EQUAÇÕES

D.E. CAMPINAS OESTE

PCOP: Inês Chiarelli Dias

“Assim como o Sol empalidece as estrelas com o seu brilho, um homem inteligente eclipsa a glória de outro homem nos concursos populares, resolvendo os problemas que este lhe propõe”. François Viète

Esse texto da Índia antiga fala de um passatempo muito popular dos matemáticos hindus da época: a solução de quebra cabeças em competições públicas, em que o competidor propunha problemas para outro resolver. Sem nenhum sinal, sem nenhuma variável, somente alguns poucos sábios eram capazes de resolver problemas, usando muitos artifícios e trabalhosa construções geométricas.

Os egípcios não utilizavam notação algébrica, os métodos de solução de uma equação eram complexas e cansativos.Os gregos resolviam equações através de Geometria.Foram os árabes que, cultivando a Matemática dos gregos, conseguiram progresso na resolução de equações. Chamavam o valor desconhecido de “coisa”, pronunciada como xay, daí surge o x como tradução simplificada de palavra “coisa”.

Equações do primeiro grau

Do ponto de vista elementar, equações são problemas que determina certos valores desconhecidos, sabendo que quando esses valores são manipulados algebricamente, de uma certa maneira, são obtidos certos valores dados. As primeiras equações na forma escrita surgiram no antigo Egito 3000 anos a.C.

Há aproximadamente 3600 anos o faraó do Egito tinha um súdito cujo nome chegou até os nossos dias: Aahmesu, cujo significado é “filho da lua”, era uma pessoa muito simples provavelmente um escriba.

Atualmente ele é conhecido como Ahmes autor do Papiro Ahmes, mais famoso como Papiro de Rhind.

O Papiro de Rhind foi encontrado em meados do século passado, presumivelmente nas proximidades do templo de Ramsés II, na antiga cidade de Tebas, no Egito. Em 1858 foi comprado, no local, pelo antiquário escocês A.H. Rhind .

O papiro é um rolo com cerca de 30cm de altura e 5m de comprimento e encontra-se hoje, salvo alguns fragmentos, no Museu Britânico.

O Papiro de Rhind é um antigo manual de Matemática, contendo 80 problemas de Álgebra, cada um com a sua solução.

Nesse papiro, encontramos as primeiras equações do primeiro grau, na forma de problemas “aha. Aha significava quantidade. Tais problemas referem-se à determinação de quantidades desconhecidas.

Fragmento do Papiro de Rhind – Museu Britânico

Problemas aha do Papiro RHIND (Prob24) Uma quantidade e seu sétimo,

somadas juntas, dão 19, Qual é a quantidade?

(Prob25) Uma quantidade e sua metade, somadas juntas, resultam 16. Qual é a quantidade?

(Prob28) Uma quantidade e os seus dois terços são adicionados, e da soma um terço da soma é subtraído e ficam 10.Qual é a quantidade?

Mais um problema: “Um montão, seus dois terços, sua metade,

todos ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”

O problema se reduz a essa equação:

Regra da “falsa posição” Para os antigos matemáticos egípcios

suas equações vinham expressas totalmente em palavras, a álgebra puramente simbólica estava muito distante de ser inventada.

Encontravam a solução deste tipo de equação através de um método chamado regra da falsa posição.

- Atribuíam um valor falso a montão, por ex 12:

Onde se conclui que o valor falso 12 está para 26 assim como o valor verdadeiro = montão está para 13.

montão = 6

Utilizou-se uma “regra de 3 simples”

Por que uma regra de 3 simples dá o valor verdadeiro de x? Coincidência?

Através da idéia moderna de função :“Se f é uma função cujos valores são dados

pela fórmula , para que valor de x temos f(x) = 13?”

Traçando o gráfico de fx f(x)

0 0

3 6,5

Por semelhança de triângulos temos:12/26 = x/13

Após ser achado 26 como solução, poderia ser aplicado o fator de correção, 13/26, no valor suposto 12.

Vamos resolver os três problemas anteriores pela “regra da falsa posição”.

