Entrelaçamento 4 a 6 qubits
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CÁLCULO DO ENTRELAÇAMENTO DE
ESTADOS PUROS COM QUATRO E SEIS
QUBITS
David Sena Oliveira
Rubens Viana Ramos
SUMÁRIO
1. Conceitos Básicos.
2. Entrelaçamento Groveriano.
3. Entrelaçamento Residual.
4. Aplicações com estados de 4 qubits.
5. Extensibilidade de p4.
6. Medida g6.
7. Conclusões e trabalhos Futuros.2
1.ConceitosAceitamos muitos conceitos porque eles parecem ser as respostas lógicas a nossas questões. Mas será que fizemos as questões certas?“
Harold L. Klawans”
3
ENTRELAÇAMENTO BIPARTE
Entropia de Von Neumman
Concurrencia
Negatividade
4
*
1 2 3 4max 0, y y y yC
†
2 max 0,
1A A
j
j
T T
AB AB AB
N
N Tr
ln lnA B A A B BS S tr tr
NOMECLATURAS
Nível de entrelaçamento Nível de Separabilidade Descrição
Desentrelaçado Completamente
separável
Não há qualquer tipo de entrelaçamento no
estado quântico
Parcialmente
entrelaçado ou apenas
entrelaçado
Parcialmente separável
ou apenas separável
Possui algum tipo de entrelaçamento, porém
não é completamente entrelaçado
Completamente
entrelaçado
Inseparável Todos as partes estão entrelaçadas entre si.
Também é equivalente a afirmar que o estado
possui entrelaçamento genuíno
5
TIPOS DE ENTRELAÇAMENTO
Um estado puro de N partes
Ele é completamente desentrelaçado quando
Ele é parcialmente entrelaçado quando
Não é completamente entrelaçado, mas pode possuir
entrelaçamento em alguns subsistemas
Ele é completamente entrelaçado quando
Todas as partições tomadas dois a dois são mistas
6
......
AB N A B N
REPRESENTAÇÃO VISUAL
O cálculo da Entropia
7
A B
CD
1 AD BC
REPRESENTAÇÃO VISUAL
Estados reduzidos de um qubits
8
A B
CD
1 AD BC
REPRESENTAÇÃO VISUAL
Pares de qubits
9
A B
CD
1 AD BC
REPRESENTAÇÃO VISUAL
Pares de qubits
10
A B
CD
1 AD BC
PURO COMPLETAMENTE SEPARÁVEL
Exemplo
11
A B
CD
1 A B C D
PURO SEPARÁVEL
Exemplo
12
A B
CD
1 A BC D
PURO INSEPARÁVEL
Exemplo
13
A B
CD
1 ABCD
COMPLETAMENTE ENTRELAÇADO
4 qubits
14
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
K-SEPARABILIDADE E
NÚMERO DE VIAS
K-Separabilidade número de partições puras
mínimas no qual se pode particionar um estado.
Número de vias de um entrelaçamento é o número
de qubits na maior das subpartições puras.
15
A
B
C
D
E
F
2 ABCDEF AF BCD E
2.Entrelaçamento: Um Problema de BuscaO homem na ânsia de buscar a felicidade, se esquece de ser feliz.
Autor: Desconhecido
16
ENTRELAÇAMENTO GROVERIANO
Como relacionar
probabilidade de se resolver um problema de busca
quantidade de entrelaçamento existente da base
17
Entrelaçamento Groveriano (EG)
Entropia relativa de entrelaçamento
ENTRELAÇAMENTO GROVERIANO
A base de dados é definida como um estado quântico.
Se a base de dados é uma composição
Se a base de dados é separável, a probabilidade de se encontrar a resposta Pmax=1.
Quanto maior o entrelaçamento da entrada menor o Pmax.
