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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS - RESOLUÇÕESNUMÉRICAS NO AMBIENTE MAPLE V

Pedro Luiz Aparecido Malagutti1, Juliana Cristina do Nascimento2

Universidade Federal de São CarlosRod. Washington Luiz Km 235

13565-905 São Carlos SP

Universidade Federal de São CarlosRod. Washington Luiz Km 235

13565-905 São Carlos SP

Resumo. A área de Matemática Aplicada tem sentido as mudanças advindas do uso da Informática,de um modo substancial. Os cursos de Engenharia têm tentado acompanhar esta efervescência denovas técnicas permitindo o tratamento mais realista de modelos provenientes do mundo concreto.Nossos cursos respondem, a seu modo, as modificações que atualmente nos são impostas e nosdeparamos com duas tarefas de difícil consecução: a quebra da imobilidade devida a cristalizaçãode processos e métodos clássicos e a geração de uma nova tecnologia que não esteja suportadaunicamente em pacotes prontos, sem o desafio da descoberta científica. Procuramos descreverneste trabalho as tentativas que estão sendo realizadas na UFSCar afim de enfrentar estas duasbarreiras: por um lado, a busca da modernização do arsenal metodológico usualmente utilizadona resolução de modelos matemáticos significativos e, por outro, o estabelecimento de metas quenão utilizem os softwares científicos apenas para se obter as soluções para estes modelos, emdetrimento do minucioso processo de descoberta. Com este pano de fundo, o trabalho descreve otratamento feito com o aplicativo MAPLE V para a resolução e interpretação geométrica dosresultados das principais equações da Física-Matemática provenientes da modelagem matemáticade problemas ligados às Engenharias.

Palavras-chave: Soluções numéricas de equações diferenciais parciais, Modelagem matemática,Problemas básicos de engenharia.

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1. INTRODUÇÃO

A Matemática, como todas as outras ciências, tem sido alavancada neste início de milênio pela introdução demodernas técnicas advindas do crescimento exponencial da informática. Seguramente a área de Matemática Aplicadatem sentido e se beneficiado dessas mudanças de um modo imprescindível, podendo mesmo se chegar a dizer queestamos iniciando seu reinado agora e que, nesta área, tudo ainda está por se descobrir. Os cursos de graduação emEngenharia têm tentado acompanhar o florescer deste novo ferramental técnico, o aumento vertiginoso do poderprocessador das máquinas, novas técnicas de simulação e visualização, o que permite abordar e tratar os problemas domundo concreto com modelos mais realistas e precisos.

Os cursos de Engenharia acompanham estas modificações, modernizando-se e procurando inserir na formaçãoinicial de seus profissionais as modernas técnicas citadas acima. Entretanto, embora as inovações devam ser tratadascom respeito, elas também inspiram desconfiança e somos levados a uma dicotomia baseada na quebra da imobilidadedevida a cristalização de processos e métodos clássicos (arcaísmo científico) versus a geração de uma nova tecnologiaque não esteja suportada unicamente em pacotes prontos sem o desafio da descoberta científica (ilusão maquinicista).

A disciplina “Métodos de Matemática Aplicada”, oferecida pelo Departamento de Matemática da UFSCar aosCursos de Engenharia tem um papel fundamental no desenlace desta problemática, primeiramente por tratar-se daúltima disciplina curricular da graduação onde a abordagem formal da matemática é apresentada com rigor e segundoporque, dentro da qual, todo o conhecimento teórico e técnico do Cálculo Diferencial e Integral encontra suajustificativa. De fato, os fenômenos naturais ligados à energia e a matéria podem ser modelados com precisãoutilizando-se as teorias e técnicas matemáticas oriundas das equações diferenciais parciais desenvolvidas na disciplina.

Nossas experiências nessa disciplina têm procurado alicerçar um projeto científico que tem o intuito de quebrarestas barreiras: estamos buscando a modernização do arsenal metodológico usualmente utilizado na resolução demodelos matemáticos significativos e, ao mesmo tempo, estabelecendo a meta de não utilizarmos os softwarescientíficos apenas para se obter as soluções para estes modelos, em detrimento do minucioso processo de descoberta, domodo como a técnica de resolução foi elaborada.

