é o segmento de reta [AB]. 23. Na figura ao lado, estão representados um quadrado [ABCD] e quatro triângulos congruentes. Em cada um destes triângulos: • um dos lados é também lado

do quadrado de área 36 cm2; • os outros dois lados são

congruentes.

a) Quantos eixos de simetria tem esta figura?

b) Indica uma amplitude da rotação que transforma o triângulo [ABF] no triângulo [BGC].

c) Identifica uma isometria que transforme o triângulo [BCG] no triângulo [ADE].

d) Justifica que o triângulo [ABF] não pode ser obtido através de uma translação do triângulo [DCH].

e) A figura anterior é uma planificação de um sólido.

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Relativamente ao triângulo [ABF], sabe-se que a altura relativa à base [AB] é 5 cm;

6AB Qual é a altura desse sólido? Começa por fazer um esboço do sólido, a lápis, e nele desenha o segmento de reta correspondente à sua altura. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

24. Para determinar a altura (h) de uma antena cilíndrica, o Paulo aplicou o que aprendeu nas aulas de Matemática, porque não conseguia chegar ao ponto mais alto dessa antena. No momento em que a amplitude do ângulo que os raios solares faziam com o chão era de 43° , parte da sombra da antena estava projetada sobre um terreno irregular e, por isso, não podia ser medida. Nesse instante, o Paulo colocou uma vara perpendicularmente ao chão, de forma que as extremidades das sombras da vara e da antena coincidissem. A vara, com 1,8 m de altura, estava a 14 m de distância da antena. Na figura que se segue, que não está desenhada à escala, podes ver um esquema que pretende ilustrar a situação descrita.

Qual é a altura (h) da antena ? Na tua resposta, indica o resultado arredondado às unidades e a unidade de medida. Apresenta todos os cálculos que efetuares. Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

25. Sejam A, B e C três pontos distintos de uma circunferência em que o arco AB tem 180° de amplitude. Justifica a seguinte afirmação:

«O triângulo ABC não é equilátero.» Ex2ªch2007

26. Na figura, podes observar um modelo geométrico de um pacote de pipocas que é um tronco de pirâmide, de bases quadradas e paralelas, representado a sombreado. A pirâmide de base [ABCD] e vértice I, da figura, é quadrangular regular.

a) Em relação à figura, qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) A reta DH é paralela ao plano que contém a face

[ABFE]. (B) A reta CG é oblíqua ao plano que contém a face

[ABFE]. (C) A reta CB é perpendicular ao plano que contém a

face [ABFE]. (D) A reta HG é concorrente com o plano que contém a

face [ABFE].

b) Determina o volume do tronco de pirâmide representado na figura, sabendo que:

cm , cm 312 EFAB

e que a altura da pirâmide de base [ABCD] e vértice I é 20 cm. Apresenta todos os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve a unidade de medida. Ex1ª2008

27. Na figura, podes observar uma rampa de pedra, cujo modelo geométrico é um prisma em que as faces laterais são retângulos e as bases são triângulos retângulos; esse prisma encontra-se representado na figura.

Sabe-se que, neste prisma de bases triangulares:

cm 42BE e cm 250BC , cm 300AB

a) Em relação à figura, qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) O plano que contém a face [ABE] é perpendicular ao

plano que contém a face [AEFD]. (B) O plano que contém a face [ABE] é paralelo ao plano

que contém a face [AEFD]. (C) O plano que contém a face [ABE] é oblíquo ao plano

que contém a face [AEFD]. (D) O plano que contém a face [ABE] é coincidente com

o plano que contém a face [AEFD].

b) Calcula a amplitude, em graus, do ângulo .

Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às unidades. c) Determina o volume do prisma representado na figura. Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve a unidade de medida.

28. Num círculo de raio r, sejam d o diâmetro, P o perímetro e A a área. Qual das seguintes igualdades não é verdadeira?

(A) 2r

A (B)

r

A

2 (C)

r

P

2 (D)

d

P

15 cm

5 cm

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29. Na figura ao lado, está representada uma circunferência de centro no ponto O e diâmetro [AB]. O ponto C pertence à circunferência. Determina a amplitude, em graus, do ângulo α . Apresenta os cálculos que efetuares.

30. Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 15 cm e um dos catetos 10 cm. Calcula a medida do comprimento do outro cateto. Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado na forma de valor exato. Ex2ªch2008

31. Ao lado está um esquema da estrutura das barracas existentes na praia do parque de campismo. No esquema: •[ABCDEFGH] é um prisma

quadrangular regular; •[EFGHI] é uma pirâmide quadrangular

regular; • [IK] é a altura da pirâmide [EFGHI] ; • [IJ] é uma altura do triângulo [EFI] . As medidas de comprimento indicadas estão expressas em metros (m).

a) Qual das seguintes retas é paralela ao plano ADH? (A) AB (B) IE (C) BF (D) EG

b) Sabe-se que m 1IJ . De acordo com o esquema, determina o volume da barraca de praia. Apresenta todos os cálculos que efetuares e, na tua resposta, indica a unidade de volume.

32. Na figura que se segue está representada uma circunferência de centro O, em que está inscrito um pentágono regular [PQRST].

a) Qual é a amplitude, em graus, do ângulo TPQ? Apresenta todos os cálculos que efetuares.

b) Sabe-se que: • a circunferência tem raio 5; • o triângulo [SOR] tem área 12. Determina a área da zona sombreada a cinzento na figura. Apresenta todos os cálculos que efetuares e indica o resultado arredondado às décimas.

33. Na figura está desenhado um pentágono regular [ABCDE]. Em qual das quatro figuras que se seguem o pentágono sombreado é a imagem do pentágono [ABCDE] obtida por meio de uma rotação de centro no ponto A e amplitude 180°?

(A) (B) (C) (D)

TI9ºMaio2008

34. Num triângulo [PQR], a amplitude do ângulo com vértice no ponto P é 70°. A amplitude do ângulo com vértice no ponto Q é igual à amplitude do ângulo com vértice no ponto R. Qual é a amplitude do ângulo com vértice no ponto Q?

(A) 45° (B) 50° (C) 55° (D) 60°

35. Considera a figura seguinte, onde:

• G é um ponto do segmento de reta [BF]; • [ABGH] é um quadrado; • [BCEF] é um quadrado;

• 26 FG e AH . a) Qual é o comprimento da diagonal do quadrado [ABGH]? Apresenta todos os cálculos que efetuares e indica o resultado arredondado às décimas. b) Determina a área do quadrilátero [ACDG], sombreado a cinzento na figura. Apresenta todos os cálculos que efetuares. c) Como se designa o quadrilátero [ACDG]? Não justifiques a tua resposta. TI8ºAbril2008

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Figura 4 110°

20°

110°

36. Considera a figura, onde: • [ABFG] é um quadrado de

área 36; • [BCDE] é um quadrado de

área 64; • F é um ponto do

segmento de reta [BE]. a) Qual é a área total das zonas sombreadas da figura? (A) 64 (B) 66 (C) 68 (D) 70

b) Determina o valor exato de EG . c) Determina a área do triângulo [GEF].

TI9ºJan2008

37. Considera os triângulos [ABC] e [DEF] da figura e as medidas neles inscritas.

Nota: Os triângulos não estão desenhados à escala. a) Justifica que os dois triângulos são semelhantes. b) Admite que o triângulo [DEF] é uma redução do triângulo [ABC] de razão 0,8. Qual é o perímetro do triângulo [ABC], sabendo que o perímetro do triângulo [DEF] é 40? (A) 50 (B) 40,8 (C) 39,2 (D) 32

38. Escreve uma expressão simplificada do perímetro do trapézio da figura.

39. Na figura está representado um pódio constituído por três prismas quadrangulares regulares de bases iguais.

Sabe-se que:

• Todos os prismas têm área da base igual a 2. • A altura do prisma referente ao 2.º lugar é da altura do

prisma referente ao 1.º lugar. • A altura do prisma referente ao 3.º lugar é da altura do

prisma referente ao 1.º lugar.

a) Supõe que o volume total do pódio é igual a 15. Qual é o volume do prisma referente ao 2.º lugar? Mostra como chegaste à tua resposta.

b) Qual das condições seguintes traduz a relação entre o volume, V, e a altura, h, de cada um destes prismas?

(A) 2h

V (B)

3

2

h

V (C)

3

1

h

V (D) 15

h

V

40. Na figura sabe-se que: • [ACDF] é um quadrado de lado 4. • B é o ponto médio do

segmento de reta [AC].

• 1EF

a) Qual é a medida do comprimento de [AE]? Escreve o resultado arredondado às décimas.

b) Qual é a área da região sombreada? Mostra como chegaste à tua resposta.

TI8ºAbril2009

41. No clube desportivo os sócios estão a desenhar no chão um tabuleiro do jogo de damas. O tabuleiro representado na figura 4 tem a forma de um quadrado, dividido em 64 quadrados pequenos, todos geometricamente iguais (casas).

O tabuleiro vai ter uma área de 32 400 cm2. As peças para este jogo têm todas a forma de um pequeno cilindro, tal como se mostra na figura 5.

Qual é, em centímetros, o maior diâmetro que a base das peças pode ter para ficar contida numa casa do tabuleiro? Apresenta os cálculos que efetuares.

42. Na figura sabe-se que:

• [ACEF] é um quadrado • [BCDG] é um quadrado

• xAC

• 8BC Escreve uma expressão simplificada para o perímetro da região sombreada. Mostra como chegaste à tua resposta.

