Ensino Superior

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4 – Siligismo Categórico

Amintas Paiva Afonso

Lógica Matemática e Computacional

LógicaLógica

Ciência dos argumentos; tem por objeto de estudo os argumentos, procurando elaborar procedimentos que permitam distinguir os argumentos válidos daqueles que não são.

Vantagens e utilidade da lógicaVantagens e utilidade da lógica

Clarificar e analisar o pensamento e a linguagem;

Assegurar a eficácia demonstrativa do pensamento;

Garantir a correção formal do raciocínio e a coerência do discurso,

Definir conceitos, ordenar as noções, obter conclusões formalmente rigorosas

Verdade/ValidadeVerdade/Validade

Matéria de um raciocínio é o conteúdo das afirmações, aquilo que elas significam e é a seu respeito que falamos de verdade ou falsidade.

Forma é o modo como as afirmações são encadeadas, independentemente da matéria que possamos exprimir, e é a este respeito que falamos de validade.

RaciocínioRaciocínio

Três tipos:

a) Dedutivo

b) Indutivo

c) Analógico

Tipos de raciocínio ou argumentaçãoTipos de raciocínio ou argumentação

Dedutivo Toda mulher gosta de chocolate Regina é mulher Logo, Regina gosta de chocolate.

Indutivo O cobre é condutor de calor O cobre é um metal Todo metal é condutor de calor

Falacioso (falácia, sofisma, paralogismo) Sofisma- intenção de enganar o interlocutor,

paralogismo-erro, equívoco.)

Premissas Conclusão Validade

Verdadeiras Verdadeira Válido

Verdadeiras Falsa Inválido

Falsas Verdadeira Válido

OrigemOrigem Aristóteles fez um estudo minucioso de certos tipos básicos de

argumentos, estabelecendo regras para distinguir os que são válidos daqueles que não o são. Estes últimos são chamados de “falácias” ou “sofismas”. Exemplos: Parar de fumar é uma bobagem, meu avô fumou a vida inteira e

morreu com 87 anos. Todas as pessoas que morreram de câncer nos últimos 50 anos

bebiam água, logo…

Aristóteles procurou eliminar as frases ambíguas, trabalhando apenas com as que não deixassem dúvida quanto ao seu significado. Exemplos: “Pássaros comem insetos”, por “Todos os pássaros comem

insetos” ou “Alguns pássaros comem insetos”. “Índios não são carecas”, por “Nenhum índio é careca” ou

“Alguns índios não são carecas”

OrigemOrigem Para julgar a validade ou não de um argumento, é

necessário que a sentença que os constituem não tenham mais de um sentido. Segundo Aristóteles, isso é possível se enunciarmos as sentenças na forma categórica. Exemplos:

Todos os brasileiros são técnicos de futebol.

Nenhum gato sabe latir.

Algumas pessoas gostam de comer fígado.

Existem caubóis que não sabem andar a cavalo.

As sentenças assim formuladas foram chamadas de proposições categóricas e, segundo Aristóteles, podem ser de 4 tipos:

Afirmação UniversalTodos os atletas são saudáveis

Negação UniversalNenhum atleta é saudável

Afirmação ParticularAlguns atletas são saudáveis

ou

Existem atletas saudáveis

Negação ParticularAlguns atletas não são saudáveis

ou

Existem atletas não-saudáveis

Tipos de ProposiçãoTipos de Proposição

Universal Afirmativa (A)

Universal Negativa (E)

Particular Afirmativa (I)

Particular Negativa (O)

Todos os homens são mortais

Nenhum aluno é inteligente

Algumas alunas são extravagantes

Alguns alunos não gostam de estudar

Tipos de proposições e exemplos: A: afirmação universal (todo homem é mortal); E: negação universal (nenhum homem é mortal); I: afirmação particular (algum homem é mortal); O: negação particular (algum homem não é mortal).

