ESCALONAMENTO DE TAREFAS - FlowShop Permutacional e Não Permutacional
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1
ESCALONAMENTO DE TAREFAS
Orientadora: Profª. D.Sc Rosiane de Freitas.Elton Carlos Costa LeverManoel Sócrates Costa Lever
Escalonamento de tarefas:
• Os problemas de escalonamento de tarefas que consistem em
determinar uma atribuição das tarefas para processadores de
forma a otimizar o tempo de execução total destas tarefas.
2
Introdução
Os problemas de programação de tarefas em sistemas de produção são, tradicionalmente, classificados em função do fluxo das operações nas máquinas, conforme segue:
3
Introdução
• Job Shop: cada tarefa tem sua própria sequência de processamento no conjunto de máquinas;
• Open Shop : não há uma sequência específica ou preestabelecida para o processamento das tarefas nas máquinas;
• Flow Shop : todas as tarefas têm a mesma sequência de processamento no conjunto de máquinas; cada tarefa é processada nas máquinas 1, 2, ...,m, nesta ordem, mas as tarefas não são necessariamente processadas na mesma sequência em cada máquina;
• FlowShop Permutacional: é um FlowShop no qual em cada máquina a sequência das tarefas é a mesma.
• FlowShop não Permutacional: é um FlowShop no qual a sequência das tarefas podem mudar nas máquinas seguintes.
Flow Line
4
• É o arranjo físico das máquinas, o layout a ser utilizado na fábrica, logo é uma particularização do FlowShop.
• Os equipamentos ou as estações de trabalho são colocados de acordo com a sequência de montagem, sem caminhos alternativos para o fluxo produtivo;
• O material percorre um caminho previamente determinado dentro do processo;
Flow Line
5
• Alguns exemplos de utilização deste tipo de arranjo: linhas de montagem, fábricas de produtos químicos, logística, alimentícias, frigoríficos, serviço de restaurante a quilo etc.
Job
Outros arranjos físicos
6
• Arranjo por processo ou funcional (Job Shop)
7
Flow Shop
Definições:• Flow Shop ocorre sempre que necessário para
programar um conjunto de n tarefas em m máquinas, para que cada trabalho visite todas as máquinas com o fim de otimizar uma ou mais funções objetivas.
Flow Shop Permutacional
Definição• O problema de programação de operações Flow Shop é um
problema da produção, no qual n tarefas devem ser processadas, na mesma sequência, em cada máquina de um conjunto de m máquinas distintas.
• Um caso específico de programação Flow Shop, denominado Permutacional, é quando em cada máquina mantém-se a mesma ordem de processamento das tarefas.
• Escalonamento Flow Shop Permutacional é um problema NP-completo de otimização combinatória já para m = 3 máquinas (Garey, Johnson, & Sethi, 1976). 8
Flow Shop Permutacional
Definição• Um problema de programação Flow Shop
Permutacional envolvendo apenas 10 tarefas apresenta 3.628.800 soluções possíveis, existem (n!) sequências possíveis.
• A solução consiste em determinar dentre as (n!) sequências possíveis das tarefas, a otimização do tempo total do processamento (Makespan).
