Equao

Muitas vezes lidamos com uma frmula matemtica sem ter a ideia de como se chegou a tal modelo matemtico. Vamos ver agora uma demonstrao da frmula de Bhaskara, ou seja, como se chega frmula para resolver equaes do 2 grau. Considere uma equao do 2 grau do tipo:

Equao fatorial

Na matemtica utilizamos equaes para resolver uma srie de situaes-problema. Existem frmulas para resolver alguns tipos de equaes; padres e procedimentos para resoluo de outras; o uso de propriedades operatrias para simplificao de clculos; enfim, utilizamos todo conhecimento matemtico a fim de obter o valor da incgnita em uma equao. Em determinadas equaes aparecem o conceito de fatorial, mostrando a necessidade de

se conhecer bem a definio de fatorial e suas propriedades operatrias. Vejamos alguns exemplos dessas equaes e como resolv-las. Antes, vamos relembrar o conceito de fatorial de um nmero. Seja n um nmero natural. O fatorial de n, representado por n!, o produto de n por seus antecessores at 1. Ou seja:

Exemplo: Resolva as seguintes equaes. a) x - 5 = 4! Soluo: Esse o caso mais simples de equao envolvendo fatorial. Temos que: 4! = 4321 = 24 Assim, a equao fica da seguinte forma: x 5 = 24 x = 24 + 5 x = 29 b)

Soluo: Nesse tipo de equao necessrio desenvolver o fatorial no numerador ou no denominador da frao a fim de que o fatorial seja cancelado. Podemos escrever n! da seguinte forma: n! = n(n-1)! Substituindo na equao inicial, obtemos:

c)

Soluo: Podemos escrever n! da seguinte forma: n!=n(n-1)(n-2)! Substituindo na equao inicial, obtemos:

d)

Soluo: Devemos reescrever (n 1)! para simplificar com o denominador da frao. Assim, teremos: (n-1)! = (n-1)(n-2)(n-3)! Substituindo na equao inicial, obtemos:

Equao do 1 grau com Duas IncgnitasAs equaes do 1 grau que apresentam somente uma incgnita respeitam a seguinte forma geral: ax + b = 0, com a 0 e varivel x. As equaes do 1 grau com duas incgnitas apresentam forma geral diferente, pois esto na dependncia de duas variveis, x e y. Observe a forma geral desse tipo de equao: ax + by = 0, com a 0, b 0 e variveis formando o par ordenado (x, y). Nas equaes onde ocorre a existncia do par ordenado (x, y), para cada valor de x temos um valor para y. Isso ocorre em diferentes equaes, pois de equao para equao os coeficientes numricos a e b assumem valores distintos. Observe alguns exemplos: Exemplo 1 Vamos construir uma tabela de pares ordenados (x, y) de acordo com a seguinte equao: 2x + 5y = 10. x = 2 2 * (2) + 5y = 10 4 + 5y = 10 5y = 10 + 4 5y = 14 y = 14/5

x = 1 2 * (1) + 5y = 10 2 + 5y = 10 5y = 10 + 2 5y = 12 y = 12/5

x=0 2 * 0 + 5y = 10 0 + 5y = 10 5y = 10 y = 10/5 y=2

x=1 2 * 1 + 5y = 10 2 + 5y = 10 5y = 10 2 5y = 8 y = 8/5 x=2 2 * 2 + 5y = 10 4 + 5y = 10 5y = 10 4 5y = 6 y = 6/5

Exemplo 2 Dada a equao x 4y = 15, determine os pares ordenados obedecendo ao intervalo numrico 3 x 3. x = 3 3 4y = 15 4y = 15 + 3 4y = 12 4y = 12

y=3 x=2 2 4y = 15 4y = 15 + 2 4y = 13 4y = 13 y = 13/4 x=1 1 4y = 15 4y = 15 + 1 4y = 14 4y = 14 y = 14/4 = 7/2 x=0 0 4y = 15 4y = 15 4y = 15 y = 15/4 x=1 1 4y = 15 4y = 15 1 4y = 16 4y = 16 y=4 x=2 2 4y = 15 4y = 15 2 4y = 17 4y = 17 y = 17/4