43. No jardim do clube desportivo Os Medalhados, existem duas balizas. A figura representa um esquema de cada uma das balizas.

Os triângulos [ABC] e [DEF] são retângulos em A e em D, respetivamente. [BEFC] é um retângulo. Nota: a figura não está desenhada à escala.

a) Qual é a posição relativa entre o poste da baliza representada na figura pelo segmento [AC] e o plano que contém a parte lateral representada na figura pelo triângulo [DEF] ? (A) Concorrente oblíqua.

Figura 5

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Ex1.ªch2009

(B) Estritamente paralela. (C) Concorrente perpendicular. (D) Contida no plano.

b) Sabe-se que: cm120AB ; cm180BE cm160AC Determina a área do retângulo [BEFC] do esquema da baliza representada na figura 7. Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve a unidade de medida. TI9ºFev2009 44. A figura [ABCDEFGH] é um octógono regular inscrito na circunferência de centro O. Qual é a imagem do triângulo [AOB] obtida por meio da rotação de centro no ponto O e de amplitude 135°, no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio? (A) [COD] (B) [EOD] (C) [HOG] (D) [GOF]

45. Na figura, sabe-se que: • O é o centro da

circunferência; • [AB] e [BC] são cordas

geometricamente iguais; • D é o ponto de intersecção

do diâmetro [EB] com a corda [AC].

Nota: A figura não está construída à escala. a) Qual é, em graus, a amplitude do arco AC, supondo

que ABC = 28°? b) Qual é, em centímetros, a medida do comprimento de [DE], supondo que

cm 4,6 cm 8,6 ACAO

Apresenta os cálculos que efetuares.

46. A figura 5 é a imagem de um monumento situado no centro de uma cidade. Todos os blocos desse monumento resultam de um corte de um prisma quadrangular reto. A figura 6 representa o modelo geométrico de um dos blocos do mesmo monumento.

Figura 5 Figura 6

a) Em relação à figura 6, qual das seguintes afirmações é verdadeira? Assinala a alternativa correta. (A) A reta EG é paralela ao plano que contém a face [ABCD]. (B) A reta EG é perpendicular ao plano que contém a face [ABCD]. (C) A reta FB é paralela ao plano que contém a face [ADGE]. (D) A reta FB é perpendicular ao plano que contém a face [ADGE]. b) Na figura 6, sabe-se que

35º que e m 2 BEAAB ˆ

Qual é, em metros, a medida do comprimento de [EB]? Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às unidades. c) No sólido representado na figura, sabe-se que [ABCDEFGH] é um prisma quadrangular reto, e que

m 5DH e m 2 DCDA Qual é, em metros cúbicos, o volume da pirâmide triangular sombreada? Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às décimas.

47. No jardim da família Coelho, encontra-se um

balancé, com uma trave de 2,8 m de comprimento, como o representado na figura 1. Quando uma das cadeiras está em baixo, a trave do balancé forma um ângulo de 40° com o solo, tal como mostra a figura. Determina, em metros, a altura máxima, a, a que a outra cadeira pode estar.

Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às décimas. Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais.

48. A família Coelho vai mandar fazer floreiras em cimento. A figura é um esquema dessas floreiras: a região mais clara é a parte de cimento, e a mais escura é a cavidade que vai ficar com terra, para as flores. O modelo geométrico das floreiras tem a forma de um cubo com 50 cm de aresta. A cavidade que vai ficar com a terra tem a forma de

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um prisma quadrangular reto, com a mesma altura da floreira e 40 cm de aresta da base. a) Determina, em centímetros cúbicos, o volume da parte de cimento da floreira. Apresenta os cálculos que efetuares. b) Utilizando as letras da figura, identifica uma reta perpendicular ao plano que contém a base da floreira. 49. Na figura, sabe-se que:

• o diâmetro [BD] é perpendicular ao diâmetro [AC];

• [OHDE] e [OFBG] são quadrados geometri-camente iguais;

• o ponto O é o centro do círculo;

• OC = 2 cm .

a) Escreve, em graus, a amplitude do ângulo ACB.

b) De entre as transformações geométricas indicadas nas alternativas seguintes, assinala a que não completa corretamente a afirmação que se segue. O quadrado [OHDE] é a imagem do quadrado [OFBG], através da transformação geométrica definida por uma: (A) rotação de centro no ponto O e amplitude 180°. (B) rotação de centro no ponto O e amplitude –180°. (C) simetria axial de eixo AC (D) simetria axial de eixo DB.

c) Determina o valor exato, em centímetros, da medida do lado do quadrado [OFBG]. Apresenta os cálculos que efetuares.

Ex2.ªch2009

50. Na figura que se segue, os vértices do quadrado [IJKL] são os pontos médios das semidiagonais do quadrado [ABEF]. A intersecção das diagonais dos dois quadrados é o ponto O. Os lados [CD] e [HG] do retângulo [HCDG] são paralelos aos lados [BE] e [AF] do quadrado [ABEF] e [CD] mede o triplo de [BC].

a) Qual é a amplitude do ângulo EAB?

b) Sabendo que a medida da área do quadrado [ABEF] é 64, calcula a medida do comprimento do segmento de reta [OB] . Na tua resposta, escreve o resultado arredondado às décimas.

c) Em relação à figura, qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) O triângulo [AOB] é escaleno.

(B) O triângulo [AOB] é acutângulo. (C) O trapézio [ACDE] é isósceles. (D) O trapézio [ACDE] é retângulo. 51. A figura representa uma sala de cinema. O João sentou-se no último lugar da última fila, assinalado, na figura, pelo ponto A. O ângulo de vértice A é o seu ângulo de visão para o ecrã.

No cinema, as pessoas que se sentam no lugar em que o João está sentado devem ter um ângulo de visão de, pelo menos, 26°, sendo o ideal 36°, para que possam ter uma visão clara do filme. Tendo em atenção as medidas indicadas na figura, determina a amplitude do ângulo de visão do lugar do João. Na tua resposta, apresenta os cálculos que efetuares e explica se a amplitude obtida permite uma visão clara do filme.

52. Na figura está representada uma circunferência.

Sabe-se que: •[AC] é um diâmetro de

comprimento 15. • B é um ponto da circunferência.

• 12AB

a) Justifica que o triângulo [ABC] é retângulo em B. b) Calcula a área da região sombreada da figura. Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às unidades. Nota: Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais.

53. A figura 1 apresenta um pormenor arquitetónico da casa do Cipreste, de Raul Lino, em Sintra. Na figura 2, estão a representação geométrica de parte do pormenor arquitetónico e o vetor v

.

Grupo 500 11/34

v

Figura 1 Figura 2

Em qual das alternativas seguintes estão representadas a figura 2 e a imagem dessa figura através da translação associada ao vetor v

? Escreve,

na folha de respostas, a letra da alternativa correta. (A) (B)

(C) (D)

54. Na figura 6 está representado um esquema da piscina que a mãe da Marta comprou para colocar no jardim. A figura 7 representa um esquema da base da piscina.

Figura 6 Figura 7

Na figura 6, [ABCDEFGHIJKL] é um prisma regular e

mBH 5,1 .

Na figura 7, [ABCDEF] é um hexágono, m 2BC e

m 3OM .

a) Calcula, em metros cúbicos, a capacidade da piscina. Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às décimas. Nota: Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva três casas decimais.

b) A mãe da Marta vai colocar dentro da piscina um escorrega. Está representado um esquema do escorrega na figura ao lado.

Qual é, em graus, a amplitude do ângulo α ? Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às unidades.

TI9ºMaio2009

55. Os comprimentos dos lados de um triângulo podem ser 10 cm, 12 cm e 23 cm? Justifica a tua resposta. 56. Na figura , está representada uma circunferência de centro O, na qual está inscrito um retângulo [ABCD]. A figura não está desenhada à escala. Sabe-se que:

• BDA = 70°

• AB = 4,35 cm

a) Qual é a amplitude, em graus, do arco AB? b) Quantos eixos de simetria tem o retângulo [ABCD]? c) Qual é o comprimento, em cm, do diâmetro [BD] da circunferência? Apresenta os cálculos que efetuaste. Escreve o resultado arredondado às centésimas. Nota – Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais.

57. A figura representa um modelo geométrico de uma caixa de chocolates que o Manuel fez para vender num arraial. Relativamente à Figura, sabe-se que: • [ABCDEFGH ] é um prisma

quadrangular regular. • [EFGHI ] é uma pirâmide

quadrangular regular, de altura IJ a) Qual é a posição da reta HG relativamente ao plano ABF?

(A) Concorrente perpendicular � (B) Concorrente oblíqua (C) Estritamente paralela � (D) Contida no plano

b) Determina o volume, em cm3, do sólido representado na figura, sabendo que:

cm 13AB ; cm 19BF ; cm 6IJ Apresenta os cálculos que efetuaste.

Ex1ªch2010

58. Relativamente à figura, sabe-se que: • [ACEG] é um quadrado de lado 4 e centro O; • os pontos B, D, F e H são os pontos médios dos lados

do quadrado [ACEG]; • os vértices do quadrado [ACEG] são os centros das

circunferências representadas na figura; • o raio de cada uma das circunferências é 2 ;

Grupo 500 12/34

• o ponto I pertence à circunferência de centro no ponto A; • o ponto A pertence ao segmento de reta [IO ].

a) Qual é a amplitude, em graus, do ângulo BIH ? b) Determina a área da região sombreada. Apresenta os cálculos que efetuaste. Escreve o resultado arredondado às décimas. Nota – Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais. c) Determina o comprimento de [IO ]. Apresenta os cálculos que efetuaste. Escreve o resultado arredondado às décimas. Nota – Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais.

