ENSINO de a COM Materiais Reciclados-labmat

PS-GRADUAO EM ENSINO DA MATEMTICA

ENSINO DE MATEMTICA COM MATERIAIS DIDTICOS ALTERNATIVOS

DOCENTE:

JOS HELDER DE MESQUITA FILHO

Fortaleza-Cear 2008

ACCESSU EDUCAO SUPERIORFACULDADE ATENEUCOORDENADOR GERAL: PROF. JOS WILLIAM FORTE COORDENADORAS PEDAGGICAS: PROF. LUCIDALVA BACELAR/PROF. SOLANGE MESQUITA

CURSO DE PS-GRADUAO

DISCIPLINA:

ENSINO DE MATEMTICA COM MATERIAIS DIDTICOS ALTERNATIVOS

DOCENTE:

JOS HELDER DE MESQUITA FILHO

Fortaleza-Cear 2008

SumrioA. B. C. Objetivo do mdulo ........................................................................................... 7 Ementa do mdulo ............................................................................................. 7 Carga horria...................................................................................................... 7

1. LABORATRIO DE ENSINO DE MATEMTICA E MATERIAIS DIDTICOS MANIPULVEIS ................................................................................... 8 1.1. 1.2. 1.2.1. 1.2.2. 1.2.3. 1.3. 1.3.1. 1.3.2. 1.3.3. 1.3.4. 1.3.5. 1.4. 1.5. Introduo .......................................................................................................... 8 O Laboratrio de Ensino de Matemtica (LEM) ............................................... 9 Algumas concepes de LEM ........................................................................ 9 A construo do LEM .................................................................................. 10 Objees ao uso do LEM ............................................................................. 12 Material didtico (MD) .................................................................................... 16 MD manipulvel ........................................................................................... 16 MD e o processo de ensino-aprendizagem ................................................... 18 O professor e o uso do MD .......................................................................... 19 Potencialidades do MD ................................................................................ 21 Obstculos ao uso do MD ............................................................................ 25 Para auxiliar a reflexo sobre MD e LEM ....................................................... 25 Referncias bibliogrficas do texto.................................................................. 26

2. DESENVOLVIMENTO E USO DE MATERIAIS DIDTICOS NO ENSINO DE MATEMTICA ..................................................................................... 27 Referncias bibliogrficas do texto ............................................................................ 36 3. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 4. 4.1. 4.2. 4.3. OFICINA DE GEOMETRIA COM CANUDOS ........................................... 37 Construindo um Dodecaedro com Canudos .................................................... 38 Lista de materiais ............................................................................................. 39 Atividade 1: Construo de um tetraedro regular ............................................ 40 Atividade 2: Construo de um octaedro regular ............................................ 41 Atividade 3: Construo de um icosaedro regular ........................................... 42 Atividade 4: Construo de um cubo e de suas diagonais ............................... 42 APROXIMAO TERICA REALIDADE DO JOGO .......................... 44 Introduo ........................................................................................................ 44 Sobre a etimologia do termo jogo .................................................................... 45 Sobre o conceito de jogo .................................................................................. 49Ensino de Matemtica com Utilizao de Materiais Didticos Alternativos Prof. Helder Filho - [email protected] 5

4.4. 4.5. 4.6. 4.7.

Sobre a definio do jogo ................................................................................ 51 Origem do jogo ................................................................................................ 55 Caractersticas do jogo ..................................................................................... 57 Concluses ....................................................................................................... 58

5. JOGOS DIDTICOS: SEU USO E IMPORTNCIA NA APRENDIZAGEM ....................................................................................................... 60 5.1. 5.2. 5.3. 6. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8. Introduo ........................................................................................................ 60 Motivao ........................................................................................................ 60 O Jogo Didtico ............................................................................................... 61 COMO MINISTRAR CONTEDOS COM UM JOGO DE PALAVRAS . 64 Introduo ........................................................................................................ 64 Como ministrar contedos com o autdromo? ................................................ 65 Como ministrar contedos com o jogo do telefone? ....................................... 67 Como ministrar contedos com o cochicho? ................................................... 68 Como ministrar contedos com o arquiplago? .............................................. 69 Como ministrar contedos com o hiper-arquiplago? ..................................... 70 Como ministrar contedos com o torneio? ...................................................... 71 Como transformar pontos ganhos pelas equipes em notas? ............................ 72

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A.

