Escoamentos Externos -...

1

Região de pequena espessura próxima a superfície do

corpo, onde o gradiente de velocidade é grande, onde as

forças viscosas são importantes.

Fora desta região o escoamento se comporta como não

viscoso, sendo chamado de escoamento potencial (não

viscoso e irrotacional). Pode-se aplicar a equação de Euler

(ou Equação de Bernoulli).

Escoamentos Externos

2

d = espessura da camada limite, região próxima à superfície sólida,

onde a velocidade varia de zero a 0,99 U

Teoria da Camada Limite

Camada Limite

U

laminar transição turbulento

x

y

xc

L

d

Filmes/Filme_camadaLimite/crescimentoCL.mov

3

Como o regime de escoamento varia

ao longo da superfície, define-se

então

número de Reynolds local:

Camada Limite

U

laminar transição turbulento

x

y

xc

L

d

O número de Reynolds reinante na coordenada onde ocorre a transição de

regime laminar para turbulento é chamado de número de Reynolds crítico:

Se Rex Rec regime laminar

Se Rex > Rec regime turbulento

Em geral, considera-se o número de Reynolds crítico como Rec = 5 x 105

xUxRe

cxUcRe

EQUAÇÕES DA CAMADA LIMITE Em 1904, Prandtl simplificou as equações de Navier-Stokes, através

de uma análise de ordem de grandeza, derivando as equações da

camada limite

Hipóteses:

1. Fluido Newtoniano

2. Propriedades constantes e constantes

3. Regime laminar

4. Regime permanente / t=0

5. Bi-dimensional w=0 ; / z=0

6. d < < L

4

Vamos fazer uma análise de ordem de grandeza. Para isso vamos

adimensionalisar as equações de conservação: Sabemos que a ordem

de grandeza de:

u é U

x é L

y é d

Vamos considerar que a ordem de grandeza de v = V

Continuidade:

coordenadas cartesianas:

5

0 )(div ut

0 Vcte

0

zero

z

w

y

v

x

u

Quantidade de Movimento Linear (Navier-Stokes)

Direção x:

Direção y:

upgtD

uD

2

)()(

)()()( 554

2

2

2

2

2

2

zero

z

u

y

u

x

ux

zero

z

u

y

u

x

u

zero

t

u

x

pgwvu

)()(

)()()( 554

2

2

2

2

2

2

zero

z

v

y

v

x

vy

zero

z

v

y

v

x

v

zero

t

v

y

pgwvu

Adimensionalisando com

Continuidade:

U

uu*

U

vv*

L

xX

L

yY

2

U

pP

0Y

v

X

u

**

01

1

)/(

)(

)(

)( *

L

v

d

)/()(

* LVv d

UL

Vd

logo 6

0y

v

x

u

Analisando a ordem de grandeza

v <<< u

Quantidade de Movimento – direção x

2

2

2

21

Y

u

X

uxY

u

X

u

X

pgvu

****

Re

****

Fr

*

g

gg

LUReLg

U 2

Fronde

analisando a ordem de grandeza de cada termo da equação

]

)/(

)(

)(

)([

Re)(

)()(

)/(

)()/(

)(

)()(

grande

Lldesprezíve

LLL

22

1

1

11

1

11

1

1

11

d

d

d

d

2

2

2

2

yx0

x2

2

)()/(

)(

Re1

11

22

d

L

)/(Re

22

1

Ld21

1

/Re

L

d

concluimos

7

Variação da espessura

ao longo da superfície

como esperado: d x0,5

Quantidade de Movimento – direção y:

analisando a ordem de grandeza de cada termo da equação

])/(

)/(

)(

)/([

Re)/(

)()(

)/(

)/()/(

)(

)/()(

*

grandeL

ldesprezíve

L

LL

L

p

L

LL

L

221

11

11

d

d

d

d

d

dd

d

d

2

2

2

2

yx0

x2

2

Analisando a equação acima, pode-se

concluir novamente que

8

2

2

2

21

Y

v

X

vyY

v

X

v

Y

pgvu

****

Re

****

Observa-se também que os termos convectivos e viscosos da equação y são

muito menores do que estes termos da equação x, isto é,

[eq (vy)] [d/ L ] [eq(vx)] isto é eq v < < eq u e 0 **

ygY

p

pressão só varia devido ao peso da coluna de fluido,

pode-se então introduzir a seguinte aproximação

isto é d

maxyCygpg

y

ponde

)(d p

zeroy

p

LY

p d

*

)/(Re

22

1

Ld

9

Px

Px+dx

U

Px Px+dx

Camada limite

Fora da camada limite, 0

CLfora

CLdentro x

p

x

p

Fora da camada limite, a equação de Bernoulli (para fluidos não viscosos) é válida

cte2

Up

2

logo xd

UdU

x

p

Esta conclusão é muito conveniente, pois se a pressão não varia com y,

então para uma determinada coordenada x, a pressão dentro da camada

limite é igual a pressão fora da camada limite.

