Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de...

Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 1

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis

10º Ano de Matemática – A

Funções e Gráficos – Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo.

Trabalho de casa nº 12

GRUPO I

1. Considere num referencial ortogonal monométrico Oxyz um ponto P com coordenadas

( )1 a,a 2, 5− − , sendo a um número real. Qual é o conjunto de valores de a para os quais P

pertence ao terceiro octante, incluindo os planos coordenados?

(A) [ ]1,2 (B) ] ],1−∞ (C) ] ], 2−∞ − (D) [ ]2,1−

2. Relativamente a um referencial o.n. Oxyz, uma equação de uma superfície esférica de centro

num ponto de coordenadas ( )2,3,5− e tangente ao plano yOz é:

(A) ( ) ( ) ( )2 2 2x 2 y 3 z 5 4+ + − + − = (B) ( ) ( ) ( )2 2 2

x 2 y 3 z 5 9+ + − + − =

(C) ( ) ( ) ( )2 2 2x 2 y 3 z 5 25+ + − + − = (D) ( ) ( ) ( )2 2 2

x 2 y 3 z 5 4− + + + + =

3. Considere que um ponto P se desloca num segmento de recta [AB], de comprimento 10,

nunca coincidindo com o ponto A nem com o ponto B. Cada

posição do ponto P determina em [AB] dois segmentos de recta,

[AP] e [BP], sendo cada um deles lado de um quadrado, conforme

se apresenta na figura.

Para cada posição do ponto P, seja x a distância de P a A e seja

( ) 2a x 2x 20x 100= − + a soma dos dois quadrados, em função de

x.

O domínio da função a é:


(A) ] [0,10 (B) [ ]0,10 (C) ] [0,5 (D) [ ]0,5

4. A Rita e a Inês são amigas. A Rita mora em Vilalta e a Inês mora em Altavila. Certo dia,

saíram de casa à mesma hora. A Rita deslocou-se de Vilalta para Altavila, e a Inês de Altavila

para Vilalta, utilizando a única estrada que liga as duas localidades. Ambas fizeram o percurso

a pé.

Seja f a função que dá, em quilómetros, a distância percorrida pela Rita, t minutos depois de

ter saído de Vilalta.

Seja g a função que dá, em quilómetros, a distância percorrida pela Inês, t minutos depois de

ter saído de Altavila.

Em qual das opções seguintes podem estar representadas graficamente as funções f e g?

5. Na figura está o gráfico de uma função, de domínio ℝ , definida por ( )f x x a b= − + , em que a

e b, designam dois números reais.

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) a 0 e b 0> > (B) a 0 e b 0> <

(C) a 0 e b 0< > (D) a 0 e b 0< <


GRUPOII

1. Na figura está representado, num referencial o.n. Oxy, o triângulo [ABC]

Sabe-se que:

• o ponto O, origem do referencial, é o ponto médio do

• lado [AC]

• o vector AB��

tem coordenadas ( )10,2

• o vector BC��

tem coordenadas ( )6, 8− −

1.1. Determine as coordenadas do ponto A e as

coordenadas do ponto C.

1.2. Mostre que o ponto B tem coordenadas ( )8,5 .

1.3. Averigúe qual é a posição da origem do referencial em relação à circunferência de

diâmetro [ ]AB .

2. Na figura , está representado um triângulo [ ]ABC ,

isósceles ( )AB BC= .

Sabe-se que:

• [ ]BD é a altura do triângulo [ ]ABC relativa ao lado

[ ]AC

• BD 6= e AC 8=

Considere que um ponto Q se desloca sobre o segmento [ ]BD , nunca coincidindo com D, e

que um ponto P se desloca sobre o segmento [ ]AC , de tal forma que se tem sempre

PA QB=

Para cada posição do ponto Q, seja x a distância de Q a B ( )x QB=

Seja a a função que, a cada valor de x, faz corresponder a área do triângulo [ ]PQC

2.1. Determine ( )a 5 .

Sugestão : Comece por desenhar o triângulo [ ]PQC que se obtém para x 5= .

2.2. Qual é o domínio e qual é o contradomínio da função a?


2.3. Mostre que ( )2x 14x 48

a x2

− += e verifique o resultado que obteve para o contradomínio

da função a.

3. Na figura, estão parcialmente representados, num referencial o.n. Oxy, os gráficos das

funções f e g, de domínio ℝ , definidas, respectivamente, por ( ) 2f x x 6 8

3= − − + e

( ) 1g x x 6

3= −

Os pontos A e B pertencem ao gráfico da função f :

• A é o ponto de intersecção do gráfico com o

eixo das ordenadas;

• B é o ponto do gráfico que tem maior

ordenada.

