Erros Experimentais

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Aula 02 – Erros experimentais Incerteza Aula 02 Incerteza Aula 02 Prof. Valner Brusamarello

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wergtferg dfgf gdfg fdghdfh

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Aula 02 – Erros experimentaisIncerteza

Aula 02

Incerteza

Aula 02

Prof. Valner Brusamarello

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“Sempre que alguém tentar fazer umaSempre que alguém tentar fazer umamedição precisa, bem feita, com

t i !”certeza vai errar!”

Hermman Osterman, Nov/2008.

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REFLEXÃOEXISTE AGUMA DÚVIDA SOBRE A IMPORTÂNCIA DA METROLOGIA?

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E P d tErro x Produto

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COMERCIALIZAÇÃO DO GÁS NITROGÊNIONITROGÊNIO

0,005 m³/l

Page 6: Erros Experimentais

COMERCIALIZAÇÃO DO GÁS NITROGÊNIONITROGÊNIO

50 L x 0,005 m3/L = 0,25 m3/cilindro

0,25 m3/cilindro x 1000 cilindros = 250 m3/dia

250 m3 x 20 dias = 5000 m3/mês

V(50 l; 19 MPa; 25oc) = 10,2 m3 49%

Número de cilindros comprometidos = 5000 m3= 490 cilindros

10 2 m310,2 m3

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I t t ã I d dInstrumentação Inadequada ao processo

Page 8: Erros Experimentais

INTRUMENTAÇÃO INADEQUADA AO PROCESSOAO PROCESSO

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INTRUMENTAÇÃO INADEQUADA

5,5%

AO PROCESSO

4,5%

5,0% Ut=1%D

3,5%

4,0%

esso

[ %

] Ut=2%

2,5%

3,0%

otal

do

Proc

e

Ut=0,5%C

1,5%

2,0%

Ince

rteza

To

B

0,5%

1,0%

A4 A3 A2A1 e A

0,0%0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50

Incerteza na Leitura de Pressão [%]

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I d M di ãIncerteza de Medição

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INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO

Norma ASTM D 1298 - 05

Item 5.1

- Accurate determination of the density, relative density (specificgravity) or API of Petroleum and its products is necessary for thegravity), or API of Petroleum and its products is necessary for theconversion of measured volumes to volumes or masses, or both, atthe standard reference temperatures during custody transfer.p g y

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PLANILHA DE INCERTEZASDeterminação da massa específica de uma gasolina conforme

Fontes de Incerteza Valor Distribuição DivisorCoef. eSensibili Incerteza Graus de

Determinação da massa específica de uma gasolina conforme norma ASTM D1298-05

Fontes de Incerteza Valor Distribuição Divisor Sensibilidade

Incertezag/cm³

Graus deliberdade

Limite inferior dadensidade corrigidapara 200C ρ

0,0001 retangular 3 0,8 0,000046 ∞para 20 C )1(20ρ

Certificado dodensímetro medidaρ 0,0003 normal 2 1 0,00015 ∞

Limite inferior dadensidadeobservada 1ρ

0,0001 retangular 3 0,8 0,000046 ∞

Limite superior dadensidade corrigidapara 200C )2(20ρ

0,0001 retangular 3 0,2 0,000012 ∞para 20 C )2(20ρ

Limite superior dadensidadeobservada 2ρ

0,0001 retangular 3 0,2 0,000012 ∞

Certificado deCertificado decalibração dotermômetro

0,120C Normal 2 0,0008 /0C

0,000048 ∞

IncertezaCombinada normal 0,00015 ∞IncertezaIncertezaExpandida(95%:k=2)

normal 0,00030 ∞

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MEDIÇÃO DA MASSA ESPECÍFICA DA GASOLINA

U = 0 0003 g/cm³ = 0 3 kg/m3

ASTM D1298-05

•Abastecimento de um veículo-tanque cuja a capacidade é de 32 m³.

U 0,0003 g/cm 0,3 kg/m

32 ³ 0 3 k / 3 9 6 k

•Abastecimento de 500 veículos-tanque de 32 m³ por dia.

= 32 m³ . 0,3 kg/m3 = 9,6 kg

•Balanço em 20 dias de abastecimento (kg).

= 9,6 kg . 500 = 4800 kg

ç ( g)

= 4800 kg . 20 dias = 96000 kg

• Balanço em 20 dias de Abastecimento (m³).

)(³)/( kgmk )(³)( kgmV ³6121)(96000³)( kgV³)()(³)/(

mVgmkggasolina =ρ

³)/()(³)(mkggmV

ρ= ³6,121

³)/(5,789)(³)( m

mkggmV ==

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MEDIÇÃO DA MASSA ESPECÍFICA DA GASOLINA

•Número de veículos tanque de 32 m³ comprometido a cada 20 dias

ASTM D1298-05•Número de veículos- tanque de 32 m³ comprometido a cada 20 dias.

8,3³32³6,121==

mm³32m

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MEDIÇÃO DA MASSA ESPECÍFICA DA GASOLINA

•Volume (L) Comprometido em 12 meses

ASTM D1298-05•Volume (L) Comprometido em 12 meses.

= 3,8 . 32000 L . 12 = 1 459 151 L

•Capital ( US$) comprometido em 12 meses.

= 1 459 151 L . US$ 0,67 = US$ 972 768

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TOLERÂNCIAS NORMA ASTM D 1298 - 05

TABELA 3 – Exatidão do Método

NORMA ASTM D 1298 05

Produto Grandeza Temperatura°C (°F)

Unidades Repetitividade

Reprodutibilidade

kg/m³ 05 12Transparente Densidade

-2 a 24,5

kg/m³

kg/L ou g/mL

0,5

0,0005

1,2

0,0012Baixa –

Viscosidade DensidadeRelativa

(29-76)

Nenhuma 00005 00012Líquidos

Relativa

API (42-78)

Nenhuma

°API

0,0005

0,1

0,0012

0,3

•Tolerância da Norma ( 0,5 kg/m³ )2796211$5768972$ USUS

•Capital comprometido2796211$

35768972$ USUS =⋅=

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Algumas definições em MetrologiaAlgumas definições em Metrologia

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Vocabulário Internacional de Metrologia (VIM)

Page 20: Erros Experimentais

VIM

Algumas definições (jargões metrológicos)

VIM

g ç (j g g )

•Metrologiag•“Ciência das Medições”•Base do desenvolvimento tecnológico”

FonteFonte: Vocabulário Internacional de Metrologia (VIM), 2ª Edição, 2000.g ( ), ç ,

•Metrologia no dia a dia•Metrologia Legal

•kg, litro, metro etc•Avanços tecnológicos “comprováveis”ç g p•Suporte às ciências

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VIM2.39 (6.11)Calibração calibration étalonnage

VIM

Operação que, sob condições especificadas, estabelece numa primeira etapa, uma relação entre os valores e as incertezas de medição fornecidos por padrões, e as indicações correspondentes com as incertezas associadas e, numa segunda etapa, utiliza esta informação para estabelecer uma relação visando a obtenção g p pde um resultado de medição a partir de uma indicação.

NOTA 1: Uma calibração pode ser expressa por meio de uma declaração, uma função de calibração, um diagrama de calibração uma curva de calibração ou uma tabela de calibração Em alguns casos podediagrama de calibração, uma curva de calibração ou uma tabela de calibração. Em alguns casos, pode consistir de uma correção aditiva ou multiplicativa da indicação com incerteza de medição associada. NOTA 2: A calibração não deve ser confundida com o ajuste de um sistema de medição, frequentementedenominado de maneira imprópria de “auto-calibração”, nem com a verificação de calibração. NOTA 3: Freqüentemente, apenas o primeiro passo na definição acima é entendido como sendo calibração.

•Calibrar para quê?•Indicação correta dos resultados de uma medição•Indicação correta dos resultados de uma medição•Uniformidade na expressão das grandezas (comércio, p.ex.)•Confiabilidade•Rastreabilidade nacional e internacional

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VIM2.1 (2.1)Medição measurement mesurage

VIM

Medição measurement mesurage

Processo de obtenção experimental de um ou mais valores que podem ser, razoavelmente atribuídos a uma grandezarazoavelmente, atribuídos a uma grandeza.

NOTA 1: A medição não se aplica a propriedades qualitativas.NOTA 2 A di ã i li ã d d l b t dNOTA 2: A medição implica na comparação de grandezas e engloba contagem de entidades.NOTA 3: A medição pressupõe uma descrição da grandeza compatível com a utilização pretendida de um resultado de medição, de um procedimento de mediçãoe de um sistema de medição calibrado, que opera de acordo com procedimentos de medição especificados, incluindo as condições de medição.p

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5.1 (6.1) padrão measurement standard étalon5.1 (6.1) padrão measurement standard étalon

Realização da definição de uma dada grandeza, com um valor determinado e uma incerteza de medição associada, utilizada como referência.