59. A Figura representa um modelo geométrico de um comedouro de um camelo. Este modelo não está desenhado à escala. Relativamente à figura, sabe-se que: • [ABCDI] é uma pirâmide reta de

base retangular; •[ABCDEFGH] é um tronco de

pirâmide de bases retangulares e paralelas.

a) Qual é a posição da reta AI relativamente ao plano EFG?

(A) Concorrente perpendicular � (B) Concorrente oblíqua (C) Estritamente paralela � (D) Contida no plano

b) Determina o volume, em cm3, do tronco de pirâmide representado na Figura, sabendo que:

• cm , cm

, cm , cm

2530

4048

FGEF

BCAB

• a altura da pirâmide [ABCDI] é 80cm, e a altura do tronco de pirâmide é 30cm.

Apresenta os cálculos que efetuaste. Nota – Nos cálculos intermédios utiliza sempre valores

exatos.

c) A Figura 5 mostra um comedouro de um camelo. Imaginou-se um triângulo retângulo [ABC], em que o cateto [AB] representa o suporte do comedouro e o cateto [BC] representa a sombra desse suporte.

A Figura 6 é um esquema desse triângulo. O esquema não está desenhado à escala.

Figura 5 Figura 6

Sabe-se que: , m , m 1,26 6,0 BCAB

Qual é a amplitude, em graus, do ângulo ACB ? Escreve o resultado arredondado às unidades. Mostra como chegaste à tua resposta.

Ex2ª2010

60. O astrónomo e matemático Ptolomeu enunciou a propriedade seguinte:

«Num quadrilátero inscrito numa circunferência, a soma dos produtos das medidas dos lados opostos é igual ao produto das medidas das diagonais.»

Na figura, está representado um trapézio [ABCD ] inscrito numa circunferência. A figura não está desenhada à escala. Sabe-se que:

BCAD

BDAC

CDAB

150

912 e

Determina o valor exato de

AD , utilizando a propriedade enunciada por Ptolomeu.

61. Escreve uma expressão simplificada, na variável x, que represente a área do trapézio retângulo da figura.

62. Numa das estruturas de apoio de um desses painéis, imaginou-se um triângulo retângulo. A figura é um esquema desse triângulo. O esquema não está desenhado à escala. Relativamente ao triângulo retângulo [ABC], sabe-se que:

• mAB 5,2

• mBC 7,1

Grupo 500 13/34

Qual é a amplitude, em graus, do ângulo CAB ? Escreve o resultado arredondado às unidades. Mostra como chegaste à tua resposta. Nota: Nos cálculos intermédios, conserva duas casas decimais.

63. Para assegurar a atividade de prevenção, vigilância e deteção de incêndios florestais, existem torres de vigia. A Figura 1 é uma fotografia de uma dessas torres.

Para determinar a altura da plataforma da torre, imaginaram-se dois triângulos retângulos, semelhantes, representados na Figura 2.

A Figura 3 representa um esquema desses dois triângulos. O esquema não está desenhado à escala. Sabe-se que:

• 5,2DC

• 6,1EC

• 8,4AB

Qual é o comprimento, em metros, de [CB]?

64. Na figura, está representada uma circunferência de centro O, na qual está inscrito um hexágono regular [ABCDEF].

a) Qual é a amplitude, em graus, do ângulo DOC ?

b) Relativamente à figura, sabe-se ainda que: • a circunferência tem raio 4;

• o triângulo [DOC] tem área 34

Determina a área da região sombreada. Escreve o resultado arredondado às unidades. Apresenta os cálculos que efetuaste. Nota: Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

c) Considera a rotação de centro no ponto O e de amplitude 240° (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio). Qual é a imagem do ponto D obtida por meio dessa rotação? TI9ºMaio2010

65. O Miguel e a Joana construíram uma caixa que servirá para colocar embalagens de plástico destinadas à reciclagem. A caixa tem a forma de um paralelepípedo retângulo com 0,24 m3 de volume. A figura representa um esquema da caixa construída.

Sabe-se que:

• m 2,1AB

• m 5,0BC

Determina AE , em metros. Apresenta os cálculos que efetuaste.

66. Um triângulo cujas medidas dos comprimentos dos lados são 21, 28 e 30 é um triângulo retângulo? Mostra como chegaste à tua resposta.

67. De um triângulo [RST ], sabe-se que:

• 5RS

• 4RT Entre que valores pode variar a medida do comprimento do lado [ST ] ? Transcreve a letra da opção correta. (A) Todos os valores entre 0 e 9, incluindo o 0 e o 9.

(B) Todos os valores entre 0 e 9, excluindo o 0 e o 9.

(C) Todos os valores entre 1 e 9, incluindo o 1 e o 9.

(D) Todos os valores entre 1 e 9, excluindo o 1 e o 9.

68. Na figura, estão representados dois hexágonos regulares. Sabe-se que: • o comprimento do lado do

hexágono exterior é cinco vezes maior do que o comprimento do lado do hexágono interior;

• a área do hexágono interior é 23 cm2. Determina a área, em cm2, da parte sombreada a cinzento na figura. Mostra como chegaste à tua resposta. TI8ºAbril2010

69. Na figura, está representado o quadrado [ABCD]. Sabe-se que: • O lado do quadrado é 10 • E, F, G e H são os pontos médios

dos lados [AB], [BC], [CD] e [DA], respetivamente.

a) Qual é a medida de [EF]? Escreve o resultado arredondado às décimas.

b) Qual é a área da região sombreada [AEFCGH]?

Figura 1 Figura 2

Figura 3

Grupo 500 14/34

(A) 100 (B) 75 (C) 50 (D) 45 TI9ºFev2010

70. Na Figura, está representada uma circunferência de centro no ponto O Sabe-se que:

• os pontos A, B, C, D e E pertencem à circunferência; • [AD] é um diâmetro da circunferência;

• o ponto P é o ponto de intersecção dos segmentos de reta [AC] e [BD]

• CAD = 40° A figura não está desenhada à escala.

a) Qual das afirmações seguintes é verdadeira? Assinala a opção correta.

(A) O ponto O pertence à mediatriz do segmento [AP]

(B) O ponto O pertence à mediatriz do segmento [BC]

(C) O ponto B pertence à mediatriz do segmento [BC]

(D) O ponto B pertence à mediatriz do segmento [AP]

b) Qual é a amplitude, em graus, do arco AC ?

c) Relativamente ao triângulo retângulo [AED], admite que:

• 8,6AE cm

• 2,3DE cm

Determina o perímetro da circunferência representada na Figura 2. Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. Apresenta os cálculos que efetuares. Nota – Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

71. A figura representa um modelo geométrico duma choupana. O modelo não está desenhado à escala. O modelo representado na figura é um sólido que pode ser decomposto num cilindro e num cone. Sabe-se ainda que:

• a base superior do cilindro coincide com a base do cone;

• a altura do cilindro é igual à altura do cone;

• a área da base do cilindro é 12 m2

• o volume total do sólido é 34 m3

Determina a altura do cilindro. Apresenta o resultado em metros, na forma de dízima. Apresenta os cálculos que efetuares.

72. Na figura, estão representados um paralelepípedo [ABCDEFGH] e uma pirâmide [HDPC], sendo P um ponto de [AB] a) Qual das afirmações seguintes é verdadeira? Assinala a opção correta. (A) As retas DP e BC são concorrentes. (B) As retas DP e BC são não complanares. (C) As retas AB e HG são concorrentes. (D) As retas AB e HG são não complanares.

b) Admite que:

• 5DP cm

• DPH = 32° Determina a área do triângulo [DPH] Apresenta o resultado em cm2, arredondado às décimas. Apresenta os cálculos que efetuares. Nota – Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais.

c) Admite agora que o volume da pirâmide [HDPC] é igual a 10cm3 .

Qual é o volume, em cm3, do paralelepípedo [ABCDEFGH] ? Ex1ªch2011

73. A figura representa um modelo geométrico de uma casa típica da ilha da Madeira. O modelo não está desenhado à escala. O modelo representado na figura é um sólido que pode ser decomposto num prisma quadrangular regular [ABCDEFGH] e num cone de vértice J Sabe-se ainda que: • o quadrado [EFGH], base superior do prisma, está

inscrito na base do cone; • o diâmetro da base do cone é igual à diagonal das

bases do prisma;

• 4AB m

• 3IJ m • o volume total do sólido é 57m3 Determina a altura do prisma. Apresenta o resultado em metros, arredondado às unidades. Apresenta os cálculos que efetuares. Nota – Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

Grupo 500 15/34

74. Na Figura, está representada uma circunferência. A figura não está desenhada à escala. Sabe-se que: • os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência; • o ponto P é o ponto de

intersecção das cordas [AC] e [BD] • a amplitude do arco BC é 80° • a amplitude do ângulo DPC é 85°

a) Determina a amplitude, em graus, do ângulo DBA. Apresenta os cálculos que efetuares.

b) Os triângulos [ABP] e [DCP] são semelhantes. Admite que:

• APDP 2 • a área do triângulo [ABP] é 6 cm2 Qual é a área, em cm2, do triângulo [DCP] ? Assinala a opção correta. (A) 12 (B) 18 (C) 24 (D) 30

75. Na figura, está representado o prisma triangular [ABCDEF] Sabe-se que: • o quadrilátero [BCDE] é um

quadrado; •o triângulo [ABC] é retângulo

em A.

a) Usa as letras da figura para identificares duas retas que sejam concorrentes não perpendiculares.

b) Qual das opções seguintes apresenta uma planificação reduzida do prisma [ABCDEF] ?