Relacionamento entre proposições:

A e E são ditos contrários; se a proposição A é verdadeira então E é falsa;

A e O e também E e I são contraditórios: não podem ser nem verdadeiros nem falsos conjuntamente;

I e O são sub-contrários: não podem ser ambos falsos;

I é subalterno de A, e O é subalterno de E; se A é verdadeira, I também o é, e se E é verdadeira então O também o é.

Relacionamento entre proposiçõesRelacionamento entre proposições A existência de quatro tipos de proposições não

é coincidência: representam as quatro relações possíveis entre as extensões dos termos gerais;

O matemático Euler representou as quatro relações lógicas na forma de diagramas de conjuntos (diagramas de Venn-Euler).

Se S é o termo sujeito e se P é um predicado então as proposições correspondem aos diagramas a seguir...

4 relações lógicas de Euler4 relações lógicas de Euler Proposição A: inclusão total

(todo S é P)

Proposição E: exclusão total

(nenhum S é P)

Proposição I: inclusão parcial de S em P

(algum S é P)

Proposição O: exclusão parcial de S em P

(algum S não é P)

SP

PS

PS

S

P

4 relações lógicas de Euler4 relações lógicas de Euler

1. Proposição A: inclusão total

(todo S é P)

“Todos os atletas são saudáveis”

S

P

2. Proposição E: exclusão total

(nenhum S é P)

“Nenhum atleta é saudável”SP

4 relações lógicas de Euler4 relações lógicas de Euler

3. Proposição I: inclusão parcial de S em P (algum S é P)

“Alguns atletas são saudáveis”

4. Proposição O: exclusão parcial de S em P

(algum S não é P)

“Alguns atletas não são saudáveis”

PS

PS

Exercício 1

Chamando R o conjunto dos países ricos e de E o conjunto dos países exportadores de petróleo e admitindo válido o diagrama abaixo, procure identificar:

a) o conjunto dos países que não são ricos;b) o conjunto dos países que não são exportadores de petróleo;c) o conjunto dos países ricos que são exportadores de petróleo;d) o conjunto dos países que são ricos e que não são exportadores de petróleo;e) o conjunto dos países que são exportadores de petróleo, mas não são ricos.

R E

RespostasRespostas

R E

b)b)

E

a)

R

R E

c)c)

R E

d)d)

E

e)

R

Exercício 2

Construa diagramas de Euler que representam as seguintes proposições:a) Todos os poetas são pobres.b) Todos os franceses são europeus.c) Nenhum europeu é asiático.d) Existem árvores que são verdes.e) Há livros que não são caros.

Exercício 3

Sendo N o conjunto de todos os seres que nadam, Construa diagramas de Euler que representam as seguintes proposições:a) Todos os patos nadam.b) Alguns gorilas nadam.c) Nenhum gato nada.d) Alguns homens não nadam.

A B

Exercício 4

Sendo A o conjunto das pessoas que moram no Brasil e B o conjunto dos brasileiros, temos a seguinte representação para a relação existente entre A e B:

Descreva com suas palavras o que caracteriza cada um dos conjuntos assinalados a seguir:

A B

a)

R E

b)

B

c)

A

Exercício 5

Sabe-se que “nenhum amigo meu é amigo seu” e que “alguns amigos dele são seus amigos”, assim, pode-se afirmar, corretamente:

a) Alguns de meus amigos são amigos dele.

b) Alguns amigos dele são meus amigos.

c) Nenhum amigo meu é amigo dele.

d) Alguns amigos dele não são meus amigos.

e) Nenhum amigo dele é meu amigo.

Exercício 6

Considerando “todo livro é instrutivo” como uma proposição verdadeira, é correto inferir que:

a) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.

b) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.

c) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa.

d) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição proposição necessariamente verdadeira.

Exercício 7

Considerando “todo livro é instrutivo” como uma proposição verdadeira, é correto inferir que:

a) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.

b) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.

c) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa.

d) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição proposição necessariamente verdadeira.

Negação (~)

Dada uma proposição p, sua negação será denotada por ~p (não p).

Se p é verdadeira então ~ p será falsa e vice versa.