2
max
max
1
( ) maxS
G P
P
18
1
0
1 N
i
iN
minED
E S S
18
CALCULANDO O ENTRELAÇAMENTO (1/3)
Seja um estado se-
parável
Maximizar em rela-
ção aos ângulos
Derivar em função
dos 2n2 ângulos que
definem a função
Dificuldade em em-
contrar fórmulas
analíticas19
2
1 1
1 2
1 2
max 1 1,..., , ,...,
2
...
cos 0 sin 1
00..0 00..1 11..1
max ,..., , ,..., ,
0 para k=1,..,
k
n n
nn
i
k k kk k
n n nn
n n
k k
e e e e
e e
a a a
P P
P Pn
CALCULANDO O ENTRELAÇAMENTO (2/3)
20
Função avaliação: F(,)
Codificação do indivíduo
Crossover: dois pontos
Elitismo: dois indivíduos
Mutação: flip no gene
Várias combinações e implementações foram tentadas Tipos de crossover
Variação nas taxas
Métodos auxiliares de aproximação
Não obtendo grande variação de melhora, deixou-se a versão mais simples do GA
1 1 2 2
[0101000011010010 11110010]
n n
CALCULANDO O ENTRELAÇAMENTO (3/3)
21
Estados W Estados GHZ
0 1
2
n n
GHZ n
2 2
40000 1111a b
1
00 01 00 10 01 00 10 002
n nW
1
11
n
n
nG W
n
3.ENTRELAÇAMENTO
RESIDUAL
Se você se acha muito pequeno para fazer a diferença, você nunca esteve na cama com um mosquito.
Betty Reese
22
Desigualdade de CKW
Residual Concurrencia
Tangle 3 (t3)
ENTRELAÇAMENTO TRIPARTE
23
2 2 2
AB AC A BCC C C
2 2 2
( )
2 2 2
( )
2 2 2
( )
ABC A BC AB AC
B AC BA BC
C AB CA CB
C C C
C C C
C C C
t
Residual Negatividade
2 2 2
AB AC A BCE E E
2 2 2
AB AC A BCN N N
2 2 2
( )
2 2 2
( )
2 2 2
( )
A A BC AB AC
B B AC BA BC
C C AB CA CB
N N N
N N N
N N N
p
p
p
1
3ABC A B Cp p p p
COMPARAÇÃO
24
t3(GHZ3)=1
t3(W3)=0
Porém W3, é completa-
mente entrelaçamento.
p3(GHZ3)=1
p3(W3)>0
t3 E p3
1ABC
p GHZ p W
RESIDUAL PARA MÚLTIPLOS QUBITS
Extensão p4
25
4
2 2 2 2
_
2 2 2 2
_
2 2 2 2
_
2 2 2 2
_
1
4A B C D
A A BCD AB AC AD
B B ACD AB BC BD
C C ABD AC BC CD
D D ABC AD BD CD
N N N N
N N N N
N N N N
N N N N
p p p p p
p
p
p
p
RESIDUAL PARA MÚLTIPLOS QUBITS
c00
26
En
tre
laça
me
nto
p2
G
p4
0
10000 0011 0101 0110
2
1
11001 1010 1100 1111
2
O p3 (Y 3)>0 apenas se Y possuir entrelaçamento
triparte
O residual p4 detecta entrelaçamento p4 (Y)>0 para
qualquer estado que possui entrelaçamento no mínimo
triparte.
