1. No referencial cartesiano da figura ao lado, estão representadas:

-A circunferência de centro em C=(0 ; -1) e que passa pelo ponto B=(2 ; -2);-A recta r que passa pelos pontos O e B.

1.1. Escreve uma equação da recta r; 1.2. Determina uma equação da circunferência; 1.3. Define por uma condição a região sombreada da figura; 1.4. Determina as coordenadas dos pontos de intersecção da circunferência com o eixo .

2. Determina a equação reduzida da elipse definida por .

3. Caracteriza por uma condição a seguinte região colorida:

6. Indica três pontos que pertençam ao mesmo tempo aos planos e . Qual é o lugar geométrico dos pontos nestas condições?

7. Escreve uma condição da esfera de centro C=(1,3,-2) que passe pela origem do referencial. O ponto A=(-3,-2,1) pertence a esta esfera?

8. Considera num referencial (o.m.) do plano os pontos A=(1,5), B=(3,1) e C=(2,k+1). 9.1. Para que valores de k , C é o ponto médio de [AB]? 9.2. Determina as coordenadas do ponto D, do plano, sabendo que B é o ponto médio do segmento [AD].

9. Representa graficamente o conjunto dos pontos do plano definido por cada uma das seguintes condições: 10.1. 10.2. 10.3. 10.4.

10.Num referencial , são dados os pontos e o vector seguintes: A=(5,-3), B=(-1,4) e .11.1. Determina as coordenadas de C e D definidos por: ; .11.2. Exprime em função de e o vector .

11.Prova que e são iguais, sendo A=(2,1), B=(6,2), C=(-6,1) e D=(-2,2).

GEOMETRIA FICHA DE TRABALHO - 10ºANO

1. A figura representa um referencial tridimensional e um paralelepípedo rectângulo assente no plano . Utilizando as letras da figura indica:

2.1. Dois planos paralelos;2.2. Duas rectas não complanares;2.3. Escreve uma condição que represente cada um dos seguintes conjuntos de pontos: (i) O plano que contém a face [BCGF]; (ii) A recta GH;2.4. Sendo M o ponto médio da aresta [AE], determina as coordenadas do ponto M;2.5. Escreve uma condição que define o paralelepípedo sombreado.

5. Determina a equação da elipse formada pelo conjunto de pontos tais que, o eixo menor horizontal mede 12, tem centro na na origem e passa pelo ponto ( ,4).

6. Identifica o conjunto de pontos do espaço que verificam as condições:6.1. ; 6.2. a ordenada é igual a 5 e a cota igual a 2; 6.3. ;

6.4. são equidistantes da origem do referencial e de (1,3,-1); 6.5.

1

12.As coordenadas do vector são (3,0,-1) e as do ponto B são (0,4,3). Determina as coordenadas de A.13.Num referencial são dados os pontos: A=(2,1), B=(-5,3) e C=(0,2). Determina as coordenadas:

14.1. dos vectores: ; ; ; ;

14.2. dos pontos M e N definidos por: e .14.Considera, nos lados de um hexágono regular, vectores livres. Entre esses vectores (de norma igual ao lado do

hexágono) escolhe dois consecutivos e designa-os por e . Representa expressões dos restantes vectores (correspondentes aos outros quatro lados do hexágono) em função de e .

15.Substitui e por números reais de forma a obteres proposições verdadeiras, tendo em conta a figura que representa um paralelogramo.16.1. ; 16.2. ;16.3.

16.Determina o real p para o qual os vectores = (p,-1) e = (-4,p) são colineares.

17. São dados os pontos A=(1,-2) , B=(5,-4) , C= e D=(m,-3).

18.1. Mostra que os vectores e são colineares. Deduz então que os pontos A, B e C estão alinhados;18.2. Determina m de forma que os pontos A, B, C e D estejam alinhados.

18.Determina, se possível, o número real a de forma que os pontos A, B e P pertençam à mesma recta:19.1. A=(1,2) ; B=(3,-4) ; P=(3+2a,4-2a) ;19.2. A=(2,-4) ; B=(-5,-2) ; P=(0,3a) .

19.Considera o tetraedro [ABCD] da figura. Mostra que:20.1. ;

20.2. O ponto tal que pertence a uma aresta do tetraedro. Diz de que aresta se trata e que representa o ponto para essa aresta.

20.A figura representa 2 paralelepípedos iguais com a face [MNPQ] comum.

21.1. Calcula: 21.1.1. ; 21.1.2. ;21.2. Sendo P a origem do referencial, , , os eixos coordenados, sendo e indica as coordenadas de: 21.2.1. ; 21.2.2. e ; 21.2.3. .

21.Considera, num referencial o.n. os vectores =(-3,2) , =(4,3) e =(5,7).22.1. Determina p de modo que =(p-2,-6) seja colinear com ;22.2. Determina o vector tal que = + ;

22.Considera, num referencial o.n. os pontos A, B, C e o vector . Sabe-se que:

A=(-2,0,2); B=(3,-1,0); =(2,4,-2); C=B- ;

23.1.Averigua se os vectores e são colineares; 23.2.Determina as coordenadas do ponto M, sabendo que B é o ponto médio do segmento de recta [AM].