Ex: p = Bia está usando tênis preto.

~p = Bia não está usando tênis preto.

p = Esta frase possui cinco palavras.

~p = Esta frase não possui cinco palavras.

Chama-se negação de uma proposição p a proposição representada por não p cujo valor lógico é a verdade (v) se p é falsa e a falsidade (f) se p é verdadeira. Simbolicamente: ~p.

Algumas observaçõessobre a negação

A negação de “sempre” é


A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”


A negação de “sempre” é “existe uma vez que não” A negação de “nunca” é


A negação de “sempre” é “existe uma vez que não” A negação de “nunca” é “existe uma vez que”


A negação de “sempre” é “existe uma vez que não” A negação de “nunca” é “existe uma vez que” A negação de “p e q” é


A negação de “sempre” é “existe uma vez que não” A negação de “nunca” é “existe uma vez que” A negação de “p e q” é “~p ou ~q”


A negação de “sempre” é “existe uma vez que não” A negação de “nunca” é “existe uma vez que” A negação de “p e q” é “~p ou ~q” A negação de “p ou q” é


A negação de “sempre” é “existe uma vez que não” A negação de “nunca” é “existe uma vez que” A negação de “p e q” é “~p ou ~q” A negação de “p ou q” é “~p e ~q”

1. A resposta 2 é 2 ou 3.

a) A resposta é nem 2 nem 3.

b) A resposta não é 2 ou não é 3.

c) A resposta não é 2 e não é 3.

Quais negações das proposições estão corretas?

1. A resposta 2 é 2 ou 3.

a) A resposta é nem 2 nem 3.

b) A resposta não é 2 ou não é 3.

c) A resposta não é 2 e não é 3.

2. Pepinos são verdes e têm sementes.

a) Pepinos não são verdes e não têm sementes.

b) Pepinos não são verdes ou não têm sementes.

c) Pepinos são verdes e não têm sementes.

2. Pepinos são verdes e têm sementes.

a) Pepinos não são verdes e não têm sementes.

b) Pepinos não são verdes ou não têm sementes.

c) Pepinos são verdes e não têm sementes.

3. 2 < 7 e 3 é ímpar.a) 2 > 7 e 3 é par.

b) 2 7 e 3 é par.

c) 2 7 ou 3 é ímpar.

d) 2 7 ou 3 é par.

3. 2 < 7 e 3 é ímpar.a) 2 > 7 e 3 é par.

b) 2 7 e 3 é par.

c) 2 7 ou 3 é ímpar.

d) 2 7 ou 3 é par.

Quais negações das proposições estão corretas?

4. Se a comida é boa, então o serviço é excelente.

Escreva a negação das afirmações a seguir:

A comida é boa, mas o serviço é ruim.

5. Ou a comida é boa, ou o serviço é excelente.

A comida é ruim e o serviço também.

6. Se correr o bicho pega. Assim sendo:

a) Correr é condição necessária para o bicho pegar.

b) O bicho pegar é condição suficiente para correr.

c) Correr é condição necessária para o bicho pegar.

d) Correr é condição suficiente para o bicho pegar.

e) O bicho pegar é condição necessária e suficiente para correr.

7. “André vai à missa se, e somente se, Ricardo vai ao cinema.

Sabe-se qua André não vai à missa, logo:

I – Ricardo vai ao cinema.

II – Nada se pode afirmar sobre Ricardo.

III – Ricardo não vai ao cinema.

a) Apenas I é verdadeira.

b) Apenas II é verdadeira.

c) Apenas III é verdadeira.

d) I e II são verdadeiras.

e) I e III são verdadeiras.

8. João é atleta ou Maria é estudande, então:

a) Se Maria não é estudante, então João não é atleta.

b) Se João não é atleta, então Maria não é estudante.

c) João é atleta e Maria é estudante.

d) Correr é condição suficiente para o bicho pegar.

e) Se Maria não é estudante, então João é atleta.