2. EIXOS NORTEADORES

A principal meta do trabalho didático/pedagógico desenvolvido na disciplina “Métodos de MatemáticaAplicada” é de fornecer ao aluno as ferramentas necessárias ligadas às equações diferenciais parciais estabelecendoconexões com problemas práticos. Os problemas a serem trabalhados envolvem dentro da grade curricular dos cursos deEngenharia envolvem, além da Matemática, a Física e a Ciência da Computação.

Segundo esta linha, as atividades são integralizadoras, envolvendo desde métodos numéricos, análise deFourier, até técnicas de Elementos Finitos e Estatística. Com desenvolvimento das atividades realizadas integrando ocomputador à rotina das salas de aula, observamos que o estudante passou a ter uma visão global da área de MatemáticaAplicada, com uma percepção moderna dos métodos, muitos deles relacionados com o uso de algoritmoscomputacionais. Com isto os alunos passaram a dominar os conhecimentos básicos sobre o poder dos métodosmatemáticos associados aos computadores, possibilitando a sua preparação para trabalhar com problemas de grandecomplexidade e tamanho.

Os objetos de estudo foram os princípios básicos, os métodos e os resultados relacionados com as principaisequações diferenciais parciais. A disciplina e suas modificações que agora estão sendo implementadas têm a intenção depropiciar ao estudante uma vivência intensa do processo completo de modelagem matemática. De modo simplificado,os problemas abordados foram tratados em três etapas, brevemente descritas a seguir:

Proposição do modelo: dado um problema real, compreender o papel dos fatores envolvidos e transladar asinformações e dados para uma linguagem matemática trabalhável.

Técnicas de resolução: neste estágio as soluções são obtidas através da seleção e aplicação de convenientes métodosmatemáticos, muitas vezes envolvendo técnicas numéricas e o uso de softwares científicos. Esta é a parte central dotrabalho. Optamos pela utilização do aplicativo MAPLE V, mas o MATHEMATICA e o MATLAB também se prestama esta tarefa.

Validação e interpretação dos resultados: nesta etapa final procuramos entender o significado e as implicaçõesmatemáticas da solução encontrada e sua interrelação com a situação real, escopo do estudo em questão.

Em termos holísticos, objetivamos com as experiências desenvolvidas, a familiaridade do futuro profissionalcom o pensamento e as metodologias matemáticas modernas, afim de que este reconheça a necessidade de aplicar

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métodos matemáticos para resolver problemas do mundo real, que realize a Matemática como uma ciência sistemáticaconstruída sobre conceitos básicos envolvendo princípios unificadores e que obtenha vivência científica sólida parainterrelacionar os conceitos teóricos com os computacionais e os experimentais.

Uma palavra sobre o aplicativo MAPLE V: o trabalho com este software, seja no trato de exemplos, seja naforma de laboratórios ou tutoriais, constituiu parte integrante dos experimentos didáticos realizados. Este aplicativo teminterface amigável e presta-se basicamente a quatro tipos de tarefas: cálculos numéricos, cálculos algébricos,visualização geométrica e programação científica. O seu uso economiza tempo e evita manipulações tediosas, evitandoerros. Suas facilidades gráficas permitem interpretar as soluções obtidas, melhorando a compreensão e significância dassoluções encontradas. Isto, após um pequeno tempo de familiaridade, permite ao aluno experimentações, ataques aproblemas modificados, a invenção de novas situações e novas descobertas.

Vamos listar a seguir os principais tópicos que foram trabalhados:

• Introdução à Análise de Fourier• Principais equações diferenciais parciais da Física-Matemática: equações de primeira ordem, equação do calor, das

ondas e de Laplace.• Introdução aos métodos numéricos• Métodos numéricos em Álgebra Linear• Métodos numéricos em Equações Diferenciais Parciais• Modelos Matemáticos: condução do calor em barras, equações das ondas (acústica), problemas de potencial,

poluição da água e atmosférica, crescimento de algas, modelos de tráfico, deformação de vigas, etc...