EXEMPLO 1: Padrão de massa de 1 kg com uma incerteza-padrão associada de 3 µg. EXEMPLO 2: Resistor-padrão de 100 Ω com uma incerteza-padrão associada de 1 µΩ.EXEMPLO 3: Padrão de freqüência de césio com uma incerteza-padrão associada de 2 x 10-15.EXEMPLO 3: Padrão de freqüência de césio com uma incerteza padrão associada de 2 x 10 .EXEMPLO 4: Eletrodo de referência de hidrogênio com um valor associado de 7,072 e uma incerteza-padrão associada de 0,006. EXEMPLO 5: Conjunto de soluções de referência de cortisol no soro humano, onde cada solução

l ifi d i d di ãtem um valor certificado com uma incerteza de medição. EXEMPLO 6: Material de referência que fornece valores com incertezas de medição associadas para a concentração em massa de dez proteínas diferentes. NOTA 1: A “realização da definição de uma dada grandeza” pode ser fornecida por um sistema deNOTA 1: A realização da definição de uma dada grandeza pode ser fornecida por um sistema de medição, uma medida materializada ou um material de referência. NOTA 2: Um padrão serve freqüentemente de referência na obtenção de valores medidos e incertezas de medição associadas para outras grandezas do mesmo tipo, estabelecendo assim uma

t bilid d t ló i t é d lib ã d t d õ d i t t d di ãrastreabilidade metrológica através da calibração de outros padrões, de instrumentos de mediçãoou de sistemas de medição.

Page 24: Erros Experimentais

NOTA 3: O termo “realização” é empregado aqui no sentido mais geral. Designa três procedimentos de “realização”. O primeiro, a realização stricto sensu, é a realização física da unidade a partir da sua definição. O segundo, chamada “reprodução”, consiste, não em realizar a unidade a partir da sua definição mas em construir um padrão altamente reprodutível fundado em um fenômeno físico pordefinição, mas em construir um padrão altamente reprodutível fundado em um fenômeno físico, por exemplo o emprego de laseres estabilizados em freqüência para construir um padrão do metro, o emprego do efeito Josephson para o volt ou o efeito Hall quântico para o ohm. O terceiro procedimento consiste em adotar uma medida materializada como padrão. É o caso do padrão de 1 kg. NOTA 4: A incerteza-padrão associada a um padrão é sempre uma componente da incerteza-padrão combinada (vide o Guia ISO/IEC 98-3:2008, 2.3.4) num resultado de medição obtido ao se utilizar o padrão. Esta componente é freqüentemente pequena em comparação a outras componentes da incerteza-padrão combinadaincerteza padrão combinada. NOTA 5: O valor da grandeza e a incerteza de medição devem ser determinados no momento em que o padrão é utilizado. NOTA 6: Várias grandezas do mesmo tipo ou de tipos diferentes podem ser realizadas com o auxílio de um único dispositivo, chamado também de padrão. NOTA 7: A palavra “embodiment” é, algumas vezes, utilizada em inglês no lugar de “realização”. NOTA 8: Em ciência e tecnologia, a palavra inglesa “standard” é utilizada com dois significados diferentes: como uma especificação uma recomendação técnica ou um outro documento normativo ediferentes: como uma especificação, uma recomendação técnica ou um outro documento normativo, e como um padrão (em inglês “measurement standard”). Somente o segundo significado é pertinente para o presente Vocabulário. NOTA 9: O termo “padrão” é, às vezes, utilizado para designar outras ferramentas metrológicas, como por exemplo, um ‘padrão computacional’ (ver a ISO 5436-2).

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3.1 (4.1)( )instrumento de medição measuring instrument instrument de mesure

Dispositivo utilizado para realizar as medições, individualmente ou associado a um ou mais dispositivos suplementares.

NOTA 1: Um instrumento de medição que pode ser utilizado individualmente é um sistema de medição.NOTA 2: Um instrumento de medição pode ser um instrumento de medição indicador ou uma medida materializada.

3.2 (4.5)sistema de medição measuring system système de mesure

Conjunto de um ou mais instrumentos de medição e freqüentemente outros dispositivos, compreendendo se necessário reagentes e insumos, montado e adaptado para fornecer as informações destinadas à obtenção dos valores medidos conforme intervalos recomendadosinformações destinadas à obtenção dos valores medidos, conforme intervalos recomendados para as grandezas de tipos especificados.

NOTA: Um sistema de medição pode consistir de apenas um instrumento de mediçãoNOTA: Um sistema de medição pode consistir de apenas um instrumento de medição.

Page 26: Erros Experimentais

VIM2.41 (6.10)rastreabilidade metrológica rastreabilidade metrological traceability traçabilité

ét l i

VIM

métrologique

Propriedade de um resultado de medição, onde tal resultado pode estar relacionado a uma referência através de uma cadeia ininterrupta e documentada de calibrações cadauma referência através de uma cadeia ininterrupta e documentada de calibrações, cada uma contribuindo para a incerteza de medição.

NOTA 1: Para esta definição a ‘referência’ pode ser uma definição de uma unidade deNOTA 1: Para esta definição, a referência pode ser uma definição de uma unidade de medida por meio de sua realização prática, de um procedimento de medição que engloba a unidade de medida para uma grandeza não ordinal ou de um padrão.

NOTA 2: A rastreabilidade metrológica requer uma hierarquia de calibraçãoestabelecida.

NOTA 3: A especificação da referência deve compreender a data na qual esta referência foi utilizada no estabelecimento da hierarquia de calibração, juntamente com qualquer outra informação metrológica relevante sobre a referência, tal como quando a primeira calibração na hierarquia de calibração foi realizada.

Page 27: Erros Experimentais

NOTA 4: Para medições com mais de uma grandeza de entrada, cada valor de entrada deve ter sua própria rastreabilidade metrológica e a hierarquia de calibração p p g q çenvolvida pode formar uma estrutura ramificada ou uma rede. O esforço envolvido no estabelecimento da rastreabilidade metrológica para cada valor da grandeza de entrada deve ser proporcional à sua contribuição relativa para o resultado de medição.NOTA 5: A rastreabilidade metrológica de um resultado de medição não assegura que a incerteza de medição é adequada para um dado objetivo ou que exista uma ausência de erros.NOTA 6: Uma comparação entre dois padrões pode ser considerada como uma calibração se ela for utilizada para verificar e, se necessário, corrigir o valor e a i d di ã ib íd d d õincerteza de medição atribuídos a um dos padrões. NOTA 7: O ILAC considera que os elementos necessários para confirmar a rastreabilidade metrológica são uma cadeia de rastreabilidade metrológicai i t t padrão internacional padrão nacional i tininterrupta a um padrão internacional ou a um padrão nacional, uma incerteza de medição documentada, um procedimento de medição documentado, uma competência técnica reconhecida, a rastreabilidade metrológica ao SI e os intervalos entre calibrações (ver ILAC P 10:2002)intervalos entre calibrações (ver ILAC P-10:2002).NOTA 8: O termo abreviado “rastreabilidade” é, às vezes, utilizado como ‘rastreabilidade metrológica’ e também outros conceitos tais como ‘rastreabilidadede uma amostra de um documento de um instrumento ou de um material’ onde ode uma amostra, de um documento, de um instrumento ou de um material , onde o histórico de um item é importante. Portanto, é preferível se utilizar o termo “rastreabilidade metrológica” para evitar quaisquer dúvidas.

Page 28: Erros Experimentais

HIERARQUIA DO SISTEMA METROLÓGICOMETROLÓGICO

Unidades do SI

P d õ I i i

Padrões

BIPMPadrões Internacionais

Padrões dos Institutos Nacionaisde Metrologia

Calibração

PadrõesNacionais

Padrões de referência dos laboratóriosde calibração

Ensaios

çPadrões de referência. dos laboratórios de ensaio

Padrões de trabalho dos

Indústria e outros setores

Padrões de trabalho doslaboratórios dochão de fábrica

COMPARABILIDADE

Page 29: Erros Experimentais

VIM1.1 (1.1) grandeza quantity ; grandeur

P i d d d f ô d d b â i d

VIM

Propriedade de um fenômeno, de um corpo ou de uma substância, que se pode expressar quantitativamente sob a forma de um número e de uma referência.

NOTA 1 O it é i d ‘ d ’ d di idid á i í i dNOTA 1: O conceito genérico de ‘grandeza’ pode ser dividido em vários níveis de conceitos específicosNOTA 2: A referência pode ser uma unidade de medida, um procedimento de medição, um material de referência ou uma de suas combinaçõesum material de referência ou uma de suas combinações. NOTA 3: As séries ISO 80000 e IEC 80000 Grandezas e unidades fornecem os símbolos das grandezas. Os símbolos das grandezas são escritos em itálico. Um símbolo pode indicar diferentes grandezasdiferentes grandezas.NOTA 4: A forma preferida pela IUPAC-IFCC para designar as grandezas dos laboratórios de biologia médica é “Sistema-Componente; tipo de grandeza”.NOTA 5: Uma grandeza como definida aqui é uma grandeza escalar. Entretanto, um vetorNOTA 5: Uma grandeza como definida aqui é uma grandeza escalar. Entretanto, um vetor ou um tensor, cujas as componentes são grandezas, é também considerado como uma grandeza.NOTA 6: O conceito de ‘grandeza’ pode ser genericamente dividido em, por exemplo, g p g , p p ,‘grandeza física’, ‘grandeza química’ e ‘grandeza biológica’, ou grandeza de base e grandeza derivada.

Page 30: Erros Experimentais

VIMVIM

1 16 Sistema Internacional de Unidades - SI [International System of Units SI /1.16 Sistema Internacional de Unidades - SI [International System of Units, SI /Système International d’Unités, SI]“O SI é baseado nas sete grandezas de base do Sistema Internacional de Grandezas(ISQ) b í b l d t à id d d b

Grandeza Unidade SI

(ISQ), bem como nos nomes e os símbolos correspondentes às unidades de basecontidas na tabela a seguir.”