9. Todos os aprovados foram alunos do PITÁGORAS, todos os alunos do PITÁGORAS são inteligentes, pessoas intelgentes não ficam desempregadas, logo:

a) Pelo menos uma pessoa que fez o PITÁGORAS está desempregada.

b) Alguns desempregados estudaram no PITÁGORAS.

c) As pessoas empregadas foram aprovadas.

d) Pessoas aprovadas não estão desempregadas.

e) Nem todos inteligentes estão empregados.

10. Considerando que todos os Gringles são Jirnes e que nenhum Jirnes é Trumps, a afirmação de que nenhum Trumps pode ser Gringles é:

a) Necessariamente verdadeira.

b) Verdadeira, mas não necessariamente.

c) Necessariamente falsa.

d) Falsa, mas não necessariamente.

e) Indeterminada.

Lista de exercícios sobre

Operações com Conjuntos.

O silogismo categóricoO silogismo categórico

É uma forma particular de raciocínio dedutivo, constituída por três proposições categóricas (que afirmam ou negam algo de forma absoluta e incondicional):

2 premissas e 1 conclusão.

A conclusão deriva das proposições (premissas) que apresentam um nexo lógico explícito.

No silogismoNo silogismoA conclusão deriva necessariamente das

premissas, pelo que seria contraditório negar a conclusão, aceitando a verdade das premissas de que aquela é consequência necessária.

Três termos:

- Maior (predicado na conclusão)

- Menor (sujeito na conclusão)

- Médio (estabelece o nexo lógico entre as premissas e aparece em ambas as premissas, mas não na conclusão

Duas premissas

Uma conclusão

SILOGISMO

CATEGÓRICO

RegrasRegras

Dos termos:

- Três termos

- O termo médio está presente nas premissas e não parece na conclusão

- O termo médio está distribuído pelo menos uma vez

- Nenhum termo pode ter maior extensão na conclusão que nas premissas

Das proposições:

- Não ter duas premissas negativas

- Não pode derivar uma conclusão negativa de duas premissas afirmativas

- A conclusão segue sempre a parte mais fraca

- Não ter duas premissas particulares

SilogismoSilogismo Aristóteles tentou sistematizar as regras lógicas e dedicou

atenção especial a um tipo de argumento, com duas proposições iniciais e uma conclusão. Exemplos: Premissas:

Alguns alemães são loiros.Todos os alemães são europeus.

Conclusão:Alguns europeus são loiros.

Premissas:Alguns médicos são poliglotas.Alguns professores são poliglotas.

Conclusão:Alguns médicos são professores.

SilogismoSilogismo Premissas:

Alguns atleticanos não são chatos.Todos os atleticanos são fanáticos.

Conclusão:Alguns fanáticos não são chatos.

• Aristóteles classificou os silogismos entre os que são válidos e os que não são válidos. Exemplo de silogismo que não é válido, portanto, é um sofisma:

• Premissas:• Todos os alemães são europeus.• Alguns alemães são loiros.

• Conclusão:• Nenhum europeu é loiro.

Todos cães são vegetarianos. Dálmatas são cães. Logo, dálmatas são vegetarianos.

Todos cães comem carne. Nenhum cão é peixe. Logo, nenhum peixe come carne.

Raciocínios InválidosRaciocínios Inválidos

Silogismos e SofismasSilogismos e Sofismas Silogismo: raciocínio formado de três proposições:

premissa maior – premissa menor – conclusão

Pedro é homem. O homem é mortal.: Pedro é mortal

Sofisma: argumento falso, intencionalmente feito para induzir outrem ao erro.

O cão late. Cão é uma constelação.: A constelação late

Sofisma 1Sofisma 1

Deus ajuda quem cedo madruga

Quem cedo madruga, dorme à tarde...

Quem dorme à tarde, não dorme à noite...

Quem não dorme à noite, sai na balada!!!!!!!

Conclusão: Deus ajuda quem sai na

balada!!!!!!