(A) (B)

(C) (D)

c) Admite agora que:

• CBA = 30°

• cmAC 8 Determina a área do triângulo [ABC] Apresenta o resultado em cm2, arredondado às unidades. Apresenta os cálculos que efetuares.

Nota – Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. EX2ªch2011

76. Relativamente à figura, sabe-se que: • o triângulo [OCD] é retângulo em O • o ponto A pertence ao segmento [OC] • o ponto B pertence ao segmento [OD] • os segmentos [AB] e [CD] são paralelos;

• 5OA

• 12OB

• 18OD A figura não está desenhada à escala. a) Determina o comprimento do segmento [CD]. b) Justifica que a seguinte afirmação é verdadeira. «O ponto B não pertence à circunferência de centro no ponto O e que passa no ponto A».

77. Na figura, está representado um modelo geométrico do símbolo da bandeira de uma equipa de futsal. Este modelo não está desenhado à escala. Sabe-se que: • A, B, C, D e E são pontos da circunferência de centro no

ponto O • F e G são pontos da corda [BE]

• cm 16 AGAF

• CAD = 36°

a) Qual é a amplitude do arco CD ? (A) 36° (B) 54° (C) 72° (D) 90°

b) Determina FG Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. Apresenta os cálculos que efetuares. Nota – Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

c) Carateriza uma rotação que transforme o triângulo [DIH] no triângulo [BFJ].

78. Na Figura, está representado o sólido [ABCDIJGH] , que se pode decompor num prisma retode bases quadradas e num prisma triangular reto. Uma das faces laterais do prisma triangular coincide com uma das bases do prisma quadrangular. Este sólido não está desenhado à escala.

Grupo 500 16/34

a) Qual dos seguintes planos é concorrente, não perpendicular, com o plano ABC ?

(A) IJF (B) IJG (C) FGH (D) IDC b) Determina o volume do sólido [ABCDIJGH] , supondo que: AB = 8 cm ; AF = 4 cm ; FJ = 7 cm Apresenta o resultado em cm3 Apresenta os cálculos que efetuares.

79. Na Figura, estão representados três hexágonos regulares com os vértices designados pelas letras de A a M . Cada um dos segmentos [AB], [AF] e [AJ ] é comum a dois dos hexágonos. Considera a rotação de centro no ponto A e amplitude 120° (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio). Qual é a imagem do segmento [BC] nesta rotação? ExÉp.esp.2011

80. Na figura ao lado, estão representados dois triângulos semelhantes. O triângulo [ABC] é uma ampliação do triângulo [DEF]. A figura não está desenhada à escala. Sabe-se ainda que:

• ACB = DFE • DE = 2 • AB = 5 Qual é a razão de semelhança dessa ampliação? Transcreve a letra da opção correta.

(A) 5

2 (B)

2

5 (C)

5

12 (D)

12

5

81. Na Figura, está representada uma circunferência de centro no ponto O Os pontos A, B, C, P e R pertencem à circunferência. Sabe-se que: • a circunferência tem raio 8

• BCBA • [PR] é um diâmetro da circunferência; •o ponto Q é o ponto de intersecção dos segmentos [BA]

e [PR] • o ponto S é o ponto de intersecção dos segmentos [BC]

e [PR]

• ABO = 36° a) Qual é a amplitude, em graus, do arco AB ? b) Determina a área da região representada a sombreado. Apresenta o resultado arredondado às unidades. Apresenta os cálculos que efectuares.

Nota – Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

82. Na figura, está representada uma circunferência de centro O, na qual está inscrito um quadrado [ABCD]. A figura não está desenhada à escala.

a) Quantos eixos de simetria tem o quadrado [ABCD] ? Transcreve a letra da opção correta. (A) 8 (B) 6 (C) 4 (D) 0

b) Admite que 6AB Determina o perímetro da circunferência. Apresenta o resultado arredondado às décimas. Mostra como chegaste à tua resposta. Nota – Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais.

c) Caracteriza uma rotação que transforma A em D. TI9ºMaiO2011

83. A Helena construiu, para a disciplina de Educação Visual, vários modelos de sólidos em esferovite. Todos os modelos são prismas retos de base quadrada. As bases dos modelos são todas iguais e as alturas são todas diferentes.

a) Na Figura, estão representados três dos modelos feitos pela Helena.

A Helena vai forrar estes três modelos com papel autocolante. Sabe-se que: •o volume do modelo maior é igual à soma dos volumes

dos dois modelos menores; •para forrar os dois modelos menores, gastam-se mais

50cm2 de papel do que para forrar o modelo maior. Determina, em centímetros, a medida da aresta da base dos modelos.

b) A despesa com a construção de cada modelo depende da altura desse modelo. O gráfico seguinte representa a relação entre a altura dos modelos, em milímetros, e a despesa, em cêntimos.

Grupo 500 17/34

A despesa com a construção de um dos modelos foi 50 cêntimos. Qual é a altura, em milímetros, desse modelo?

84. Na figura, está representado um retângulo [ABCD]. A figura não está desenhada à escala. Sabe-se que: • os pontos E e G pertencem aos lados [AD] e [BC], respectivamente • o segmento [EG] é paralelo ao segmento [AB] • o segmento [BD] intersecta o segmento [EG] no ponto F

• 5EF • 3FG • 53,ED

a) Admite que DFE = 35°. Qual é a amplitude, em graus, do ângulo FBG? Mostra como chegaste à tua resposta.

b) Os triângulos [EFD] e [GFB] são semelhantes.

Determina BG . Mostra como chegaste à tua resposta. 85. De um triângulo [PQR] sabe-se que:

• 5PQ

• 11QR

Qual dos seguintes valores pode ser o valor de PR ? Transcreve a letra da opção correta. (A) 4 (B) 12 (C) 18 (D) 24

86. Numa das opções seguintes estão indicadas as medidas dos lados de um triângulo retângulo. Em qual delas? (A) 4AB

11BC

12AC

(B) 5AB

12BC

13AC

(C) 6AB

13BC

14AC

(D) 7AB

14BC

15AC

87. Na figura, está representada uma composição geométrica de origem islâmica.

Nesta figura, estão representados, a sombreado, quatro

polígonos geometricamente iguais, com a forma de uma

seta. Esses polígonos estão designados pelos algarismos

1, 2, 3 e 4.

Os pontos A, B, C e D, assinalados na figura, são vértices

dos referidos polígonos.

O polígono 3 pode ser obtido como imagem do polígono

1 por meio da translação associada a um dos vetores

seguintes. A qual deles?

Transcreve a letra da opção correta.

(A) CBAC (B) CAAC

(C) BDAB (D) BCAB TI8ºMaio2011

88. Na figura, estão representados: • um quadrado [ABCD] • um pentágono regular [EFGHI] • um triângulo equilátero [JKL]

• um segmento de reta [LM] tal que 1LM A figura não está desenhada à escala.

Acerca do perímetro do quadrado [ABCD], sabe-se que: • é um número natural menor do que 45

• é igual ao perímetro do pentágono [EFGHI]

• é igual à soma do perímetro do triângulo [JKL] com o

comprimento do segmento [LM ]

Também se sabe que os comprimentos dos lados do quadrado, do pentágono e do triângulo são números naturais. Determina o perímetro do quadrado [ABCD]. Mostra como chegaste à tua resposta.

Grupo 500 18/34

89. Relativamente à figura, sabe-se que: • [ACEF] é um quadrado;

• [BCDG] é um quadrado;

• xAC

• 9BC

a) Escreve uma expressão simplificada do perímetro da região representada a sombreado. b) Admite que AC = 12 O quadrado [BCDG] é uma redução do quadrado [ACEF] Indica a razão de semelhança dessa redução. 90. Na figura, está representado o trapézio retângulo [ABCD]. O ponto E pertence ao lado [AB]

Sabe-se que:

• ABAE3

1

• DCEB • a área do trapézio [ABCD] é 20cm2 Qual é a área da região representada a sombreado? Transcreve a letra da opção correta. (A) 10cm2 (B) 12cm2 (C) 14cm2 D) 16cm2

TI9ºFev2011

91. A Figura representa um modelo geométrico de uma rampa de skate. O modelo não está desenhado à escala.

Este modelo é um sólido que pode ser decomposto no cubo [ABCDEFIJ] e nos prismas triangulares retos [BHIFAG] e [CKJEDL], geometricamente iguais. As bases dos prismas são triângulos retângulos. Sabe-se ainda que:

• m 5HI

• IHB = 32° a) Identifica, usando as letras da Figura, a intersecção dos planos HIB e JCD b) Determina o volume do sólido representado na Figura. Apresenta o resultado em metros cúbicos, arredondado às unidades. Apresenta os cálculos que efetuares. Nota – Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais.

92. Na Figura, está representada uma circunferência de centro no ponto O Sabe-se que: • os pontos A, B e C pertencem à circunferência

• as retas AD e CD são tangentes à circunferência nos pontos A e C, respetivamente

• o ponto E pertence à reta CD

Admite que AOC = 140°

a) Qual é a amplitude, em graus, do ângulo ABC? Assinala a opção correta. (A) 35° (B) 70° (C) 140° (D) 280° b) Determina a amplitude, em graus, do ângulo ADE. Mostra como chegaste à tua resposta.