Seja P um ponto que se desloca sobre [ ]AB ,

nunca coincidindo com o ponto B.

Para cada posição do ponto P, considere:

• o ponto Q, sobre o gráfico da função f, de

modo que a recta PQ seja paralela ao eixo das

abcissas;

• os pontos R e S , sobre o gráfico da função g, de modo que [ ]PQRS seja um rectângulo.

Seja x a abcissa do ponto P e seja h a função que, a cada valor de x, faz corresponder a área do

rectângulo [ ]PQRS .

3.1. Mostre que ( ) 2h x 24 8x 2x= + − e indique o domínio de h.

3.2. Determine as dimensões do rectângulo que tem maior área.

FIM




Funções e Gráficos – Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo.

Trabalho de casa nº 12 – Proposta de resolução

GRUPO I

1. (A) Considere num referencial ortogonal monométrico Oxyz um ponto P com coordenadas

( )1 a,a 2, 5− − , sendo a um número real. Qual é o conjunto de valores de a para os quais P

pertence ao terceiro octante, incluindo os planos coordenados?

P pertence ao terceiro octante, incluindo os planos coordenados se e só se

[ ]1 a 0

a 1a 2 0 1,2

a 25 0

− ≤≥ − ≤ ⇔ ⇔ ≤ ≥

2. (A) Relativamente a um referencial o.n. Oxyz, uma equação de uma superfície esférica de

centro num ponto de coordenadas ( )2,3,5− e tangente ao plano yOz, portanto com raio 2 é

( ) ( ) ( )2 2 2x 2 y 3 z 5 4+ + − + − =

3. (A) Considere que um ponto P se desloca num segmento de recta

[AB], de comprimento 10, nunca coincidindo com o ponto A nem

com o ponto B. Cada posição do ponto P determina em [AB] dois

segmentos de recta, [AP] e [BP], sendo cada um deles lado de

um quadrado, conforme se apresenta na figura.

Para cada posição do ponto P, seja x a distância de P a A e seja

( ) 2a x 2x 20x 100= − + a soma dos dois quadrados, em função de x.

O domínio da função a é: ] [0,10 porque P se desloca num segmento de recta [AB], de

comprimento 10, nunca coincidindo com o ponto A nem com o ponto B.

4. (C) A Rita e a Inês são amigas. A Rita mora em Vilalta e a Inês mora em Altavila. Certo dia,

saíram de casa à mesma hora. A Rita deslocou-se de Vilalta para Altavila, e a Inês de Altavila

para Vilalta, utilizando a única estrada que liga as duas localidades. Ambas fizeram o percurso

a pé.

Seja f a função que dá, em quilómetros, a distância percorrida pela Rita, t minutos depois de

ter saído de Vilalta.


Seja g a função que dá, em quilómetros, a distância percorrida pela Inês, t minutos depois de

ter saído de Altavila.

Nas opções seguintes, a única onde podem estar representadas graficamente as funções f e g

é (C) porque

• Terá de ser ( ) ( )f 0 g 0 0= = por tanto f como g representarem a distância, em

quilómetros, percorrida e a Rita e a Beatriz saírem à mesma hora (assim excluímos (A)

onde o que se representa são as distâncias a Altavila e (D) por traduzir que as duas

amigas não saíram à mesma hora)

• Como o contradomínio tem de ser o mesmo por a distância percorrida ser a mesma

nos dois casos, que é a distância de Altavila a Vilalta, temos de excluir B onde se

traduz que a Inês andou mais em menos tempo que a Rita

• Assim o gráfico correcto é (C).

5. (B) Na figura está o gráfico de uma função, de domínio ℝ , definida por ( )f x x a b= − + , em

que a e b, designam dois números reais. Daqui se conclui que a

origem das duas semi-rectas é o ponto de coordenadas ( )a,b ponto

do 4º quadrante pelo que a 0 e b 0> <


GRUPOII

1. Na figura está representado, num referencial o.n. Oxy, o triângulo [ABC]

Sabe-se que:

• o ponto O, origem do referencial, é o ponto médio do

• lado [AC]

• o vector AB��

tem coordenadas ( )10,2

• o vector BC��

tem coordenadas ( )6, 8− −

1.1. Determinemos as coordenadas do ponto A e as

coordenadas do ponto C, verificando que

1A O AC

2= −

�� e

1C O AC

2= +

��.

