O USO DE SITUAES-PROBLEMAS NO ESTUDO DE EQUAES DE 1

GRAU NO 8 ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL

Prof. Anderson de Abreu Bortoletti1

Prof. Dr. Alvino Alves SantAna2

Educao Matemtica nos anos finais do Ensino Fundamental

RESUMO

Dentre os diversos assuntos estudados na disciplina de Matemtica no Ensino Fundamental, merece

grande destaque as Equaes de 1 grau. Neste trabalho, apresentamos um Estudo de Caso realizado com alunos

do 8 ano do Ensino Fundamental de uma escola pblica da rede municipal de Porto Alegre. Numa turma com 25

alunos, foi utilizada a metodologia de resoluo de problemas no estudo das equaes. A metodologia da

resoluo de problemas mostra-se muito eficaz, pois possibilita fugir do uso de exerccios mecnicos e

repetitivos. No que diz respeito s equaes de 1 grau, essa metodologia leva a um dos grandes objetivos do

estudo da lgebra nesse nvel de ensino: a modelagem de problemas. Durante o desenvolvimento das atividades,

percebeu-se que o uso de situaes-problemas foi muito produtivo do ponto de vista do enriquecimento do

processo de ensino aprendizagem, pois possibilitou interessantes discusses na sala de aula.

Palavras Chaves: Equaes. Estudo de Caso. Situaes-problemas.

INTRODUO

As cobranas para uma educao de qualidade tm sido constantemente feitas por

diversos setores da sociedade. Em especial, a Matemtica tem sido bastante destacada devido

ao baixo aproveitamento dos estudantes nas avaliaes externas realizadas como a Prova

Brasil (BENCINI e MINAMI, 2006) ou o PISA (WAISELFISZ, 2009).

Vrias pesquisas na rea da Educao Matemtica tm se referido a metodologia da

investigao na resoluo de problemas como uma forma eficaz de trabalhar contedos de

Matemtica a fim de torn-los mais prazerosos e desafiadores para os estudantes (SANTOS,

1 Mestrando em Ensino de Matemtica bolsista CAPES. Ufrgs. E-mail:

anderson.bortoletti@gmail.com 2 Doutor em Matemtica. Ufrgs. E-mail:alvino@mat.ufrgs.br

2012; FONSECA, 2012; KERN, 2008). Essa metodologia uma alternativa ao uso de

exerccios mecnicos e de repetio.

A partir desta perspectiva, apresentaremos um Estudo de Caso (FIORENTI e

LORENZATO, 2006) realizado junto a estudantes do 8 ano de uma escola pblica municipal

de Porto Alegre. A metodologia utilizada para o estudo de equaes de 1 grau foi a

resoluo de problemas, por acreditarmos que essa seja uma forma de despertar o interesse

dos estudantes e fazer com que os mesmos aprendam a aprender Matemtica.

Iniciaremos discutindo a importncia da lgebra no Ensino Fundamental, em especial

as equaes de 1 grau, bem como o uso da metodologia de resoluo de problemas. Em

seguida, passaremos a descrio do Estudo de Caso.

A IMPORTNCIA DO ESTUDO DA LGEBRA

O estudo da lgebra no Ensino Fundamental propicia um primeiro contato com uma

linguagem utilizada para comunicao dentro da prpria Matemtica e tambm das outras

cincias. Atravs do uso da linguagem algbrica possvel compreender padres, expressar

generalizaes e modelar equaes.

De acordo com as orientaes dos PCN (BRASIL, 1998), os currculos de Matemtica

do Ensino Fundamental devem contemplar contedos relacionados lgebra. Recomenda

que aspectos da lgebra sejam trabalhados desde o incio do Ensino Fundamental, para que

ao chegar s sries finais os trabalhos algbricos possam ser ampliados. Alm disso, sugere o

trabalho com resoluo de problemas, pois dessa forma

[...] o aluno reconhecer diferentes funes da lgebra

(modelizar, resolver problemas aritmeticamente insolveis,

demonstrar), representando problemas por meio de equaes

(identificando parmetros, variveis e relaes e tomando contato

com frmulas, equaes, variveis e incgnitas) e conhecendo a

sintaxe, regras para resoluo de uma equao (BRASIL, 1998,

p.39).

Em Usiskin (2001), apud Santos (2012), encontramos quatro concepes de lgebra: a

lgebra como Matemtica generalizada, a lgebra como um estudo de instrumentos para

resolver certos tipos de problemas, a lgebra como um estudo de relaes entre grandezas e a

lgebra como um estudo das estruturas.

Conforme Santos (2012), a primeira delas diz respeito ao uso de variveis para

generalizar modelos ou padres e traduzir, de forma simplificada problemas de aritmtica

(p.29). A segunda refere-se ao equacionamento de problemas, neste caso as variveis so

vistas como incgnitas ou constantes (p.30). A terceira diz repeito s frmulas, nessa

concepo temos a ideia de variveis dependentes e independentes e, quase como uma

consequncia disso, surge a ideia de funo (p.31). A ltima refere-se ao grau mais alto de

abstrao, pois as variveis podem ser entendidas como de natureza no numrica.

