Ensino Superior
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Ensino Superior
2.1. Curvas e Superfície de Nível
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 3
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Cálculo 3
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Programa
1. Introdução à funções de várias variáveis (FVV).
1.1 Curvas e Superfície de Nível
2. Limites e derivadas de FVV.
3. Regra da cadeia e derivada direcional.
4. Integração dupla.
5. Aplicações de integração dupla.
6. Integração tripla.
7. Aplicações de integração tripla.
8. Mudança de variáveis.
9. Apliacações de mudança de mudança de variáveis.
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Curvas de Superfície de Nível
Existe uma outra técnica gráfica, útil, para descrever o comportamento de uma função de duas variáveis.
O método consiste em descobrir no plano xy os gráficos das equações f(x, y) = k para diferentes valores de k. Os gráficos obtidos desta maneira são chamados as curvas de nível da função f.
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Curvas de Superfície de Nível
Curva de nível tal que .
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Exemplo
1. z = f(x,y) = altura em relação ao nível do mar (definida em uma pequena porção aproximadamente plana).Nossas curvas de nível correspondem às linhas de contorno topográfico.
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As curvas de nível são os gráficos das equações .
2.
Exemplo
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Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível
z x 2 y 2
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z = 9
z x 2 y 2
z = 4
z = 2
z = 0
Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível
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-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível
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70
Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível
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-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível
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Curvas de nível: .
3.
Exemplo
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Curvas de nível:
- hipérboles
4.
Exemplo
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Curvas de Superfície de Nível
Se f é uma função de três variáveis x, y, z então, por definição, as superfícies de nível de f são os gráficos de f(x, y, z) = k, para diferentes valores de k.
Superfícies de nível tal que .
Em aplicações, por exemplo, se f(x, y, z) é a temperatura no ponto (x, y, z) então as superfícies de nível são chamadas superfícies isotermas. Se f(x, y, z) representa potencial elas são chamadas superfícies equipotenciais.
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Curvas de Superfície de Nível
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Exemplo
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Exemplo
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Exemplo
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Curvas de Superfície de Nível
A superfície
É o gráfico de f.
Uma curva de nível típica no domínio da função
Parabolóide
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A curva de contorno f(x,y) = 100 – x2 + y2 = 75 é a circunferência x2 + y2 = 25 no plano z = 75.
A curva de nível f(x,y) = 100 – x2 + y2 = 75 é a circunferência x2 + y2 = 25 no plano xy.
Plano z = 75
Curvas de Nível X Curvas de Contorno
Traço: é a curva definida pelo encontro da superfícief(x,y) com os planos xy, xz e yz.
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Curvas de Nível
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Curvas de Nível
Decréscimo mais rápido de f
A curva
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Exercícios
1) Seja f(x, y) uma função com domínio dado por f(x, y) = 9 - x2 - y2 e D = {(x, y)/ x2 + y2 9}. Esboçar o gráfico da função. Determine s curvas de nível par z = 4, z = 6 e z = 8.
2) Para as mesmas cotas anteriores, determinar as curvas de nível da função z = xy.
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