93. Relativamente à figura, sabe-se que:

• os triângulos ABC e AFC são retângulos em A

• o triângulo AFC é isósceles

• o ponto E pertence ao segmento de reta [BC]

• o ponto D pertence ao segmento de reta [AB]

• os segmentos de reta [AC] e [DE] são paralelos

• cm 12AC

• o perímetro do triângulo [ABC] é 48 cm

• o perímetro do triângulo [DBE] é 16 cm

Nota – A figura não está desenhada à escala. a) Qual dos valores seguintes é a medida, em centímetros, do comprimento do segmento de reta [DE]? Assinala a opção correta. (A) 3 (B) 3,5 (C) 4 (D) 4,5 b) Determina o comprimento da circunferência que passa nos pontos A, F e C Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às unidades. Apresenta os cálculos que efetuares. Nota – Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

94. Seja r um número real positivo.

Sabe-se que as expressões 3020 10 e 102

1 r

r

representam as medidas dos comprimentos de dois lados consecutivos de um certo retângulo. Qual das

Grupo 500 19/34

expressões seguintes é a medida da área desse retângulo? Assinala a opção correta.

(A) 9102 (B) 10102 (C) 9105 (D) 10105

95. Considera o triângulo ABC representado no referencial da figura. Em qual das opções seguintes está representado o transformado do triângulo ABC por meio da rotação de centro no ponto O e amplitude 180°? Assinala a opção correta.

(A) (B)

(C) (D)

Exame2ªch2012

96. Na Figura 1, está representada a maqueta de um terreno plano, de forma quadrada, que tem uma parte em cimento, também de forma quadrada, e uma parte relvada. Na Figura 2, está uma representação geométrica dessa maqueta. Sabe-se que: • AEFGABCD e

são quadrados

• o ponto B pertence ao segmento de reta [AE] • o ponto D pertence ao segmento de reta [AG] • o lado do quadrado [AEFG] mede mais 2 metros do

que o lado do quadrado [ABCD]

Figura 1 Figura 2

a) Seja c o comprimento, em metros, do lado do quadrado ABCD. Explica o que representa a expressão

222)(c c , no contexto da situação descrita.

b) Qual é o transformado do ponto E por meio da rotação de centro no ponto F e amplitude 90° (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio)?

97. A Figura 4 é uma fotografia de um barco rabelo, atualmente usado para transportar turistas na travessia do rio Douro. A Figura 5 representa um modelo geométrico, em tamanho reduzido, da parte coberta desse barco.

Figura 4 Figura 5

O modelo representado na Figura 5 é um sólido que pode ser decomposto no cubo [BCDEKLMN] e no paralelepípedo retângulo [ABEFGHIJ]. O modelo não está desenhado à escala. Sabe-se ainda que: • o ponto I pertence ao segmento de reta BL e

BLBI3

1

• BCAB 2 • o volume total do sólido é 25 cm3

a) Seja a a medida, em centímetros, da aresta do cubo. Determina o valor exato de a.

b) Indica, usando as letras da Figura 5, uma reta que passe no ponto I e seja perpendicular ao plano FGH.


• o triângulo ABC é escaleno e é retângulo em B

• os pontos E e P pertencem ao segmento de reta [AC]

• o ponto D pertence ao segmento de reta [AB]

• o triângulo ADE é retângulo em D

• o ponto Q pertence ao segmento de reta [BC]

• PCQ é um arco de circunferência

A figura não está desenhada à escala.

a) Admite que

20AD

40 e 25 ACAE

Determina BC . Mostra como chegaste à tua resposta.

b) Admite agora que a amplitude do ângulo DAE é 37°. Determina a amplitude, em graus, do arco PCQ. Mostra como chegaste à tua resposta.

Figura 7 Figura 8

Grupo 500 20/34

c) Qual das afirmações seguintes é verdadeira? Assinala a opção correta.

(A) AC

BCACBsen (B)

BC

ACACBsen

(C) AC

BCACB cos (D)

BC

ACACBc os

99. Na Figura 7, está representado um recipiente com tinta. Nesse recipiente mergulhou-se um cubo branco, tal como se ilustra na Figura 8. Desta forma, a parte do cubo que ficou submersa adquiriu a cor da tinta.

Em qual das opções seguintes pode estar uma planificação desse cubo depois de retirado do recipiente? Assinala a opção correta. (A) (B)

(C) (D)

Exame1ªch2012

100. Na figura, estão represen-tados um retângulo ABCD e uma circunferência de centro no ponto O e raio r

Sabe-se que:

• o ponto E pertence à circunferência e é exterior ao retângulo [ABCD]

• [AD] e [EF] são diâmetros da circunferência

• o lado [BC] do retângulo é tangente à circunferência

• DEF = 10°

Admite que o perímetro do retângulo [ABCD] é igual a 30 cm

a) Determina o comprimento da circunferência. Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. Mostra como chegaste à tua resposta.

Nota – Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

b) Determina a amplitude de uma rotação de centro em O que transforme o ponto F no ponto A. Mostra como chegaste à tua resposta.

c) Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) O ponto B pertence à mediatriz do segmento de reta ED

(B) O ponto O pertence à mediatriz do segmento de reta ED

(C) O ponto B pertence à mediatriz do segmento de reta CD

(D) O ponto O pertence à mediatriz do segmento de reta CD


• [ABCDEFGH] é um prisma quadrangular reto

• [ABCDI] é uma pirâmide quadrangular regular

• o ponto I é o centro da face [EFGH] do prisma

• o volume do prisma [ABCDEFGH] é 27cm3

Supõe agora que ao prisma [ABCDEFGH] se vai retirar a pirâmide [ABCDI]. Qual é o volume, em cm3, do sólido que se obtém depois de retirada a pirâmide ao prisma? 102. Relativamente à figura , sabe-se que:

•o triângulo [ABC] é retângulo em C

•o ponto E pertence ao segmento de reta [AB]

• o ponto D pertence ao segmento de reta [AC] • o triângulo [ADE] é retângulo em E Sabe-se ainda que:

• cm 2ED

• ACAE2

1

• a área do triângulo [ABC] é 20 cm2

Determina AC . Apresenta a tua resposta em centímetros. Mostra como chegaste à tua resposta.

TIMaio2012

103. Para forrar uma face de um certo cubo são necessários 6,25cm2 de papel. Qual é o volume, em cm3, desse cubo? Mostra como chegaste à tua resposta.

Grupo 500 21/34

104. Considera os triângulos [ABC] e [PQR] representados na figura. Os dois triângulos são semelhantes. Sabe-se que:

• ACB = 59°

• CBA = 48° • [RQ] é o lado maior do triângulo [PQR]

• a ampliação que transforma o triângulo [PQR] no triângulo [ABC ] tem razão igual a 2

a) Determina, sem efetuar medições, a amplitude do ângulo QPR.

b) Admite que o triângulo [ABC] tem área igual a 18 cm2 Qual é a área, em cm2, do triângulo [PQR]? Transcreve a letra da opção correta.

(A) 3,5 (B) 7 (C) 4,5 (D) 9

105. Na Figura, está representado um quadriculado.

a) Considera a translação em que o transformado do ponto H é o ponto D Qual é, por meio dessa translação, o transformado do triângulo [NIV] ?

b) Admite que a área do paralelogramo [GBCH] é igual a 4 unidades. Qual é a área do paralelogramo [BDXV]? Mostra como chegaste à tua resposta.

c) Os pontos J e F são vértices de um certo quadrado, não representado na Figura. Sabe-se que [JF] é um lado desse quadrado. Qual dos pontos seguintes também é vértice desse quadrado?

Transcreve a letra da opção correta. (A) Q (B) R (C) W (D) X

106. Na figura, está representada uma planificação de um cubo.

No cubo que se pode construir com esta planificação, considera o triângulo [ABC] . Qual é a amplitude do ângulo ACB desse triângulo? Justifica a tua resposta. TI8.ºFev2012 107. Na figura, está representado o prisma triangular reto [ABCDEF]

Sabe-se que:

• o triângulo [ABC] é retângulo em A

• cm 2AC

• cm 6AE

• o volume do prisma é 42 cm3

a) Construiu-se um cubo com volume igual ao volume do prisma representado na Figura. Qual é a medida da aresta desse cubo, em centímetros, arredondada às décimas? Transcreve a letra da opção correta. (A) 3,3 (B) 3,4 (C) 3,5 (D) 3,6

b) Determina a amplitude do ângulo ABC Apresenta o resultado em graus, arredondado às unidades. Mostra como chegaste à tua resposta. Nota – Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais.

c) Identifica, usando as letras da figura, uma reta que seja concorrente com a reta CB e que não contenha qualquer aresta do prisma. 108. Na figura seguinte, estão representados uma circunferência de centro no ponto O e os triângulos [ABC] e [CDE]

Sabe-se que:

• os pontos A, B e C pertencem à circunferência

• [BC] é um diâmetro da circunferência

• o triângulo [CDE] é retângulo em E

• os triângulos [ABC] e [CDE] são semelhantes


R

P

Q

Grupo 500 22/34

a) Admite que a amplitude do ângulo ACB é igual a 36º

Qual é a amplitude do arco AB? Transcreve a letra da opção correta. (A) 9º (B) 18º (C) 36º (D) 72º

b) Admite que 5,0BC

CD

Qual é o valor do quociente ][ o triânguldoárea

][ o triânguldoárea

ABC

CDE?