Grandeza Unidade SINome Simbolo

Comprimento metro mMassa quilograma kgMassa quilograma kgTempo segundo s

Corrente Elétrica ampère ATemperatura kelvin KTemperatura

Termodinâmicakelvin K

Quantidade deMatéria

mol mol

IntensidadeLuminosa

candela cd

Page 31: Erros Experimentais

éValor médio e valor verdadeiro2.11 (1.19) - valor verdadeiro - valor verdadeiro de uma grandeza( ) gtrue quantity value ; true value of a quantity ; true valuevaleur vraie ; valeur vraie d’une grandeurValor de uma grandeza compatível com a definição da grandezaValor de uma grandeza compatível com a definição da grandeza.NOTA 1: Na Abordagem de Erro para descrever as medições, o valor verdadeiro é considerado único e, na prática, desconhecido. A Abordagem de Incerteza consiste no reconhecimento de que, devido à quantidade intrinsecamente incompleta de detalhes reconhecimento de que, devido à quantidade intrinsecamente incompleta de detalhes na definição de uma grandeza, não existe um valor verdadeiro único, mas um conjunto de valores verdadeiros consistentes com a definição. Entretanto, este conjunto de valores é, em princípio e na prática, desconhecido. Outras abordagens

i l i d l d d i li lid d d evitam completamente o conceito de valor verdadeiro e avaliam a validade dos resultados de medição com auxílio do conceito de compatibilidade metrológica.NOTA 2: No caso particular de uma constante fundamental, considera-se que a grandeza tenha um valor verdadeiro únicograndeza tenha um valor verdadeiro único.NOTA 3: Quando a incerteza definicional, associada ao mensurando, é considerada desprezível em comparação com os outros componentes da incerteza de medição, pode-se considerar que o mensurando possui um valor verdadeiro “essencialmente pode se considerar que o mensurando possui um valor verdadeiro essencialmente único”. Esta é a abordagem adotada peloGUM e documentos associados, onde a palavra “verdadeiro” é considerada redundante.

Page 32: Erros Experimentais

éValor médio e valor verdadeiroO valor médio calculado de um conjunto de medições e o O valor médio calculado de um conjunto de medições e o valor verdadeiro são diferentes;

A incerteza associada ao valor médio é menor que a incerteza A incerteza associada ao valor médio é menor que a incerteza em cada um dos resultados yi.

Page 33: Erros Experimentais

éValor médio verdadeiroVamos retomar os os resultados de nossas medidas: Vamos retomar os os resultados de nossas medidas: y1, y2, y3 ... yi ... ym-1, ym;

E o seu valor médio:

11 1 1

m

ii

y∑

E did t l édi

11 2

1 1 1... iny y y y

m m m m== + + + =

Espera-se que a medida que m aumente, o valor médio aproxime-se do valor médio verdadeiro: limmv m

y y→∞

=

Page 34: Erros Experimentais

éValor médio verdadeiroVeja que a exemplo do valor verdadeiro o valor médio Veja que a exemplo do valor verdadeiro o valor médio verdadeiro também é uma quantidade desconhecida;

A diferença entre o valor médio verdadeiro e o valor A diferença entre o valor médio verdadeiro e o valor verdadeiro é o erro sistemático;

A melhor estimativa para y é yA melhor estimativa para ymv é y

Page 35: Erros Experimentais

Média e desvios da média em uma Média e desvios da média em uma população e uma amostra np p ç

Média da amostra: valor médio das observações de um conjunto de dados.

xn

i∑um conjunto de dados.

Amostra: conjunto de observações sobre a população. n

x i== 1

p p ç

População: Conjunto muito grande de observações.

No exemplo anterior as 8 medidas constituem uma N

Média da amostra

pamostra da população. A população deveria ser a medida de todos os conectores. x

N

i∑A média da amostra é uma boa estimativa da média da população N

i== 1µ

Média da população

Page 36: Erros Experimentais

Média e variância de uma variável aleatória discreta

( ) ( ) ( )2 2 221 2

1 1 1...1 1 1 ns x x x x x x

n n n= − + − + + −

− − −

Para dados amostrais X1,X2, ..., Xn, a variância é um sumário da dispersão ou espalhamento dos dados.

usa pesos iguais de 1/(n-1) como multiplicador de cada desvio quadrado Desvios calculados a partir da média da amostra tendem a ser menores que

2s( )2

ix x−Desvios calculados a partir da média da amostra tendem a ser menores que desvios calculados a partir da média da população.A variância V(X) é denotada por: ( ) ( )22 ( )V X f∑

( ) p

E o desvio padrão:

( ) ( )22 ( )x

V X x f xσ µ= = −∑( )2 2 2( )V X x f xσ µ= = −∑p

x1/ 2[ ( )]V Xσ =

Page 37: Erros Experimentais

Média e desvios da média em uma Média e desvios da média em uma população e uma amostrap p ç

A variabilidade ou dispersão ( )2∑

nppode ser descrita pela variância ou o des io padrão da amostra

( )1

2

2−

=∑=

xxs i

i

ou o desvio padrão da amostra.Em se tratando da população, a

1−ns

p p ç ,variância e o desvio padrão são

f i d σ( )2

2 1

n

ii

x µσ =

−=∑

referenciados com σ Nσ =

Page 38: Erros Experimentais

Desvio padrão da médiaConsidere um caso genérico com as variáveis aleatórias X1, X2,...Xp e constantes C1, C2,...Cp Se Y for uma combinação linear dessas variáveis 1, 2, p. çtemos:Y= C1X1+C2X2+... +CpXn

Podemos determinar o valor esperado de Y:e sua variância:

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ... ( )p pE Y C E X C E X C E X= + + +

Ai d X X X f i d d ã

2 2 21 1 2 2

2( ) ( ) ( ) ... ( ) 2 cov( , )p p i j i j

i jV Y C V X C V X C V X C C X X

< =

= + + + + ∑∑

Ainda, se X1, X2,...Xp forem independentes então

Essa é uma conclusão importante pois podemos concentrarmos na

2 2 21 1 2 2( ) ( ) ( ) ... ( )p pV Y C V X C V X C V X= + + +

Essa é uma conclusão importante, pois podemos concentrarmos na combinação linear particular que representa a média de p variáveis aleatórias, com média e variância idênticas, pois, se X1, X2,...Xp forem pindependentes então:

Page 39: Erros Experimentais

Desvio padrão da médiaDesvio padrão da médiaSe a média é com para i=1,2,...p 1 2 ... pX X X

X+ + +

= ( )iE X = µ p , ,...pentão .

Se X1, X2 ... X , são independentes com V(Xi)=σ2 para

p( )E X µ=

( )i µ

Se X1, X2. ... Xp, são independentes com V(Xi) σ para i=1,2,...p então

O desvio padrão da média é menor que da população. Este é o

2

( )V Xpσ

=

p q p p çvalor utilizado como incerteza padrão!

X pσσ =

Quando o estimador seguir uma distribuição normal, podemos ficar razoavelmente confiantes de que o valor

p

p qverdadeiro do parâmetro encontra-se no intervalo da incerteza padrão estimada. ˆ Sp ˆ X p

σ =

Page 40: Erros Experimentais

Standard Deviation of the MeanStandard Deviation of the Mean

Quando reportamos a média de N medidas, a incerteza que devemos associar com esta média é incerteza que devemos associar com esta média é o desvio padrão da média.

O desvio padrão da média é menor que o desvio d f /√ fl f d padrão por um fator 1/√n . Isso reflete o fato de

que nós esperamos que a incerteza do valor da éd d l d média seja menor quando utilizamos um grande

número de medidas N.

Page 41: Erros Experimentais

Representação da média e desvios p çde forma gráfica

Page 42: Erros Experimentais

Medição2 Medição 2.1 (2.1) medição2 Medição 2.1 (2.1) mediçãoMeasurement - mesurage ; mesureProcesso de obtenção experimental de um ou mais valores que ç p qpodem ser, razoavelmente, atribuídos a uma grandeza.NOTA 1: A medição não se aplica a propriedades qualitativas.NOTA 2: A medição implica na comparação de grandezas e engloba contagem de entidades.NOTA 3 A di ã õ d i ã d d NOTA 3: A medição pressupõe uma descrição da grandeza que seja compatível com o uso pretendido de um resultado de medição, de um procedimento de medição e de um sistema de pmedição calibrado que opera de acordo com um procedimento de medição especificado, incluindo as condições de medição.

Page 43: Erros Experimentais

Resultado de medição2.9 (3.1) - resultado de medição - measurement result ; result of( ) çmeasurement - résultat de mesure ; résultat d’un mesurageConjunto de valores atribuídos a um mensurando, completado por todas as outras informações pertinentes disponíveis.NOTA 1: Um resultado de medição geralmente contém “informação pertinente” sobre o conjunto de valores, alguns dos quais podem ser mais representativos do mensurando do que outros. Isto pode ser expresso na forma d f ã d d id d d b bilid d (FDP)de uma função de densidade de probabilidade (FDP).NOTA 2: Um resultado de medição é geralmente expresso por um único valor medido e uma incerteza de medição. Caso a incerteza de medição seja considerada desprezível para alguma finalidade o resultado de medição pode ser considerada desprezível para alguma finalidade, o resultado de medição pode ser expresso como um único valor medido. Em muitas áreas, esta é a maneira mais comum de expressar um resultado de medição.NOTA 3: Na literatura tradicional e na edição brasileira anterior do VIM, o O : ç , resultado de medição era definido como um valor atribuído a um mensurando obtido por medição, que poderia ser representado por uma indicação, ou um resultado não corrigido, ou um resultado corrigido, de acordo com o contexto.