x=3 3 4y = 15 4y = 15 3 4y = 18 4y = 18 y = 18/4 = 9/2

Equao do 1 Grau com uma IncgnitaUtilizamos uma equao para calcular o valor de um termo desconhecido que ser representado por uma letra, cuja representao mais usual se d por x, y e z. As equaes possuem sinais operatrios como, adio, subtrao, multiplicao, diviso, radiciao e igualdade. O sinal de igualdade divide a equao em dois membros, os quais so compostos de elementos constitudos por dois tipos: Elemento de valor constante: representado por valores numricos. Elemento de valor varivel: representado pela unio de nmeros e letras. Observe exemplos de equaes do 1 grau com uma incgnita: x+1=6 2x + 7 = 18 4x + 1 = 3x 9 10x + 60 = 12x + 52 Para resolver uma equao, precisamos conhecer algumas tcnicas matemticas. Vamos, por meio de resolues comentadas, demonstrar essas tcnicas. Exemplo 1: 4x + 2 = 8 2x Em uma equao, devemos separar os elementos variveis dos elementos constantes. Para isso, vamos colocar os elementos semelhantes em lados diferentes do sinal de igualdade, invertendo o sinal dos termos que mudarem de lado. Veja: 4x + 2x = 8 2 Agora aplicamos as operaes indicadas entre os termos semelhantes. 6x = 6

O coeficiente numrico da letra x do 1 membro deve passar para o outro lado, dividindo o elemento pertencente ao 2 membro da equao. Observe: x=6/6 x=1 Portanto, o valor de x que satisfaz equao igual a 1. A verificao pode ser feita substituindo o valor de x na equao, observe: 4x + 2 = 8 2x 4*1+2=82*1 4+2=82 6 = 6 sentena verdadeira Todas as equaes, de uma forma geral, podem ser resolvidas dessa maneira.

Exemplo 2: 10x 9 = 21 + 2x + 3x 10x 2x 3x = 21 + 9 10x 5x = 30 5x = 30 x = 30/5 x=6 Verificando: 10x 9 = 21 + 2x + 3x 10 * 6 9 = 21 + 2 * 6 + 3 * 6 60 9 = 21 + 12 + 18 51 = 51 sentena verdadeira O valor numrico de x que satisfaz equao 6.

Exemplo 3: 3x 2x + 10 = 10 + 5x 40 3x 2x 5x = 10 40 10 3x 7x = 40 4x = 40 Nos casos em que a parte da varivel se encontra negativa, precisamos multiplicar os

membros por 1.

4x = 40 * (1) 4x = 40 x = 40/4 x = 10

Verificando: 3x 2x + 10 = 10 + 5x 40 3 * 10 2 * 10 + 10 = 10 + 5 * 10 40 30 20 + 10 = 10 + 50 40 20 = 20 sentena verdadeira

Exemplo 4: 10 (8x 2) = 5x + 2( 4x + 1) aplicar a propriedade distributiva da multiplicao 10 8x + 2 = 5x 8x + 2 8x 5x + 8x = + 2 10 2 13x + 8x = 10 5x = 10 * (1) 5x = 10 x = 10/5 x=2 Verificando: 10 (8x 2) = 5x + 2( 4x + 1) 10 (8 * 2 2) = 5 * 2 + 2( 4 * 2 + 1) 10 (16 2) = 10 + 2(8 + 1) 10 (14) = 10 + 2(7) 10 14 = 10 14 4 = 4 sentena verdadeira

Equao do 2 grau incompletaA forma geral da equao do 2 grau ax + bx + c = 0, onde a, b e c so nmeros reais e a 0. Dessa forma, os coeficientes b e c podem assumir valor igual a zero, tornando a equao do 2 grau incompleta. Veja alguns exemplos de equaes completas e incompletas:

y2 + y + 1 = 0 (equao completa) 2x2 x = 0 (equao incompleta, c = 0) 2t2 + 5 = 0 (equao incompleta, b = 0) 5x2 = 0 (equao incompleta b = 0 e c = 0) Toda equao do segundo grau, seja ela incompleta ou completa, pode ser resolvida utilizando a equao de Bhskara:

As equaes incompletas do 2 grau podem ser resolvidas de outro modo. Veja: Coeficiente b = 0 Toda equao incompleta do 2 grau, que possui o termo b com valor igual a zero, pode ser resolvida isolando o termo independente. Observe a resoluo a seguir: 4y2 100 = 0 4y2 = 100 y2 = 100 : 4 y2 = 25 y2 = 25 y = 5 y = 5 Coeficiente c = 0 Se a equao possui o termo c igual a zero, utilizamos a tcnica de fatorao do termo comum em evidncia. 3x2 x = 0 x um termo semelhante da equao, ento podemos coloc-lo em evidncia. x(3x 1) = 0 quando colocamos um termo em evidncia dividimos esse termo pelos termos da equao. Agora, temos um produto (multiplicao) de dois fatores x e (3x 1). A multiplicao desses fatores igual a zero. Para essa igualdade ser verdadeira, um dos fatores deve ser igual a zero. Como no sabemos se o x ou o (3x 1), igualamos os dois a zero, formando duas equaes de 1 grau, veja: x = 0 podemos dizer que zero uma das razes da equao. e 3x 1 = 0 3x = 0 + 1

3x = 1 x = 1/3 a outra raiz da equao.

Coeficiente b = 0 e c = 0 Nos casos em que a equao apresenta os coeficientes b = 0 e c = 0, as razes da equao do 2 grau incompleta so iguais a zero. Observe a resoluo a seguir: 4x2 = 0 isolando o x teremos: x2 = 0 : 4 x2 = 0 x = 0 x = x = 0

Clculo do MMC e do MDCOs clculos envolvendo MMC e MDC so relacionados com mltiplos e divisores de um nmero natural. Entendemos por Mltiplo, o produto gerado pela multiplicao entre dois nmeros. Observe: Dizemos que 30 mltiplo de 5, pois 5 * 6 = 30. Existe um nmero natural que multiplicado por 5 resulta em 30. Veja mais alguns nmeros e seus mltiplos: M(3) = 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ... M(4) = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, ... M(10) = 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, ... M(8) = 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, ... M(20) = 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, ... M(11) = 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, ... Os mltiplos de um nmero formam um conjunto infinito de elementos.

Divisores Um nmero considerado divisvel por outro quando o resto da diviso entre eles igual a zero. Observe alguns nmeros e seus divisores: D(10) = 1, 2, 5, 10. D(20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20. D(25) = 1, 5, 25. D(100) = 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.

Mnimo Mltiplo Comum (MMC)

O mnimo mltiplo comum entre dois nmeros representado pelo menor valor comum pertencente aos mltiplos dos nmeros. Observe o MMC entre os nmeros 20 e 30: M(20) = 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, .... M(30) = 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, ... O MMC entre 20 e 30 equivalente a 60. Outra forma de determinar o MMC entre 20 e 30 atravs da fatorao, em que devemos escolher os fatores comuns de maior expoente e os termos no comuns. Observe: 20 = 2 * 2 * 5 = 2 * 5 30 = 2 * 3 * 5 = 2 * 3 * 5 MMC (20; 30) = 2 * 3 * 5 = 60

A terceira opo consiste em realizar a decomposio simultnea dos nmeros, multiplicando os fatores obtidos. Observe:

Mximo Divisor Comum (MDC)

O mximo divisor comum entre dois nmeros representado pelo maior valor comum pertencente aos divisores dos nmeros. Observe o MDC entre os nmeros 20 e 30: D(20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20. D(30) = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. O maior divisor comum dos nmeros 20 e 30 10.

Podemos tambm determinar o MDC entre dois nmeros atravs da fatorao, em que escolheremos os fatores comuns de menor expoente. Observe o MDC de 20 e 30 utilizando esse mtodo. 20 = 2 * 2 * 5 = 2 * 5 30 = 2 * 3 * 5 = 2 * 3 * 5 MDC (20; 30) = 2 * 5 = 10

Exemplo Vamos determinar o MMC e o MDC entre os nmeros 80 e 120. MMC 80 = 2 * 2 * 2 * 2 * 5 = 24 * 5 120 = 2 * 2 * 2 * 3 * 5 = 2 * 3 * 5 MMC (80; 120) = 24 * 3 * 5 = 240 MDC (80; 120) = 2 * 5 = 40

Simplificando Razes Exatas Utilizando a FatoraoDada a seguinte expresso:

Razes exatas Aplicando o uso da fatorao para o clculo de razes. Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3 Qual a medida da aresta de um cubo que possui volume igual a 729 cm?