Para que o aluno tenha uma boa formao algbrica no Ensino Fundamental, precisa

transitar por essas quatro concepes. No presente trabalho, nosso foco estar sobre a segunda

delas: a lgebra como um estudo de instrumentos para resolver certos tipos de problemas.

O USO DA METODOLOGIA DE RESOLUO DE PROBLEMAS

Diversas pesquisas dentro da rea de educao Matemtica tem apontado o uso da

metodologia de resoluo de problemas como uma forma eficaz de trabalhar os contedos de

Matemtica (SANTOS, 2012; FONSECA, 2012; KERN, 2008). O uso desta metodologia

uma alternativa ao uso de exerccios mecnicos e repetitivos.

Os PCN (BRASIL, 1998) sugerem que os conceitos matemticos sejam trabalhados

atravs de resoluo de problemas. De acordo com Bortoletti (2012), devem ser oferecidas

aos alunos atividades em que eles tenham que criar estratgias para resolv-las e no

simplesmente aplicar uma frmula pronta (p.2).

Outro ganho interessante que a resoluo de problemas traz para os estudantes a

capacidade de aprender a aprender (SOARES e PINTO, 2001). Esse tipo de habilidade

essencial para viver na sociedade atual, uma vez que as fontes de informaes so as mais

variadas e esto ao alcance atravs da internet. Atualmente, no suficiente que as escolas

trabalhem apenas a riqueza cultural acumulada pelo homem, mas sim, que a partir desses

conhecimentos o estudante seja capaz de adquirir outros, de acordo com suas necessidades.

Selecionar problemas para serem trabalhados na sala de aula uma tarefa bastante

complexa. importante que o professor tenha conscincia de que o problema dever ser um

situao diferente da que j se tenha trabalhado, mas que se utilize de tcnicas e estratgias j

aprendidas para sua soluo (SOARES e PINTO, 2001, p.2) Deve-se ter o cuidado em no

propor atividades que no estejam ao alcance dos estudantes, que sejam impossveis de serem

resolvidas.

Vrios autores abordam as etapas que devem ser seguidas na resoluo de problemas.

Um importante autor que formalizou esta teoria foi Polya (1947). Abaixo, as etapas sugeridas

por ele:

Compreender o problema;

Estabelecer um plano;

Executar o Plano;

Refletir sobre o trabalho realizado. (p.31)

Em primeiro lugar os alunos precisam ler o problema com ateno e procurar entend-

lo. Esse entendimento pode se dar dividindo o problema em etapas menores, ou ento por

associao a outros problemas semelhantes que j tenham sido resolvidos.

Num segundo momento, preciso pensar como o problema ser atacado, ou seja,

quais as variveis e os possveis caminhos para solucion-lo. Em seguida, coloca-se o plano

em prtica visando verificar se as hipteses levantadas so verdadeiras.

A parte mais importante na resoluo dos problemas e, que algumas vezes ignorada

pelos alunos, diz respeito verificao do resultado encontrado. Muitas vezes falta para o

aluno a criticidade de perguntar a si prprio se o valor encontrado est coerente com o

problema proposto.

Mais recentemente, as autoras Allevato e Onuchic (2008) tm apresentado importantes

contribuies para o uso da metodologia da resoluo de problemas. Em seu trabalho

destacado que os problemas devem ser utilizados na sala de aula com o propsito de criar um

ambiente investigativo, onde alunos e professores trabalhem de maneira colaborativa. Alm

disso, os problemas podem ser utilizados para realizar uma avaliao contnua, a fim de

verificar se os elementos essncias do contedo matemtico estudado foram aprendidos, pois

[...] as indicaes de que um estudante entende, interpreta mal ou no entende ideias

matemticas especficas surgem, com frequncia, quando ele resolve um problema.(p.9)

DESCRIO E ANLISE DO ESTUDO DE CASO

As atividades descritas a seguir foram realizadas com alunos do 8 ano, de uma escola

pblica da rede municipal de Porta Alegre, no primeiro semestre de 2013. Participaram 25

alunos. A partir dos estudos realizados sobre a metodologia de resoluo de problemas,

selecionou-se 6 problemas, que esto de acordo com o proposto por Soares e Pinto (2001),

pois so situaes diferentes das j trabalhadas e que, no entanto, para resolv-las o alunos

necessita de tcnicas e estratgias j aprendidas.

Foi sugerido aos estudantes que formassem duplas ou trios, a fim de que,

cooperativamente, buscassem por estratgias para resolverem os problemas, formando, assim,

um ambiente investigativo (ALLEVATO e ONUCHIC, 2008). Dentre estes problemas,

destacaremos dois deles por demonstrarem claramente as contribuies que este tipo de

atividade traz para o processo de ensino aprendizagem.

