Equao geral da retaPodemos estabelecer a equao geral de uma reta a partir da condio de alinhamento de trs pontos.Dada uma retar, sendoA(xA, yA) eB(xB, yB) pontos conhecidos e distintos dereP(x,y) um ponto genrico, tambm der, estandoA,BePalinhados, podemos escrever:

Fazendo yA- yB= a, xB- xA= b e xAyB- xByA=c, como a e b no so simultaneamente nulos, temos:ax + by + c = 0(equao geral da reta r) Essa equao relacionaxeypara qualquer pontoPgenrico da reta. Assim, dado o pontoP(m, n): se am + bn + c = 0,P o ponto da reta; se am + bn + c0,Pno ponto da reta. Acompanhe os exemplos: Vamos considerar a equao geral da retarque passa porA(1, 3) eB(2, 4). Considerando um pontoP(x, y) da reta, temos:

Vamos verificar se os pontosP(-3, -1) eQ(1, 2) pertencem reta r do exemplo anterior. Substituindo as coordenadas dePem x - y + 2 = 0, temos:-3 - (-1) + 2 = 0-3 + 1 + 2 = 0 Como a igualdade verdadeira, ento Pr. Substituindo as coordenadas deQem x - y + 2 = 0, obtemos:1 - 2 + 20 Como a igualdade no verdadeira, ento Qr.

Equao segmentriaConsidere a retarno paralela a nenhum dos eixos e que intercepta os eixos nos pontosP(p, 0) eQ(0, q), com:

A equao geral der dada por:

Dividindo essa equao por pq, temos:

Como exemplo, vamos determinar a equao segmentria da reta que passa porP(3, 0) eQ(0, 2), conforme o grfico:

Exemplo: Determine a equao segmentria da reta t: 7x + 14y 28 =0 e as coordenadas dos pontos de interseo da reta com os eixos do plano.

Soluo:

Para determinar a forma segmentria da equao da reta t devemos isolar o termo independente c. Assim, teremos:7x + 14y = 28

Dividindo toda igualdade por 28, obtemos:

Que a equao segmentria da reta t.

Com a equao segmentria, podemos determinar os pontos de interseo da reta com os eixos ordenados do plano. O termo que divide x na equao segmentria abscissa do ponto de intercesso da reta com o eixo x, e o termo que divide y abscissa do ponto de interseo da reta com o eixo y. Assim:

(4, 0) o ponto de interseo da reta com o eixo x.(0, 2) o ponto de interseo da reta com o eixo y.

Equao reduzida da reta

Podemos representar uma reta no plano cartesiano por meio da condio geomtrica ou por uma equao matemtica. Em relao equao matemtica, a reta pode ser escrita nas seguintes formas: reduzida, segmentria, geral ou paramtrica. Vamos abordar a representao de umaequao reduzida de reta, demonstrando trs possveis situaes.

Vamos considerar a equao da reta que passa por um ponto Q (x1, y1), com coeficiente angular a, observe:

y y1 = a * (x x1)

Escolhendo ao acaso, o ponto (0, b) e determinando que a reta o intersecte, temos que:

y b = a * (x 0)y b = a * x a * 0y b = axy = ax + b

Portanto, a equao reduzida da reta possui a seguinte lei de formao:

y = ax +bExemplo 1:

Utilizando o ponto P1(2, 7), no qual x = 2 e y = 7, temos:

y y1= a * (x x1)y 7 = 4 * (x 2)y 7 = 4x 8y = 4x 8 + 7y = 4x 1

Exemplo 2:

A forma geral da equao reduzida da reta dada pela expresso: y = ax + b. Utilizando o ponto P1(2, 7), temos:

y = ax + b7 = a * 2 + b2a + b = 7

Utilizando o ponto P2(1, 5), temos:

5 = a * (1) + b5 = a + ba + b = 5

Resolvendo o sistema,, determinamos o coeficiente angular e o linear.

Substituindo os valores de a e b na expresso matemtica, temos:

y = ax + by = 4x 1

Exemplo 3:

Podemos construir uma matriz quadrada com os pontos fornecidos e um ponto genrico (x, y). O determinante dessa matriz ser a equao da reta. Observe:

P1(2, 7) e P2(1, 5)

Aplicando Sarrus: produto dos termos da diagonal principal subtrado do produto dos termos da diagonal secundria.