Equações da Camada Limite

10

0y

v

x

u

2

2

y

u

y

u

x

u

x

p1vu

xd

UdU

x

p1

11

A solução das equações da camada limite pode ser obtida através da

integração das equações de conservação na região da camada limite.

Pode-se utilizar

Um procedimento rigoroso associado a um método numérico.

Solução “exata” de Blasius

Uma análise aproximada, onde as equações de conservação são

integradas na região da camada limite.

Apesar da grande simplificação obtida, ainda temos algumas

dificuldades para resolver esta equação.

Observa-se que o perfil de velocidade é

similar, isto é, o perfil de velocidade

adimensional é o mesmo em qualquer

coordenada x.

d

yfunção

U

u

x

x

Red

d

y x

x

yRe

U

x

y

21/

Vimos que

Filmes/Filme_camadaLimite/PerfilCamadaLimite.mov

Filmes/Filme_camadaLimite/PerfilCamadaLimite.mov

12

A solução “exata” para uma placa plana obtida por Blasius em 1908.

Equações da Camada Limite para Placa Plana (Solução de Blasius)

0xd

UdU

x

p

u

x

v

y 0 ; 2

2

y

u

y

u

x

uvu

Condições de contorno:

1. x = 0 u = U

2. y = 0 u = v = 0

3. y u = U (y = d u = 0,99 U)

u u

x

U=cte

d

y

01

xd

UdU

x

p

Equações da Camada Limite para Placa Plana (Solução de Blasius)

0xd

UdU

x

p

u

x

v

y 0 ; 2

2

y

u

y

u

x

uvu


1. x = 0 u = U

2. y = 0 u = v = 0

3. y u = U (y = d u = 0,99 U)

u u

x

U=cte

d

y

13

Inicialmente a função corrente é introduzida para satisfazer

automaticamente a equação da continuidade

xv

yu

;

Uma grande vantagem do uso da função corrente consiste em

simplificar a solução do problema, transformando o conjunto de 2

equações diferenciais parciais por uma única equação diferencial

parcial.

Função Corrente para

Escoamento Incompressível

Bi-dimensional

0y

v

x

u

continuidade

0xyyx

Substituindo, observa-se que pra funções continuamente

diferenciáveis, a equação estará sempre satisfeita.

14

A equação de quantidade de movimento pode ser rescrita como

3

3

2

22

yyxyxy


1) y=0; u =/ y=0 para x 0 2) y=0; v =-/ x=0 para x 0

3) y ∞; u =/ y U∞ para x 0 4) x =0; u =/ y= U∞ para y > 0

Uma vez que o perfil de velocidade é similar, i.e., a velocidade adimensional,

só depende da distância adimensional, vamos buscar uma adimensionalização

para a função de corrente de forma a transformar a equação diferencial parcial

em uma equação diferencial ordinária.