(A) 0,125 (B) 0,25 (C) 0,5 (D) 1

c) Admite que:

• cm6AB

• cm 10AC Determina a área do círculo de diâmetro [BC] Apresenta o resultado em cm2, arredondado às unidades. Apresenta todos os cálculos que efetuares. Nota – Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. PF-1ªch2013 109. O quadrilátero [ABCD], representado na figura seguinte, é um trapézio retângulo. Sabe-se que:

• 3AD

• 4AB

• 5BC O ponto P desloca-se ao longo do segmento de reta [AB]. Para cada posição do

ponto P, tem-se xPB

a) Qual é o valor, arredondado às décimas, da medida do perímetro do quadrilátero [ABCD]?

(A) 16,3 (B) 16,5 (C) 16,7 (D) 16,9 b) Para um certo valor de x, os triângulos [DAP] e [CBP] são semelhantes, sendo [AD] e [BC] lados correspondentes. Determina esse valor de x Mostra como chegaste à tua resposta. c) Determina a medida da área do triângulo [DPC] no caso em que x = 1 Mostra como chegaste à tua resposta. 110. Na Figura, está representada uma circunferência de centro no ponto O. Sabe-se que: • os pontos A, B e C pertencem à circunferência

• BCBA

• o segmento de reta [BD] é a altura do triângulo [ABC] relativa à base [AC]

• º72ˆ COA

• cm 2OA a) Qual é a amplitude, em graus, do ângulo ABC ? b) Determina a área do triângulo [ABC] Apresenta o resultado em cm2, arredondado às décimas. Mostra como chegaste à tua resposta. Nota – Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. 111. Na Figura 4, está representado um recipiente cilíndrico que se encheu com um líquido colorido. Nesse líquido, mergulhou-se um cubo cuja aresta é igual à altura do cilindro.

Figura 4 Figura 5 Tal como a Figura 5 sugere, o cubo ficou assente na base do recipiente. a) Qual é a posição do plano que contém a face superior do cubo em relação ao plano que contém a base do recipiente? b) Admite que: • a aresta do cubo mede 6 cm • o raio da base do cilindro mede 5 cm Quando se mergulhou o cubo no recipiente, uma parte do líquido transbordou. Determina o volume do líquido que ficou no recipiente depois de nele se ter mergulhado o cubo (Figura 5). Apresenta o resultado em cm3, arredondado às unidades. Apresenta todos os cálculos que efetuares. Nota – Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. PF-2ªch2013 112. A Figura 1 é uma fotografia de parte de uma tapeçaria feita com base num desenho de Almada Negreiros. A Figura 2 é uma representação dos dois pentágonos regulares que se podem observar nesta fotografia. Na Figura 3, está representada uma circunferência, na qual

Grupo 500 23/34

estão inscritos os dois pentágonos. Os vértices dos dois pentágonos são vértices de um decágono regular.

Figura 2 Figura 3

Determina a amplitude, em graus, do ângulo assinalado na Figura 3. Mostra como chegaste à tua resposta. 113. Na Figura 4, está representado um dos envelopes que a Beatriz desenhou para os convites da sua festa de aniversário. Na Figura 5, está um modelo geométrico do mesmo envelope. Sabe-se que: • [ABCD] é um trapézio isósceles • o ponto F é o ponto de intersecção das diagonais do trapézio • os pontos E e G são os pontos médios das bases do trapézio G • o ponto H pertence ao segmento de reta [AF] e o ponto I pertence ao segmento de reta [DF] • HFI é um arco de circunferência

• cm 75,3EF

• cm 5,2FG

• cm 8BC

a) Determina a área, em cm2, do trapézio [ABCD] Mostra como chegaste à tua resposta.

b) Admite que o arco HFI tem 128º de amplitude. Determina a amplitude, em graus, do ângulo ADF Mostra como chegaste à tua resposta. Sugestão: Começa por determinar a amplitude do ângulo AFD 114. A Figura 6 é uma fotografia de uma calculadora. A Figura 7 representa um modelo geométrico simplificado, em tamanho reduzido, dessa calculadora. O modelo não está desenhado à escala.

Figura 6 Figura 7

O modelo representado na Figura 7 é um sólido que pode ser decomposto no paralelepípedo retângulo [ABCDEFGH] e no prisma triangular reto [JGKLIH]

Sabe-se que: • o ponto J pertence ao segmento de reta [FG] • o ponto G pertence ao segmento de reta [KB]

• cm 3 cm 2 GKJG

• cm 10 cm 2 FEFA • o volume do sólido representado na Figura 7 é igual a 390 cm3

a) Determina o comprimento, em centímetros, do segmento de reta [FJ]

Mostra como chegaste à tua resposta.

b) Qual das seguintes afirmações é verdadeira?


(A) A reta KJ é paralela ao plano ABC

(B) A reta KJ é perpendicular ao plano ABC

(C) A reta EF é paralela ao plano GJK

(D) A reta EF é perpendicular ao plano GJK TI-abr2013

115. Na Figura, está representada uma circunferência com centro no ponto O Os pontos A, B e C pertencem à circunferência. O ponto P pertence à corda [AC] Sabe-se que: • os segmentos de reta [AC] e [PB] são perpendiculares

• º65ˆ CAB

• cm 6,1AP


a) Qual é o lugar geométrico dos pontos do plano que distam 1,6 cm do ponto A?

b) Determina BP Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

c) Qual é a amplitude, em graus, do ângulo BOC ?

(A) 65º (B) 100º (C) 130º (D) 195º

Figura 4

Figura 5

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116. Na Figura, está representado um modelo geométrico de uma caixa. Este modelo é um sólido que pode ser decomposto em dois prismas retos: o paralelepípedo retângulo [ACDEFGIJ] e o prisma cujas bases são os triângulos [ABC] e [GHI] Sabe-se que:

• cm 15 DJDE

• cm 6CD • a altura do triângulo [ABC] relativa à base [AC] tem 6 cm de comprimento. O modelo não está desenhado à escala.

a) Determina o volume total do sólido. Apresenta o resultado em cm3 Apresenta todos os cálculos que efetuares.

b) Identifica, usando letras da Figura 2, uma reta paralela ao plano ACI que não esteja contida neste plano. 117. Relativamente à Figura, sabe-se que:

• o triângulo [ABC] é isósceles, com ACAB • os pontos D e E pertencem aos segmentos de reta [AB] e [AC], respetivamente • o triângulo [ADE] é semelhante ao triângulo [ABC]

• cm 4DE

• cm 6BC • l é a altura do triângulo [ABC] relativa à base [BC] A figura não está desenhada à escala.

a) Qual é o valor do quociente



ABC

ADE?

(A) 1/2 (B) 2/3 (C) 3/4 (D) 4/9

b) Admite agora que também se sabe que cm 7AB

b1) Qual é o valor de l, em centímetros?

(A) 30 (B) 35 (C) 40 (D) 45

b2) Seja F o transformado do ponto A por meio da

translação associada ao vetor BC (o ponto F não está representado na figura).

Considera a circunferência com centro no ponto F e que passa no ponto C. Qual é o comprimento, em centímetros, do raio dessa circunferência? . PF-1ªCh2014 118. Na Figura, estão representadas duas

circunferências com centro no ponto O, uma de raio OA

e outra de raio OB Sabe-se que: • o ponto A pertence ao segmento de reta [OB] • o segmento de reta [CD] é um diâmetro da circunferência de

raio OA • o segmento de reta [CD] é perpendicular ao segmento de reta [OB]

• cm 2OA

• cm 3OB A figura não está desenhada à escala.

a) Qual é a medida do comprimento, em centímetros, do segmento de reta [BC]?

(A) 13 (B) 12 (C) 11 (D) 10

b) Indica a razão de uma semelhança que transforme o segmento de reta [AO] no segmento de reta [OB]

c) Determina a área da região representada a sombreado. Apresenta o resultado em cm2, arredondado às décimas. Mostra como chegaste à tua resposta.

119. Na Figura, estão representadas as retas AD e CD e a circunferência de diâmetro [AC] O ponto B pertence à circunferência e à reta AD Sabe-se que: • a reta CD é tangente à circunferência no ponto C

• º50ˆ ADC

• cm 8CD A figura não está desenhada à escala.

a) Qual é a amplitude, em graus, do arco CB?

(A) 60º (B) 70º (C) 80º (D) 90º

b) Determina CA Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

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120. O Aqueduto das Águas Livres é um sistema de abastecimento de água à cidade de Lisboa, construído no século XVIII. Ao longo do seu percurso, existem várias claraboias. A Figura 5 é uma fotografia de uma dessas claraboias. Na Figura 6, está representado um modelo geométrico dessa claraboia.

Figura 5 Figura 6 O modelo representado na Figura 6 é um sólido que pode ser decomposto no prisma quadrangular regular [ABCDEFGH], de base [ABCD], e na pirâmide quadrangular regular [EFGHI] . O modelo não está desenhado à escala.

a) Qual é o transformado do ponto F por meio da

translação associada ao vetor AB ?

b) Qual das seguintes retas é concorrente com o plano ABC ?

