Equação do Primeiro Grau

1. Introdução

Consideremos as três igualdades abaixo:

1ª) 2 + 3 = 52ª) 2 + 1 = 53ª) 2 + x = 5

Dizemos que as duas primeiras igualdades são sentenças matemáticas fechadas, pois são definitivamente falsas ou definitivamente verdadeiras. No caso, a primeira é sempre verdadeira e a segunda é sempre falsa.

Dizemos que a terceira igualdade é uma sentença matemática aberta, pois pode ser verdadeira ou falsa, dependendo do valor atribuído à letra x. No caso, é verdadeira quando atribuímos a x o valor 3 e falsa quando o valor atribuído a x é diferente de 3. Sentenças matemáticas desse tipo são chamadas de equações; a letra x é a variável da equação, o número 3 é a raiz ou solução da equação e o conjunto S = {3} é o conjunto solução da equação, também chamado de conjunto verdade.

Exemplos:1º) 2x + 1 = 73 é a única raiz, então S = {3}

2º) 3x – 5 = –21 é a única raiz, então S = {1}

2. Resolução de uma Equação

Resolver uma equação é determinar todas as raízes da equação que pertencem a um conjunto previamente estabelecido, chamado conjunto universo.

1º) Resolver a equação: x2 = 4 em R

As raízes reais da equação são –2 e +2, assim:

2º) Resolver a equação: x2 = 4 em N

A única raiz natural da equação é 2, assim:

Na resolução das equações, podemos nos valer de algumas operações e transformá-las em equações equivalentes, isto é, que apresentam o mesmo conjunto solução, no mesmo universo.Vejamos algumas destas propriedades:P1) Quando adicionamos ou subtraímos um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, esta permanece verdadeira.

Consequência: Observemos a equação: x + 2 = 3

Subtraindo 2 nos dois membros da igualdade, temos: 

x + 2 = 3 x + 2 -2 = 3 - 2

Assim: x + 2 = 3 x = 1

P2) Quando multiplicamos ou dividimos os dois membros de uma igualdade por um número diferente de zero, a igualdade permanece verdadeira.

Consequência: Observemos a equação: –2x = 6

Dividindo por –2 os dois membros da igualdade, temos:

Assim: -2x = 6 x = -3

 3. Equação do 1º Grau

Chamamos de equação do 1º grau as equações do tipo:

onde a e b são números conhecidos com a 0.

 Exemplo: 3x – 5 = 0 (a = 3 e b = –5)

Para resolvermos uma equação do 1º grau, devemos isolar a incógnita em um dos membros da igualdade, usando as propriedades P1 e P2 do item anterior.

 Exemplo: 3x – 5 = 0

3x - 5 3x - 5 + 5 = 0 + 5

3x - 5 = 0 3x = 5

3x = 5

3x = 5

Assim: 3x - 5 = 0

De modo abreviado, fazemos:

3x - 5 = 0 3x = 5

Assim:

Podemos estabelecer uma fórmula para resolver em R a equação:

Assim: ax + b = 0 ax = -b

Exemplo: Resolver em R a equação: 2x + 5 = 0

4. Problemas do 1º Grau

Problema é uma proposição a resolver, na qual figuram elementos conhecidos ou supostamente conhecidos, chamados dados, e elementos desconhecidos, chamados incógnitas.Resolver um problema é determinar os valores das incógnitas que satisfazem às condições impostas pelo enunciado.A resolução de um problema possui três fases:

1) Colocar o problema em equação;2) Resolver a equação ou equações do problema;3) Interpretar os resultados ou fazer uma discussão sobre eles.

Exercícios Resolvidos

Resolver as equações:

01. 3x – 5 = 2x + 6Resolução

3x – 2x = 6 + 5x = 11S = {11}

02. 2 (x + 3) + 3 (x – 1) = 7 (x + 2)

Resolução

2x + 6 + 3x – 3 = 7x + 142x + 3x – 7x = 14 + 3 – 6–2x = 11