Adimensionalização a função de corrente

)()(

xHf

)()( xHf

2

2

y

u

y

u

x

uvu

15

Usando a regra da cadeia, vamos determinar os componentes de

velocidade em função das novas variáveis adimensionais

)()(

xHf

x

x

yRe

Sabendo que

As velocidades e derivadas são

xx

yU

x

y

xx

22

1

2

1

223

Re/ xy

xRe

x

fH

yyu

x

x

Re

22

2

xH

f

xx

fH

yyyyy

u xxx ReReRe

3

23

3

3

22

2

2

2

2

2

2

2

xH

f

xxH

f

yyyyy

u

yy

u xxx/

ReReRe

)()( xHf

16

xyyxyxx

u

x

H

d

fd

xxd

HdfH

xd

fd

xd

Hdf

xxxv

x

2

)()( xHf

xx

fH

x

fH

x

xyyxyxx

u

x

xx

x

2

ReRe

2

2

2

2

2

2

223

22

22

1

22

1

2

f

x

H

x

H

dx

dHf

x

xH

f

xxH

xdx

dHf

xH

f

xx

UH

xdx

dHf

xx

fH

x

fH

x

xyyxyxx

u

x

xxx

xx

x

xx

x

Re

ReReRe

ReRe

ReRe

/

xH

f

xx

UH

xdx

dHf

xx

fH

x

fH

x

xyyxyxx

u

xx

x

xx

x

ReRe

ReRe

/2

223

22

1

2

xH

f

xxH

xdx

dHf

xH

f

xx

UH

xdx

dHf

xx

fH

x

fH

x

xyyxyxx

u

xxx

xx

x

xx

x

ReReRe

ReRe

ReRe

/

2

2

2

2

223

22

1

22

1

2

x

fH

yu

xRe

17

2

2

3

23

3

3

22

2

2

2

222

y

u

x

y

u

x

v

x

u

x

u

x

xH

f

xH

fH

d

fd

xxd

Hdf

f

x

H

x

H

dx

dHf

xx

fH

/

ReReReRe

Substituindo na equação de quantidade de movimento

arrumando

3

23

3

3

22

2

22

2

2

2

22

2

22

xH

f

xH

fH

d

fd

x

xH

f

xd

Hdf

x

Hf

x

fH

x

H

dx

dHf

x

fH

x

A

x

x

A

xx

/ReRe

ReReRe

022

2

22

2

3

23

3

3

x

H

dx

dH

xH

f

xxd

HdH

ff

xH

f xxx ReReRe /

dividindo por Hx

x

3

23 /Re

0221

2

212

2

3

3

x

H

dx

dHxfx

xd

Hdff

f

xx//

ReRe

18

queremos que f seja somente função de , portanto precisamos que a

dependência em x dos termos entre chaves desapareça

integrando

vemos então que

x

U

xxd

Hdcte

x

xd

Hd x

x

2

1

2

1

2

121

21

/

/

Re

Re

x

Ux

xUH

212

1 21

/

/

xxUH Re

02

x

H

dx

dH

x

H

dx

dH

2

podemos então escrever a equação da camada limite como

02

1

2

2

3

3

d

fdf

d

fd xUf

)(

xx

yRe

19

Para especificar as condições de contorno para a equação obtida, deve-se

relacionar os componentes de velocidade u e v com f e .

'fU

u

H

d

fd

xxd

Hdfv

2

ffU

v

x

'

Re/

2

1

U

f

x

fu

xx

ReRe

xH Rex

H

dx

dH

2

x

fHu

xRe

d

fdf

x

HH

d

fd

xx

HfH

d

fd

xxd

Hdfv

2222

H

d

fd

xx

HfH

d

fd

xxd

Hdfv

222

lembrando

d

fdf

U

d

fdf

xv

x

x

Re

Re

22

20

As condições de contorno para a equação (*) são

1. = 0 f = f ‘ = 0

2. f ‘ 1 ( y = d f ‘ 0,99 )

xx

yRe

1. x = 0 u = U

2. y = 0 u = v = 0

y u = U (y = d u = 0,99 U)

'fU

u

ffU

v

x

'

Re/

2

1

condições de contorno

02

1

2

2

3

3

d

fdf

d

fd

A equação pode ser resolvida por um método numérico de integração de

equações diferenciais ordinárias, como por exemplo, o método de Runge-Kutta.

O método de Runge-Kutta é um método de integração de equações diferenciais

ordinárias de 1a. ordem, com condições iniciais.

No entanto, toda equação diferencial ordinária de ordem n pode ser transformada

em um sistema de n equações diferenciais ordinárias de 1a. ordem.


21


1. = 0 f = f ‘ = 0

2. f ‘ 1 ( y = d f ‘ 0,99 )

Solução da equação da camada limite hidrodinâmica pelo método de

Runge-Kutta

02

1

2

2

3

3

d

fdf

d

fd

A equação de 3a. ordem pode ser substituída por um sistema de 3 equações de

1ª. ordem acoplado

Definição:

2

2

; d

fd

d

zdw

d

fdz 0

2

1 wf

d

dw

então

Condições de contorno: = 0 f = z = 0 2) z 1

;; wd

zdz

d

fd

wf

d

dw

2

1

22

h é o valor desejado w(0), F = z(∞) é o valor obtido no infinito após a

solução da equação da CL.

A variável deverá ser incrementada, e para cada nova coordenada,

valores de f, f’ e f” serão obtidos.

wd

zd

zzww k

kk )(

)()()0()0(

1

11

wd

kdww

zk

wz

wd

zd ])0([)(

)0()(

)(

onde

Condições de contorno: = 0 f = z = 0 2) z 1

É preciso, conhecer as condições iniciais de f, z e w.

Deve determinar w(0) tal que z(∞)=1.

Para isso pode usar o método de Newton Raphson

zero

hd

Fddh

hd

Fddh

hd

Fd

dh

hhFF kkkk .....!