Sofisma 2Sofisma 2

Deus é amor.O amor é cego.Steve Wonder é cego.Logo, Steve Wonder é Deus.

Sofisma Sofisma 33Disseram-me que eu sou ninguém.Ninguém é perfeito.Logo, eu sou perfeito.Mas só Deus é perfeito.Portanto, eu sou Deus.Se Steve Wonder é Deus, eu sou Steve Wonder!!!!Meu Deus, eu sou cego!!!

Sofisma Sofisma 44Imagine um pedaço de queijo suíço, daqueles

bem cheios de buracos.

Quanto mais queijo, mais buracos.

Cada buraco ocupa o lugar em que haveria

queijo.

Assim, quanto mais buracos, menos queijo.

Quanto mais queijos mais buracos, e quanto

mais buracos, menos queijo.

Logo, quanto mais queijo, menos queijo.

Sofisma Sofisma 55

Toda regra tem exceção.Isto é uma regra.Logo, deveria ter exceção.Portanto, nem toda regra tem exceção.

Sofisma Sofisma 66

Existem biscoitos feitos de água

e sal.

O mar é feito de água e sal.

Logo, o mar é um biscoitão.

Sofisma Sofisma 77

Quando bebemos, ficamos bêbados.

Quando estamos bêbados, dormimos.

Quando dormimos, não cometemos pecados.

Quando não cometemos pecados, vamos para o

Céu.

Então, vamos beber para ir pro Céu!

Sofisma Sofisma 88Penso, logo existo.

Loiras burras não pensam, logo, loiras burras não

existem.

Meu amigo diz que não é boiola porque namora uma

loira inteligente.

Se uma loira inteligente namorasse meu amigo ela seria

burra.

Como loiras burras não existem, meu amigo não

namora ninguém.

Logo, meu amigo é boiola mesmo.

Sofisma Sofisma 99

Hoje em dia, os trabalhadores não têm tempo pra nada.Já os vagabundos... têm todo o tempo do mundo.Tempo é dinheiro.Logo, os vagabundos têm mais dinheiro do que os trabalhadores.

SilogismoSilogismo

Silogismo Categórico é uma forma de raciocínio lógico na qual há duas premissas e uma conclusão distinta destas premissas, sendo todas proposições categóricas ou singulares.

Termo Médio é o termo que se repete nas duas premissas mas não aparece na conclusão.

Qual o termo médio da expressão?Qual o termo médio da expressão?

Todo cachorro é um mamíferoTodo mamífero é vertebradoLogo, todo cachorro é vertebrado

Qual é o termo médio?

Resposta: Mamífero

SilogismoSilogismo

1) Todo silogismo contém somente três termos: maior, médio e menor;

2) Os termos da conclusão não podem ter extensão maior que os termos das premissas;

3) O termo médio não pode entrar na conclusão;

4) O termo médio deve ser universal ao menos uma vez;

5) De duas premissas negativas, nada se conclui;

6) De duas premissas afirmativas não pode haver conclusão negativa;

7) A conclusão segue sempre a premissa mais fraca;

8) De duas premissas particulares, nada se conclui.

Os raciocínios lógicos ocorrem na forma de seqüências de proposições geradas por inferências imediatas obtidas da tábua de oposições.

Um silogismo é um discurso no qual, estando dadas certas proposições premissas, uma nova proposição conclusão é obtida necessariamente e unicamente a partir das premissas.

Usualmente os silogismos são apresentados da seguinte forma:Premissa maiorPremissa menorConclusão

O termo menor (S) é o sujeito da conclusão, o termo maior (P) é o predicado da conclusão, e o termo comum às premissas é o termo médio (M).

SilogismoSilogismo

SilogismoSilogismo Exemplos:

Todos os mamíferos são vertebrados (premissa maior) Todos os homens são mamíferos (premissa menor)

portanto Todos os homens são vertebrados (conclusão).

Neste caso o termo menor S é “todos os homens”, o termo maior P é “vertebrados”, e o termo médio M é “mamíferos”.