(A) Reta FG (B) Reta EG (C) Reta AC (D) Reta IG

c) Seja V o volume do prisma [ABCDEFGH] e seja V’ o volume da pirâmide [EFGHI] Admite que a altura da pirâmide é a quarta parte da altura do prisma. Qual é o

valor do quociente V

V'? PF-2ªCh2014

121. Na Figura, estão representados os triângulos retângulos [ABC] e [EDC] Sabe-se que: • o ponto E pertence ao segmento de reta [BC] • o ponto D pertence ao segmento de reta [AC]

• cm 11AD

• cm 4DC

• cm 5EC

a) Os triângulos [ABC] e [EDC] são semelhantes.

Justifica esta afirmação.

b) Determina BC Apresenta o resultado em centímetros. Mostra como chegaste à tua resposta. 122. A figura 1, é uma fotografia de um moinho de vento de tipo mediterrânico, grupo ao qual pertence a

maioria dos moinhos de vento portugueses. A Figura 2 representa um modelo geométrico desse moinho. Este modelo é um sólido que pode ser decomposto num cilindro e num cone. O modelo não está desenhado à escala.

Figura 1 Figura 2 a) Relativamente ao sólido representado na Figura 2, sabe-se que: • a base superior do cilindro coincide com a base do cone • a altura do cilindro é igual ao diâmetro da base e é igual a 6 dm • o volume total do sólido é 195 dm3 Determina a altura do cone. Apresenta o resultado em decímetros, arredondado às décimas. Apresenta todos os cálculos que efetuares. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

b) Na Figura, está representado um esquema das velas de um moinho de vento. Sabe-se que: • os triângulos [ABO], [CDO], [EF O] e [GHO] são geometricamente iguais

• m 5EF

• m 7 OFOE O esquema não está desenhado à escala.

b1) Determina a área do triangulo [EFO] Apresenta o resultado em m2 , arredondado às unidades. Apresenta todos os cálculos que efetuares. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

b2) Admite que os segmentos de reta [DH] e [BF] são perpendiculares e se intersectam no ponto O Qual é o transformado do ponto H por meio da rotação de centro no ponto O e amplitude 90º ? (A) O ponto A (B) O ponto B (C) O ponto C (D) O ponto D

123. Na Figura, está representada uma circunferência de centro no ponto O. Estão também representados o

Grupo 500 26/34

triângulo [AEF] e o quadrado [ABCD], cujos vértices pertencem à circunferência.

a) Identifica, usando as letras da figura, dois pontos pertencentes à mediatriz do segmento de reta [BD]

b) Sabe-se que: • a amplitude do ângulo EAF é 60º • a amplitude do arco FD é 20º Determina a amplitude, em graus, do arco BE Mostra como chegaste à tua resposta.

TI-março2014 124. Na Figura, está representada uma semicircunferência de diâmetro [AC]

Sabe-se que:

• o ponto B pertence à semicircunferência e o ponto D pertence a [AC]

• os segmentos de reta [BD] e [AC] são perpendiculares

• o raio da semicircunferência é igual a 5 cm

• cm 4BD

a) Os triângulos [ABC] e [ABD] são semelhantes. Considera a semelhança que transforma o triângulo [ABD] no triângulo [ABC]. Qual é, nessa semelhança, o lado do triângulo [ABC] que corresponde ao lado [AB] do triângulo [ABD] ?

b) Determina a área da região representada a sombreado. Apresenta o resultado em cm2, arredondado às décimas. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. Apresenta todos os cálculos que efetuares. 125. O Palácio Nacional da Pena está situado em Sintra. Em julho de 2007, foi eleito uma das Sete Maravilhas de Portugal.

A Figura 2 é uma fotografia de uma das torres desse palácio. Na Figura 3, está representado um modelo geométrico dessa torre. O modelo não está desenhado à escala.

Figura 2 Figura 3 O modelo representado na Figura 3 é um sólido que pode ser decomposto num cilindro e numa semiesfera.

Sabe-se que:

• os pontos A, B, C e D são os vértices de um retângulo

• o raio da base do cilindro é igual ao raio da semiesfera e é igual a 3 cm

• o volume total do sólido é igual a 285 cm3

a) Determina a altura do cilindro. Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

b) Qual é o transformado do ponto A por meio da

translação associada ao vetor BC ?

(A) O ponto A (B) O ponto B

(C) O ponto C (D) O ponto D

126. Seja [ABC] um triângulo retângulo cuja hipotenusa é [AB] Seja a um número real maior do que 2

Sabe-se que:

• 1 aAB • 7AC • 2 aBC Determina a Mostra como chegaste à tua resposta. 127. Considera, no espaço, um ponto A Qual é o lugar geométrico dos pontos do espaço cuja distância ao ponto A é igual a 5 cm ? (A) Esfera de centro no ponto A e raio igual a 5 cm (B) Superfície esférica de centro no ponto A e raio igual a 5 cm (C) Círculo de centro no ponto A e raio igual a 5 cm (D) Circunferência de centro no ponto A e raio igual a 5 cm

Grupo 500 27/34

128. Na Figura, estão representados uma circunferência de centro no ponto O e um triângulo isósceles [ABC] Sabe-se que: • os pontos A, B e C pertencem à circunferência

• BCAB • [BD] é a altura do triângulo [ABC] relativa à base [AC] • a amplitude do arco AC é igual a 100º A figura não está desenhada à escala.

a) Qual é a amplitude, em graus, do ângulo CAB? Mostra como chegaste à tua resposta.

b) Seja a amplitude de um dos ângulos internos do triângulo [ABD]

Sabe-se que BD

ADtg

Identifica esse ângulo, usando letras da Figura. PF-1ªF2015

129. Na Figura, está representada uma semicircun-ferência de centro no ponto O e diâmetro [AD]

Sabe-se que: • o ponto C pertence à semicircunferência; • o ponto B pertence à corda [AC] • o triângulo [ABO] é retângulo em B

• cm 1OB

• º25ˆ OAB A figura não está desenhada à escala.

a) Determina a área do semicírculo de diâmetro [AD] Apresenta o resultado em centímetros quadrados, arredondado às décimas. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

b) Qual é a amplitude, em graus, do arco AC ? Mostra como chegaste à tua resposta. 130. Na Figura, está representada a reta real. Nesta reta, estão assinalados os pontos A, B, C, O, D, E e F, sendo o ponto O a origem. A distância entre cada dois pontos consecutivos é uma unidade.

A qual dos segmentos seguintes pertence o ponto que

representa o número 177 ?

(A) [AB] (B) [BC] (C) [DE] (D) [EF] 131. A Figura 4 é uma fotografia da Sé Catedral de Lisboa, um dos monumentos mais antigos de Portugal. A Figura 5 representa um modelo geométrico de parte dessa catedral. O modelo não está desenhado à escala. O modelo representado na Figura 5 é um sólido que pode ser decomposto nos prismas quadrangulares regulares [ABCDEFGH] , [LKNMHGJI] e [PQROIJTS]

Figura 4 Figura 5 Sabe-se que: • as bases dos três prismas são quadrados, todos geometricamente iguais; • o ponto M pertence ao segmento de reta [CH] • o ponto N pertence ao segmento de reta [OI]

• cm 9 RSDE

• DEMH3

2

• o volume total do sólido é igual a 248 cm3

a) Seja s a área da base de cada prisma. Determina s Apresenta o resultado em centímetros quadrados, arredondado às décimas. Mostra como chegaste à tua resposta.

b) Identifica, usando letras da Figura 5, uma reta perpendicular ao plano ADE 132. Na Figura , estão representados os quadrados [AEFG] e [ABCD] O ponto E pertence ao segmento de reta [AB] e o ponto G pertence ao segmento de reta [AD] Seja a um número real maior do que 1 Tomando para unidade de comprimento o centímetro, tem-se:

• 1. aAE

• 1 aBC Mostra que a área da região sombreada é dada, em cm2, por 4a

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133. Na Figura, está representado o triângulo [ABC], retângulo em A A figura não está desenhada à escala. Sabe-se que: • o ponto F pertence ao segmento de reta [AB] • o ponto E pertence ao segmento de reta [BC] • o quadrilátero [AFED] é um retângulo;

• cm 6AB

• cm 9AC

• cm 4FB

a) Qual é o comprimento, em centímetros, do segmento de reta [BC]?

(A) cm 114 (B) cm 117 (C) cm 120 (D) cm 123

b) Os triângulos [ABC] e [FBE] são semelhantes.

Justifica esta afirmação.

c) Determina o perímetro do retângulo [AFED] Apresenta o resultado em centímetros. Mostra como chegaste à tua resposta. PF-2ªF2015 134. Na Figura, estão representados uma circunferência de centro no ponto C e os pontos T, P, A, M e B A figura não está desenhada à escala.

Sabe-se que: • os pontos T, A e B pertencem à circunferência; • M é o ponto médio da corda [AB] • a reta tangente à circunferência no ponto T interseta a

reta AB no ponto P

• 8PB

• 2PA

• 4PT

• 2,9CT

a) Determina CP Apresenta o resultado arredondado às unidades.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

b) Determina a amplitude do ângulo BCM Na tua resposta, deves:

−obter BM

−indicar o valor de CB −apresentar a amplitude do ângulo BCM em graus, arredondada às unidades. Apresenta todos os cálculos que efetuares. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais.

c) Indica, recorrendo a letras da figura, um ponto pertencente à mediatriz do segmento de reta [AT]. 135. Na Figura, está representada uma circunferência de centro no ponto O A figura não está desenhada à escala.