Ora ( ) ( ) ( )AC AB BC 10,2 6, 8 4, 6= + = + − − = −��

Pelo que ( ) ( ) ( )1A 0,0 4, 6 2,3

2= − − = − e ( ) ( ) ( )1

C 0,0 4, 6 2, 32

= + − = −

1.2. Mostremos que o ponto B tem coordenadas ( )8,5

Ora ( ) ( ) ( )B A AB 2,3 10,2 8,5= + = − + =��

1.3. Averiguemos qual é a posição da origem do referencial em relação à circunferência de

diâmetro [ ]AB . Comecemos por calcular:

• as coordenadas do centro M que é o ponto médio de [ ]AB : ( )2 8 3 5M , 3,4

2 2− + + = =

• o raio da circunferência que é metade da distância de A a B:

( ) ( )2 22 8 3 5AB 100 4 2 26

r 262 2 2 2

− − + − += = = = =

• a distância da origem ao centro da circunferência 2 2OM 3 4 5= + =

• Como OM r< podemos concluir que O é interior à circunferência.

2. Na figura, está representado um triângulo [ ]ABC ,

isósceles ( )AB BC= .

Sabe-se que:

• [ ]BD é a altura do triângulo [ ]ABC relativa ao lado

[ ]AC

• BD 6= e AC 8=


Considere que um ponto Q se desloca sobre o segmento [ ]BD , nunca coincidindo com D, e

que um ponto P se desloca sobre o segmento [ ]AC , de tal forma que se tem sempre

PA QB=

Para cada posição do ponto Q, seja x a distância de Q a B ( )x QB=

Seja a a função que, a cada valor de x, faz corresponder a área

do triângulo [ ]PQC

2.1. Determinemos ( )a 5

• Comecemos por desenhar o triângulo [ ]PQC que se

obtém para x 5= .

• As medidas são PC 3= e QD 1= pelo que

( ) 3 1 3a 5

2 2×= =

2.2. o domínio da função a é [ [0,6 porque o ponto Q se desloca sobre [ ]BD , nunca

coincidindo com D e BD 6= e o contradomínio da função a é ] ]0,24 pois quando x 6= a

área do triângulo é zero e quando x 0= a área é a área do triângulo [ABC] que se

calcula utilizando a fórmula da área do triângulo 8 6

A 242×= =

2.3. Mostremos que ( )2x 14x 48

a x2

− += e verifiquemos analiticamente o resultado que

obtivemos para o contradomínio da função a.

Comecemos por exprimir

em função de x a base e

a altura do triângulo

[PQC]

PC 8 x= − e QD 6 x= −

Então

( ) ( ) ( )8 x 6 xa x

2

− −= ⇔

( )2x 14x 48

a x2

− +=

Dado que a abcissa do

vértice da parábola é 7 e

a parábola tem a

concavidade voltada para

cima podemos concluir que no intervalo [ [0,6 a função é decrescente. O valor mínimo,

x

x

P

B

DCA

Q

25

20

15

10

5

10 20 30

x

x

P

B

DCA

Q


não atingido, de que se aproxima o contradomínio é ( ) 36 14 6 48a 6 0

2− × += = e o valor

máximo do contradomínio é ( )20 14 0 48

a 0 242

− × += = , pelo que concluímos ser o

contradomínio o intervalo ] ]0,24

3. Na figura, estão parcialmente representados, num referencial o.n. Oxy, os gráficos das

funções f e g, de domínio ℝ , definidas, respectivamente, por ( ) 2f x x 6 8

3= − − + e

( ) 1g x x 6

3= −

Os pontos A e B pertencem ao gráfico da função f:

• A é o ponto de intersecção do gráfico com o

eixo das ordenadas;

• B é o ponto do gráfico que tem maior

ordenada.

Seja P um ponto que se desloca sobre [ ]AB ,

nunca coincidindo com o ponto B.

Para cada posição do ponto P, considere:

• o ponto Q, sobre o gráfico da função f, de

modo que a recta PQ seja paralela ao eixo das

abcissas;

• os pontos R e S , sobre o gráfico da função g, de modo que [ ]PQRS seja um rectângulo.

Seja x a abcissa do ponto P e seja h a função que, a cada valor de x, faz corresponder a área do

rectângulo [ ]PQRS .

3.1. Mostremos que ( ) 2h x 24 8x 2x= + − e indiquemos o domínio de h.

Vamos começar por analisar o domínio de h.