)( 3

33

2

22

1132 dhdF

FFhh k

desejadafuncao

kkk

/

11

23

Programa no MatLab para sistema de equações de primeira ordem,

juntamente com o método de Newton Raphson

% Solucao da Camada Limite Hidrodinamica

clc;

clear all;

intervalo=[0 8];

dw=0.0001;

f0=0;

z0=0.;

w01=0.3;

zinf=1.;

for k=1:20

inicio=[f0 z0 w01];

[eta,y]=ode45('eqCamLimite',intervalo,inicio);

eta_fim=size(eta,1);

zinf1=y(eta_fim,2);

w02=w01+dw;

inicio=[f0 z0 w02];

[eta,y]=ode45('eqCamLimite',intervalo,inicio);

zinf2=y(eta_fim,2);

dzinfdw=(zinf2-zinf1)/dw;

w01=w01-((zinf2-zinf)/dzinfdw)

end

function yprime=EqCamLimite(eta,y)

yprime=[y(2) y(3) -0.5*y(1)*y(3)]';

24

Atrito=w01

y

figure(1)

plot(eta,y(:,2));

title('u/uinf ');

xlabel('eta=y sqrt(Re_x)/x');

ylabel('u/uinf=f_{prime}');

for i=1:1:size(eta,1)

v_adim(i)=0.5*(eta(i)*y(i,2)-y(i,1));

end

figure(2)

plot(eta,v_adim);

title('v* sqrt(Re_x)/U_inf)');

xlabel('eta=y sqrt(Re_x)/x');

ylabel('v* sqrt(Re_x)/U_inf)=0.5*(eta*f-f_{prime})');

O quadro 9.1 ilustra os resultados obtidos.

26

Note que f’ corresponde a velocidade axial adimensional.

Observa-se excelente concordância com dados experimentais para

uma grande faixa de número de Reynolds

Outros resultados importantes a serem obtidos da tabela, são: tensão

cisalhante na parede e determinação da espessura da camada limite.

27

d

x

Espessura da Camada Limite

A espessura da camada limite é definida como a coordenada y onde u = 0,99 U .

Pela tabela vemos que f’= u/U=0,99 quando = 5 , logo sabendo que

xRex

y xRe

x5

d

xRe

x5d 5,0xd

xUxRe

27

Filmes/Filme_camadaLimite/perfil-CL-viscosidade.mov

Filmes/Filme_camadaLimite/perfil-CL-viscosidade.mov

28

A figura ilustra o perfil dos

componentes u e v

adimensionais em função de

'fU

u

ffU

v

x

'

Re/

2

1

xx

yRe

Note que existe fluxo de massa através da linha que delimita a região da

camada limite, o componente vertical da velocidade em y = d é

= 5,0 f’= 0,9915 e f = 3,2833 8370,Re/

xU

v

29

Para água [=1000 kg/m3; =0.001 kg/(ms)] com velocidade Uo= 1 cm/s

x=0,1 m ; Rex=103 ; d= 1,58 cm x=1 m ; Rex=10

4d= 5 cm

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

u/Uo

0.0

0.5

1.0

1.5y/d

elt

a

1E-6 1E-5 1E-4 1E-3 1E-2 1E-1

v/Uo

0.0

0.5

1.0

1.5

y/d

elt

a

água, Uo=1cm/s

x=0.1 m

x=1.0 m

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

u/Uo

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

y

d

d

cm

1E-6 1E-5 1E-4 1E-3 1E-2 1E-1

v/Uo

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

y

d

d

cm

30

x

Tensão Cisalhante ao Longo da Placa

A tensão cisalhante na superfície é definida como

0y

sy

u)x(

em termos nas novas coordenadas, podemos rescrever a tensão como

332,0

02

22/12

0

'

xs

d

fd

xUU

d

fd

Re/x

U)x(

x

2

s6640

2

Ux

Re

,)( 2/1x

x


A tensão cisalhante na superfície é definida como

0y

sy

u)x(

em termos nas novas coordenadas, podemos rescrever a tensão como

332,0

02

22/12

0

'

xs

d

fd

xUU

d

fd

Re/x

U)x(

x

2

s6640

2

Ux

Re

,)( 2/1x

Coeficiente de Atrito Local: tensão cisalhante adimensional 2

s

U2

1

xxCf

)()(

Para placa plana no regime laminar (Rex Rec)

xRe

664,0)x(Cf


31

Força total na placa ssss Ad)x(AF

A tensão média é sss

s Ad)x(A

1 podendo ser obtida a partir do

coeficiente local de atrito s2

ss AdU

2

1)x(Cf

A

1

para U=constante ss

2s Ad)x(Cf

A

1U

2

1

ss

Lss2

s Ad)x(CfA

1CfAd)x(Cf

A

1

U2

1

2

sL

U2

1Cf

é o Coeficiente de Atrito Médio

Para uma placa plana de comprimento L e largura b, a área superficial é As = b L e o elemento