Sabe-se que: • a corda [BD] e o diâmetro [AC] são perpendiculares e que se intersectam no ponto E

• 1AE • o triângulo [ABO] é equilátero.

a) Qual dos seguintes pontos é o centro de uma rotação de amplitude igual a 60º que transforma o ponto B no ponto D ? (A) Ponto A (B) Ponto E (C) Ponto C (D) Ponto O

b) Qual é o perímetro do quadrilátero [ABOD ]?

c) Determina o valor do quociente

][ o triânguldo área

][ o triânguldo área

BAE

BOC

Mostra como chegaste à tua resposta.

136. O centro geodésico de Portugal continental situa-se na Serra da Melriça, próximo de Vila de Rei. Nesse local, foi construído o marco geodésico que se pode observar na Figura 2.

Grupo 500 29/34

Na Figura 3, está representado um modelo geométrico desse marco geodésico. O modelo não está desenhado à escala.

Figura 2 Figura 3 O modelo do marco geodésico é um poliedro composto pelo tronco de pirâmide quadrangular regular [ABCDEFGH] e pela pirâmide quadrangular regular [EFGHI] O ponto J é o centro do quadrado [ABCD]

a) Qual das retas seguintes é perpendicular ao plano ABC ? (A) FG (B) IJ (C) ED (D) BD b) Relativamente à Figura 3, sabe-se que:

• cm 15IJ

• cm 8AB

• cm 3FG • o volume da pirâmide [EFGH] é 6 cm3 Sabe-se ainda que o volume, V, de um tronco de pirâmide quadrangular regular é dado pela

expressão 22

3llLL

hV em que:

h é a altura do tronco de pirâmide;

L é a aresta da base maior do tronco de pirâmide;

l é a aresta da base menor do tronco de pirâmide.

Determina o volume do tronco de pirâmide [ABCDEFGH]

Sugestão: Começa por mostrar que a altura da pirâmide [EFGHI] é igual a 2 cm Apresenta o resultado em cm3, arredondado às unidades. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

PF-EE-2015

Grupo 500 30/34

TI9.ºMaio2009

LUGARES GEOMÉTRICOS 137. Pretende-se construir um parque eólico. A figura é o mapa da zona onde estão a ser colocadas as colunas aerogeradoras. Os pontos A, B e C representam a localização de três colunas. A localização da quarta coluna deve obedecer às seguintes condições: • a coluna deve ficar dentro da zona

delimitada pelo traço grosso; • a coluna deve estar à mesma distância das

colunas B e C; • a coluna deve ficar a 12 km da coluna A. Desenha a lápis, na Figura 6, uma construção geométrica rigorosa que represente, no mapa, o ponto correspondente à localização da quarta coluna. Assinala esse ponto com a letra D. Nota – Se traçares linhas auxiliares, não as apagues. 138. O esquema da figura 5 representa um campo de futebol. Supõe que, num determinado momento de um jogo, o João, o Miguel e o Francisco, jogadores de Os Vencedores, se encontram, respetivamente, nas posições J, M e F. O árbitro encontra-se a igual distância dos três jogadores. Assinala a lápis, na figura 5, com a letra «A», o ponto onde está o árbitro. Utiliza material de desenho e de medição. Nota: Se traçares linhas auxiliares, não as apagues.

139. A Marta vai dançar na festa de encerramento das aulas de ballet. O esquema da figura representa a planta do palco. A Marta marcou no chão do palco a zona onde vai executar a sua coreografia, que obedece às seguintes condições: • A distância ao vértice A é superior ou igual a 8 metros. • A distância ao vértice C é superior ou igual a 6 metros. Sombreia a lápis, na figura, a zona onde a Marta vai executar a sua coreografia. Utiliza material de desenho e de medição. Nota: Se traçares linhas auxiliares, não as apagues.

TI8.º2010

TI8.º2009

Grupo 500 31/34

140. Na figura que se segue, podes observar um

mapa do concelho de Torre de Moncorvo.

A torre de vigia de incêndios da Serra do

Reboredo está localizada

a 9 km de distância de Peredo Castelhanos;

a 12 km de distância de Adeganha;

mais perto de Felgueiras do que de Cabeça

Boa.

Utilizando um compasso, efetua, uma construção

que permita encontrar, a lápis, no mapa, o ponto

em que se localiza a torre de vigia. Assinala esse

ponto com a letra T .

Não apagues a construção.

141. A Figura 9 representa um mapa da zona onde vai ser

instalado um conjunto de painéis solares.

O local da instalação deve obedecer às seguintes condições:

• ficar dentro da zona representada no mapa;

• estar a mais de 9 km e a menos de 12 km da localidade C.

Desenha a lápis, na Figura 9, uma construção geométrica

rigorosa que te permita obter a parte do mapa

correspondente à zona onde, de acordo com as condições

anteriores, é possível instalar o conjunto de painéis.

Sombreia essa zona.

142. A Figura 8 representa um mapa de uma zona onde vai ser instalada uma estação de recolha de lixo.

Na figura, os pontos A e B representam duas localidades que distam 5 km uma da outra. A referida estação vai ser instalada num local que deve obedecer às seguintes condições: • ficar à mesma distância das duas localidades; • ficar a mais de 10 km de cada uma das localidades. Desenha a lápis, no mapa da Figura 8, uma construção geométrica rigorosa que te permita assinalar o conjunto dos pontos correspondentes aos locais onde pode ser instalada a estação de recolha de lixo. Assinala no mapa, a caneta ou a esferográfica, esse conjunto de pontos. Nota – Não apagues as linhas auxiliares.

TI8.º2008

Ex2.ª2011

TI9.º2010

Grupo 500 32/34

143. Na figura, está um esquema de uma zona de um arraial, no qual se assinalam: • um ponto C, que representa o centro de um coreto; • um ponto T, que representa uma torneira para fornecimento de água; • um ponto P, que representa um poste de iluminação. A Catarina e o João vão trabalhar nesse arraial, em duas bancas diferentes. O centro de cada uma dessas bancas verifica as duas condições seguintes: • situa-se a 6 metros do centro do coreto; • está a igual distância da torneira e do poste. Desenha a lápis, na figura, uma construção geométrica rigorosa que te permita assinalar, no esquema, os pontos correspondentes às localizações dos centros das bancas onde vão trabalhar a Catarina e o João. Assinala esses pontos com as letras A e B. Nota – Não apagues as linhas auxiliares.

144. A Figura 7 representa um mapa de um jardim zoológico onde estão assinalados os locais de residência de alguns animais.

O jardim zoológico vai receber um casal de coalas. O local de residência dos coalas, no jardim zoológico, verifica as duas condições seguintes: • fica à mesma distância da Árvore das Aves

Exóticas e do Lago das Focas; • a sua distância à Aldeia dos Macacos é igual à

distância entre o Reptilário e a Encosta dos Felinos.

Desenha a lápis, no mapa da Figura 7, uma construção geométrica que te permita assinalar o ponto correspondente ao local de residência dos coalas. Assinala esse ponto com a letra C. Nota – Não apagues as linhas auxiliares.

145. A família Coelho pretende instalar, no jardim da sua casa, um sistema de rega, utilizando aspersores. O alcance dos aspersores é a distância que a água atinge, medida a partir do aspersor.

Ex1.ª2010

Ex2.ª2010

Grupo 500 33/34

A família Coelho comprou dois aspersores de 5 m de alcance: um com «bico 90°» e um com «bico 270°»; colocou-os no jardim, nos pontos assinalados com X, de forma a regar a maior área possível. Sombreia a lápis, na planta, a área do jardim que vai ser regada, simultaneamente, pelos dois aspersores. Utiliza material de desenho e de medição. 146. O mapa da figura representa o distrito do Porto, que o Rui vai visitar com os pais. Os pais do Rui vão visitar o Porto e Paredes. Pretendem ficar alojados num local que se situe a menos de vinte quilómetros de Paredes e que seja mais próximo do Porto do que de Paredes. Sombreia a lápis a porção do mapa relativa à zona onde os pais do Rui deverão ficar alojados. Utiliza material de desenho e de medição. Nota: Se traçares linhas auxiliares, não as apagues. Ex1ªch2009

147. Recorrendo a material de desenho e de medição, constrói, a lápis, a circunferência cujo centro é um ponto da reta r e que passa pelos pontos A e B . Não apagues as linhas auxiliares que traçares para construíres a circunferência. Ex2ªch2007

Ex2.ª2009

Grupo 500 34/34

Local onde caiu o peso lançado pelo atleta A

148. O Miguel vê televisão, na sala de estar, sentado a 3 m do televisor. Na figura abaixo, está desenhada a planta dessa sala, à escala de 1:50. O ponto A representa o local onde o Miguel se senta para ver televisão. Recorrendo a material de desenho e de medição, assinala a lápis, na planta, todos os pontos da sala em que o televisor pode estar. Apresenta todos os cálculos que efetuares. (Se traçares linhas auxiliares, apaga-as.)

Ex1.ª2007

149. A figura representa uma planta de um campo de lançamento de peso. No decorrer de um treino, o peso lançado pelo atleta A caiu no local assinalado na figura. O atleta B conseguiu uma marca melhor. Usa os instrumentos de desenho e sombreia a zona do campo onde pode ter caído o peso lançado pelo atleta B.

Aferição 2002

Escolas João de Araújo Correia MATEMÁTICA- 9.º ANOda de modo a fazer com o solo um ângulo de 3...

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