Desafio: “ Doze anéis de prata pesam tanto quanto oito anéis de ouro. Se trocarmos um anel de prata por um anel de ouro, a diferença será de 6 tzin. Digam-me, quanto pesa um anel de prata e um anel de ouro?”

12p = 8o 12p – 1p + 1o = 7o + 1p + 6tzin

11p + 1o = 7o + 1p + 6 10p – 6o = 6

supondo p = 2 e o = 3, teremos

10.2 – 6.3 = 20 – 18 = 2

solução deveria ser 6 solução foi 2Aplicando o fator de correção (falso montão p=2 e o =3)

Anel de prata = 6, anel de ouro = 9

A regra anterior resolve equações do tipo ax = b, mas para solucionar equações do tipo ax + b =c, a regra não funciona. Supostamente, já antes de Cristo, os babilônios e os chineses usavam neste caso, a regra da “dupla falsa posição”.

Regra da “ dupla falsa posição”

Para achar x tal que ax + b =c, atribui-se dois valores “falsos” x1 e x2.

Se d1 = ax1 + b – c e d2 = ax2 + b – c, a proporção

=

A regra, em linguagem de hoje, se f(x)=ax +b

Uma outra versão da mesma regra:

Para problemas não lineares a regra poderá dar soluções aproximadas.Esse problema não linear, foi encontrado entre os escritos dos antigos babilônicos. Nele se pergunta em quantos anos duplica um capital de 1 gur, a juros de 20% ao ano

Em notação de hoje:Após 3 anos o capital ficará multiplicado por (1,2)3

Após 4 anos o capital ficará multiplicado por (1,2)4

Se usarmos a fórmula temosx1=3 f(x1) = 1,728, x2=4 f(x2) = 2,0736

Obtendo-se x= 3,7870, que nos dá 3 anos, 9 meses e 15 dias.

Já no século XVI, Cardano usa a regra da falsa posição, repetidas vezes em um mesmo problema, a fim de obter melhores aproximações para a solução.Atualmente usamos tal regra, com o nome e Interpolação Linear, para aproximarmos um arco de curva por segmento de reta

O homem que calculava Cap VBeremiz resolve um problema e determina a dívida de um joalheiro.... – Esse homem (e apontou para o joalheiro) veio da Síria vender jóias em Bagdá; prometeu-me que pagaria, pela hospedagem, 20 dinares se vendesse as jóias por 100 dinares, pagando 35 se as vendesse por 200. Ao cabo de vários dias, acabou vendendo tudo por 140 dinares.

Proporção feita pelo mercador de jóia:200 está para 35, assim como 140 está para x. Total da dívida 24,5.

Proporção feita pelo dono da hospedaria: 100 está para 20, assim como 140 está para x. Total da dívida 28. Quem está certo?

A explicação de Beremiz :A diferença de 100, no preço da venda,

corresponde a uma diferença de 15 no preço da hospedagem.

Se um acréscimo de 100 na venda traria um aumento de 15 na hospedagem, eu pergunto: Qual será o aumento da hospedagem para acréscimo de 40 na venda? Se a diferença fosse de 20 (que é 1/5 de 100), o aumento da hospedagem

seria de 3 (pois 3 é 1/5 de 15). Para a diferença de 40 (que é o dobro de 20), o acréscimo da hospedagem deverá ser de 6. O pagamento correspondente a 140, é, portanto, de 26.

.....

De uma forma resumida, podemos dizer que quando temos uma função qualquer, dois valores de seu domínio: x1 e x2 e suas respectivas imagens f(x1) e f(x2), se desejarmos obter o valor x, compreendido entre x1 e x2 e que tenha imagem (f(x)=c) compreendida entre f(x1) e f(x2), podemos aplicar a interpolação linear através da relação.

f(20) = 100 e f(35) =200, ou seja x1 = 20 e f(x1) = 100; x2 = 35 e f(x2) = 200, como as jóias foram vendidas por 140 dinares, temos que c=f(x)=140 e desejamos obter o valor correspondente a x, ou seja:

Resolvendo essa proporção, obtemos x=26, que são os 26.