• Dado que o ponto se desloca sobre [ ]AB nunca coincidindo com o ponto B e B

tem coordenadas ( )6,8 podemos concluir que [ [D 0,6= por a abcissa de P tomar

os valores entre as abcissas de A(0) e de B(6) e porque o ponto P nunca coincide

com B o domínio é aberto em 6.

Vamos agora tentar encontrar as dimensões do rectângulo em função de x

• 2

P x, x 6 83

− − +

e 2

Q 6 6 x, x 6 83

+ − − − +

pelo que

PQ 6 6 x x 12 2x= + − − = −


• 1

S x, x 63

−

e 1

R 6 6 x, x 63

+ − −

pelo que

2 1PS x 6 8 x 6 x 6 8

3 3= − − + − − = − − + mas como de acordo com o domínio

x 6< será ( )PS 6 x 8 x 2= − − + = +

Finalmente ( ) ( ) ( ) 2 2h x 12 2x 2 x 2x 4x 12x 24 2x 8x 24= − + = − − + + = − + +

3.2. Determine as dimensões do rectângulo que tem maior área. Podemos fazer de duas

maneiras:

• Utilizando a calculadora para concluirmos que o máximo é 32 quando x é 2

Pelo que as dimensões do rectângulo que tem maior área são PQ 8= e PS 4=

• Determinando analiticamente as coordenadas do vértice da parábola que

representa a função

o ( )22x 8x 0 x 2x 8 x 0 x 4− + = ⇔ − + ⇔ = ∨ = donde concluímos ser a

abcissa do vértice 0 4

h 22+= =

o A ordenada do vértice é k 2 4 8 2 24 32= − × + × + =

o Como o coeficiente de 2x é negativo a parábola tem a concavidade

voltada para baixo e o valor de x que corresponde ao rectângulo de área

máxima é 2 pelo que PQ 8= e PS 4= .




Geometria no Plano e no Espaço I

Trabalho de casa nº 12 – Critérios de correcção Grupo I ------------------------------------------- -------------------------------------------------- 25

1 2 3 4 5

A A A C B

Grupo II ------------------------------------------ -------------------------------------------------- 75

1. ………………………………………………………………………………………………….20

1.1. ……………………………………………………………………………………. 8

•••• Reconhecer que 1

A O AC2

= −��

e 1

C O AC2

= +��

.………………….. 4

•••• Calcular ( ) ( ) ( )AC AB BC 10,2 6, 8 4, 6= + = + − − = −��

……………..…. 2

•••• Calcular ( )A 2,3= − e ( )C 2, 3= − …………….……………………… 2

1.2. calcular ( ) ( ) ( )B A AB 2,3 10,2 8,5= + = − + =��

….……………………………. 4

1.3. ……………………………………………………………………………………. 8

• Calcular as coordenadas do centro ( )2 8 3 5M , 3,4

2 2− + + = =

…. 2

• Calcular o raio da circunferência AB

r 262

= = ……………………. 2

• Calcular a distância da origem ao centro 2 2OM 3 4 5= + = …….. 2

• Concluir que O é interior à circunferência ………………………….. 2

2. …………………………………………………………………………………………………. 30

2.1. …………………………………………………….………………………………. 10

•••• Desenhar o triângulo [ ]PQC que se obtém para x 5= ……………… 3

•••• Concluir que as medidas são PC 3= e QD 1= …………………..…. 4

•••• Calcular ( ) 3 1 3a 5

2 2×= = ………………..……………………………… 3

2.2. ………………………………….……………………………………..…………. 10

•••• O domínio da função a é [ [0,6 ………………………………………… 5

•••• o contradomínio da função a é ] ]0,24 ………………………………… 5

2.3. ……………………………………………………………………………………. 10


•••• Exprimir em função de x a base e a altura do triângulo [PQC]…… 4

•••• Concluir que ( )2x 14x 48

a x2

− += …………………………………… 2

•••• Confirmar o contradomínio ……….…………………………………… 4

3. …………………………………………………………………………………………………. 25

3.1. ………………..…………………………………….…………………………… 15

•••• Concluir que [ [D 0,6= ……….……………….………………………… 4

•••• encontrar as dimensões do rectângulo em função de x ……………. 7

•••• Concluir que ( ) 2h x 2x 8x 24= − + + ……………………………………. 4

3.2. ………………..…………………………………….…………………………… 10

•••• Calcular o maximizante da função……….……………….………… 4

•••• Calcular as dimensões PQ 8= e PS 4= …………………………. 6

Total ………………………………………………………………………………………………… 100

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