Page 44: Erros Experimentais

Erros2.16 (3.10) erro de medição – erro - measurement error ; error of( ) ç ;measurement ; errorerreur de mesure ; erreurDiferença entre o valor medido de uma grandeza e um valor de Diferença entre o valor medido de uma grandeza e um valor de referência.NOTA 1: O conceito de “erro de medição” pode ser utilizado: a) quando existe um único valor de referência o que ocorre se uma calibração for existe um único valor de referência, o que ocorre se uma calibração for realizada por meio de um padrão com um valor medido cuja incerteza de medição é desprezível, ou se um valor convencional for fornecido. Nestes casos o erro de medição é conhecido b) caso se suponha que um Nestes casos, o erro de medição é conhecido. b) caso se suponha que um mensurando é representado por um único valor verdadeiro ou um conjunto de valores verdadeiros de amplitude desprezível. Neste caso, o erro de medição é desconhecido.çNOTA 2: Não se deve confundir erro de medição com erro de produção ou erro humano.

Page 45: Erros Experimentais

Erros estatísticos ou aleatórios e sistemáticos

Geralmente os erros (de vários tipos) podem ser agrupados Geralmente os erros (de vários tipos) podem ser agrupados em dois grandes grupos:Erro aleatório: Origina-se de variações temporais ou g ç pespaciais, estocásticas ou imprevisíveis de grandezas de influências. Embora este erro não possa ser eliminado, o

d d id d ú d mesmo pode ser reduzido aumentando-se o número de observações. Erro sistemático Origina se de um efeito reconhecido e Erro sistemático: Origina-se de um efeito reconhecido e repetitivo em um valor de medição. Este erro também não pode ser totalmente eliminado, entretanto, pode ser p , , psignificativamente reduzido se o efeito for quantificado e aplicado um fator de correção.

Page 46: Erros Experimentais

áErro sistemático - VIM2.17 (3.14) - erro sistemático - systematic measurement error ; ( ) y ;systematic error of measurement ; systematic error - erreursystématiqueComponente do erro de medição que em medições repetidas Componente do erro de medição que, em medições repetidas, permanece constante ou varia de maneira previsível.NOTA 1: Um valor de referência para um erro sistemático é um valor

d d lverdadeiro, ou um valormedido de um padrão com incerteza de medição desprezível, ou um valor convencional.NOTA 2: O erro sistemático e suas causas podem ser conhecidos ou desconhecidos. Pode-se aplicar uma correção para compensar um erro sistemático conhecidosistemático conhecido.NOTA 3: O erro sistemático é igual à diferença entre o erro de medição e o erro aleatório.

Page 47: Erros Experimentais

óErro aleatório - VIM2.19 (3.13) - erro aleatório ( )random measurement error ; random error of measurement ; randomerror erreur aléatoireComponente do erro de medição que em medições repetidas varia de Componente do erro de medição que, em medições repetidas, varia de maneira imprevisível.NOTA 1: O valor de referência para um erro aleatório é a média que resultaria de um número infinito de medições repetidas do mesmo resultaria de um número infinito de medições repetidas do mesmo mensurando.NOTA 2: Os erros aleatórios de um conjunto de medições repetidas f di t ib i ã d id formam uma distribuição que pode ser resumida por sua esperança matemática ou valor esperado, o qual é geralmente assumido como sendo zero, e por sua variância.NOTA 3 O l ó i é i l à dif d di ã NOTA 3: O erro aleatório é igual à diferença entre o erro de medição e o erro sistemático.

Page 48: Erros Experimentais

ErrosEm uma medição os dois tipos de erros ocorrem Em uma medição os dois tipos de erros ocorrem simultaneamente;

A medida que n aumenta o valor médio dos resultados aproximaA medida que n aumenta o valor médio dos resultados aproxima-se do valor médio verdadeiro;

A diferença entre o valor médio e o valor médio verdadeiro é o A diferença entre o valor médio e o valor médio verdadeiro é o erro sistemático;

Os erros estão diretamente associados aos conceitos de precisão Os erros estão diretamente associados aos conceitos de precisão, exatidão e repetitividade

Page 49: Erros Experimentais

Precisão2.15 precisão de medição precisão measurement precision ; precision fidélité de 2.15 precisão de medição precisão measurement precision ; precision fidélité de mesure ; fidélitéGrau de concordância entre indicações ou valores medidos, obtidos por medições repetidas, no mesmo objeto ou em objetos similares, sob condições ç p j j çespecificadas.NOTA 1: A precisão de medição é geralmente expressa na forma numérica por meio de medidas de dispersão como o desvio-padrão, a variância ou o

f d b d d d f dcoeficiente de variação, sob condições de medição especificadas.NOTA 2: As “condições especificadas” podem ser, por exemplo, condições de repetitividade, condições de precisão intermediária ou condições de

d tibilid d ( ISO 5725 3 1994)reprodutibilidade (ver ISO 5725–3: 1994).NOTA 3: A precisão de medição é utilizada para definir a repetitividade de medição, a precisão intermediária de medição e a reprodutibilidade de medição.NOTA 4 O “ i ã d di ã ” é l ili d NOTA 4: O termo “precisão de medição” é algumas vezes utilizado, erroneamente, para designar a exatidão de medição.

Page 50: Erros Experimentais

Exatidão2.13 (3.5) exatidão de medição – exatidão - measurement accuracy( ) ç y; accuracy of measurement ; accuracy exactitude de mesure ; exactitudeGrau de concordância entre um valor medido e um valor verdadeiro de um mensurando.NOTA 1: A “exatidão de medição” não é uma grandeza e não lhe é atribuído um valor numérico. Uma medição é dita mais exata quando é caracterizada por um erro de medição menor.caracterizada por um erro de medição menor.NOTA 2: O termo “exatidão de medição” não deve ser utilizado no lugar de veracidade, assim como o termo precisão de medição não deve ser utilizado para expressar “exatidão de medição” o qual entretanto está utilizado para expressar exatidão de medição , o qual, entretanto, está relacionado a ambos os conceitos.NOTA 3: A “exatidão de medição” é algumas vezes entendida como o grau de concordância entre valores medidos que são atribuídos ao grau de concordância entre valores medidos que são atribuídos ao mensurando.2.21 (3.6) repetitividade de medição – repetitividade measurementrepeatability ; repeatability répétabilité de mesure ; répétabilitérepeatability ; repeatability répétabilité de mesure ; répétabilitéPrecisão de medição sob um conjunto de condições de repetitividade.

Page 51: Erros Experimentais

Precisão x exatidãoA exatidão é um conceito qualitativo usado para descrever o A exatidão é um conceito qualitativo usado para descrever o quanto um resultado de uma medição está próximo do valor verdadeiro, com erro total muito pequeno;ve a e o, co e o tota u to peque o;

A precisão é um conceito qualitativo para caracterizar resultados com erros estatísticos pequenos, com pequena resultados com erros estatísticos pequenos, com pequena dispersão em relação ao valor médio verdadeiro

Assim, resultados podem apresentar boa precisão com uma Assim, resultados podem apresentar boa precisão com uma exatidão ruim;

Page 52: Erros Experimentais

VIM

5 18

VIM

5.18 valor de referênciareference quantity valuevaleur de référencevaleur de référence

Valor de uma grandeza, utilizado como base para a comparação com valores de grandezas do mesmo tipo.grandezas do mesmo tipo.

NOTA 1: Caso o valor de referência seja um valor verdadeiro de um mensurando, ele é desconhecido. Caso seja um valor convencional, ele é conhecido.j ,

NOTA 2: Um valor de referência com sua incerteza de medição associada é geralmente relacionado a: g

a) um material, por exemplo, um material de referência certificado, b) um dispositivo, por exemplo, um laser estabilizado, c) um procedimento de medição de referência, d) uma comparação de padrões.

Page 53: Erros Experimentais

INTERPRETAÇÃO DA MEDIÇÃO

Page 54: Erros Experimentais

et

.. .... ..::. :::: .

... .. :: ::

.. .... ..::. ::::VRef x..:: x

Se

ae

Page 55: Erros Experimentais

Exatidão2.13 (3.5) exatidão de medição – exatidão - measurement2.13 (3.5) exatidão de medição exatidão measurementaccuracy ; accuracy of measurement ; accuracy exactitude de mesure ; exactitudeGrau de concordância entre um valor medido e um valor verdadeiro de um mensurando.NOTA 1: A “exatidão de medição” não é uma grandeza e não lhe é NOTA 1: A exatidão de medição não é uma grandeza e não lhe é atribuído um valor numérico. Uma medição é dita mais exata quando é caracterizada por um erro de medição menor.NOTA 2: O termo “exatidão de medição” não deve ser utilizado no lugar de veracidade, assim como o termo precisão de medição não deve ser utilizado para expressar “exatidão de medição” o não deve ser utilizado para expressar exatidão de medição , o qual, entretanto, está relacionado a ambos os conceitos.NOTA 3: A “exatidão de medição” é algumas vezes entendida ç gcomo o grau de concordância entre valores medidos que são atribuídos ao mensurando.

Page 56: Erros Experimentais

ERRO X INCERTEZA

VRef

.. .... ..::. :::: .