Problemas de balanceamento de misturas

1) Um técnico de laboratório tem duas soluções de ácido sulfúrico (solução ácida= água destilada + ácido). A primeira é 30% ácida e a segunda é 70% ácida. Quantos mililitros de cada ele deve usar para obter 200 ml de uma solução 60% ácida?

Serão utilizadas x ml da sol. de 30% ácida e y ml da sol. 70% ácida. A solução resultante será de 200 ml e 60% ácida.

Daí : x ml + y ml = 200 ml30% de x ml + 70% de y ml = 60% de 200 ml x + y = 200 0,3x + 0,7 y = 0,6. 200Tudo se reduz a uma equação do 1º grau ao

substituir y = 200 – x x= 50 e y = 150

2) Que volume de álcool deve ser adicionado a 600 litros de uma solução 15% alcoólica (solução alcoólica = álcool + água) de modo que a solução resultante seja 25% alcoólica?

Em 600 litros temos 15% de álcool = 90 litros de álcool, logo 510 litros de água que corresponde a 85% .

Queremos que esses 510 litros corresponda a 75% da solução ( solução resultante 25% de álcool).

Adicionar 80 litros de álcool

O Banho de ArquimedesArquimedes de Siracusa foi um grande físico e matemático grego do séc. 3 a.C.,pesquisador da “Universidade” de Alexandria, cidade do antigo Egito fundada por Alexandre o Grande às margens do Rio Nilo. Conta uma lenda que o rei Hierão de Alexandria suspeitava que sua coroa não teria sido feita de ouro puro, mas sim de uma mistura (liga) de ouro e prata, e incumbiu Arquimedes de calcular as quantidades desses metais empregadas na confecção da coroa.

Arquimedes descobriu um meio de fazer isso enquanto se banhava. Celebrando a descoberta, saiu às ruas gritando Eureka! (Descobri!), tendo no entanto se esquecido de vestir-se ao sair.

Algumas considerações: A densidade de um corpo material não oco é a

razão entre sua massa e seu volume. Por ex. a densidade do mel é 1300g por litro; 1,3g/cm3.

densidade = massa/volume, logo volume = massa/densidade.Por ex. o volume de 1kg de mel é dado porVolume = 1kg/1,3kg/l ≅ 769ml

A massa de um corpo é uma quantidade calculável por comparação com outra massa, balança de dos pratos.O volume do corpo , desde que não seja esponjoso, pode ser determinado por imersão deste corpo num tanque de água.

Uma coroa de m gramas de uma liga de ouro e prata. Deseja-se determinar a quantidade de x gramas de ouro e a quantidade de y gramas de prata presentes nessa liga.

volume do ouro = massa do ouro / densidade do our.

Densidade do ouro = 19,3g/cm3

Densidade da prata = 10,5 g/cm3.Volume do ouro =

Volume da prata =

Volume da coroa = +

Chega-se então ao sistema: x + y = m

Supondo que a coroa do Rei Hierão, tivesse massa de 4200g ( será que a cabeça do rei aguenta?) e volume 268cm3. Quais as quantidades de ouro e prata presentes nessa coroa?

x = 3 039,75 y = 1 160,25

Problemas

1) Duas toneladas de uma liga metálica contém 15% de estanho. Que quantidade de estanho deve ser adicionada a essa liga de modo a aumentar a concentração de estanho a 20%?

2) A densidade do ouro é de 19,3g/cm3

e a do cobre é de 8,9 g/cm3. Uma liga de ouro e cobre tem 6 cm3 e 95g. Quais são as quantidades de ouro e cobre presentes na liga?

3) Durante a discussão da reforma do sistema previdenciário, na década de 1990, aventou-se a hipótese de ser adotada, a chamada “fórmula 95”. Segundo ela, os trabalhadores teriam direito à aposentadoria quando a soma do número de anos trabalhados com a idade do trabalhador fosse igual a 95. Com que idade poderia, aposentar-se uma pessoa que tivesse começado a trabalhar com 23 anos?