de área superficial é d As = b dx. O coeficiente de atrito médio neste caso é

L

0 xs

sL xdb

Re

664,0

Lb

1Ad)x(Cf

A

1Cf

LL

Re

328,1Cf



s Ad)x(A



ss AdU

2

1)x(Cf

A

1

para U=constante ss

2s Ad)x(Cf

A

1U

2

1

ss

Lss2

s Ad)x(CfA

1CfAd)x(Cf

A

1

U2

1

2

sL

U2

1Cf




L

0 xs

sL xdb

Re

664,0

Lb

1Ad)x(Cf

A

1Cf

LL

Re

328,1Cf



s Ad)x(A



ss AdU

2

1)x(Cf

A

1

para U=constante ss

2s Ad)x(Cf

A

1U

2

1

ss

Lss2

s Ad)x(CfA

1CfAd)x(Cf

A

1

U2

1

2

sL

U2

1Cf




L

0 xs

sL xdb

Re

664,0

Lb

1Ad)x(Cf

A

1Cf

LL

Re

328,1Cf

32

A solução aproximada para Camada LimiteMétodo Integral de von Kármán

0y

v

x

u

2

2

y

u

y

u

x

u

x

pvu

Podemos integrar a equação da continuidade para

avaliar o componente vertical de velocidadey

dyx

uv

0

Integrando a equação de quantidade de movimento linear de y = 0 a y

00002

2

ydydx

pydvydu

y

u

y

u

x

u

xd

UdU

x

p

1

analisando o último termo da

equação00

2

2

y

u

y

u

y

uyd

sy

xy

y

u

zero

y

u

y

uyd

0

002

2

33

integrando o 2º termo do lado esquerdo da equação

0

ydvy

u

00

0

dyy

vuvudy

y

uv

dudyy

udgug

dyy

vvdfdvf

fdggfdgf

lembrando

x

u

continuidade

000

yduydUydvx

u

x

u

y

u

0 VU

0

dyx

uV

mas vimos que

então

Note que

logo

000

yduydUydUx

U

x

uU

x

u

x

u

)(

000

yduyduydvx

u

x

U

x

uU

y

u

)(

34

então

Substituindo os termos derivados na equação de quantidade de

movimento, temos

sx

U

x

U

x

uU

x

uydUuu

0

2)(

sx

U

x

uU

x

uyduU

0

2

)()(

sx

U

xyduUuUu

0

)()]([

0 00yduUyduUu

x

U

xyy

us )()(

Balanço de quantidade de movimento de von Kármán

00002

2

ydydx

pydvydu

y

u

y

u

x

u

Espessura de Deslocamento, d*

A região da camada limite, é a região onde a velocidade apresenta

gradientes acentuados, variando de zero a 99% de U. Como a velocidade

tende assintoticamente para U é difícil avaliar experimentalmente a

espessura d. Uma outra grandeza relacionada com a camada limite, mais

fácil de ser avaliada experimentalmente é a espessura de deslocamento d*.

Sabemos que o efeito das forças viscosas na camada limite é retardar o

escoamento. A vazão em massa adjacente a uma superfície sólida é

inferior à aquela que passaria pela mesma região na ausência da camada

limite. Se as forças viscosas estivessem ausentes, a velocidade numa

seção seria U. A espessura de deslocamento d* é a distância da qual a

fronteira sólida teria que ser deslocada num escoamento sem atrito para

fornecer o mesmo déficit de vazão em massa que existe na camada limite.

Deslocando a fronteira de uma distância d*, resultaria em uma deficiência

de vazão em massa de U d* b, onde b é a largura da superfície.

35

Relembrando a definição de espessura de deslocamento e de

quantidade de movimento

Queremos que a vazão real seja igual a vazão na ausência da

camada limite, dessa forma, conforme a figura abaixo

36

deficit

*

*

m

000

ydbUydbUydbUydbum d

d

onde

zero

00

*deficit ydb)uU(ydb)uU(ydb)uU(bUm

d

d

d

então d

d

0

* ydU

u1

deficit

*

*

m

000

ydbUydbUydbUydbum d

d

onde

zero

00


d

d

d

então d

d

0

* ydU

u1

deficit

*

*

m

000

ydbUydbUydbUydbum d

d

onde

zero

00


d

d

d

então d

d

0

* ydU

u1

Espessura de Quantidade de Movimento, q De forma análoga ao déficit de vazão em massa devido ao efeito viscoso

na camada limite, existe uma redução do fluxo de quantidade de

movimento numa seção em comparação a um escoamento não viscoso.