Este silogismo tem portanto a forma:

Todas as proposições são do tipo A.

MPSMSP

Considerando que há 4 tipos de proposições (A,E,I e O) então há 43 = 64 silogismos por figura (ver abaixo) , ou seja 256 silogismos no total;

As figuras do silogismo são:

1ª figura 2ª figura 3ª figura 4ª figura

Premissa maior MP PM MP PM

Premissa menor SM SM MS MS

Conclusão SP SP SP SP

SilogismoSilogismo

Nem todos os silogismos são válidos; o estudo da Lógica por Aristóteles, e posteriormente na idade média, buscou separar os silogismos válidos, ou seja, aqueles em que a conclusão segue necessariamente das premissas;

Pode-se deduzir a validade ou não de um silogismo a partir dos diagramas de Venn-Euler correspondentes;

Exemplo: Nenhum peixe (M) é mamífero (P) <tipo E>; Todos os robalos (S) são peixes (M) <tipo A>;

portanto Nenhum robalo (S) é mamífero (P) <tipo E>.

Ou, esquematicamente:

S

M

P

MP<E>SM<A>SP<E>

SilogismoSilogismo

Exemplo: Todos os animais venenosos (M) são perigosos (P) <tipo A>; Algumas serpentes (S) são animais venenosos (M) <tipo I>;

portanto Algumas serpentes (S) são perigosas (P) <tipo I>.

Esquematicamente:

SMP

MP<A>SM<I>SP<I>

SilogismoSilogismo

Em alguns casos os diagramas de Venn-Euler apresentam o inconveniente de admitir, para um mesmo silogismo, várias representações geométricas;

Exemplo: MP<E>SM<I>SP<O>

SM P

SM P

SM P

SilogismoSilogismo

Verdade e validade (ou correção): Um silogismo é válido (correto) se e somente se (sse) a

verdade da conclusão segue necessariamente da verdade das premissas;

Os silogismos portanto “transmitem” a verdade das premissas à conclusão;

Esta definição exclui a possibilidade de que um silogismo válido possa ter premissas verdadeiras e conclusão falsa;

Isto não exclui a possibilidade de que a conclusão de um silogismo válido seja falsa; neste caso alguma das premissas é falsa.

Exemplo: Todos os animais marinhos são peixes; Todas as baleias são animais marinhos;portanto Todas as baleias são peixes.

SilogismoSilogismo

1) Indique a forma do silogismo (termos, figura, diagrama), e indique se mesmo é válido ou não:

a) Todos os gregos são homens;

Todos os atenienses são gregos;

Todos os atenienses são homens.

b) Todos os socialistas são marxistas;

Alguns governantes são marxistas;

Alguns governantes são socialistas.

c) Todas as ações penais são atos cruéis;

Todos os processos por homicídio são ações penais;

Todos os processos por homicídio são atos cruéis.

Exercícios sobre lógica aristotélicaExercícios sobre lógica aristotélica

d) Alguns papagaios não são animais nocivos;

Todos os papagaios são animais de estimação;

Nenhum animal de estimação é nocivo.

e) Nenhum ator dramático é um homem feliz;

Alguns comediantes não são homens felizes;

Alguns comediantes não são atores dramáticos.

f) Todos os coelhos são corredores muito velozes;

Alguns cavalos são corredores muito velozes;

Alguns cavalos são coelhos.


2) Escreva na forma típica, indique termos, figura, diagrama, e verifique a validade:

a) Nenhum submarino de propulsão nuclear é um navio mercante, assim nenhum vaso de guerra é navio mercante, visto que todos os submarinos de propulsão nuclear são vasos de guerra;

b) Alguns conservadores não são defensores de tarifas elevadas, porque todos os defensores de tarifas elevadas são republicanos, e alguns republicanos não são conservadores;

c) Nenhum indivíduo obstinado que jamais admite um erro é bom professor; portanto, como algumas pessoas bem informadas são indivíduos obstinados que nunca admitem um erro, alguns bons professores não são pessoas bem informadas.


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