O p4G altera o p4 para utilizar a média geométrica de
forma a mensurar apenas entrelaçamento genuíno
RESIDUAL GEOMÉTRICO p4G
44 4
1
4A B C D G A B C Dp p p p p p p p p p
27
ENTRELAÇAMENTO P4G
Mensurando entrelaçamento em 4 vias
28
0 1
2
c
0 cos 0000 sin 0011
sin 0101 cos 0110
1 cos 1001 sin 1010
sin 1100 cos 1111
Comparação p4G e p4
Estado p4 p4G
W4 0,6213 0,621
GHZ4 1 1
c 1 1
1 0,75 0
2 0,75 0
W30 0,412 0
GHZ30 0,75 0
GHZ2GHZ2 0 0
GHZ200 0 0 29
Comparação p4G e EG
30
Estado Quântico EG π4
1=(01+10)/21/2(0+1)/21/2(0+1)/21/2 0.707 0
2=(00+11)/21/2(00+11)/21/2 0.866 0
3=(000+111)/21/2(0+1)/21/2 0.707 0
4=(001+010+100)/31/2(0+1)/21/2 0.745 0
ξ0=(0000-0011-0101+0110)/2
ξ1=(1001+1010+1100+1111)/2
5≡χ00=(ξ0+ξ1)/21/2
0.707
0.707
0.866
0
0
1
6=(0000+1111)/21/2 0.707 1
7=(0001+0010+0100+1000)/2 0.76 0.6213
8=(0000+0101+1000+1110)/2 0.707 0.7140
9=(0000+1011+1101+1110)/2 0.81 0.9306
ENTRELAÇAMENTO EM ESTADOS GRAFOS
31
Codificação 0 3 51 2 4
4
12 13 14 23 24 34
0 1
2
b b bb b bG U U U U U U
Estados Maximamante entrelaçados
em quatro viasEstados desentrelaçados em 4
vias
1
2
3
4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
0 0 1 0 1 1b
0 0 1 1 0 1b
0 1 1 0 1 0b
0 0 0 1 1 1b
0 0 1 1 0 0b
1 0 0 0 1 0b
0 1 2 3 4 5b b b b b b b
ESTADOS MAXIMAMENTE ENTRELAÇADOS
32
2
4
[BSSB05]
11100 0011 1010 0101 1001 0110 ,
6
1 3 2,
0 1 0 110000 011 1101 110 ,
2 2 2
0000 0111 1011 1101 1110.
3 6
HS
m
i
3.Aplicações
Para 4 Qubits
A aplicação das leis é mais importante que a sua elaboração.
Thomas Jefferson
33
APLICAÇÃO: TELEPORTAÇÃO DE
CIRCUITO
Alice, Bob e Charlie compartilham o estado de 4
qubits maximamente entrelaçado
34
H
H
ZXZ
X ZPortas de um qubit controladas
classicamente
Informação
Clássica
00 01 10 11EF
g A
B
C
D
E
ZZ
Z
0000 0101 1010 1111
2
ABCD
00 01 10 11 g
F
Informação
Clássica
Z
ZSW
00 01 10 11 g 00 01 10 11 g
APLICAÇÃO: CANAL RUIDOSO
35
Enviando o estado
Canal modelado por
Como varia o
entrelaçamento?00 11
2
AB AB
AB
Y
AU
BU
0
0
00 11
2
A
B
e1
e2
AB
1 2e ABeY
APLICAÇÃO: ENVIO DE INFORMAÇÃO
Estados grafos localmente equivalentes
36
H
H
Classicaly controlled single-qubit gates
Classical
Information
Classical
Information
00 11EF
A
B
C
D
F
X
0000 0111 1000 1111
2
ABCD
00 11
E
Z
ZZXz
11
1 2 3 4
0000 0111 1000 1111
2I H H Hc
CRIANDO E DESTRUINDO
ENTRELAÇAMENTO(1)
37
I
i Z Ze
0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1
6
A B C D
A
B
C B C Y
D
I
CRIANDO E DESTRUINDO
ENTRELAÇAMENTO(2)
38
I
i X Xe
2
ABCD
Y Y Y Y
A
B
C
AC Y
D
I
BD
5. O futuro de p4
O futuro não é mais incerto que o presente.