... .. :: :: ..::

ae

cc = correção

e = erro aleatórioea erro aleatório

Page 57: Erros Experimentais

VIM2.14 veracidade

VIM

veracidade de mediçãomeasurement truenessjustesse de mesure

Grau de concordância entre a média de um número infinito de valores medidosrepetidos e um valor de referência.

NOTA 1: A veracidade não é uma grandeza e, portanto, não pode ser expressa numericamente, porém a norma ISO 5725 apresenta valores para o grau de

dâ iconcordância.

NOTA 2: A veracidade está relacionada de maneira inversa ao erro sistemático,é ã tá l i d erro aleatórioporém não está relacionada ao erro aleatório.

NOTA 3: Não é conveniente utilizar o termo exatidão de medição no lugar de ‘veracidade’ e vice versaveracidade e vice-versa.

Page 58: Erros Experimentais

Precisão2 15 precisão de medição precisão measurement precision ; precision2.15 precisão de medição precisão measurement precision ; precisionfidélité de mesure ; fidélitéGrau de concordância entre indicações ou valores medidos, obtidos por

d d b b l bmedições repetidas, no mesmo objeto ou em objetos similares, sob condições especificadas.NOTA 1: A precisão de medição é geralmente expressa na forma numérica : p ç g ppor meio de medidas de dispersão como o desvio-padrão, a variância ou o coeficiente de variação, sob condições de medição especificadas.NOTA 2 A “ di õ ifi d ” d l di õ NOTA 2: As “condições especificadas” podem ser, por exemplo, condições de repetitividade, condições de precisão intermediária ou condições de reprodutibilidade (ver ISO 5725–3: 1994).NOTA 3: A precisão de medição é utilizada para definir a repetitividade de medição, a precisão intermediária de medição e a reprodutibilidade de medição.çNOTA 4: O termo “precisão de medição” é algumas vezes utilizado, erroneamente, para designar a exatidão de medição.

Page 59: Erros Experimentais

et

.. .... ..::. :::: .

... .. :: ::

.. .... ..::. ::::VRef x..:: x

Se

ae

Page 60: Erros Experimentais

VRef.. .... ..::. :::: .

... .. :: :: ..::

ae

c

Page 61: Erros Experimentais

2.20 (3.6, NOTAS 1 e 2)condição de repetitividadecondição de repetitividaderepeatability condition of measurementcondition de répétabilité

Condição de medição num conjunto de condições que compreende o mesmo procedimento de medição, os mesmos operadores, o mesmo sistema de medição, as mesmas condições de operação e o mesmo local, assim como medições repetidas no mesmo objeto ou emde operação e o mesmo local, assim como medições repetidas no mesmo objeto ou em objetos similares durante um curto período de tempo.

NOTA 1: Uma condição de medição é uma condição de repetitividade, apenas com respeito ç ç ç p , p pa um conjunto especificado de condições de repetitividade.NOTA 2: Em química o termo “condição de precisão intra-serial” é algumas vezes utilizado para designar este conceito.

2.21 (3.6)repetitividade de mediçãorepetitividademeasurement repeatabilityrépétabilité de mesure

Precisão de medição sob um conjunto de condições de repetitividade.

Page 62: Erros Experimentais

2.24 (3.7, Nota 2) VIM( , )condição de reprodutibilidadereproducibility condition of measurementcondition de reproductibilité

VIM

Condição de medição num conjunto de condições que compreende diferentes locais, diferentes operadores, diferentes sistemas de medição e medições repetidas sobre o mesmo objeto ou sobre objetos similares.

NOTA 1: Os diferentes sistemas de medição podem utilizar procedimentos de mediçãodifdiferentes.

NOTA 2: Na medida do possível, é conveniente que sejam especificadas as condições que d ãmudaram e as que não.

2.25 (3.7)reprodutibilidade de mediçãoreprodutibilidade de mediçãoreprodutibilidademeasurement reproducibilityreproductibilité de mesurereproductibilité de mesure

Precisão de medição sob um conjunto de condições de reprodutibilidade.

Page 63: Erros Experimentais

et

e.. .... ..:: ::::

... .. :: ::

.. .... ..::. ::::VRef ::. :::: ...:: xes = erro sistemático

l tó iS

ea

eea = erro aleatório

et = erro totalt

Page 64: Erros Experimentais

IncertezaReflete a falta de conhecimento exato do valor do mensurando;2.26 (3.9) - incerteza de medição - incerteza - measurement uncertainty ; uncertainty measurement ; uncertainty incertitude de mesure ; incertitudeParâmetro não negativo que caracteriza a dispersão dos valores atribuídos a um mensurando, com base

i f õ tili dnas informações utilizadas.NOTA 1: A incerteza de medição compreende componentes provenientes de efeitos sistemáticos, tais como componentes associadas a correções e valores designados a padrões, assim como a incerteza definicional. Algumas vezes não são corrigidos os efeitos sistemáticos estimados; em vez disso são g g ;incorporadas componentes de incerteza associadas.NOTA 2: O parâmetro pode ser, por exemplo, um desvio-padrão denominado incerteza de medição padrão (ou um de seus múltiplos) ou a metade de um intervalo tendo uma probabilidade de abrangência determinadaabrangência determinada.NOTA 3: A incerteza de medição geralmente engloba muitas componentes. Algumas delas podem ser estimadas por uma avaliação do Tipo A da incerteza de medição, a partir da distribuição estatística dos valores provenientes de séries de medições e podem ser caracterizadas por desvios-padrão. As outras p ç p p pcomponentes, as quais podem ser estimadas por uma avaliação do Tipo B da incerteza de medição, podem também ser caracterizadas por desvios-padrão estimados a partir de funções de densidade de probabilidade baseadas na experiência ou em outras informações.NOTA 4: Geralmente para um dado conjunto de informações subentende se que a incerteza de NOTA 4: Geralmente para um dado conjunto de informações, subentende-se que a incerteza de medição está associada a um determinado valor atribuído ao mensurando. Uma modificação deste valor resulta numa modificação da incerteza associada.

Page 65: Erros Experimentais

DIAGRAMA GERAL CÁLCULO DA INCERTEZA CÁLCULO DA INCERTEZA

),,,( DCBAfw=

cc

Page 66: Erros Experimentais

VIM

4.1 (3.2) indicaçãoçindicationindication

Valor fornecido por um instrumento de medição ou por um sistema de medição.

NOTA 1: Uma indicação pode ser representada na forma visual ou acústica, ou pode ser transferida a um outro dispositivo. A indicação é freqüentemente dada pela posição de um ponteiro sobre um mostrador para saídas analógicas, por um número apresentado em um mostrador ou impresso para saídas digitais, por um padrão de códigos para saídas

difi d l ib íd à did t i li dcodificadas, ou um valor atribuído à medidas materializadas.

NOTA 2: Uma indicação e o valor correspondente da grandeza que está sendo medida não ã i t l d d d tiposão necessariamente valores de grandezas do mesmo tipo.

.

Page 67: Erros Experimentais

VIMVIM

2.18 tendência e dê cmeasurement biasbiais de mesure

Estimativa de um erro sistemático.

Page 68: Erros Experimentais

ERRO X INCERTEZA

VVC.. .... ..::. :::: .

... .. :: :: ..::

ae

cc = correção

e = erro aleatórioea = erro aleatório

Page 69: Erros Experimentais

Variáveis aleatórias contínuasEm medidas, os dados podem ser influenciados por pequenas variações de temperatura, pressão, vibração, entre outras variáveis não controladas.Uma peça tirada da produção, a qual possui uma p ç p ç , q pmedida muito precisa sempre possui dispersão em torno da mesma.É comum modelar a faixa de valores possíveis dentro de um intervalodentro de um intervalo.

Page 70: Erros Experimentais

Fontes potenciais de Fontes potenciais de variabilidade

Exemplo 1: O consumo de um carro não é d d t d di tâ i i t d D d dependentes da distância registrada apenas. Depende de fatores como tipo de estrada, condições do carro, ti d li ttipo de gasolina, etc.Exemplo 2: Um engenheiro está projetando um conector de náilon para aplicação automotiva. A parede deste conector está condicionada a força de remoção do conector. O primeiro protótipo foi feito e as seguintes forças de remoção são medidas: 12,6; 12,9; 13,4; 12,3 ;13,6; 13,5; 12,6; 13,1 N.

Page 71: Erros Experimentais

í áErros estatísticos e sistemáticosAmbiguidade:g

Um erro de calibração é considerado usualmente sistemático.Medições de uma mesma grandeza com instrumentos de várias procedências gerarão erros estatísticosprocedências gerarão erros estatísticos.