A espessura de quantidade de movimento q é definida com a espessura

da camada de fluido com velocidade U, para a qual o fluxo de quantidade

de movimento é igual ao déficit do fluxo de quantidade de movimento

através da camada. Desta forma

37

dq

0

1 ydU

u

U

u

38

Supondo que a solução é similar:

)(fU

u

)(x

y

d

1

0

1 dd df*

xe a : constantes adimensionais, que dependem do

campo de velocidade na região da camada limite

1

0

1 a dff )(

1

0

1 dq dff

1

0

1 x df )(

xd

d

*

ad

q

39


incompressível

0 00yduUyduUu

x

U

xyy

us )()(

)(fU

u

)(x

y

d

*)()(

)()(

dd

dd

x

UdfdfU

yd

U

uUyduU

zero 1

1

0

00

11

1

qd

dd

a

2

1

1

0

2

0

2

0

11

1

UdffdffU

yd

U

u

U

uUyduUu

zero

)()(

)()(

similar

40


xdaadd

d

UUUfU

x

U

xd

d

x

U 220)(

a

xd

a

d2

202 22

xd

Ud

xd

d

U

f

U

)(

xdadd

d

UUU

x

U

xy

y

Uus

2

0/

/

xd

d

xd

Ud

U

f

U

dd

a

xd

a

2

10 2)(Dividindo por a

d

2U

xd

d

x

UUUf

U d

axad

d 220

)(

41

Supondo que a solução é similar:

)( 00 x

p

x

UcteU

00

yduUuxyy

us )(

A solução aproximada de Camada Limite para

Placa Plana - Método Integral de von Kármán

)(fU

u

)(x

y

d

00

d

f

yy

u U


a

xd

a

d2

202 22

xd

Ud

xd

d

U

f

U

)(

Sabendo que

então

xxd

U

fd

00

2 02

a

d

d )(Integrando de 0 a x, e considerando d(0)=0

xU

f

a

d

)(022

U

xfx

ad

)()(

02

Note que, assim como Blasius, d x0,5

x

f

x

x

Re

/)()( ad 02

xUx

Re

42

a

d )(022 f

Uxd

d

)(00

fU

yxys

d

A expressão para a tensão cisalhante na parede é

Note que, assim como

Blasius, s x-0,5

x

U

ffUf

U

yxys

a

d

)()()(

0200

0

xρU

μfρU

yxys

a

2

02

0

)(

arrumando

x

s f

U

xxCf

Re

)(

/

)()(

02

22

a

ou

43

U

xfx

ad

)()(

02

A força de arraste no prato de comprimento L com largura W

W L

sx ydxdF

0 0

L

xL

f

U

WLFCf

Re

)(

/

)/( 022

22

a

LUfWFx302 a )(

)( LxCfCfL 2

44

LW L

sx xdxU

fU

WydxdF

0

21

0 0

2

022

/)(

a

45

Tanto a constante a como f’(0) dependem do campo de velocidade.

Os valores corretos das constantes da espessura da camada limite,

coeficiente de atrito local e médio foram obtidos a partir da solução

exata de Blasius e são

xU

xxCf s

Re

,

/

)()(

6640

22

)(

/

)/(LxCf

U

WLFCf x

L

222

xx

x

Re

)( 5

d

Existem muitas possibilidades de perfil aproximado de velocidade que

fornece a correta ordem de grandeza das constantes das grandezas acima.

Não existe um critério que garante o melhor resultado a priori.

46

d

y

U

uf

O perfil de velocidade mais simples possível, que satisfaz

a condição de não deslizamento e U na fronteira da

camada limite é o perfil linear

6

1

3211

1

0

31

0

1

0

2

a ddff )()(

1f

x

fxCf

x Re

,

Re

)()(

577002

a

xx

f

x

x

Re

,

Re

/)()( 46302

ad

47

Uma outra possibilidade, consiste em supor um perfil cúbico

32 dcbaU

uf

As constantes do perfil devem ser definidas de forma a satisfazer as condições de

contorno do perfil

y= 0 , u = 0 a = 0

y= d , uU∞ 1 = b + c + d

y= d , u / y = 0 u / y = b + 2 c + 3 2 b + 2 c + 3 d = 0

y= , 2 u / y 2 = 0 2 u / y 2 = 2 c 6 c = 0

equação de quantidade de movimento

Então : 1 = b + d e b = - 3 d d = -1/2 ; b = 3/2

d

y

2

2

y

u

zero

y

u

x

uvu

3

2

1

2

3

U

uf

Perfil de Eckert

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

u/Uo

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y/d

elt

a

Blasius

Aproximado

48

x

fxCf

x Re

,

Re

)()(

646002

a

xx

f

x

x

Re

,

Re

/)()( 64402

ad

1

0

331

0 2

1

2

31

2

1

2

31 a ddff )(

1

0

643423

4

1

4

3

2

1

4

3

4

9

2

1

2

3a d

280

39a

3

2

1

2

3

U

uf

2

2

3fNeste caso

2

30 )(f

49

Escoamento laminar próximo à uma quina ou

ao longo de uma cunha

)(sin qa arc

O escoamento externo não viscoso é

dado pela seguinte função corrente:

yU

a

a

)( 12

a

2

2

Se o ângulo da cunha é p então

a > 1

a < 1

xV

xd

UdU

x

p

1

Velocidade tangencial à superfície: q= 0 ; y = 0

50

)(sin qa arc

Vamos assumir que a camada limite é tão fina que não afeta o escoamento

externo. Logo, este é o campo externo sobre a superfície.