9
Notação
10
Usando a notação de Graham descrito por um trio
𝛼|𝛽|𝛾Ambientes de máquinas, denota o layout do sistema e do tipo de fluxo de produção
indica as características de operação (pode ser vazio)
Função Objetivo.denota os índices de desempenho adotados
FlowShop PermutacionalModelagem
11
5 4 7 4
15 3 1 3
2 5 4 3
1 2 3 4Máquina (i-1)
Máquina (i)
Máquina (i+1)
1 2 3 4
1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35
5 4 7 4
15 3 1 3
2 5 4 3
GRÁFICO DE GANTT
Flow Shop Permutacional
12
4
3
2
1
Máquina (i-1) Máquina (i) Máquina (i+1)
1 2 3 4Máquina (i-1)
Máquina (i)
Máquina (i+1)
1 2 3 4
1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35
5 4 7 4
15 3 1 3
2 5 4 3
Flow Shop Permutacional
13
4
3
2 1
Máquina (i-1) Máquina (i) Máquina (i+1)
1 2 3 4Máquina (i-1)
Máquina (i)
Máquina (i+1)
1 2 3 4
1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35
5 4 7 4
15 3 1 3
2 5 4 3
Bloq
Flow Shop Permutacional
14
4
3 2 1
Máquina (i-1) Máquina (i) Máquina (i+1)
1 2 3 4Máquina (i-1)
Máquina (i)
Máquina (i+1)
1 2 3 4
1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35
5 4 7 4
15 3 1 3
2 5 4 3
Wait = 5 Wait = 2Wait = 4Wait = 3 Wait = 3
Flow Shop Permutacional
15
4
3
2
1
1234
4
3
2
1 1234 1234
Máquina (i-1) Máquina (i) Máquina (i+1)
1 2 3 4Máquina (i-1)
Máquina (i)
Máquina (i+1)
1 2 3 4
1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35
5 4 7 4
15 3 1 3
2 5 4 3
Flow Shop Não Permutacional
16
𝐹𝑚∨𝐵𝑖=𝑛−2∨𝐶𝑚𝑎𝑥
• onde significa flowshop com máquinas,
• denota a presença de buffers; um buffer de capacidade ilimitada permite permutações e; uma capacidade limitada ;
• denota a minimização makespan como critério de otimização. Menor makespan implica outros benefícios, tais como menor tempo ocioso, maior utilização da máquina e maior eficiência.
Flow Shop Não PermutacionalModelagem
17
5 4 7 4
15 3 1 3
2 5 4 3
1 2 3 4Máquina (j-1)
Máquina (j)
Máquina (j+1)
1 23 4
1 23 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35
5 4 7 4
15 31 3
2 54 3
Buffer (j-1)
Flow Shop Não Permutacional
18
𝐹𝑚∨𝐵𝑖=𝑛−2∨𝐶𝑚𝑎𝑥
18
1 2 3 4Máquina (j-1)
Máquina (j)
Máquina (j+1)
1 23 4
1 23 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35
5 4 7 4
15 31 3
2 54 3
Máquina (j-1) Máquina (j) Máquina (j+1)
4 3
2 1
Buffer (j) Buffer (j+1)
Buffer (j-1) Máquina (j-1) Máquina (j) Máquina (j+1)Buffer (j) Buffer (j+1)
Flow Shop Não Permutacional
19
𝐹𝑚∨𝐵𝑖=𝑛−2∨𝐶𝑚𝑎𝑥
4 3
21
19
1 2 3 4Máquina (j-1)
Máquina (j)
Máquina (j+1)
1 23 4
1 23 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35
5 4 7 4
15 31 3
2 54 3
Buffer (j-1) Máquina (j-1) Máquina (j) Máquina (j+1)Buffer (j) Buffer (j+1)
Flow Shop Não Permutacional
20
𝐹𝑚∨𝐵𝑖=𝑛−2∨𝐶𝑚𝑎𝑥
4 32 1
20
1 2 3 4Máquina (j-1)
Máquina (j)
Máquina (j+1)
1 23 4
1 23 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35
5 4 7 4
15 31 3
2 54 3
Buffer (j-1) Máquina (j-1) Máquina (j) Máquina (j+1)Buffer (j) Buffer (j+1)
Flow Shop Não Permutacional
21
𝐹𝑚∨𝐵𝑖=𝑛−2∨𝐶𝑚𝑎𝑥
43
21
21
1 2 3 4Máquina (j-1)
Máquina (j)
Máquina (j+1)
1 23 4
1 23 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35
5 4 7 4
15 31 3
2 54 3
Buffer (j-1) Máquina (j-1) Máquina (j) Máquina (j+1)Buffer (j) Buffer (j+1)
Flow Shop Não Permutacional
22
𝐹𝑚∨𝐵𝑖=𝑛−2∨𝐶𝑚𝑎𝑥
4
3
2
1
123412
3412 34 12 34
12
34
12
34
22
1 2 3 4Máquina (j-1)
Máquina (j)
Máquina (j+1)
1 23 4
1 23 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35
5 4 7 4
15 31 3
2 54 3
Modelagem Matemática Flow Shop Não Permutacional
• A programação linear inteira mista (PLIM), modelada para o problema NPFS é o seguinte:
as posições sequenciais, = o valor positivo suficientemente grande;, se a tarefa é atribuída na sequencia da posição
na máquina ; caso contrário é
Modelagem Matemática Flow Shop Não Permutacional
Sujeito a:
• Função objetivo:
• A função objetivo (1) tem por finalidade minimizar o makespan ou seja reduzir o tempo total de processamento de todas as tarefas nas máquinas.
