Gramas de A/kg

Gramas de B/kg

Preço/kg

1. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

O método que vamos usar para resolver sistemas lineares consiste na aplicação de operações elementares às linhas da matriz aumentada do sistema até que obtenhamos uma matriz numa forma em que o sistema associado a esta matriz seja de fácil resolução. Vamos procurar obter uma matriz numa forma em que todas as linhas não nulas possuam como primeiro ele-mento não nulo (chamado pivô) o número 1. Além disso, se uma coluna contém um pivô, então todos os seus outros elementos terão que ser iguais à zero. Vamos ver no exemplo seguinte como conseguimos isso. Neste exemplo veremos como a partir do faturamento e do gasto com insumos podemos determinar quanto foi produzido de cada produto ma-nufaturado em uma indústria. Exemplo 1: Uma indústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B. Para a manufatura de cada kg de X, são utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B; para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 1 grama de insumo B e, para cada kg de Z, 1 grama de A e 4 gramas de B. O preço de venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z é R$ 2,00; R$ 3,00 e R$ 5,00, respectivamente. Com a venda de toda a produção de X, Y e Z manufaturada com 1 kg de a e 2 kg de B, essa indústria arrecadou R$ 2500,00. Vamos determinar quantos kg de cada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos. Solução: Usando matrizes, o esquema de produção pode ser descrito da seguinte forma: X Y Z

�1 1 12 4 12 3 5� = A e X = ���

Fazendo · �, obtemos o seguinte sistema: � � � � � 10002 � � 4� � 20002 � 3 � 5� � 2500�, cuja matriz é: � 1 2 2 113

1 4 5 1000 2000 2500�.

1ª eliminação: Vamos procurar para pivô da 1ª linha um elemento não nulo da primeira coluna não nula (se for o caso, podemos usar a troca de linhas para “trazê-lo” para a primeira linha). Como o primeiro elemento da primeira coluna é igual a 1 ele será o primeiro pivô. Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 1ª coluna, que é a coluna do pivô, para isto, adicionamos à 2ª linha, (-2) vezes a primeira linha e adicionamos à 3ª linha, também (-2) vezes a 1ª linha. Neste exemplo, ficou um tanto quanto óbvio que deveríamos multiplicar (-2), contudo, para em casos menos óbvios, basta utilizar um método que permite descobrir o multiplicador das linhas. Esse método consiste em dividir o elemento a ser zerado pelo pivô.

� �1 0 0 1�11

1 2 3 10000 500 �

2ª eliminação: Olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1ª linha. Escolhemos para pivô um elemento dife-rente de zero na 1ª coluna não nula desta sub-matriz. Vamos escolher o elemento de posição a2,2. Como temos que fazer o pivô igual a um, vamos multiplicar a 2ª linha por (-1).

� �1 0 0 1 1 1

1 �2 3 10000 500 �

Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 2ª coluna, que é a coluna do pivô. Para isto, somamos à 1ª linha (-1) vezes a 2ª linha e somamos à 3ª linha, também (-1) vezes a 2ª linha.

� �1 0 0 0 1 0

3 �2 5 10000 500 �

3ª eliminação: olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1ª e a 2ª linha. Escolhemos para pivô um elemen-to diferente de zero na 1ª coluna não nula desta sub-matriz. Temos de escolher o elemento de posição a3,3 e como temos de fazer o pivô igual a 1, vamos multiplicar a 3ª linha por 1/5.

(-2) x 1ª linha + 2ª linha � 2ª linha (-2) x 1ª linha + 3ª linha � 3ª linha

(-1) x 2ª linha � 2ª linha

(-1) x 2ª linha + 1ª linha � 1ª linha (-1) x 2ª linha + 3ª linha � 3ª linha

Multiplicador da linha 2 � ��,����ô

Multiplicador da linha 3 � ��,����ô

� �1 0 0 0 1 0

3 �2 1 10000 100 �

Agora precisamos “zerar” os outros elementos da 3ª coluna, que é a coluna do pivô, para isto, somamos à 1ª linha (-3) vezes a 3ª e somamos a 2ª (2) vezes a 2.

� �1 0 0 010

0 0 1 700 200 100 �

Portanto, o sistema dado é equivalente à � � 700 � 200� � 100� .

A última matriz que obtivemos está na forma que chamamos escalonada reduzida e satisfaz as seguintes condições:

a) Todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) ocorrem abaixo das linhas não nulas; b) O pivô (1° elemento não nulo de uma linha) de cada linha não nula é igual a 1; c) O pivô de cada linha não nula ocorre à direita do pivô da linha anterior; d) Se uma coluna contém um pivô, então todos os seus outros elementos são iguais a zero.

Exemplo 2: No sistema � � 3 � 13� � 9 � 5� � 2�2 � 10� � �8� , encontrar o valor de x, y e z.

Solução: Montando a matriz, temos: � 1 0 0 3 1�2

13 15 �10 9 2 �8�.

1ª eliminação: como o pivô da linha é igual a 1 e os outros elementos da 1ª coluna são iguais a zero, não há nada o que fazer na 1ª eliminação.

�1 0 0 3 1�2

13 15 �10 9 2 �8�

2ª eliminação: olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1 linha. Escolhemos para pivô um elemento não nulo da 1 coluna não nula da submatriz. Escolhemos o elemento de posição a2,2. Como ele é igual a 1, precisamos agora “zerar” os outros elementos da coluna do pivô. Para isto somamos à 1ª linha (-3) vezes a 2ª e somamos à 3ª linha (2) vezes a 2ª.

� �1 0 0 010

�2 5 0 3 2 �4�

Portanto o sistema dado é equivalente ao sistema: � � 2 � 9 � 5� � 2 0 � �4� que não possui solução.

Em geral, um sistema linear não tem solução se, e somente se, a última linha não nula da forma escalonada reduzida da sua matriz aumentada for da forma [0 ... 0 | b’m], com b’m ≠ 0.

(-1/5) x 3ª linha � 3ª linha

(-3) x 3ª linha + 1ª linha � 1ª linha (2) x3ª linha + 2ª linha � 2ª linha

(-3) x 2ª linha + 1ª linha � 1ª linha (2) x2ª linha + 3ª linha � 3ª linha