Esta é uma boa aproximação para pequenos valores de x.

yy

r

ryU

q

q

qq

q

cos;tan

sin;)( /

rxx

y

ryyxr

1

2122

ryx

x

y

r

yyyx

y

r

qq

q

cos

sin)(/

22

2122 22

1

])cos[(]cos)(cossin)(sin

cos)(cossin)(sin

qaaqqaqqaa

qqaaqqaa

aa

aa

111

1

rcUrcU

rrcrcU

])sin[( qaa a 11 rcV

xx

r

rxV

q

q

Procedendo de forma análoga

51

Na região da camada limite, a

velocidade tangencial à superfície:

q=0, y=0; r=x

1aa xcU

)]/([ a 22ccConde

)/( 2xCU

x

U

x

C

xd

UdU

x

p 2

232

2

2

1

2

1

)/()(

A equação da camada limite em termos da função corrente é

3

1

2

3

232

2

2

22

yx

C

yxyxy

)/()(

Procedendo de forma análoga ao realizado para a placa plana, pode-se

procurar uma adimensionalização que torne a solução similar

)(x

y

d

)()(

xHf

52

Vimos pela análise de ordem de grandeza que

Obtém-se a equação de Faulkner-Skan

Uxf

)()(

d

21/Re

xd

ou

)/()(

/)/(//

)(

]/)[]/))([Re

d

21

21122121 2

21x

cxxCxxU

xx

Definido

e

)(x

y

d

)(

Re

)/()(

/

22 21

21 c

x

y

x

y x

01

2

2

2

3

3

d

fd

d

fdf

d

fd

xxcf

Re)()()(

)/(

2

2

2 21


1. = 0 f = f ‘ = 0

2. f ‘ 1 ( y = d f ‘ 0,99 )


53

Solução de Falkner-Skan

54

Problemas Não Similares

Fatores que impedem a similaridade:

Forma de U∞(x) ou P/x

Transferência de massa na superfície da parede

Curvatura transversal

Iteração entre vários processos de acoplamento entre o

campo de velocidade e o campo de temperatura

Função dissipação (2 m ≠ n)ex: cunha isotérmica em convecção forçada

ex: convecção mista com função dissipação

(2m = n e 2m+1 = n → impossível)

vo

55

Métodos de Solução:

Similaridade local

Não similaridade local

Métodos integrais

Séries

Diferença-diferencial

Diferenças finitas

56

Similaridade local Exemplo: U∞(x)≠ C xm

0y

v

x

u

2

2

y

u

xd

UdU

y

uv

x

uu

),( x fxUx

Uy

)(xgx Lx /x

dx

dU

U

x

)(x

xxx

ff

ffffff )1(

1 2

Mudança de variáveis:

Ex:

Então

Se se reduz ao caso similar (equação de Faulkner-Skan)

0)0,()0,( xx ff 1),( xf

mf

0

x

Condição de contorno:

57

Outra mudança de variável

Então

L

dx

u

xUx

o

)(

x

yuL

U

x

2

),(2 xx fLU

xxx

ff

ffffff 2)1( 2

x

dxUdx

dU

U0

2

2

onde u∞ e L são constantes

onde

58

Método de solução

i. Despreza-se o 2o. membro

nas proximidades de x=0 isso é justificável

para valores de x maiores, espera-se que / x seja pequeno

oPara 1ª. transformação:

oPara 2ª. transformação:

oCoeficientes são função de x

ii. Fixa x

Fixando xou são valores numéricos

iii. Integra-se a equação diferencial f”’ para aquele x =cte

0)1( 2 ffff

011 2

)( ffff

59

Para cada x, tenho uma cunha diferente, cuja solução já é

conhecida

0)1(1 2

fmff

m

mf

0)1( 2 ffff )1/(2 mm

pcunhas com U∞=Cxm

xx

f1 1f 1f

xx

f2 2f 2f

60

ExemploEscoamento sobre um cilindro, de raio R

x=0 (ponto de estagnação) → →

x=p/2 → → Blasius (placa plana)

f”(0)=0,332

Atrito:

