ERRATA

“VibraçõesMecânicas”-Savi&DePaula

Capítulo2

• Página15:

O parâmetro nω é a frequência natural que representa o número de ciclos que um

movimentoexecutaduranteumaunidadedetempo.Esseparâmetroéumacaracterísticafundamental do sistema, sendo definida a partir da relação entre a rigidez e a massa.Portanto, o aumento da rigidez sem alterar a massa, tende a aumentar a frequêncianatural, tornando a resposta naturalmais rápida. Por outro lado, o aumento damassa,mantendo a rigidez constante, tende a diminuir a frequência, o que proporciona umaresposta mais lenta. O parâmetro ξ é um fator de amortecimento e representa acaracterísticadedissipaçãodosistema.

• Página27,equação(2.72):!!! +!!! + ! = !(!)

! + !(!)!

• Página27,equação(2.73):

! + !!2! ! + !!!! = !(!)

! + ! !(!)!"

Capítulo3

• Página33,equação(3.12):

)cos(211 ϕAAAC =+=

=2C )sen()( 21 ϕAAAi =−

• Página38,equação(3.45):

)senh()cosh( θθθ ±=±e

• Página41,equação(3.59):

!!+ !!!"#$ ! + !" = !

Capítulo4

• Página51,equação(4.15):

! = !!!!!![!!"# !!!−! + !(!)!"# !!−!! ]

• Página60,equação(4.41):

! iΩ = !!!!!!(!Ω)

• Página61,parágrafoapósFigura4.9:

... Na Figura 4.10 apresentam-se três situações distintas: frequência de excitação

menor do que a natural (Ω /ωn <1 ); frequência de excitação igual a natural (Ω /ωn =1 );frequênciadeexcitaçãomaiordoqueanatural(Ω /ωn >1 ).

• Página66,P4.6:

ConsiderequeabarrademassaMecomprimentoLtemummovimentoprescrito:

! = !!sen !

sendo ! positivo no sentido anti-horário e nulo quando a barra está na posiçãovertical.Desconsidereoforçamentoharmônicoaplicadonoblocodemassam.

Capítulo5

• Página69Funçãoímpar: ! ! = −! −! Funçãopar: ! ! = ! −!

• Página69,Equação(5.10)

u(t) = a02+ Gp ap cos pΩ0t −φ p( )+bpsen pΩ0t −φ p( )⎡

⎣⎤⎦

p=1

∞

∑

• Página70

Na Figura 5.2, o forçamento do oscilador de cima é ! ! = !" ! . Nos osciladoresdebaixo,asforçassão!! ! ,!! ! ! !! ! aoinvésde!! ! , !! ! ! !! ! .

• Página75,Equação(5.26):

! = !!(!) =1

!!!!!!!!!!en !!!

• Página81,Equação(5.57):

! ! = !!!"! !! + !!!!"! !

! − ! (−!)!!!"!"#!!

Capítulo6

• Página99:

!!,! =12!! + !! !! + !! + !! !!

!!!!± 12!!!!

{ !! + !! !! + !! + !! !! !

+ −4!!!! !!!! + !!!! + !!!! }! !

• Página105,Eq.(6.47):

( !(!) ! ! !(!) )! = !(!) ! ! ! !(!) ! != !(!) ! ! !(!)

( !(!) ! ! !(!) )! = !(!) ! ! ! !(!) ! != !(!) ! ! !(!)

Ouseja,aEq.(6.46)podeserreescritanaforma:

• Página106,Figura(6.16):

• Página110,Equação(6.72):

[Γ]! ! Γ {!}+[Γ]! !! ! + !! ! Γ ! + [Γ]! ! Γ ! = Γ ! !

• Página110,Equação(6.76):

!! + !! + !!!!! !! + !!!!! = !! (! = 1,… , !)emque ! = [Γ]!{!}.

• Página113,segundalinhaapósaEq.(6.95):

Paraisso,pré-multiplica-seaEq.(6.95)pela...

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Exemplos

Capítulo 3

• Exemplo 3.1 (Página 41):

Um oscilador linear com m=10kg e ωn=35rad/s é deslocado de 10mm em

relação à sua posição de equilíbrio e solto a partir do repouso. Se o sistema está

sujeito a um amortecimento viscoso com c=50Ns/m, quando ciclos são percorridos

pelo sistema até que a sua amplitude de oscilação seja menor que 10% do

deslocamento inicial?

Solução:

O coeficiente de amortecimento viscoso adimensional pode ser calculado de

acordo com a Eq. (3.37):

! = !2!!!

= 50(2)(10)(45) = 0,0556

Em seguida, calcula-se o decaimento logarítmico:

! = (2!)(0,0556)1 − 0,0556!

= 0,3496

Utilizando a equação que relaciona o decaimento logarítmico com as amplitudes

do sistema, conforme apresentado na Eq.(3.55), tem-se que:

0,3496 = !! !"

!!,! → ! = 6,5862

Sabendo-se que n deve ser um número inteiro, a amplitude do sistema é menor

que 0,1cm após 7 ciclos.