Objetivo do mdulo

O mdulo se insere em uma perspectiva terica que prope discutir a metodologia do ensino da matemtica, diante das novas necessidades de mudanas no paradigma de ensinar e aprender, no contexto social e tecnolgico. Tambm, como forma de incitar questionamentos e ampliar as possibilidades de reflexo e ao dos professores sobre as prprias vivncias de sala de aula.

B.

Ementa do mdulo

1. O papel do professor de Matemtica na formao do pensamento cientfico. 2. A influncia da concepo desse papel na prtica pedaggica. 3. Anlise de temas do ensino da matemtica, como: dificuldades bsicas, materiais didticos convencionais, materiais didticos alternativos, etc. 4. Aplicar materiais didticos manipulveis e alternativos atravs da utilizao de experimentos em aulas tericas e prticas. 5. Despertar o interesse pela matemtica experimental como mtodo de ensino. 6. Possibilitar aos alunos docentes contato com novas abordagens do contedo matemtico e ampliar o repertrio de estratgias do professor.

C.

Carga horria

12 horas-aula


1.1.1.

LABORATRIO DE ENSINO DE MATEMTICA E MATERIAIS DIDTICOS MANIPULVEIS1Introduo

Srgio Lorenzato

2

Muitos foram os educadores famosos que, nos ltimos sculos, ressaltaram a importncia do apoio visual ou do visual-ttil como facilitador para a aprendizagem. Assim, por exemplo, por volta de 1650, Comenius escreveu que o ensino deveria dar-se do concreto ao abstrato, justificando que o conhecimento comea pelos sentidos e que s se aprende fazendo. Locke, em 1680, dizia da necessidade da experincia sensvel para alcanar o conhecimento. Cerca de cem anos depois, Rousseau recomendou a experincia direta sobre os objetos, visando aprendizagem. Pestalozzi e Froebel, por volta de 1800, tambm reconheceram que o ensino deveria comear pelo concreto; na mesma poca, Herbart defendeu que a aprendizagem comea pelo campo sensorial. Pelos idos de 1900, Dewey confirmava o pensamento de Comenius, ressaltando a importncia da experincia direta como fator bsico para construo do conhecimento, e Poincar recomendava o uso de imagens vivas para clarear verdades matemticas. Mais recentemente, Montessori legou-nos inmeros exemplos de materiais didticos e atividades de ensino que valorizam a aprendizagem atravs dos sentidos, especialmente do ttil, enquanto Piaget deixou claro que o conhecimento se d pela ao refletida sobre o objeto; Vygotsky, na Rssia, e Bruner, nos Estados Unidos, concordaram que as experincias no mundo real constituem o caminho para a criana construir seu raciocnio. Enfim, cada educador, a seu modo, reconheceu que a ao do indivduo sobre o objeto bsica para a aprendizagem. Em termos de sala de aula, durante a ao pedaggica, esse reconhecimento evidencia o fundamental papel que o material didtico pode desempenhar na aprendizagem. Nessa lista de pensadores e educadores podem constar, por justia, nomes como o de Claparde (defensor da incluso de brincadeiras e jogos na escola) e o de Freinet (que recomendava o uso de cantinhos temticos na sala de aula), que valorizavam a ativida-de como fator bsico para a aprendizagem. Essa lista de nomes de expoentes da educao que reconheceram a eficcia do material didtico na aprendizagem poderia ser muito maior, mesmo se restrita ao ensino da matemtica, se lembrarmos das contribuies de Willy Servais, Caleb Gattegno, Emma Castelnuovo, Pedro Puig Adam, Tamas Varga, Georges Cuisenaire, Jean-Louis Nicolet, Luigi Campedelli e Zoltan P. Dienes, entre muitos outros. No Brasil, Jlio Csar de Mello e Souza3 - isto , Malba Tahan - e Manoel Jairo Bezerra4, entre outros, muito contriburam para a divulgao do uso de material didtico como apoio s aulasIn O Laboratrio de Ensino de Matemtica na Formao de Professores. Srgio Lorenzato (org.) Campinas, SP: Autores Associados, 2006. (Coleo Formao de Professores). p. 3. 2 licenciado em matemtica pela UNESP (Rio Claro), mestre em educao pela UnB (Braslia), doutor em educao pela UNICAMP (Campinas) e ps-doutor em educao matemtica pela Universit Laval (Canad). Docente da Faculdade de Educao da UNICAMP. 3 J l i o Csar de Mello e Souza (1957), Tcnicas e procedimentos didticos no ensino da matemtica, Rio de Janeiro, Aurora. 4 Manoel Jairo Bezerra (1962), O material didtico no ensino da matemtica, Rio de Janeiro, Diretoria do Ensino Secundrio/ Campanha de Aperfeioamento e Difuso do Ensino Secundrio/ MEC. Ensino de Matemtica com Utilizao de Materiais Didticos Alternativos Prof. Helder Filho - [email protected] 81