A medida da aresta de um cubo que possui 729 cm de volume igual a 9 cm. Razes no exatas As razes que no possurem como resultado um nmero inteiro positivo, ter como resultado

um nmero irracional. Por exemplo:

Com o uso de uma calculadora podemos encontrar o resultado.

Simplificao de radicais Exemplo 1 Simplifique o seguinte radical:

Exemplo 2

Exemplo 3

Para calcularmos outras razes utilizamos a mesma ideia da raiz quadrada e da raiz cbica.

Juros SimplesPodemos definir juros como o rendimento de uma aplicao financeira, valor referente ao atraso no pagamento de uma prestao ou a quantia paga pelo emprstimo de um capital. Atualmente, o sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, por ser mais lucrativo. Os juros simples eram utilizados nas situaes de curto prazo, hoje no utilizamos a capitalizao baseada no regime simples. Mas vamos entender como funcionava a capitalizao no sistema de juros simples. No sistema de capitalizao simples, os juros so calculados baseados no valor da dvida ou da aplicao. Dessa forma, o valor dos juros igual no perodo de aplicao ou composio da dvida. A expresso matemtica utilizada para o clculo das situaes envolvendo juros simples a seguinte: J = C * i * t, onde

J = juros C = capital i = taxa de juros t = tempo de aplicao (ms, bimestre, trimestre, semestre, ano...) M=C+J M = montante final C = capital J = juros Exemplo 1 Qual o valor do montante produzido por um capital de R$ 1.200,00, aplicado no regime de juros simples a uma taxa mensal de 2%, durante 10 meses? Capital: 1200 i = 2% = 2/100 = 0,02 ao ms (a.m.) t = 10 meses J=C*i*t J = 1200 * 0,02 * 10 J = 240 M=C+j M = 1200 + 240 M = 1440 O montante produzido ser de R$ 1.440,00. Exemplo 2 Vamos construir uma planilha especificando passo a passo a aplicao de um capital durante o perodo estabelecido inicialmente. Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros mensais de 3% ao ms durante 12 meses. Determine o valor dos juros produzidos e do montante final da aplicao.

O montante final foi equivalente a R$ 6.800,00, e os juros produzidos foram iguais a R$ 1.800,00.

Exemplo 3 Determine o valor do capital que aplicado durante 14 meses, a uma taxa de 6%, rendeu juros de R$ 2.688,00. J=C*i*t 2688 = C * 0,06 * 14 2688 = C * 0,84 C = 2688 / 0,84 C = 3200 O valor do capital de R$ 3.200,00.

Exemplo 4 Qual o capital que, aplicado a juros simples de 1,5% ao ms, rende R$ 3.000,00 de juros em 45 dias? J = 3000 i = 1,5% = 1,5/100 = 0,015 t = 45 dias = 45/30 = 1,5 J=C*i*t 3000 = C * 0,015 * 1,5 3000 = C * 0,0225 C = 3000 / 0,0225 C = 133.333,33

O capital de R$ 133.333,33. Exemplo 5 Qual foi o capital que, aplicado taxa de juros simples de 2% ao ms, rendeu R$ 90,00 em um trimestre? J=C*i*t 90 = C * 0,02 * 3 90 = C * 0,06 C = 90 / 0,06 C = 1500 O capital corresponde a R$ 1.500,00.

Exemplo 6 Qual o tempo de aplicao para que um capital dobre, considerando uma taxa mensal de juros de 2% ao ms, no regime de capitalizao simples? M = C * [1 + (i *t)] 2C = C * [1 + (0,02 * t)] 2C = C * 1 + 0,02t 2C/C = 1 + 0,02t 2 = 1 + 0,02t 2 1 = 0,02t 1 = 0,02t t = 1 / 0,02 t = 50 O tempo para que o capital aplicado a uma taxa mensal de 2% dobre de 50 meses.