Capítulo 4

• Exemplo 4.1 (Página 55):

Um motor de massa m é sustentado por quatro molas, cada uma possuindo

constante k. O desbalanceamento do rotor é equivalente a uma massa md

localizada a uma distância e do eixo de rotação. O movimento do motor é

restringido a ser vertical, representado pelo deslocamento u. Determine a equação

do movimento e estime a amplitude de vibração do motor, em regime

permanente, quando ele funciona a uma frequência Ω = ω!/3. Considere as

condições iniciais ! 0 = 2! Ω e ! 0 = 0.

md

m Ωt

u

Figura 4.6 Motor desbalanceado suportado por quatro molas.

Solução:

Considerando que os esforços são uniformemente distribuídos entre as 4 molas,

podemos calcular a rigidez equivalente conforme se segue:

!! = !!!

!!!= 4!

O desbalanceamento provoca um forçamento harmônico no sistema, sendo

representado por:

!! = !!!Ω! cos(Ω!)

Tem-se então a equação do movimento:

! + !!!! = !!!!!! cos (!")

onde !!! = !!/!.

Como não há amortecimento, a solução homogênea não pode ser

desconsiderada e a solução em regime permanente é dada por duas partes:

! = !! + !!

onde as soluções são dadas pelas Eqs. (3.13) e (4.12):

!! = ! !"# ω!! − !!

!! = ! Ω !"# Ω! − !!

Para o forçamento imposto (note que Ω < ω!) e ξ = 0, a amplitude e o ângulo

de fase da solução particular são:

! Ω = !!!Ω!!(!!! − Ω!)

!! = 0.

Considerando as condições iniciais, ! 0 = 2! Ω e ! 0 = 0, na solução

completa temos:

! cos !! = ! Ω (!)! sen !! = 0 (!)

Resolvendo o sistema, obtemos que:

! = ! Ω = !!!Ω!!(!!! − Ω!)

= !!!8!

!! = 0.

Desta forma, a solução é:

! = ! Ω !"# !!! + !"# !!! 3

Como Ω = ω!/3, os valores dos picos coincidem das soluções homogênea e

particular coincidem e o maior valor possível de amplitude ocorre quando

cos !!! = cos !!!/3 = 1, ou seja:

!!"# = 2! Ω = !!!4!

Capítulo 6

• Exemplo 6.1 (Página 91):

!!! = !!!!

• Exemplo 6.1 (Página 92):

ℒ = (! +!)2 !! +!"!! cos ! + 12!!

!!! −!"!! 1 − cos ! −!!!!

• Exemplo 6.6 (Página 107):

Considere o sistema discreto apresentado no Exemplo 6.5 quando uma força

harmônica F1(t)=cos(1,5t) é aplicada ao corpo de massa m1. Obtenha a resposta do

sistema em regime permanente para condições inicias nulas.

Solução:

A equação de movimento do sistema é expressa a seguir:

}{}{][}{][ Fukum =+!!

onde

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1009

][m ; ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=

33327

][k ; ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=0

)5,1cos(}{

tF

Adotando a transformação }]{[}{ ηΓ=u , onde:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=Γ

113/13/1

21][

pode-se escrever o sistema em coordenadas normais:

}{}]{[}{ N=Λ+ ηη!!

onde:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=Λ

4002

][ e ! = Γ ! ! = !!

cos (1,5!)−cos (1,5!)

Dessa forma,

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

)5,1cos()5,1cos(

62

4002

2

1

2

1

tt

η

η

η

η!!!!

Para o sistema desacoplado, tem-se que a resposta de cada coordenada é dada

pela soma das Eqs. (3.13) e (4.12):

( ) )(coscos piiiiii tUtA ϕϕωη −Ω+−=

onde

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−

=2

0

1i

ii

fU

ω

(i=1,2).

Logo, 234

1 =U e 2214

2 =U .

Os ângulos de fase relacionados à solução particular, conforme mostrado na Eq.

(4.12), são !!! = ! (amortecimento nulo e Ω > !!) e !!! = 0 (amortecimento

nulo e Ω < !!). Os valores das frequências naturais foram obtidas no Exemplo 6.5.

Além disso, como não há amortecimento, a solução homogênea não pode ser

desconsiderada em regime permanente.

Para determinar as constantes iA e iϕ é necessário utilizar as condições iniciais:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

Γ=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

Γ=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

00

)0()0(

][][)0()0(

00

)0()0(

][][)0()0(

2

1

2

1

2

1

2

1

uu

m

uu

m

T

T

!!

!!

η

η

η

η

Com isso

!! 0 = !! cos !! − !! Ω = 0!! 0 = !!!! sen !! = 0

!! 0 = !! cos !! + !! Ω = 0!! 0 = !!!! sen !! = 0

( )( )⎩

⎨⎧

==

=Ω−=

0sin)0(0)(cos)0(

2222

2222

ϕωη

ϕη

AUA

!

De onde obtém-se que 021 ==ϕϕ , !! = !! Ω e !! = −!! Ω . Logo,

temos que:

!! = !![−cos 1,5! + cos 1,41! ] !! = !![+cos 1,5! − cos 2! ]

Realizando a transformada inversa, a resposta do sistema é:

!! =26 !! − cos 1,5! + cos 1,41! − !! +cos 1,5! − cos 2!

!! =22 !! −cos 1,5! + cos 1,41! + !! +cos 1,5! − cos 2!