Modelagem Matemática Flow Shop Não Permutacional
1 2 3 4Máquina (j-1)
Máquina (j)
Máquina (j+1)
1 23 4
1 23 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35
5 4 7 4
15 31 3
2 54 3
• A restrição (2) garante que cada tarefa é atribuído a exatamente uma posição da sequência de trabalho em cada máquina.
Modelagem Matemática Flow Shop Não Permutacional
1 2 3 4Máquina (j-1)
Máquina (j)
Máquina (j+1)
1 23 4
1 23 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35
5 4 7 4
15 31 3
2 54 3
• A restrição (3) afirma que cada posição da sequência de tarefa processa exatamente uma tarefa em cada máquina.
Modelagem Matemática Flow Shop Não Permutacional
1 2 3 4Máquina (j-1)
Máquina (j)
Máquina (j+1)
1 23 4
1 23 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35
5 4 7 4
15 31 3
2 54 3
• Restrição (4) indica que, considerando-se todas as sequências da máquina, cada tarefa pode ser no máximo vezes na mesma posição e, pelo menos, um desses pode ser inferior a vezes na mesma posição (restrição não Permutacional).
Modelagem Matemática Flow Shop Não Permutacional
1 2 3 4Máquina (j-1)
Máquina (j)
Máquina (j+1)
1 23 4
1 23 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35
5 4 7 4
15 31 3
2 54 3
• A restrição (5) denota os tempos a partir do primeira tarefa em cada máquina.
Modelagem Matemática Flow Shop Não Permutacional
1 2 3 4Máquina (j-1)
Máquina (j)
Máquina (j+1)
1 23 4
1 23 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35
5 4 7 4
15 31 3
2 54 3
• A restrição (6) garante que o trabalho na sequência da máquina não comesse até que a tarefa na sequência da máquina seja concluído.
Modelagem Matemática Flow Shop Não Permutacional
1 2 3 4Máquina (j-1)
Máquina (j)
Máquina (j+1)
1 23 4
1 23 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35
5 4 7 4
15 31 3
2 54 3
• A restrição (7) garante que o momento de início da tarefa , o que é atribuído à posição na sequência na máquina não é anterior ao seu termino na máquina .
Modelagem Matemática Flow Shop Não Permutacional
1 2 3 4Máquina (j-1)
Máquina (j)
Máquina (j+1)
1 23 4
1 23 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35
5 4 7 4
15 31 3
2 54 3
• A restrição (8) assegura que o tamanho do buffer da máquina é, pelo menos, .
Modelagem Matemática Flow Shop Não Permutacional
1 2 3 4Máquina (j-1)
Máquina (j)
Máquina (j+1)
1 23 4
1 23 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35
5 4 7 4
15 31 3
2 54 3
Referências
KING, R.; SPACHIS, A. S. Heuristics for flowShop scheduling. International Journal of Production Research, v. 18, p. 343-357, 1980.
Rossi, A. Lanzetta, M; Scheduling flow lines with buffers by ant colony digraph. journal homepage: www.elsevier.com/locate/eswa, acesso 05/2014.
Lin, SW. Ying, K; Minimizing makespan and total flowtime in permutation flowshops by a bi objective multi-start simulated-annealing algorithm. journal homepage: www.elsevier.com/locate/eswa, acesso 05/2014.
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Escalonamento de Tarefas
Orientadora: Profª. D.Sc Rosiane de Freitas.Elton Carlos Costa LeverManoel Sócrates Costa Lever