de matemtica. Seria injusto faltar o registro a um excepcional matemtico que percebeu a influncia do ver e do fazer na aprendizagem: Arquimedes. Ele evidenciou isso quando escreveu a Eratstenes, mais ou menos no ano 250 a.C, dizendo: meu dever comunicar-te particularidades de certo mtodo que poders utilizar para descobrir, mediante a mecnica, determinadas verdades matemticas [...] as quais eu pude demonstrar, depois, pela Geometria (apud NICOLET, 1967). Desse modo, Arquimedes revelou o modo pelo qual fazia descobertas matemticas e confirmou a importncia das imagens e dos objetos no processo de construo de novos saberes. Nessa mesma linha de pensamento est um antigo provrbio chins, que diz: se ouo, esqueo; se vejo, lembro; se fao, compreendo, o que confirmado plenamente pela experincia de todos, especialmente daqueles que esto em sala de aula. Enfim, no faltam argumentos favorveis para que as escolas possuam objetos e imagens a serem utilizados nas aulas, como facilitadores da aprendizagem. Justamente por isso, decorre uma inescapvel necessidade de as escolas possurem laboratrios de ensino dotados de materiais didticos de diferentes tipos.

1.2.

O Laboratrio de Ensino de Matemtica (LEM)

Nossa sociedade pressupe e, at mesmo, exige que muitos profissionais tenham seus locais apropriados para desempenharem o trabalho. assim para o dentista, cozinheiro, mdico-cirurgio, veterinrio, cabeleireiro, porteiro, ator, entre muitos outros. E por que local apropriado para trabalhar? Porque o bom desempenho de iodo profissional depende tambm dos ambientes e dos instrumentos disponveis. Em muitas profisses, a prtica difere pouco do planejamento; no o caso do magistrio, devido criatividade dos alunos, que torna o LEM simplesmente indispensvel escola. Assim como nossas casas se compem de partes essenciais, cada uma com uma funo especfica, nossas escolas tambm devem ter seus componentes, e um deles deve ser o Laboratrio de Ensino de Matemtica (LEM). No entanto, algum poderia lembrar-se de que foi, e ainda possvel, ensinar assuntos abstratos para alunos sentados em carteiras enfileiradas e com o professor dispondo apenas do quadro-negro. Afinal, muitos de ns aprendemos (e ensinamos?) a fazer contas desse modo. Porm, para aqueles que possuem uma viso atualizada de educao matemtica, o laboratrio de ensino uma grata alternativa metodolgica porque, mais do que nunca, o ensino da matemtica se apresenta com necessidades especiais e o LEM pode e deve prover a escola para atender essas necessidades.