23.Determina o valor do parâmetro real K de forma que o triângulo [ABC] seja rectângulo em C, sendo as coordenadas dos seus vértices: A=(-1,2,-1) , B=(-2,1,1) e C=(-2,K,0).

25. Determina uma equação simplificada do plano mediador do segmento de recta:2

25.1. [AB], com A=(3,0,2) e B=(0,4,2); 25.2. [CB], com C=(3,4,2) e B=(0,4,2).

26.Escreve a equação da superfície esférica de centro no ponto (-1,2,0) e tangente ao plano de equação y=5.

27. Identifica a superfície esférica definida pela equação .

28. Qual o valor real que deve ter o parâmetro para que a equação represente: 28.1. um ponto (indica as coordenadas desse ponto); 28.2. um conjunto vazio.

29. Determina o centro e o raio da circunferência de equação .30. Considera os pontos A=(-1,2) e B=(3,6) e o vector =(2,-2).

30.1. Determina as coordenadas e a norma de ;30.2. Determina as coordenadas dos vectores que têm norma igual à norma de e direcção de ;

30.3. Determina as coordenadas do ponto C, do eixo dos , que é colinear com A e B;30.4. Determina o valor de K que verifica a condição: ;

30.5. Sendo o ponto médio de [AB], determina as suas coordenadas;30.6. Determina a mediatriz de [AB] e prova que essa mediatriz tem a direcção de .

30.7. Determina as coordenadas do ponto D, intersecção da mediatriz de [AB] com o eixo dos .

30.8. Escreve a equação da circunferência circunscrita ao triângulo [CDM]. (Nota que o triângulo é rectângulo em M).

31. Determina:

31.1. + ; 31.2. + + ; 31.3. - ;

31.4. + ; 31.5. C-2 ; 31.6. H+ ;

31.7. B+ ; 31.8. A+ + ; 31.9. E+ + ;

31.10. Sendo 4, 4, 3 cm as dimensões do paralelepípedo, calcula: (i) ; (ii) ; (iii) ; (iv) ; (v) .

32. Determina a equação reduzida da recta que passa no ponto A e tem declive m nos seguintes casos:32.1. A=(2,-3) e m=2 ; 32.2. A=(0,4) e m=- ;

33. Calcula o declive da recta que passa pelos pontos A=(3,1) e B=(2,4).

34. Determine uma equação:34.1. vectorial da recta que passa pelos pontos A=(0,3) e B=(-2,4);34.2. da recta que passa pelo ponto (-5,3) e tem a direcção do vector (0,2).

35. Calcula o declive de cada uma das seguintes rectas:35.1. = +3; 35.2. ( , )=(0,4) + K(-2,3) , K ; 35.3. =1 ; 35.4. bissectriz dos quadrantes ímpares.

36. Num referencial do plano, são dados os seguintes pontos: A=(1,2), B=(-2,4) e C=(-1,1). Determina as coordenadas do ponto D de forma que [ABCD] seja um paralelogramo.

37. Determina uma equação:37.1. da recta vertical que intersecta a recta =- +3 no eixo dos ;37.2. vectorial da recta que passa pelo ponto (3,-2) e é paralela à bissectriz dos quadrantes ímpares;37.3. reduzida da recta que passa no ponto (-1,3) e tem a direcção da recta de equação

3

( , )=(1,2)+ (2,5) , .

38. Determina uma equação vectorial e a equação reduzida da recta que tem declive -4 e:38.1. passa na origem do referencial; 38.2. intersecta o eixo no ponto (-2,0);38.3. intersecta o eixo no ponto (0,-2).

39. Observa a figura. A recta r tem uma equação reduzida . 39.1. Calcula o valor de de modo que a medida da área do triângulo [AOB] seja 12; 39.2. Caracteriza, através de uma condição, o triângulo [ABO].

40. No referencial o.n. está representado um prisma rectangular em que =3, =2; =5.40.1) Usando as letras assinaladas na figura, completa as expressões seguintes:

(i) A+…… = C ; (ii) + = ……; (iii) D+ = ....... ; (iv) + + = ……; (v) G+ -2 + = ……

40.2) Determina as coordenadas do vector :(i) no referencial ; (ii) no referencial .40.3) Determina a norma do vector ;40.4) Escreve, no referencial , a equação vectorial da recta r, paralela a CO e que passa pelo ponto médio de [HF];40.5) Escreve a equação do plano mediador de [CD];40.6) Escreve as coordenadas do centro da esfera tangente às faces [ABCD] e [OFGH], no seu ponto médio;40.7) Qual é a posição de AB relativamente a DHG? E relativamente a GF? Justifica.

41. Os vértices do paralelogramo [BETA] têm as seguintes coordenadas: B=(3,1) ; E=(-4,-1) ; T=(-3;-4) ; A=(4,-2). Escreve equações reduzidas das rectas que contêm as diagonais do paralelogramo.

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