[(x * 7 * 1) + (1 * 1 * y) + (5 * 2 * 1)] [(1 * 7 * 1) + (y * 2 * 1) + (5 * x * 1)] = 0[7x y 10] [7 + 2y 5x] = 07x y 10 + 7 2y + 5x = 012x 3y 3 = 03y = 12x + 3(dividir todos por 3)y = 4x 1

Retas perpendiculares

Sabemos da Geometria Plana que duas retas so perpendiculares quando so concorrentes e formam entre si um ngulo reto (90) . Sejam as retas r: y = mrx + nre s: y = msx + ns. Nestas condies podemos escrever a seguinte relao entre os seus coeficientes angulares:ms= - 1 / mrou mr. ms= -1 .Dizemos ento que se duas retas so perpendiculares, o produto dos seus coeficientes angulares igual a -1.

Exemplo:

Dadas as retas de equaes (2w - 2)x + (w - 1)y + w = 0 e (w - 3)y + x - 2w = 0, podemos afirmar que:

a) elas so perpendiculares para qualquer valor de wb) elas so perpendiculares se w = 1c) elas so perpendiculares se w = -1d) elas so perpendiculares se w = 0e) essas retas no podem ser perpendiculares

Soluo:Podemos escrever para a 1 reta: y = [-(2w-2) / (w-1)].x - w /(w-1).Analogamente para a 2 reta: y = [-1 / (w-3)].x + 2w / (w-3). Ora, os coeficientes de x so os coeficientes angulares e, pelo que j sabemos, a condio de perpendicularidade que o produto desses coeficientes angulares seja igual a -1. Logo:

Efetuando os clculos indicados e simplificando-se obtemos: w2- 2w + 1 = 0, que equivalente a(w - 1)2= 0, de onde conclui-se que w = 1.

Mas, cuidado!Observe que 1 anula o denominador da expresso acima e, portanto uma raiz estranha, j que no existe diviso por zero! Apesar das aparncias, a raiz 1 no serve! Logo, a alternativa correta a letraEe no a letra B como ficou aparente.Equaes paramtricas da reta

A geometria analtica estuda as formas geomtricas do ponto de vista da lgebra, utilizando equaes para analisar o comportamento e os elementos dessas figuras. A reta uma das formas geomtricas estudas pela geometria analtica, possuindo trs tipos de equaes: equao geral, equao reduzida e equao paramtrica.

As equaes paramtricas so duas equaes que representam a mesma reta utilizando uma incgnita t. Essa incgnita recebe o nome de parmetro e faz a ligao entre as duas equaes que representam a mesma reta.

As equaes x = 5 + 2t e y = 7 + t so as equaes paramtricas de uma reta s. Para obter a equao geral dessa reta, basta isolar t em uma das equaes e substituir na outra. Vejamos como isso realizado.

As equaes paramtricas so:x = 5 + 2t (I)y = 7 + t (II)

Isolando t na equao (II), obtemos t = y 7. Vamos substituir o valor de t na equao (I).x = 5 + 2(y 7)x = 5 + 2y 14x 2y + 9 = 0 equao geral da reta s.

Exemplo 1. Determine a equao geral da reta de equaes paramtricas abaixo.x = 8 3ty = 1 t

Soluo: Devemos isolar t em uma das equaes e substituir na outra. Assim, segue que:

x = 8 3t (I)y = 1 t (II)

Isolando t na equao (II), obtemos:y 1 = tout = y + 1

Substituindo na equao (II), teremos:x = 8 3( y + 1)x = 8 + 3y 3x = 5 + 3yx 3y 5 = 0 equao geral da reta

Nos dois exemplos feitos obtemos a equao geral da reta atravs das equaes paramtricas. O contrrio tambm pode ser feito, ou seja, utilizar a equao geral da reta para obter a equao paramtrica.

Exemplo 2. Determine as equaes paramtricas da reta r de equao geral 2x y -15 = 0.Soluo: Para determinar as equaes paramtricas da reta r a partir da equao geral, devemos proceder da seguinte forma:

Podemos fazer:

Assim, as equaes paramtricas da reta so:x = t + 7 e y = 2t 1Equao fundamental da retaPodemos representar uma reta r do plano cartesiano por meio de uma equao. Essa equao pode ser obtida apartirde um ponto A(xA, yA) e do coeficiente angular m dessa reta.Considere uma reta r no-vertical, de coeficiente angular m, que passa pelopontoA(xA, yA). Vamos obter a equao dessa reta, tomando um ponto P(x, y) tal que P A.

A equaofundamentalda reta :

Equao geral da retaToda reta r do plano cartesiano pode ser expressa por uma equao do tipo:

Em que: a, b, e c sonmerosreais; a e b no so simultaneamente nulos.Podemos obter a equao geral de uma reta r conhecendo dois pontos no coincidentes de r:

Para isso, usa-se a condio de alinhamento de A e B com um ponto genrico P(x,y) de r.