1.2.1. Algumas concepes de LEMMas o que um LEM? Existem diferentes concepes de LEM. Inicialmente ele poderia ser um local para guardar materiais essenciais, tornando-os acessveis para as aulas; neste caso, um depsito/arquivo de instrumentos, tais como: livros, materiais manipulveis, transparncias, filmes, entre outros, inclusive matrias-primas e instrumentos para confeccionar materiais didticos. Ampliando essa concepo de LEM, ele um local da escola reservado preferencialmente no s para aulas regulares de matemtica, mas tambm para tirar dvidas de alunos; para os professores de matemtica planejarem suas atividades, sejam elas aulas, exposies, olimpadas, avaliaes, entre outras, discutirem seus projetos, tendncias e inovaes; um local para criao e desenvolvimento de atividades experimentais, inclusive de produo de materiais instru-cionais que possam facilitar o aprimoramento da prtica pedaggica. Facilitando a realizao de experimentos e a prtica do ensino-aprendizagem daEnsino de Matemtica com Utilizao de Materiais Didticos Alternativos Prof. Helder Filho - [email protected] 9

matemtica, o LEM deve ser o centro da vida matemtica da escola; mais que um depsito de materiais, sala de aula, biblioteca ou museu de matemtica, o LEM o lugar da escola onde os professores esto empenhados em tornar a matemtica mais compreensvel aos alunos. O LEM pode ser um espao especialmente dedicado criao de situaes pedaggicas desafiadoras e para auxiliar no equacionamento de situaes previstas pelo professor em seu planejamento mas imprevistas na prtica, devido aos questionamentos dos alunos durante as aulas. Nesse caso, o professor pode precisar de diferentes materiais com fcil acesso. Enfim, o LEM, nessa concepo, uma sala-ambiente para estruturar, organizar, planejar e fazer acontecer o pensar matemtico, um espao para facilitar, tanto ao aluno como ao professor, questionar, conjecturar, procurar, experimentar, analisar e concluir, enfim, aprender e principalmente aprender a aprender. Para muitos professores, todas as salas de aula e todas as suas aulas devem ser um laboratrio onde se do as aprendizagens da matemtica. Essa uma utopia que enfraquece a concepo possvel e realizvel do LEM, porque ela pode induzir professores a no tentarem construir o LEM num certo local da escola em que trabalham, seja este numa sala, num canto ou num armrio. O LEM, mesmo em condies desfavorveis, pode tornar o trabalho altamente gratificante para o professor e a aprendizagem compreensiva e agradvel para o aluno, se o professor possuir conhecimento, crena e engenhosidade. Conhecimento porque, tendo em vista que ningum ensina o que no sabe, preciso conhecer matemtica mas tambm metodologia de ensino e psicologia, enfim, possuir uma boa formao matemtica e pedaggica; crena porque, como tudo na vida, preciso acreditar naquilo que se deseja fazer, transformar ou construir; e engenhosidade porque, muito frequentemente, exigida do professor uma boa dose de criatividade, no s para conceber, planejar, montar e implementar o seu LEM, como tambm para orientar seus alunos e transform-los em estudantes e, de preferncia, em aprendizes tambm. Assim, por exemplo, diante dos poliedros de Plato, convm que surjam questionamentos pelos alunos ou pelo professor, tais como: Por que assim so denominados? Quem foi Plato? Quais foram suas contribuies para a matemtica? Por que os poliedros de Plato so somente cinco, isto , quais so suas caractersticas? Quais so os outros tipos de poliedros? Onde os poliedros esto presentes? Uma lista de indagaes, tal como essa, poderia ser afixada no LEM para que o professor e os alunos se ponham procura das respostas ao longo dos dias seguintes para, ento, darem retorno de suas descobertas. Note que aprender a procurar, e mesmo a encontrar respostas, mais importante para a formao do indivduo do que as respostas s indagaes. Note, tambm, que, mesmo dispondo de um LEM, o professor pode simplesmente mostrar aos alunos os cinco poliedros, dando o nome e a definio de cada um. Assim, temos dois modos diferentes de utilizar um mesmo LEM... e provavelmente dois professores com concepes bem diferentes de educao e de LEM.