3. METODOLOGIA

Por se tratar de uma disciplna complexa, a descrição detalhada de todos os procedimentos didáticosseria extensa. Por isso optamos pela apresentação de um tópico que exemplifica a metodologia empregada. Os alunostrabalharam em dois ambientes: o tradicional em sala de aula (em aulas expositivas dialogadas) e no LaboratórioREENGE de Informática da UFSCar.

Passamos então à descrição do processo de discretização das equações elíticas. Os fenômenos naturais queenvolvem potenciais podem ser descritos pela equação de Poisson (ou Laplace no caso homogêneo)

div(grad(u)) = g Eq. (1)

Tais equações aparecem também no estudo estacionário da distribuição da temperatura e por isso têm sidoextensivamente estudadas tanto do ponto de vista teórico (análise harmômica), como do ponto de vista prático emmodelagem matemática.

Consideremos a equação de Poisson

∆ u = uxx+uyy = f(x,y) Eq. (2)

Para obtermos métodos de solução numérica, substituimos as derivadas parciais por uma diferença dequocientes correspondentes. Pela fórmula de Taylor:

u(x+h,y) = u(x,y)+hux(x,y)+(1/2)h2uxx(x,y)+(1/6)h3uxxx(x,y)+... Eq. (3)

u(x-h,y) = u(x,y)-hux(x,y)+(1/2)h2uxx(x,y)-(1/6)h3uxxx(x,y)+... Eq. (4)

Subtraindo estas duas equações e omitindo termos de h3 em diante, obtemos:

ux(x,y) ~ [u(x+h,y)-u(x-h,y)] / 2h Eq. (5)

Similarmente,

uy(x,y) ~[(u(x,y+k)-u(x,y-k)] / 2k Eq. (6)

Quanto às derivadas segundas, adicionando as Eq.(3) e (4) e negligenciando os termos que contêm h4,h5, ...,obtemos

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u(x+h,y)+u(x-h,y) ~ 2 u(x,y)+h2uxx(x,y) Eq. (7)

Resolvendo em termos de uxx,

uxx(x,y) ~ [ u(x+h,y)-2 u(x,y)+u(x-h,y)]/h2 Eq. (8)

e similarmente,

uyy(x,y) ~ [u(x,y+k)-2u(x,y)+u(x,y-k)]/k2 Eq. (9)

Substituindo na Eq. (2) com h=k,

u(x+h,y)+u(x,y+h)+u(x-h,y)+u(x,y-h)-4u(x,y)=h2 f(x,y) Eq. (10)

Esta é a equação diferença correspondente à discretização da equação de Poisson. Assim, para a equação deLaplace, a equação diferença correspondente é:

u(x+h,y)+u(x,y+h)+u(x-h,y)+u(x,y-h)-4u(x,y) = 0 Eq. (11)

A equação de Laplace, juntamente com condições de fronteira numa região R do plano constituem o chamadoProblema de Dirichlet em R. Para solução numérica desse problema, primeiro escolhemos um tamanho h eintroduzimos em R uma grade de linhas horizontais e verticais paralelas aos eixos x e y respectivamente com distância huma da outra, cujas intersecções chamamos de nós ou pontos de malha. Então, usamos uma equação diferencialaproximada da equação diferencial dada – Eq. (11) – para relacionar os valores de u em cada nó da malha dentro de R.Disto resulta um sistema linear de equações algébricas, cujas soluções são aproximações dos valores de u nos pontos damalha. Com condições de fronteira corretas, o número de equações é igual ao número de incógnitas. A cada nó, u ésomente relacionado a valores vizinhos a ele e portanto os coeficientes do sistema algébrico obtido na discretizaçãoformam uma matriz esparsa, isto é, uma matriz com relativamente poucas entradas diferentes de zero. Na prática, essamatriz será grande pois para obtermos um resultado acurado precisamos de muitos pontos de malha, e uma matriz 1000X 1000 ou maior pode causar um problema de armazenamento (se essa matriz for tridiagonal, podemos aplicar ométodo de eliminação de Gauss, eliminando o problema de armazenamento). Entretanto, é preferível um métodoindireto a um método direto. Em particular, podemos usar o método de Gauss-Seidel, o qual neste contexto é chamadode método de Liebmann. Aqui entra o software MAPLE e suas facilidades computacionais.