Walt Whitman
39
NÚMERO DE VIAS E VALOR DO
ENTRELAÇAMENTO EG
40
V=1V=2
V=3
E()=0 E()>0
Monótono EG
NÚMERO DE VIAS E VALOR DO
ENTRELAÇAMENTO
41
V=1V=2
V=3
E()=0 E()>0
t3
WGHZ
NÚMERO DE VIAS E VALOR DO
ENTRELAÇAMENTO
42
V=1V=2
V=3
E()=0 E()>0
p3
NÚMERO DE VIAS E VALOR DO
ENTRELAÇAMENTO
43
V=1V=2 V=3
E()=0 E()>0
p4
V=4
p4G
ENTRELAÇAMENTO
Se o qubit X possui entrelaçamento em mais de 3 vias então p4X>0
44
1
2
3
4
A B C D
AB CD
ABC D
ABCD
p4G
ENTRELAÇAMENTO
45
1
2
3
4
5
A B C D E
AB CDE
ABC DE
ABCD E
ABCDE
p5
ENTRELAÇAMENTO
46
1
2
3
4
5
6
A B C D E F
AB CDEF
ABC DEF
ABCD EF
ABCDE F
ABCDEF
p6
3 ABC DEF
6 3 0p
6. Medida para 6
qubits
Há seis requisitos necessários para um casamento ser feliz: o primeiro chama-se Fé, e os outros cinco, Confiança.
Elbert Hubbard
47
EQUIVALÊNCIAS
Para o caso de falha de p6 tem-se:
48
6 3
6 3
6 3
6 3
6 3
6 3
,
,
,
,
,
.
A A
B B
C C
D D
E E
F F
abcdef abc
abcdef abc
abcdef abc
abcdef def
abcdef def
abcdef def
p p
p p
p p
p p
p p
p p
ABCDEFABC DEF
6, uma nova medida
49
66
6 3
6 3
6 3
6 3
6 3
6 3
,
( ),
( ),
( ),
( ),
( ),
( ).
A B C D E F
A A A
B B B
C C C
D D D
E E E
F F F
abc
abc
abc
def
def
abc
p p
p p
p p
p p
p p
p p
6, uma nova medida
50
2 2 2 2 2
_ _
2 2 2 2 2
_ _
2 2 2 2 2
_ _
2 2 2 2 2
_ _
2 2 2 2 2
_ _
2 2 2
_ _
,
,
,
,
,
A A BCDEF A BC AD AE AF
B B ACDEF B AC BD BE BF
C C ABDEF C AB CD CE CF
D D ABCEF D EF AD BD CD
E E ABCDF E DF AE BE CE
F F ABCDE F DE AF
N N N N N
N N N N N
N N N N N
N N N N N
N N N N N
N N N
g
g
g
g
g
g
2 2 .BF CFN N
51
1
2
3
4
5
6
A B C D E F
AB CDEF
ABC DEF
ABCD EF
ABCDE F
ABCDEF
3 ABC DEF
6 3 0
6, uma nova medida
NÚMERO DE VIAS E VALOR DO
ENTRELAÇAMENTO
52
V=11<V<6
V=6
E()=0 E()>0
6
Composição de 6
A A B C D E F
B A B C D E F
C A B C D E F
D A B C D E F
E A B C D E F
F A B C D E F53
A medida não é invariante sob permutação
de qubits
Isso é bom ou mal, certo ou errado?
Utilidade de um estado de seis qubits para
teleportação [YMQW09]
Entrelaçamento Operacional ou Global?
Circuitos Quânticos
Teleportação
Solução
Trabalhar com todas as permutações 54
Complicações 6
55
1 1 2 3 4 5 6
34
2 1 1 2 4 3 5 6
35
3 1 1 2 5 4 3 6
36
4 1 1 2 6 4 5 3
24
5 1 1 4 3 2 5 6
25
6 1 1 5 3 4 2 6
26
7 1 1 6 3 4 5 2
14
8 1 4 2 3 1 5 6
15
9
,
.
. ,
. ,
. ,
. ,
. ,
. ,
.