Classificação de incertezas:Tipo AAvaliadas por métodos estatísticosCaracterizadas pela variância ou desvio padrão (geralmente definido como o desvio padrão da média) e pelo número de graus de liberdadegTipo BAvaliadas por outros meios:dados obtidos previamentedados obtidos previamenteexperiência ou conhecimento do comportamento do sistema de mediçãoespecificação do fabricanteespecificação do fabricantedados obtidos de curvas de aferição ou outros documentos

Page 72: Erros Experimentais

IncertezaNa prática, existem muitas fontes de possíveis incertezas em um mensurando, incluindo:a) definição incompleta ou imperfeita do mensurando;b) Realização imperfeita da definição do mensurando;c) Amostra não representativa – a amostra medida pode não representar o mensurando ) p p pdefinido;d) Efeitos de condições ambientais conhecidos, mas inadequados ou medidas imperfeitas dos mesmos;

h l d lóe) Erro humano na leitura de instrumentos analógicos;f) Resolução do instrumento finita;g) valor inexato de padrões de medida e materiais de referência;h) valor inexato de constantes e outros parâmetros obtidos de fontes externas e utilizados em algoritmos de redução de dados;i) Aproximações e suposições incorporadas no método de medida e procedimentos.j) i õ b õ id d d b j) variações em observações repetidas do mensurando sob aparentemente as mesmas condições.Estas fontes não são necessariamente independentes

Page 73: Erros Experimentais

Exemplo: Balança de pratosErros estatísticos:Erros estatísticos:

Erro de ajuste de zero;

C t d Correntes de ar que provocam forças nos pratos;pratos;

Atrito e vibrações ambiente;ambiente;

Oscilações nos pratos

Page 74: Erros Experimentais

Exemplo: Balança de pratosE áErros sistemáticos:

Erros de calibração de massas de referência;

Erro devido a coluna não estar exatamente na vertical;

Erro devido ao equilíbrio dos pratos;

Erro devido a diferença dos braços;

Erro devido ao empuxo do ar: se as duas massas possuem p pvolumes diferentes, também sofrem empuxos diferentes;

Erro de paralaxe de medida;p ;

Page 75: Erros Experimentais

Incerteza de medição

Documento importante: Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (ISO-GUM).

Guia International – anos de desenvolvimento e revisões feitas por sete organizações internacionais.Fortemente recomendado por Institutos referênciacomo o NIST (National Institute of Standards and Technology)Melhor maneira de certificar-se sobre a consistênciaentre laboratórios do mundo.

Page 76: Erros Experimentais

Modelo de MedidaDefina o mensurando measurand a quantidade Defina o mensurando- measurand – a quantidade sujeita à mediçãoDetermine o modelo matemático com as quantidades Determine o modelo matemático, com as quantidades de entrada X1,X2,…,XN, e (pelo menos) uma quantidade de saída Yquantidade de saída,Y.Os valores determinados para as quantidades de entrada são chamados de estimativa da entrada e são entrada são chamados de estimativa da entrada e são denotados por x1,x2,…,xN.O valor calculado para as quantidades de saída são O valor calculado para as quantidades de saída são chamados de estimativa de saída e são denotados por y.y

Page 77: Erros Experimentais

Incerteza de medição(VIM) : Parâmetro não negativo que caracteriza a dispersão (VIM) : Parâmetro não negativo que caracteriza a dispersão dos valores atribuídos a um mensurando, com base nas informações utilizadas.o ações ut a as.

NOTA 1: A incerteza de medição compreende componentes provenientes de efeitos sistemáticos, tais como componentes provenientes de efeitos sistemáticos, tais como componentes associadas a correções e valores designados a padrões, assim como a incerteza definicional. Algumas vezes não são gcorrigidos os efeitos sistemáticos estimados; em vez disso são incorporadas componentes de incerteza associadas.

Page 78: Erros Experimentais

Incerteza padrãoA incerteza pode ser por exemplo um desvio-padrão A incerteza pode ser, por exemplo, um desvio-padrão denominado incerteza de medição padrão (ou um de seus múltiplos) ou a metade de um intervalo tendo uma probabilidade p pde abrangência determinada. OBS.: utiliza-se o desvio padrão da média, o qual depende do número de ensaios n;

d d d é d dA incerteza de uma estimativa de entrada, xi, é denotada por u(xi).A incerteza padrão de uma estimativa de saída, y, determinada

l ã d i t é h d d i t d ãpela propagação da incerteza, é chamada de incerteza padrãocombinada, e é denotada por uc(y).

Page 79: Erros Experimentais

Incerteza tipo A

Avaliação estatísticada incerteza envolvendo uma série de observações

Sempre possui uma associação com o número de Sempre possui uma associação com o número de graus de liberdade.

Exemplos incluem simples médias e estimativas de mínimos quadrados q

Page 80: Erros Experimentais

Incerteza tipo B

Qualquer avaliação que não é do tipo A é uma avaliação do tipo B.Não é incerteza sistemáticaExemplos:

Usando experiência profissional combinada com Usando experiência profissional combinada com uma distrinuição retangularObt d i t d ã d tifi d d ã Obtendo incertezas padrão de certificados padrão ou de livros de referência

Page 81: Erros Experimentais

Propagação de incertezas

“Lei da propagação de incertezas,” ou, simplesmente, ga “equação de propagação de incertezas”

Incertezas padrão e covariâncias de estimativas de Incertezas padrão e covariâncias de estimativas de entrada são combinadas matematicamente para

d i i d ã bi d d produzir a incerteza padrão combinada da quantidade de saída.

Page 82: Erros Experimentais

Incerteza expandidap

Multiplique a incerteza padrão combinada, uc(y), por um número k, chamado fator de coberturapara obter a incerteza expandida, U.pa a obte a ce te a e pa a, U.

A probabilidade que o intervalo y +- U contém o l d d é h d d í l d valor do mensurando é chamada de nível de

cobertura ou nível de confidência ou de confiança.

Page 83: Erros Experimentais

Propagação de incertezasp g ç

Intervalo de ConfiançaO intervalo de confiança consiste em um número fixo, positivo menor que 1 que representa a probabilidade de um determinado parâmetro da população (a ser estimado) estar compreendida entre dois limitespopulação (a ser estimado) estar compreendida entre dois limites.

( )1 2P L Lϕ≤ ≤( )1 2

Page 84: Erros Experimentais

Intervalo de confiançanº de σ Intervalo de Nível de Nível den de σ Intervalo de

confiança

Nível de

confiança

(%)

Nível de

Significância

(%)

3.30 ( ) ( )3.3 3.3vy y yσ σ− < < + 99.9 0.1

3.0 ( ) ( )3 3vy y yσ σ− < < + 99.7 0.3

2.57 ( ) ( )2.57 2.57vy y yσ σ− < < + 99.0 1.0

2.0 ( ) ( )2 2vy y yσ σ− < < + 95.4 4.6

( ) ( )1 96 1 96< < +1.96 ( ) ( )1.96 1.96vy y yσ σ− < < + 95.0 5.0

1.65 ( ) ( )1.65 1.65vy y yσ σ− < < + 90.0 10.0

1 0 ( ) ( )vy y yσ σ− < < + 68 3 31 71.0

(incerteza

padrão)

( ) ( )vy y y 68.3 31.7

Page 85: Erros Experimentais

Análise de IncertezasAnálise de Incertezas

Variáveis ModificantesAfetam a sensibilidade da leitura em relação à variável de interesse (mensurando)variável de interesse (mensurando)Contribuem de forma multiplicativa

Variáveis InterferentesAfetam a leitura mas não a sensibilidade da leitura Afetam a leitura mas não a sensibilidade da leitura em relação à variável de interesse C ib d f di iContribuem de forma aditiva

Page 86: Erros Experimentais

Análise de IncertezasAnálise de IncertezasEfeitos das variáveis modificantes e interferentes em um sistema de medição linear

Variável interferente e modificanteVariável interferente e modificante variável

leituraVariável modificanteSensibilidade alterada

Sensibilidade alteradaDeslocamento de zero

Variável modificante variávelSensibilidade alterada

Sensibilidade alteradaDeslocamento de zero

ideal

Variável interferenteVariável interferente variávelDeslocamento de ZeroDeslocamento de Zero

u1

Page 87: Erros Experimentais

Análise de IncertezasAnálise de Incertezas

Especificação da Leituraspec cação a e tu aSe o erro sistemático for removido então:

Medida Ideal = Medida Real ± incerteza

A Incerteza é estabelecida um valor limite de máximo e mínimo com um determinado nível de confidênciaExemplo:

2,6gp

10 gramas = (Medida Real ± 1,3) gramas com 10gnível de confidência de 95%

Valor ideal da Medida

Page 88: Erros Experimentais

Análise de IncertezasAnálise de IncertezasIncertezas

Tipo ATipo AAvaliadas por métodos estatísticosCaracterizadas pela variância σi

2 ou desvio padrão σi(geralmente definido como o desvio padrão da média) e pelo número de graus de liberdade

Tipo BpoAvaliadas por outros meios:

• dados obtidos previamente• experiência ou conhecimento do comportamento do sistema

de medição• especificação do fabricanteespecificação do fabricante• dados obtidos de curvas de aferição ou outros documentos

Caracterizadas pela quantidade uj2 ou uj que podem ser j j

tratadas como aproximações de variância e desvio padrão para efeitos de cálculos.

Page 89: Erros Experimentais

Incerteza padrãoA incerteza padrão de medida associada com a estimativa de saída A incerteza padrão de medida associada com a estimativa de saída ou resultado de medida , denotado por u(x),

é o desvio padrão da melhor estimativa de Y. Ele deve ser pdeterminado da estimativa das variáveis de entrada (das variáveis de entrada Xi) e suas incertezas padrão associadas ui(x).

A incerteza padrão associada com uma estimativa possui a mesma dimensão que a estimativa.

Em alguns casos utiliza-se a incerteza padrão de medida relativa:qual é a incerteza padrão de medida associada com uma

ti ti di idid l ód l d ti ti i é estimativa dividida pelo módulo dessa estimativa e assim é adimensional. ( )u x

u =rxux

Page 90: Erros Experimentais

Avaliação da Incerteza do tipo AAplicada quando algumas observações independentes foram Aplicada quando algumas observações independentes foram executadas para uma das grandezas de entrada sob as mesmas condições de medida.co ções e e a.