Aplicaes dos Juros Compostosuros Compostos so aqueles em que ao final de cada perodo os juros obtidos so somados ao capital, constituindo um novo capital a ser aplicado, isso ocorre sucessivas vezes at atingir o tempo mximo de aplicao do dinheiro. Os juros compostos so o alicerce do atual sistema financeiro, regendo todos os tipos de transaes financeiras. As aplicaes financeiras, principalmente a poupana em razo de sua praticidade, so bastante utilizadas pela populao em geral, que buscam guardar suas economias em segurana e aproveitam para ganhar algum rendimento.

A frmula utilizada nos juros compostos a seguinte: M = C * (1 + i)t, onde: M: montante C: capital t: tempo de aplicao i: taxa (:100) Acompanhe alguns exemplos envolvendo a aplicao de juros compostos:

Exemplo 1 Qual o montante gerado pelo capital de R$ 1.500,00 aplicados durante 6 meses, a uma taxa de 2% ao ms? Temos: C: 1.500 i: 2% = 2/100 = 0,02 t: 6 M = 1.500 * (1 + 0,02)6 M = 1.500 * (1,02)6 M = 1.500 * 1,126162 M = 1.689,24

Exemplo 2 Determine o montante gerado pela aplicao de um capital de R$ 6.000,00 durante um ano a uma taxa de 3% ao ms. C: 6.000 t: 1 ano = 12 meses i: 3% = 3/100 = 0,03 M = 6.000 * (1 + 0,03)12 M = 6000 * (1,03)12 M = 6000 * 1,425761 M = 8.554,57

Exemplo 3 Qual o capital que, aplicado durante 8 meses, gerou um montante de R$ 9.575,19 a uma taxa de 1,5% ao ms? M: 9.575,19

i: 1,5% = 1,5/100 = 0,015 t: 8 meses 9.575,19 = C * (1 + 0,015)8 9.575,19 = C * (1,015)8 9.575,19 = C * 1,126493 C = 9.575,19 / 1,126493 C = 8.500,00

PorcentagemA porcentagem de grande utilidade no mercado financeiro, pois utilizada para capitalizar emprstimos e aplicaes, expressar ndices inflacionrios e deflacionrios, descontos, aumentos, taxas de juros, entre outros. No campo da Estatstica possui participao ativa na apresentao de dados comparativos e organizacionais. Os nmeros percentuais possuem representaes na forma de frao centesimal (denominador igual a 100) e quando escritos de maneira formal devem aparecer na presena do smbolo de porcentagem (%). Tambm podem ser escritos na forma de nmero decimal. Observe os nmeros a seguir, eles sero demonstrados atravs das trs formas possveis:

A melhor forma de assimilar os contedos inerentes porcentagem com a utilizao de exemplos que envolvem situaes cotidianas. Acompanhe os exemplos a seguir: Exemplo 1 Uma mercadoria vendida em, no mximo, trs prestaes mensais e iguais, totalizando o valor de R$ 900,00. Caso seja adquirida vista, a loja oferece um desconto de 12% sobre o

valor a prazo. Qual o preo da mercadoria na compra vista? Podemos utilizar a razo centesimal ou o nmero decimal correspondente. 12% = 12/100 = 0,12 Utilizando razo centesimal 12/100 x 900 = 12x900/100 = 1080/100 = 10800/100 = 108 reais 900 108 = 792 reais Utilizando nmero decimal 0,12 x 900 = 108 reais 900 108 = 792 reais A utilizao de qualquer procedimento fica a critrio prprio, pois os dois mtodos chegam ao resultado de forma satisfatria e exata. No caso do exemplo 1, o desconto no pagamento vista de R$ 108,00, portanto o preo de R$ 792,00. Exemplo 2 O FGTS (Fundo de Garantia por Tempo de Servio) um direito do trabalhador com carteira assinada, no qual o empregador obrigado por lei a depositar em uma conta na Caixa Econmica Federal o valor de 8% do salrio bruto do funcionrio. Esse dinheiro dever ser sacado pelo funcionrio na ocorrncia de demisso sem justa causa. Determine o valor do depsito efetuado pelo empregador, calculado o FGTS sobre um salrio bruto de R$ 1.200,00. 8% = 8/100 = 0,08 Utilizando razo centesimal 8/100 x 1200 = 8x1200 / 100 = 9600 / 100 = 96 reais Utilizando nmero decimal 0,08 x 1200 = 96 reais O depsito efetuado ser de R$ 96,00.

