7/23/2019 Equações Diferenciais Ordinárias (EDO). Exercícios Com Gabarito

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 Nos exercíc ios 01   a 20 , encontre a solução geral da equação diferencial .

01.  =   02.  = −  

03.  xe y  

04. x xe x y y  

  2

2  

05. x x

e y ye     )1(   06. 03   32   yd  x xd  y x  

07.4)21(3   y x y y  

  08. 0)(cos    y  

09.   y xln x xln x y     313 

10. 1 2 = 0 

11.

1 =   12.

2 y y y   (cosx –  senx) 

13. 2)12()1(   3332   x y x x y x x   14. ])2([2   3   x y y y x  

15. y x y x e ye

    2.   16. )12()1(   2   x x y y x x  

17.   =   18.   2 =   3 

19. 2 21  √ 2  = 0  20. n x xe

 x

 yn y   )1(

1

, n um número natural.  

 Nos exercíc ios 21   a 24 , resolva o problema de va lor in ic ia l .

21.   = , 0 = 0  22.   = 5 , = 4

23.   = , 0 = 1 24.

e

 x x x

 ye ye ye  1

2

1

)0(,2  

 

25. Encontre uma função  , de modo que = , > 0, seja solução da equação

0])([    x

 y y x f   .

 Nos exercíc ios 26   e 27 , encontre a solução geral da equação diferencial , fazendo, inicialmente, a

substi tuição  =   para transformá-la em uma equação polinomial na variável .

26. 4  9 = 0  27.     =  

 Nos exercíc ios 28   e 29 , resolva a equação diferencial tomando   como variável dependente, isto

é, considerando a função incógnita na forma = .

28. =   29. [ 2] = 1 

30. Se    é solução da equação )()(   xb y xa y   , mostre que, sendo k    é uma constante, a

função     xd  xa

ek  x  f   x g   )()()(   também o é .

31. Determine uma curva que passe pelo ponto 0,2, de modo que o coeficiente angular da reta

tangente em qualquer um de seus pontos seja igual a três vezes a ordenada do mesmo ponto .

32. Mostre que é uma parábola a curva para a qual o coeficiente angular da reta tangente em

qualquer um de seus pontos é proporc iona l à absc issa do ponto .

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33. Se ≠ 1, a equação diferencial   =   é conhecida como Equação de Bernoull i .

Ver i f ique que a subst i tu ição

1

1   n y u   

coloca essa equação sob a forma   1    = 1  .

Nos exercícios 34   e 35 , dê a solução geral da equação de Bernoull i .

34.   =   

35.   2  = 0 

Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.

36.   9 = 0  37.   6  9 = 0 

38.   2  3 = 0  39.     6 = 0 

40.     12 = 0  41.   5  6 = 0 

42.   3  3  = 0  43.   6  12  8 = 0 

44.     9  11  4 = 0  45.   4   2  8  ′ 4 = 0 

 Nos exercíc ios 46  a 48 , faça as substi tuições indicadas e resolva a equação diferencial .

46. 3 3 4 = 0; = . (Note que = ⇒ =  

47. 4  = 0; = 4. 

(Para a integração, achando conveniente, use a decomposição: 2

1 1 1 1

( )4 4 2 2u u u

)

48. = 2 ; = . 49. Resolva o problema de valor inicial   = 0, 0 = 2, 0 = 3.

50. Uma equação diferencial l inear homogênea com coeficientes constantes possui 2, 2, 2, 3 4, 3 4, 3 4, 3 4, 3, 3  e 0  como raízes da equação polinomial associada. Qual a solução

 geral dessa equação ?

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RESPOSTAS

01. =  

02. =    

03. =  

04. =  

05.  = 21    

06. = 3 

07. − =   2 1 

08. =   , = 0,1,2, … . 

09. =    

10. 2 =  

11. =  12. − =    

13. =     

+ 

14. =  2[   2] 15.  = 2   

16. =    −  + −  

17. = ( )/2 

18. =     3  2  

19. = √   20. =  1   

21. =  

22. = 1 5 

23. = 2−  1 

24. =   −

 

25.   =  

26. = ± √   

27.     = , ≥ 0 

28. =    

29. = 2 1   

31. = 2 

34. = /    2 

35.

=

1/2−/

 36. =  cos3  3 

37. = −  − 

38. = cos(√ 2) √ 2 

39. =   − 

40. =     − 

41. =      

42. =    

43. =      

44. = −   45. =    

46. 3 2 (2   ) =  

47. 4 2 = 4 2 

48. =    

  − 

49. = 2 3 

50. =          4 7  4  4 4   

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