Ensino Superior

6. Derivadas Direcionais, Gradientes e Pontos Críticos

Amintas Paiva Afonso

Cálculo 2

Derivadas Direcionais

As derivadas parciais de uma função de duas variáveis f(x,y) são consideradas na direção do eixo x (fx) ou do eixo y (fy).

Quando se considera uma direção qualquer no domínio de f(x,y), ou seja, no plano xy, têm-se a derivada direcional que vale:

)..).(.sen.(cos jy

fi

x

fji

u

ffu

Foi considerada a direção do vetor unitário u, u = cosi + senj

.

A curva z = f (x, y0)no plano y = yo

Esta reta tangente tem coeficiente angular f (x0, y0)

A curva z = f (x, y0)no plano x = xo

Esta reta tangente tem coeficiente angular f (x0, y0)

Derivadas Parciais

Derivadas Parciais

Superfície S:

Reta tangente

Gradiente de uma função de várias variáveis

O segundo termo do produto escalar da derivada direcional é o vetor gradiente.

Este vetor fornece a direção e sentido no qual ocorre a maio variação das curvas de níveis da função de duas variáveis.

jy

fi

x

fyxfyxfGrad ..),(),((

Decréscimo mais rápido de f

Aumento mais rápido de f

Variação zero de f

Curvas de Nível

A curva

Decréscimo mais rápido de f

Exercícios

1) Se f(x,y) = 5x2 + 3y, ache o gradiente e o valor da função no ponto (1,2). Ache tb a taxa de variação de f(x,y) na direção de 0,25p neste ponto.

2) A temperatura em cada ponto (x,y) de uma placa retangular situada no plano xy é determinada pela expressão: T(x,y) = x2 + y2 .

(a) Ache a taxa de variação da temperatura no ponto (3,4) na direção e no sentido que fazem um ângulo de 0,33p com o eixo x positivo. (b) ache a direção e o sentido em que a taxa de variação no ponto (-3,1) é máxima.

Pontos Críticos

Máximo e Mínimo Local:

a) f(a,b) é um valor máximo local de f(x,y), se f(a,b) > f(x,y) para todos os pontos do domínio (x,y) em um disco aberto centrado em (a,b).

b) f(a,b) é um valor mínimo local de f(x,y), se f(a,b) < f(x,y) para todos os pontos do domínio (x,y) em um disco aberto centrado em (a,b).

Nestes dois casos fx = fy = 0

Máximos e Mínimos

Máximo local(não existe um valor de f maior próximo)

Mínimo local(não existe um valor de f menor próximo)

Superfície z = f(x, y)

Máximos e Mínimos

No Ponto de Sela.também fx = fy = 0

Pontos Críticos de f(x,y)

Critérios:

(a) Máximo: fxxfyy – (fxy)2 > 0 e fxx < 0

(b) Mínimo: fxxfyy – (fxy)2 > 0 e fxx > 0

(c) Ponto de sela: fxxfyy – (fxy)2 < 0

(d) Teste inconclusivo: fxxfyy – (fxy)2 = 0

Exercícios

1) Encontrar os valores extremos locais da função f(x,y) = xy - x2 - y2 - 2x - 2y+ 4.

2) Encontrar os valores extremos locais da função f(x,y) = xy.