Assumindo que a medida repetida da quantidade de entrada é a quantidade Q. Com n observações estatisticamente é a quantidade Q. Com n observações estatisticamente independentes , a estimativa da quantidade Q é a média aritmética dos valores individuais observados

1 n

∑1

jj

q qn =

= ∑

Page 91: Erros Experimentais

Avaliação da Incerteza do tipo AA incerteza de medida associada com a estimativa é avaliada A incerteza de medida associada com a estimativa é avaliada de acordo com um dos seguintes métodos:

a) Uma estimativa da variância da distribuição de a) Uma estimativa da variância da distribuição de probabilidades é obtida com a variância experimental dos valores que são dados por: 21 nvalores que são dados por:

( ) ( )22

1

11

n

jj

s q q qn =

= −− ∑

O Desvio padrão dessa amostra é a raiz quadrada da variância Porém aqui lembramos que: variância. Porém, aqui lembramos que:

Page 92: Erros Experimentais

Desvio padrão da médiaConsidere um caso genérico com as variáveis aleatórias X1, X2,...Xp e constantes C1, C2,...Cp Se Y for uma combinação linear dessas variáveis 1, 2, p. çtemos:Y= C1X1+C2X2+... +CpXn

Podemos determinar o valor esperado de Y:e sua variância:

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ... ( )p pE Y C E X C E X C E X= + + +

Ai d X X X f i d d ã

2 2 21 1 2 2

2( ) ( ) ( ) ... ( ) 2 cov( , )p p i j i j

i jV Y C V X C V X C V X C C X X

< =

= + + + + ∑∑

Ainda, se X1, X2,...Xp forem independentes então

Essa é uma conclusão importante pois podemos concentrarmos na

2 2 21 1 2 2( ) ( ) ( ) ... ( )p pV Y C V X C V X C V X= + + +

Essa é uma conclusão importante, pois podemos concentrarmos na combinação linear particular que representa a média de p variáveis aleatórias, com média e variância idênticas, pois, se X1, X2,...Xp forem pindependentes então:

Page 93: Erros Experimentais

Desvio padrão da médiaDesvio padrão da médiaSe a média é com para i=1,2,...p 1 2 ... pX X X

X+ + +

= ( )iE X = µ p , ,...pentão .

Se X1, X2 ... X , são independentes com V(Xi)=σ2 para

p( )E X µ=

( )i µ

Se X1, X2. ... Xp, são independentes com V(Xi) σ para i=1,2,...p então

O desvio padrão da média é menor que da população. Este é o

2

( )V Xpσ

=

p q p p çvalor utilizado como incerteza padrão!

X pσσ =

Quando o estimador seguir uma distribuição normal, podemos ficar razoavelmente confiantes de que o valor

p

p qverdadeiro do parâmetro encontra-se no intervalo da incerteza padrão estimada. ˆ Sp ˆ X p

σ =

Page 94: Erros Experimentais

Propagação de IncertezasPropagação de Incertezas

A d i i t l t Ao proceder com um ensaio experimental para executar a medição de uma variável, é comum definir um intervalo no qual a medida é significativa como visto na secção q g çanterior. Este parâmetro depende das condições ambientais, da habilidade do operador entre outras. A l d d d Ao utilizar duas medidas experimentais, cujas incertezas são conhecidas, para determinar uma nova grandeza deve-se considerar a mesma dentro de seu intervalo de se considerar a mesma dentro de seu intervalo de confiança (na maioria das vezes determinado pela incerteza padrão) na seguinte forma:

G G±∆onde G é a grandeza e ΔG a incerteza padrão

G G±∆

Page 95: Erros Experimentais

Incerteza do tipo AA melhor estimativa da variância da média aritmética é a A melhor estimativa da variância da média aritmética é a variância experimental da média dada por :

( ) ( )22 s q

s q =

A incerteza padrão associada com a estimativa de entrada é o próprio desvio padrão experimental da média

( )n

( ) ( )u q s q=o próprio desvio padrão experimental da média.

Cuidado: Geralmente quando o número de repetições de medidas é baixo (n<10) a confiabilidade da avaliação da

( ) ( )u q s q=

medidas é baixo (n<10), a confiabilidade da avaliação da incerteza do tipo A deve ser considerada. Se o número de observações não pode ser aumentado outros meios de observações não pode ser aumentado, outros meios de avaliação da incerteza devem ser considerados.

Page 96: Erros Experimentais

Incerteza tipo APara uma medida que é bem caracterizada e sob um rígido Para uma medida que é bem caracterizada e sob um rígido controle estatístico, uma estimativa combinada da variância pode caracterizar a dispersão melhor que o desvio padrão po e ca acte a a spe são e o que o esv o pa ão obtido de um número de observações limitado.

Nesse caso, o valor da quantidade de entrada é definido Nesse caso, o valor da quantidade de entrada é definido como a média aritmética de um pequeno número de observações independentes e a variância da média pode ser ç p pestimada por:

( )2

2 pss q ( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 2 22 1 1 ... 1k kn s n s n s− + − + + −

nk representa o número de amostras do grupo k de medidas

( ) ps qn

=( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1 1 2 22

1 21 1 ... 1k k

pk

sn n n

=− + − + + −

nk representa o número de amostras do grupo k de medidas e sk o desvio padrão experimental respectivo

Page 97: Erros Experimentais

Incerteza tipo AExemplo: Uma especificação diz que a leitura de uma balança Exemplo: Uma especificação diz que a leitura de uma balança está dentro do intervalo de ± 0,2 mg com um nível de confiança de 95%. A partir das tabelas padrão de pontos de co a ça e 95 . pa t as ta e as pa ão e po tos e percentagem sobre a distribuição Normal, calcula-se um intervalo de confiança de 95%, usando-se um valor de 1,96 . çO uso desse valor lido dá uma incerteza de .

0,2 0,11,96 ≅,96

Page 98: Erros Experimentais

Incertezas - exemploSe um determinado certificado de calibração indica que uma Se um determinado certificado de calibração indica que uma determinada massa padrão ms=1 000, 000 325 g e que a incerteza desse valor é u(ms)=240 µg com 3 desvios padrões ce te a esse va o é u( s) 40 µg co 3 esv os pa ões então u(ms)=80 µg ou a sua incerteza relativa:

[u(ms)/ms]=80x10-9 g. [u(ms)/ms] 80x10 g.

Exercício: Um certificado de calibração diz que a incerteza de um resistor padrão de valor nominal de 10 Ω é 10 000 742 Ω±um resistor padrão de valor nominal de 10 Ω é 10,000 742 Ω±129 µΩ com um nível de confiança de 99%. Determine a incerteza padrão e a incerteza padrão relativap p

Page 99: Erros Experimentais

Avaliação da Incerteza tipo BA avaliação da incerteza padrão do tipo B é a avaliação da incerteza ç p p çassociada com uma estimativa de uma quantidade de entrada por qualquer meio diferente da análise estatística da série de observações. A incerteza padrão é avaliada por julgamento ç p p j gcientífico baseado em informação disponível na variabilidade possível de . Valores pertencentes a essa categoria podem ser originados de:originados de:Medidas executadas previamente;Experiência com conhecimento geral do comportamento e

d d d lpropriedades de materiais e instrumentos relevantes;Especificações de fabricantes;Dados de calibrações e outros certificados;Dados de calibrações e outros certificados;Incertezas oriundas de referências bibliográficas como manuais ou semelhantes.

Page 100: Erros Experimentais

Avaliação da incerteza tipo BBaseado em experiência e conhecimento geral;p g ;Habilidade que pode ser adquirida com a prática. Uma avaliação bem fundamentada da incerteza de medição do tipo B pode ser tão confiável quanto uma incerteza do tipo A especialmente em situações de medidas confiável quanto uma incerteza do tipo A, especialmente em situações de medidas onde uma avaliação do tipo A está baseada apenas em um número pequeno de observações independentes. Os seguintes casos devem ser discernidos Os seguintes casos devem ser discernidos: a)Quando apenas um valor único é conhecido para a quantidade . Por exemplo, um valor resultante de uma medida prévia, um valor de referência da literatura, ou

l d ã d tili d A i t d ã i d um valor de correção, pode ser utilizado como . A incerteza padrão associada com deve ser adotada quando fornecida. Se forem disponibilizados dados confiáveis, a incerteza deve ser calculada. Caso contrário, se os dados não são disponíveis, a incerteza deve ser avaliada baseada na experiênciaincerteza deve ser avaliada baseada na experiência.b)Quando uma distribuição de probabilidades pode ser assumida para uma quantidade , baseada na teoria ou experiência então o valor esperado e a raiz quadrada da variância dessa distribuição podem ser estimados e representados por quadrada da variância dessa distribuição podem ser estimados e representados por e a incerteza padrão associada .