SW
SW
SW
SW
SW
SW
SW
SW
a b c d e f
U a b c d e f
U a b c d e f
U a b c d e f
U a b c d e f
U a b c d e f
U a b c d e f
U a b c d e f
U
1 5 2 3 4 1 6
16
10 1 6 2 3 4 5 1
,
. .SW
a b c d e f
U a b c d e f
Permutações de 6
56
Matriz de Permutações
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A A A A A A A A A A
B B B B B B B B B B
C C C C C C C C C C
D D D D D D D D D D
E E E E E E E E E E
F F F F F F F F F F
M
57
Configurações da Matriz
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A A A A A A A A A A
B B B B B B B B B B
C C C C C C C C C C
D D D D D D D D D D
E E E E E E E E E E
F F F F F F F F F F
M
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A A A A A A A A A A
B B B B B B B B B B
C C C C C C C C C C
D D D D D D D D D D
E E E E E E E E E E
F F F F F F F F F F
M
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A A A A A A A A A A
B B B B B B B B B B
C C C C C C C C C C
D D D D D D D D D D
E E E E E E E E E E
F F F F F F F F F F
M
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A A A A A A A A A A
B B B B B B B B B B
C C C C C C C C C C
D D D D D D D D D D
E E E E E E E E E E
F F F F F F F F F F
M
Entrelaçados em 6 vias
Operacionais Não Operacionais
Partições com 1 ou 2 vias Estados 3x3
a bcdef
ac bdef
abc def
abf cdf
MENSURANDO ESTADOS QUÂNTICOS
58
6 6max . ,ii
Cg
6 000000 111111 2 ,GHZ
6
100000 010000 001000 000100 000010 000001 6 .W
g6(|GHZ6)=1, g6(|W6)0.5019, g6(|6)=1
6 0 1 0 1
0
1
4 4
0 0 1 1
1,
2
0000 0011 0101 0110 2,
1001 1010 1100 1111 2,
, ,X X
SIMULAÇÕES: SMOLIN
59
6
00 014 4
.3
10 1 114 4
EF EFAB CD AB CD
EF EFAB CD AB CD
p p
pp p
Y Y Y Y
2 2 2
_ _ _
2 2 2
6 _ _ _
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1.
6
2
A BCDEF B ACDEF C ABDEF
ms D ABCEF E ABCDF F ABCDE
AB AC AD AE AF BC BD
BE BF CD CE CF DE DF EF
N N N
E p N N N
N N N N N N N
N N N N N N N N
22 .ms N k ij
k i j
E C N t
SIMULAÇÕES: SMOLIN
60
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
p
I
II
IIIEnt
rela
ça
me
nto
Entrelaçamento do estado versus p: I) g6; II) Ems; III) .
SIMULAÇÕES: GRAFOS
61
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
q
I
II
III
IV
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
6
1 12 16 23 34 45 56 cos 0 sin 1G U U U U U U
6
2 12 13 16 23 25 34 45 46 56 cos 0 sin 1G U U U U U U U U U
0 0 1 1ij j ji iU I Z
,
,
.
GERANDO ENTRELAÇAMENTO
62
1
2
3
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 n
i t
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i tG
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1 ,
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i i
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tf t
t p
1
2 ,
n i
i i
f
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t p
3 2log 1 .
i
i i
f
tf t
t p
GRAFO CONECTADO
63
Variação do entrelaçamento 6(6) versus t. I - f1, II - f2, III - f3.
GRAFO CONECTADO E 3X3
64
Figura 6.5 – Variação do entrelaçamento e 6(6) (I) e 6(3_3) (II) versus t.
CONTRIBUIÇÕES
Um algoritmo genético para cálculo de EG.
Uma medida de 4 qubits para calcular o
entrelaçamento genuíno de estados puros de 4
qubits.
Aplicações que utilizam estados puros
maximamente entrelaçados em 4 vias.
Uma medida para medição de entrelaçamento
operacional de estados puros de 6 qubits.
Uma medida para medição de entrelaçamento
genuíno em estados puros de 6 qubits.
65
PERGUNTAS?
66
FIM
67