Vejamos a título de exemplo, como resover numericamente o problema de Dirichlet para o quadrado,utilizando-se o MAPLE.

Os valores na fronteira são conhecidos e o método permite calcular de modo bastante acurado os valores nospontos internos da malha. Veremos a seguir o programa para o Problema de Dirichlet num quadrado. O procedimentoestá escrito usando-se somente os comandos básicos do MAPLE V.

∆∆∆∆u = 0

0 x

y

u=sup

u=diru=esq

u=inf

Fig. 1Fig. 2

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> Laplace:=proc(p,inf,esq,sup,dir)> local b,j,v,x,A,B,C,Id;> B:=band([1,-4,1],p);> Id:=band([1],p);> C:=diag(seq(B,i=1..p));> v:=vector(2*p+1,0);> v[1]:=1:v[2*p+1]:=1;> A:=eval(C+band(v,p^2));> b:=vector(p^2,0);> for j from 1 to p do> b[j]:=b[j]+inf;> b[(j-1)*p+1]:=b[(j-1)*p+1]+esq;> b[j*p]:=b[j*p]+dir;> b[j+p*(p-1)]:=b[j+p*(p-1)]+sup;> od:> b:=evalm(b);> x:=matrix(p,p,evalf(linsolve(A,b)));> for j from 1 to iquo(p,2) do> x:=swaprow(x,j,p+1-j);> od;> RETURN(x);> end:

Para regiões mais complexas do que quadrados, podemos utilizar também o ambiente de programação doMAPLE para a obtenção de soluções numéricas. Outros métodos podem ser usados para atacar problemas parabólicos(tais como a equação do calor) e hiperbólicos (como no caso das equações das ondas). O uso do MAPLE permite odesenvolvimento da maquinaria numérica simultaneamente com o tratamento analítico das equações, integrando osconceitos e tornando mais próximos da realidade os modelos matemáticos em estudo. Do ponto de vista didático, asfacilidades gráfica do aplicativo MAPLE são de fato surpreendentes.

Veja, por exemplo nas figuras 3 e 4 abaixo a comparação visual de soluções da equação de Laplace obtidas pormétodos analíticos (séries de Fourier) e numéricos (via método de Liebman), o que mostra a força e a precisão dosmétodos numéricos.

Fig. 3 – Solução analítica

Fig. 4 – Solução numérica

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4. CONCLUSÕES ENCONTRADAS:

Com os experimentos pedagógicos realizados na disciplina “Métodos de Matemática Aplicada” os alunos doscursos de Engenharia da UFSCar mostraram-se capacitados a formularem, por si só, modelos matemáticos básicos emexemplos recolhidos do mundo real e passaram a tratar matematicamente tais modelos com equações diferenciaisparciais. Com isto os estudantes adquiriram conhecimentos e hábitos de aprendizagem ativa, transformando-se emagentes de seus próprios processos de aprendizagem e conseqüentemente de seus próprios desenvolvimentos científicos.Acreditamos assim que o uso consciente de pacotes computacionais e suas facilidades ajudam sobremaneira osestudantes a enfrentarem a complexidade científica do mundo atual, através do domínio de modernos recursos deinformática, usados tanto como ferramenta para a resolução de problemas como para simulações e novas descobertas.

Agradecimentos

Agradecemos ao CNPq pela bolsa de Iniciação Científica, dentro do Programa PIBIC da UFSCar.

5. REFERÊNCIAS

[1] Beltrami, E. Mathematics for Dynamic Modeling Academic Press, 1987

[2] Kreyszig, E. Advanced Engineering Mathematics, 7. Ed. John Wiley & Sons, 1993

[3] Nachbin, A e Tabak, E. Equações Diferenciais em Modelagem Matemática Computacional, 1997 IMPA CNPq

[4] Huntley & James, Mathematical Modelling, Oxford UP, 1990

[5] Software MAPLEV - Release 5 Waterloo Inc., 1998