Para obter o atrito médio, integrar em x, (x e são função de x)

sen2 uU Rx /x

RU

U

x

dx

dU

U

x 1cos2

sen2x

x

x

x

tan

012

11 2

)(

tantanffff

x

x

x

x

1tan

x

x0)1( 2 ffff

0tan

x

x 02

1 fff

)0,("2

Re)(xf

xCf x

61

Escoamento na Esteira de uma Placa Plana

com Ângulo Zero de Incidência

Vamos integrar as

equações de

continuidade e de

quantidade de

movimento no volume

de controle

AB – A A1 – BB1 - A1 B1

Atrás do bordo de fuga, os dois perfis de velocidade coalecem em um único

perfil na esteira

A magnitude da depressão na curva de velocidade é diretamente relacionada

ao arraste no corpo

Longe do corpo, o perfil de velocidade na esteira é independente da forma do

corpo

Próximo ao corpo, o perfil de velocidade é determinado pela camada limite

sobre o corpo e o perfil depende se o escoamento é separado ou não.

62

Integrando a equação de continuidade no volume de controle

AB – A A1 – BB1 - A1 B1 obtem-se

00

SCSCVC

AdVAdVdt

hB

A

B

A

hh

yduUbAdV

AdVydubydUb

0

00

1

1

1

1

00

)(

01

1

11

B

A

B

B

A

A

B

A

AdVAdVAdVAdV

Integrando a equação de quantidade de movimento na

direção x no volume de controle AB – A A1 – BB1 - A1 B1 ,

considerando a pressão constante

hyduUUb

B

A

hh

B

A

B

B

A

A

B

A

SCSCVCextx

AdVUydubydUbD

AdVuAdVuAdVuAdVuD

AdVuDAdVudut

F

0

1

1

1

1

11

0

2

0

20

)(

0

yduUubD )(

63

Em ambos os lados

yduUubD )(2

Esta equação é válida para todo corpo

cilíndrico simétrico e não somente para uma

placa plana

64

Vamos determinar o perfil de velocidade na esteira , longe do bordo

de fuga

Seja a diferença de velocidade na esteira ),(),( yxuUyxu 1

Considere a diferença de velocidade na esteira u1 << U , tal que termos

quadráticos ou de ordem mais elevada podem ser desprezados

Considere ainda o gradiente de pressão nulo. Então a equação de

quantidade de movimento pode então ser escrita como

21

21

y

u

x

uU

21

211

1y

u

y

uv

x

uuU

)(


(1) y = 0 u1 / y =0

(2) y u1 =0

65

x

Uy

Com as variáveis introduzidas a equação de “momentum” pode ser escrita como

Introduzindo uma mudança de variáveis , assumindo a hipótese de

escoamento similar, como o da placa plana de Blasius, e lembrando que a

integral de “momentum” deve ser independente de x

)(

/

gL

xCUu

21

1

L = comprimento

da placa

yduUbD 12 Desprezando os termos quadráticos, o arraste é

dgU

LCUbD

)(22

02

1

2

1 ggg Condições de contorno:

= 0 g’ =0

g=002

1 )( gg ou

66

Integrando e aplicando a condição de contorno em = 0, tem-se

02

1 )( gg

Integrando novamente e aplicando a condição de contorno em , tem-se

)exp(2

4

1 Ag

A constante C pode ser determinada a partir da condição de que o arraste

devido a perda de “momentum” deve ser igual ao arraste da placa plana.

Perda de “momentum”

Pode-se arbitrar A= 1, pois ainda

é necessário determinar a

constante C

dgU

LCUbD

)(22 p 2

4

1 2

ddg )exp()(onde

Arraste na placa plana

/

.

LULbULbCf

UD L

3281

222 2

2

logo 32812 .pC

67

A distribuição da diferença de velocidade

na esteira é

Note que a distribuição de velocidade é

igual a distribuição da função erro

Gaussiana.

Este perfil é válido somente para grandes

distâncias da placa (x > 3 L)

)exp(.

/

p x

Uy

L

x

U

u

2211

4

16640

Usando uma aproximação de 2ª. ordem

para o comportamento assintótico do

escoamento, pode-se determinar o perfil

de velocidade próximo ao bordo de fuga

da placa.

68

O escoamento na esteira de uma placa (ou de qualquer outro

corpo) geralmente é turbulento. Mesmo para baixos números de

Reynolds (ReL < 106), quando a camada limite sobre a placa é

laminar, a esteira se torna turbulenta, porque o perfil de velocidade na

esteira possui um ponto de inflexão, sendo extremamanete instável.

Escoamento Laminar de Correntes Paralelas

Esta equação não tem solução fechada e

necessita ser resolvida numericamente

x

Uy

1 fxU 1 fUu 1/

68

02 fffCondições de contorno:

+ f’ =1

f’=U1/U2=l

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