4) Considere 3 números a, b, c. A média aritmética entre a e b é 17 e a média aritmética entre a, b, e c é 15. Qual é o valor de c?

5) Numa caixa, o número de moedas de 1 real é o triplo do número de moedas de 25 centavos. Se tirarmos 2 moedas de 25 centavos e 26 moedas de 1 real, o número de moedas de 1 real e de 25 centavos ficará igual. Qual a quantidade de moedas de 1 real e de 25 centavos?

6) Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a tua idade, quando tu tiveres a minha idade, a soma das nossas idades será de 45 anos. Quais são as nossas idades?

7) Uma amostra de água salgada apresenta 18% de salinidade. Isto significa que em 100 gramas de amostra teremos 18 gramas de água. Qual a melhor aproximação do percentual de água da amostra a ser evaporado se quisermos obter 30% de salinidade?

Equações do segundo grau

Da Antiga Babilônia até DiofantoOs antigos babilônios (ou babilônicos - 1800.a.C),

habitantes do sul da antiga Mesopotâmia (parte do atual Iraque), já resolviam o problema de encontrar dois números x e y cuja soma é p e cujo produto é q. o método empregado pelos babilônios, traduzido para nossas notações modernas, é basicamente o seguinte:

A priori, x e y são representados na forma:

Dado x + y = p . Tem-se então

de onde

Daqui, se deduz

(os números negativos ainda não haviam sido inventados).

Assim x e y acabam sendo expressos como

Cerca de dois milênios depois (em torno do ano 250 da era cristã), este mesmo método aparece no tratado Arithmetica do grego Diofanto, considerado o pai da álgebra no sentido de ter sido o primeiro a empregar notações simbólicas para expressões algébricas.

Exemplos encontrados nas tábuas de argila dos antigos babilônios, bem como no livro Arithmetica de Diofanto, resolvidos pelo método exposto anteriormente.

Ex1) (Babilônios, 1800 a.C.) Encontre dois números cuja soma é 14 e cujo produto é 45.

Ex2) (Diofanto, em Arithmetica) Encontre dois números cuja soma é 20 e cuja soma de seus quadrados é 208.

Ex3) Dois números cuja soma é 10 e cuja soma dos seus cubos é 370.Ex4) Encontre dois números x e y satisfazendox – y = 10 e x 3- y 3 = 2170Método Diofanto: se a diferença x – y= p é dada, escrevemos x = a + p/2 e y = a – p/2Ex5) Encontre dois números x e y satisfazendo x – y = 4 e x3 + y3 = 28(x + y)Ex6) Resolva a equação x2– 6x = 27 (método babilônico: Escreva a equação na forma x.(x – 6) = 27

Ex7) Resolva a equação x2 + 6x = 16 pelo método babilônico descrito no ex. anterior

AL-KHWARIZMIO primeiro tratado a abordar sistematicamente as equações do 2º grau e suas soluções foi Os Elementos de Euclides (séc. 3a.C.). Em Os Elementos, Euclides nos dá soluções geométricas da equação do segundo grau. Os métodos geométricos ali encontrados, embora interessantes, não são práticos.No início do século 9, o Califa Al Mamum, recebeu através de um sonho, no qual teria sido visitado pelo imortal Aristóteles, a instrução de

fundar um centro de pesquisa e divulgação científica. Tal instituição, a Casa de Sabedoria, foi fundada em Bagdá, hoje capital do Iraque, às margens do Rio Tigre. Lá, a convite do Califa, estabeleceu-se Al-Khwarizmi, juntamente com outros filósofos e matemáticos do mundo árabe.

A pedido do Califa, Al-Khawarizmi, escreveu um tratado popular sobre a ciência das equações: Livro da Restauração e Balanceamento

No seu trabalho, Al-Khwarizmi apresenta dois métodos geométricos de solução da equação do 2º grau. Al-Khwarizmi não fazia uso de notações simbólicas em seu tratado. Sua equações são escritas no estilo retórico, isto é, sem o emprego de símbolos.

RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU PELOS MÉTODOS DE AL-KHWARIZMI

x2 + 10x = 39 (pelo 1º método de Al-Khawarizmi)Primeiramente a equação é escrita na forma ou seja,39

4

10.42 xx 39

2

5.42 xx

392

5.42 xx

222

2

5.439

2

54

2

5.4

xx

6425395 2 x

645 2 x

358 x

x2 + 10x = 39 (pelo 2º método de Al-Khawarizmi)x2 + 5x + 5x = 39

x2 + 5x + 5x + 52 = 39+52(x + 5)2 = 39+25 = 64

Equações do 2º grau: Os dois tipos fáceis

I) Equações do tipo: (Ax + B)2= C Observar: C < 0 e C = 0 (3x + 1)2 = 16 II) Equações do tipo : (Ax + B) (A’x + B’) = 0(2x + 1)(3x – 2) = 0

Fatorando o trinômio:Seja o trinômio ax2+ bx + c = 0, então a ≠ 0 é equivalente então sempre que for conveniente , podemos supor que a equação do 2º grau tem a forma x2 + px + q = 0, onde p= b/a e q= c/a Precisamos fatorar o trinômio acima para que possacolocá-la na forma (x - )( ⍺ x - 𝞫)= x2 –( + 𝞫)⍺ x + ⍺𝞫=0

Para fatorar o trinômio x2 + px + q, devemos achar números , ⍺ 𝞫 tais que + ⍺ 𝞫 = -p e . ⍺ 𝞫= q.O problema de achar dois números conhecendo sua soma e seu produto é muito antigo, já foi resolvido pelos babilônicos há cerca de 4 mil anos.

02 a

cx

a

bx

Ex: Meu vizinho, com 20m de cerca, constituiu um cercado retangular de 32m2 de área, utilizando seu muro como um dos lados. Quanto medem os lados desse retângulo?

Ex: Será que meu vizinho não poderia , ainda usando o muro como um dos lados, fazer um cercado retangular com 32m2 de área, porém usando uma cerca menor?

Ex: Comprei algumas garrafas de um bom vinho por 540 reais. Por ter obtido um desconto de 15 reais no preço de cada garrafa, consegui comprar 3 garrafas a mais do que previra originalmente. Quantas garrafas de vinho comprei?

• Equações do 2º grau disfarçadas

12

3

1

2

xx

1531 xx

• ABC é um triângulo arbitrário. Determine P de modo que o paralelogramo BMPN tenha área máxima.

• O vértice da parábola y = ax2 + bx + c é o ponto (2, 9). Sabendo que 3 é a ordenada do ponto onde a curva corta o eixo vertical, determine a, b e c.

• Ache p e q de modo que sejam as raízes da equação x2 + px + q = 0.

• Qual a menor área de um quadrado inscrito noutro quadrado de lado a?

O grêmio Estudantil de Taperoá vai dar uma festam vendendo ingressos a R$6,00. Para estimular a compra antecipada de ingressos, os diretores do Grêmio decidiram que:

Os ingressos serão numerados a partir do número 1 e vendidos obedecendo à ordem crescente de sua numeração

Ao final da festa, cada participante receberá R$ 0,01 para cada ingresso vendido que tenha um número maior que seu ingresso

a) Se forem vendidos 100 ingressos, quanto vai receber , ao final da festa, a pessoa que comprou o ingresso com o número 1 ? E a que comprou com o número 70?

b) Qual será o lucro do Grêmio se forem vendidos 100 ingressos?

c) Quantos ingressos o Grêmio deve vender para ter o maior lucro possível?

• http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=582

• Redefor- Ensino da Algebra Elementar através de sua história- Prof. João Carlos V. Sampaio

• A regra da falsa posição – Oscar Guelli• Provas Profmat • Projeto Araribá- Ed. Moderna - 7º ano• Desafios – Site Só Matemática• Temas e Problemas Elementares: Elon Lages et

al• Banco de Questões OBMEP- 2009/2010/2011