Problema 1

Uma tbua de comprimento 80 cm deve ser repartida em duas partes. O comprimento

da parte maior o triplo do comprimento da parte menor. Quanto mede cada uma das partes?

Para resolver este problema grande parte dos alunos utilizou a mesma estratgia:

identificaram a varivel envolvida associando-a as partes da tbua e reconhecendo que a unio

entre as partes era igual ao todo, ou seja, compreenderam o problema e estabeleceram um

plano (POLYA, 1947) , conforme pode ser percebido na fala da aluna D:

Temos uma parte maior e uma parte menor. Da aqui na parte menor podemos

colocar x, ento a parte maior 3x. Da x + 3x =80.

Ao colocar o plano em prtica, resolvendo a equao, as alunas do grupo da aluna D,

encontraram x = 20. Neste momento, percebe-se a clara necessidade de refletir sobre o

trabalho realizado (POLYA, 1947), ou seja, qual o significado daquele valor encontrado,

conforme podemos perceber na fala da aluna D:

Ento a parte menor mede 20 cm e a maior vai faz 20 vezes 3... d 60 ... 60 cm.

Na figura 1, temos a resoluo apresentada pela aluna D.

Figura 1. Resoluo apresentada pela aluna D

Uma outra dupla de alunos props uma estratgia com o uso de um desenho que

representasse a tbua e cada uma das partes em que a mesma foi repartida, conforme podemos

perceber na resoluo apresentada pelo aluno J na Figura 2.

Figura 2. Resoluo apresentada pelo aluno J

Problema 2

Marcos tem 12 lpis a mais que Rui, e Gilberto tem 8 lpis a menos que Rui. O total

de lpis 28. Quantos lpis tem cada um deles?

Aps identificar a varivel e estabelecer um plano (POLYA, 1947) , grande parte

dos alunos esbarrou na traduo da linguagem natural para a linguagem algbrica. Com isso,

foi possvel trabalhar isso, que um dos grandes objetivos do estudo da lgebra no ensino

fundamental, de acordo com os PNC (BRASIL, 1998).

Ao representar algebricamente a quantidade de lpis pertencente a Gilberto, vrios

alunos escreveram a expresso 8 x. Isto possibilitou uma discusso em grande grupo.

Muitos justificaram a presena da subtrao, devido expresso menos lpis, porm no

haviam compreendido o significado do que haviam escrito. Retomando passo a passo a

interpretao do problema, em discusses com as duplas, elas concluam que aquela no era a

forma mais adequada para representar o que desejavam, conforme o dilogo entre o professor

(P) e dois alunos:

P: Vocs comearam tudo certinho ... o Rui vocs no sabem quantos lpis ele tem,

ento ele tem quantos lpis?

A e S: x.

P: O Marcos tem 12 lpis a mais?

S: Ento x + 12.

P: E o Gilberto?

S: x - 8.

A: Menos?

S: . x 8.

P: Por que x - 8?

S: Porque ele tem 8 lpis a menos

Na figura 3, a resoluo apresentada pela aluna A.

Figura 3 Resoluo apresentada pela aluna A

Aps a superao das dificuldades, novamente possvel perceber que o aluno no

simplesmente resolveu a equao, mas retomou as etapas daquele problema e, utilizando o

valor encontrado, descreveu a resposta solicitada.

Portanto, o uso de problemas na sala de aula muito produtivo do ponto de vista do

enriquecimento do processo de ensino aprendizagem. A partir das atividades desenvolvidas

pelos estudantes, interessantes discusses entre eles e o professor surgiram. Como por

exemplo, a discusso sobre a escrita de uma expresso algbrica simples como x 8 ou 8 x

foram muito importantes, pois possibilitaram aos estudes perceber que apesar das semelhana

destes trs smbolos, a ordem entre eles altera bastante o seu significado.

CONSIDERAES FINAIS

A partir das atividades desenvolvidas, foi possvel perceber o quanto a metodologia de

resoluo de problemas interessante para o estudo de equaes de 1 grau. Atravs do uso

desta metodologia foi possvel construir na sala de aula um ambiente de investigao e,

tambm, de discusses a respeito de erros que na simples resoluo de um exerccio talvez

no seriam trabalhadas.

Alm disso, tal metodologia possibilita aos estudantes desenvolver a capacidade de

transitar entre a linguagem natural e a linguagem matemtica. Uma habilidade importante de

acordo com os PCN (BRASIL, 1998).

Outro ponto interessante, diz respeito ao significado dado equao e a descoberta do

valor da incgnita. Ao resolver um exerccio, o aluno simplesmente resolve a equao e

muitas vezes no faz a verificao de que aquele resultado realmente correto. J no caso de

um problema, necessrio retomar aquele resultado para apresentar a soluo pedida.

REFERNCIAS

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