Escoamento em rios Modelo Muskingum Criado na década de 1930 por McCarthy para representar a...
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Escoamento em riosModelo Muskingum
Criado na década de 1930 por McCarthy para representar a propagação de vazão ao longo do rio Muskingum.
),( QIfS
QIdt
dS
Supõe que S (armazenamento) estárelacionado a I (vazão de entrada) e Q (vazão de saída)
2
Escoamento em rios: Muskingum
Continuidade
Relação
tttt QCICICQ 32111
2
t)X1(K
2
t)X1(K
C ;
2
t)X1(K
2
tKX
C ;
2
t)X1(K
2
tKX
C 321
QIdt
dS
S = K [X I +(1-X) Q]
C1+C2+C3=1
K é o tempo médio de deslocamento da onda
X é um ponderador entre as vazões de entrada e saída
A vazão (Q) na seção de jusante é dada por:
3
Intervalo de tempo
Para que os coeficientes da equação sejam positivos
t 2KX e 0
2t
)X1(K
2t
KXC1
t X)-2K(1 e 0
2t
)X1(K
2t
)X1(KC3
)X1(K2tKX2 )X1(2K
tX2
5,0X0
0 0,5 X
2K/t
1
0
R egião v ál id a
é o intervalo de tempo para simulação da propagaçãot
4
Significado dos parâmetros
X representa a ponderação entre a vazão de entrada e saída do trecho
K representa o tempo médio de translado do escoamento entre montante e jusante
t
I e Q
K
Diferença entre os centros de gravidade dos hidrogramas
I
Q
I
t.I
Q
t.QK
5
Métodos para estimativa dos parâmetros
Mínimos quadrados
Sc
So
Di
2)SOiSCi(D
])QI(QI[K
IQQSoISoQX
)IQ(QI
QSoISoQ)ISoQSo(QIK
222
2
222
22
Tradicional método da laçada
S/∆t
QI
X=X1 X= XnVariar o valor de X até que se crie uma laçada, com forma mais próxima possível de uma reta
Ajustar uma linha de tendência linear
K será igual ao coeficiente angular da reta
QI = a.S/∆t + b
K = a
Muskingum-Cunge
)1(5,0xcSb
QX
ooo
o
oc
xK
6,04,0
4,00
3,00
.3
5
nb
QSc
o
o
Adaptado para estimativa com base em parâmetros físicos do trecho
2,08,00
000
0 ..8,0..
xtccSb
Qx
8
Roteiro de Ajuste
1) Fixar ∆t = tp/5 ou outro valor para ∆t ≤ tp/5
2) Adotar valor de Qo = 2/3 da vazão máxima do hidrograma de entrada
3) Calcular co
4) Calcular ∆x por processo iterativo
5) A primeira estimativa de ∆x pode ser obtida por
6) Calcular K e X e verificar se está dentro da faixa de erro de 5%
7) Caso contrário modifique ∆x
ooo
oo cSb
Qx
5,2
9
Exemplo
Determine o hidrograma 18 km a jusante de uma seção de um rio. As características do trecho são: largura=30m, declividade=0,0007 m/m; rugosidade de Manning n=0,045.
o tempo tp = 240 min e =240/5=48 min, ∆t=40min. A vazão máxima de montante é 130 m3/s, Qo=87m3/s
smbon
QoSoco /86,1
3
54,06,0
4,03,0
mxx
x 568.586,10007,030
87.5,2
mx 6018Por convergência
tK = 1,34
X=0,31
mx 6000 adotado
Muskingum Cunge não linear
A celeridade não é constante Os parâmetros do método de
Muskingum Cunge deveriam variar Celeridade varia com o nível da
água ou com a vazão
Celeridade aumenta
Celeridade diminui
Muskingum Cunge não linear
Substituir K e X (C1, C2 e C3) constantes por variáveis
A cada passo de tempo é necessário recalcular o valor de K e X (C1, C2 e C3)
Só o que não muda é o x
Muskingum Cunge não linear
Qual vazão usar como referência? Criar tabela Q x C a partir de tabela h x A x Q
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Solução não-linear
Cálculo de X e K em cada célula de cálculo
t
xi i+1
t
t+1 It+1
It
Qt+1
Qt
Calcular K e X com base em:
(1) Qt
(2) Qt, It e It+1
(3) todos.
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tttt
IQIQo
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Exemplo Jacuí
Linear x Não-linear