Page 101: Erros Experimentais

Avaliação da incerteza tipo BSe apenas os valores limites superior e inferior podem ser Se apenas os valores limites superior e inferior podem ser estimados para os valores da quantidade (por exemplo, especificações do fabricante de um instrumento de medida, espec cações o a ca te e u st u e to e e a, uma faixa de temperatura, um arredondamento ou truncamento resultante de uma redução automática de çdados),

uma distribuição de probabilidades com densidade de ç pprobabilidades retangular deve ser assumida para a possível variabilidade da quantidade de entrada . Assim, a estimativa da entrada pode ser definida:

( )1 ( ) ( )22 1( )2ix a a+ −= + ( ) ( )22 1

12iu x a a+ −= −

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EXEMPLO: A estimativa das dimensões de uma peça indicamque um comprimento está, com probabilidade 0,5, no intervalode 10,07 mm a 10,15 mm, e assim l = (10,11 ± 0,04) mm,

d ± 0 04 d fi i l í l d onde ± 0,04 mm define um intervalo com um nível de confiança de50 %. Assumindo uma distribuição normal para ospossíveis valores de l a incerteza padrão u(l) = 1 48 × 0 04 mm possíveis valores de l a incerteza padrão u(l) = 1,48 × 0,04 mm ≈ 0,06 mm e a estimativa da variância u^2(l) = (1,48 × 0,04 mm)2 = 3 5 × 10−3 mm2mm)2 3,5 × 10 3 mm2.

Considerando um caso similar onde a informação disponível é de duas de 3 chances de que o valor de Xi cai no intervalo [a− de duas de 3 chances de que o valor de Xi cai no intervalo [a a+] , a probabiliade de que Xi caia no intervalor é de aproximadamente 0,67. Pode-se assumir que u(xi) = a, porquep , q ( ) , p qpara uma distribuição normal com esperança µ e desvio padrãoσ o intervalo µ ± σ engloba 68,3 % da distribuição.g

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Avaliação da Incerteza do tipo BSe a diferença entre os valores limites for de 2a, a equação anterior pode Se a diferença entre os valores limites for de 2a, a equação anterior pode ser reescrita como:

( )2 21( )2 2

3iu x a=

A distribuição retangular é uma descrição razoável em termos de b bilid d d h i t i d d b tid d probabilidade de um conhecimento inadequado sobre uma quantidade na

ausência de qualquer outra informação além de seus limites de variabilidade. Exemplo de utilização de uma distribuição retangular: Um frasco volumétrico grau A de 10 mL é certificado em uma faixa de ± 0,2 mL. A i t d ã é d l incerteza padrão é de ml. 0, 2 0,12

3=

Page 104: Erros Experimentais

Distribuição retangularNOTA: Quando a componente de incerteza é determinada dessaQ pmaneira, a mesma contribui significativamente para a incerteza do resultado. É prudente obter informações adicionais, se possível.EXEMPLO: Um handbook fornece um valor de coeficiente de expansãoptérmica linear de cobre puro a 20 °C, α20(Cu), de 16,52 × 10−6 °C−1 e simplesmente diz que “the error in this value should not exceed 0,40 × 10−6 °C−1”. Baseado nessa informação podemos assumir que o valor de α20(Cu) estádentro do intervalor 16,12 × 10−6 °C−1 a 16,92 × 10−6 °C−1 com probabilidade igual e que raramente o valor cairá for a do mesmo. p g qA variância destra distribuição retangular simétrica de possíveis valoresde α20(Cu) de meia largura de = 0,40 × 10−6 °C−1 é:u( α20)^2 = (0 40 × 10−6 °C−1)2/3 = 53 3 × 10−15 °C−2 e a u( α20) 2 = (0,40 × 10 6 C 1)2/3 = 53,3 × 10 15 C 2, e a incerteza padrão é:u( α20) = (0,40 × 10−6 °C−1) / 3 = 0,23 × 10−6 °C−1.

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Distribuição RetangularEXEMPLO: Uma especificação do fabricante de um voltímetro digital diz que “depoisO: U p ç g q pde 1 ou 2 anos depois de calibrado a exatidão na faixa de 1 V 14 × 10−6 vezes a leituramais 2 × 10−6 vezes a faixa.

C id d i é d 20 d i d lib ã diConsiderando que o instrumento é usado 20 meses depois da calibração para medir naescala de 1 V uma tensão v e a média aritmética de um número de observaçõesrepetidas de v=0,928 571 V com incerteza padrào tipo A u(v) = 12 µV., podemos obtera incerteza padrào associada como as especificações do fabricante com uma avaliação do tipo B assumindo que uma correção aditiva siga uma distribuição retangular

A metade da largura da distribuição dos valores de ∆v é a = (14 × 10−6) × (0,928 A metade da largura da distribuição dos valores de ∆v é a (14 10 6) (0,928 571 V) + (2 × 10−6) × (1 V) = 15 µV, e u(∆v )^2 = 75 µV^2 e u(∆v) = 8,7 µV.

A estimativa do valor do mensurando v é dada por :

V=v+ ∆v = 0,928 571 V e a incerteza padrão combinada de 12 µV

( ) 616 10cu VV

−= ×

Page 106: Erros Experimentais

Distribuição retangularA distribuição pode não ser simétrica em torno de xi:A distribuição pode não ser simétrica em torno de xi:

Se no exemplo anterior do coeficiente de expansão térmicalinear o valor do coeficiente é dado por α20(Cu) = 16 52 ×linear o valor do coeficiente é dado por α20(Cu) = 16,52 ×10−6 °C−1 e está escrito que “o menor valor possível é 16,40 × 10−6 °C−1 e o maior valor possível 16,92 × 10−6 16,40 10 6 C 1 e o maior valor possível 16,92 10 6 °C−1”, então b− = 0,12 × 10−6 °C−1, b+ = 0,40 × 10−6 °C−1,

Assim

u( α20) = 0,15 × 10−6 °C−1.

Page 107: Erros Experimentais

Avaliação da Incerteza do tipo BMas se existe a certeza de que os valores das quantidades em questão Mas se existe a certeza de que os valores das quantidades em questão estão mais próximos ao centro do intervalo do que nos seus limites, uma distribuição triangular seria um modelo melhor. A distribuição triangular deve ser utilizada quando a informação disponível em triangular deve ser utilizada quando a informação disponível em relação a x é menos limitada que para uma distribuição retangular. Valores próximos de x são mais prováveis do que próximos dos limites a A incerteza é calculada com limites. a. A incerteza é calculada com .Na verdade, nesses casos substitui-se a distribuição retangularsimétrica por uma distribuição simétrica trapezoidal (um trapezóideisósceles), uma base com largura (a+ − a− = 2a), e uma altura com 2aβ, onde where 0 <= β <= 1. A medida que β→ 1, essadistribuição trapezoidal distribution aproxima-se da distribuiçãop pretangular. Quando β = 0, é uma distribuição triangular.Adotando essa distribuição trapezoidal para Xi o valor esperado de Xi Adotando essa distribuição trapezoidal para Xi, o valor esperado de Xi é xi = (a− + a+)/2 e sua variância:

Com β = 0 (distribuição triangular)

Page 108: Erros Experimentais

Distribuição TriangularExemplo de utilização de uma distribuição triangular: Um Exemplo de utilização de uma distribuição triangular: Um frasco volumétrico grau A de 10 mL é certificado em uma faixa de ± 0,2 mL, mas as verificações internas de rotina faixa de ± 0,2 mL, mas as verificações internas de rotina mostram que valores extremos são raros. A incerteza padrão é de ml.0, 2 0,08

6=

6

( )6

au x =6

Page 109: Erros Experimentais

Distribuição TriangularPara uma distribuição normal com esperança µ e desvioPara uma distribuição normal com esperança µ e desviopadrão σ, o intervalo µ ± 3 σ engloba aproximadamente99,73 % da distribuição.99,73 a st u ção.

Se os limites a+ e a− definem 99,73 % das possibilidades de valores assumidos por Xi, então Xi pode ser considerado tervalores assumidos por Xi, então Xi pode ser considerado teruma distribuição normal.

A distribuição trapezoidal pode ser obtida da convolução de A distribuição trapezoidal pode ser obtida da convolução de duas distribuições retangulares de limites deferentes (isso é fácil de ser verificado numericamente pelo método de Monte pCarlo);

Page 110: Erros Experimentais

ExemploConsidere uma amostra com 20 observações de temperatura, aleatoriamente distribuídas em uma normal como na figura.

d Essas amostras são mostradas na forma de um histograma com largura de intervalo de 1°C; C l l édi d i d ã Calcule a média, o desvio padrão experimental e o desvio padrão da média (incerteza padrão);A édi 100 145 100 14 A média ym=100,145 = 100,14 °CO desvio padrão experimental

° °s=1,489 °C=1,49 °CA incerteza padrão u=0,333 °C=0,33 °C

Page 111: Erros Experimentais

Exemplo

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ExemploSe temos disponibilidade de pouca informação é comum assumir Se temos disponibilidade de pouca informação é comum assumir uma distribuição retangular. Considere o limite inferior a-=96 °C e o superior a+=104 °C e assim (a+ - a-)/2=4 °C.A melhor estimativa da temperatura t=(a+ + a-)/2 = 100 °C;A incerteza padrão é definida por u=a/√3=2,3 °C

Page 113: Erros Experimentais

ExemploSe a informação é menos Se a informação é menos limitada e sabemos que a probabilidade em torno do valor central é maior que nos limites, podemos usar uma distribuição usar uma distribuição triangular. Considere o limite inferior a-=96 °C e o superior a+=104 °C e assim (a+ - a-)/2=4 °C°C.

A melhor estimativa da temperatura t=(a+ + a )/2 = 100 °C;+ a-)/2 = 100 C;A incerteza padrão é definida por u=a/√6=1,6 °C