Exemplo 3 Em uma sala de aula com 52 alunos, 13 utilizam bicicletas como transporte. Expresse em porcentagem a quantidade de alunos que utilizam bicicleta. Podemos utilizar uma regra de trs simples. Alunos 13 ---------- 52 Porcentagem x ----------- 100%

52*x = 13*100 52x = 1300 x= 1300/52 x = 25% Portanto, 25% dos alunos utilizam bicicletas.

Porcentagem Utilizando Regra de TrsAlgumas situaes envolvendo porcentagem podem ser resolvidas utilizando a regra de trs simples. Entendemos por porcentagem uma razo centesimal (frao com denominador igual a 100) que denominada taxa percentual, a qual representada pelo smbolo % (por cento). Por exemplo, se temos 45%, podemos represent-lo das seguintes formas: 45% = 45/100 ou 9/20 ou 0,45 Sempre que utilizarmos a regra de trs no intuito de determinar porcentagens, devemos relacionar a parte do todo com o valor de 100%. Alguns exemplos demonstraro como devemos proceder a uma regra de trs envolvendo clculos percentuais. Obs.: Nas situaes envolvendo porcentagens realizamos a multiplicao cruzada, por ser uma grandeza diretamente proporcional. Exemplo 1 Determine o valor de 95% de R$ 105,00 % 100 95 R$ 105 x

100x = 95*105 100x = 9975 x = 9975/100 x = 99,75 reais Portanto, 95% de R$ 105,00 igual a R$ 99,75. Exemplo 2 Em uma sala de 40 alunos foi realizada uma pesquisa, a qual apontou que 30 alunos gostam de praticar esportes. Qual a porcentagem de alunos que gostam de esportes?

% alunos 100 40 x 30

40x = 100 * 30 40x = 30000 x = 3000/40 x = 75% Temos que 75% dos alunos dessa classe gostam de esportes.

Exemplo 3 Pedro acertou 21 questes de uma prova, que correspondem a 70% do total de questes. Quantas questes tinha a prova? % questes 100 x 70 21

70x = 21*100 70x = 2100 x = 2100/70 x = 30 A prova tinha 30 questes.

Exemplo 4 Em uma promoo, o preo de um objeto foi reduzido de R$ 76,00 para R$ 57,00. Calcule o valor do desconto em porcentagem. Devemos primeiramente determinar o valor real do desconto: 76 57 = 19. Ao compararmos o valor do desconto com o valor sem o desconto obtemos o valor percentual. % 100 x R$ 76 19

76x = 100 * 19 76x = 1900 x = 1900/76

x = 25% O desconto dado foi de 25%. Exemplo 5 Uma conta de restaurante, incluindo os 10% de servio, ficou em R$ 143,00. Qual o valor da conta sem a taxa de servio? % R$ 100+10 143 100 x

110x = 143 * 100 110x = 14300 x = 14300/110 x = 130 A conta sem o valor do servio de R$ 130,00. Exemplo 6 Um produto que custava R$ 80,00 foi reajustado em 25%. Determine o novo valor do produto. % 100+25 100 R$ x 80

100x = 125 * 80 100x = 10000 x = 100 O preo do produto aps o reajuste ser de R$ 100,00.

Exemplo 7 O preo de um computador de R$ 2 200,00. Qual ser o preo do computador caso ele sofra um reajuste de 18%? % R$ 100 + 18 x 100 2200

100x = 2200 * 118 100x = 259600 x = 259600/100 x = 2 596 Caso acontea o reajuste de 18%, o computador passar a custar R$ 2 596,00.

Exemplo 8 Considerando que a populao de um pas de cerca de 180 milhes de habitantes, e que 38 milhes so considerados fumantes, qual a porcentagem de fumantes no pas referido? % habitante (milhes) 100 180 x 38 180x = 3800 x = 3800/180 x = 21,1 A porcentagem de fumantes no pas referido de aproximadamente 21,1%.