1.2.2. A construo do LEM difcil para o professor construir sozinho o LEM e, mais ainda, mant-lo. Convm que o LEM seja consequncia de uma aspirao grupai, de uma conquista de professores, administradores e de alunos. Essa participao de diferentes segmentos da escola pode garantir ao LEM uma diferenciada constituio, por meio das possveis eEnsino de Matemtica com Utilizao de Materiais Didticos Alternativos Prof. Helder Filho - [email protected] 10

indispensveis contribuies dos professores de histria, geografia, educao artstica, educao fsica, portugus, cincias, entre outros. A contribuio dos alunos para a construo da LEM muito Importante para o processo educacional deles, pois fazendo que se aprende. Orientados pelo professor responsvel pelo LEM, os alunos, distribudos em grupos, podem solicitar, dos professores das reas mencionadas, exemplos de interseo dessas reas com a matemtica. Certamente, a coleta ser quantitativamente maior do que esperavam, principalmente se contarem com o apoio bibliogrfico ou computacional; em seguida, ser necessrio preparar o material para apresentao do que foi coletado. Assim, o LEM ir constituindo-se de acordo com as condies locais e at mesmo tornar possvel uma exposio escolar dos trabalhos produzidos pelos alunos. Mas, para que tudo acontea, preciso que a escola possua professores que acreditem no LEM, que reconheam a necessidade de a escola possuir seu LEM, que se empenhem na construo dele e que considerem as possibilidades da escola. A respeito da construo do LEM, tambm fundamental considerar a quem ele se destina; se o LEM se destina para crianas de educao infantil, os materiais devem estar fortemente centrados para apoiar o desenvolvimento delas no que se refere aos processos mentais bsicos - correspondncia, comparao, classificao, se-qiienciao, seriao, incluso e conservao -, os quais so essenciais para a formao do conceito de nmero; alm desses materiais, o LEM deve possuir aqueles que podero favorecer a percepo espacial (formas, tamanhos, posies, por exemplo) e a noo de distncia, para a construo do conceito de medida. Se o LEM se destina s quatro primeiras sries do ensino fundamental, o apelo ao ttil e visual ainda deve manter-se forte, mas os materiais devem visar mais diretamente ampliao de conceitos, descoberta de propriedades, percepo da necessidade do emprego de termos ou smbolos, compreenso de algoritmos, enfim, aos objetivos matemticos. Essa caracterstica deve continuar presente no LEM para as sries seguintes do ensino fundamental, mas agora tambm devem compor o LEM aqueles materiais que desafiam o raciocnio lgico-dedutivo (paradoxos, iluses de tica) nos campos aritmtico, geomtrico, algbrico, trigonomtrico, estatstico. Ao LEM do ensino mdio, podem ser acrescidos artigos de jornais ou revistas, problemas de aplicao da matemtica, questes de vestibulares, desafios ao raciocnio topolgico ou combinatrio, entre outros. E tambm vrias questes ou situaesproblema referentes a temas j abordados no ensino fundamental, mas que agora demandam uma anlise e interpretao mais aprofundadas por parte dos alunos. E o que dizer do LEM para os cursos de formao de professores? Que ele , simplesmente, mais que necessrio para as instituies de ensino que oferecem tais cursos. inconcebvel que, em suas aulas, os professores desses cursos realcem a necessidade da autoconstruo do saber, a importncia dos mtodos ativos de aprendizagem, o significado dos sentidos para a aprendizagem, o respeito s diferenas individuais, mas, na prtica de ensino e no estgio supervisionado, os seus alunos no disponham de instrumentos para a realizao da prtica pedaggica. Se lembrarmos que mais importante do que ter acesso aos materiais saber utiliz-los corretamente, ento no h argumento que justifique a ausncia do LEM nas instituies responsveis pelaEnsino de Matemtica com Utilizao de Materiais Didticos Alternativos Prof. Helder Filho - [email protected] 11

formao de professores, pois nelas que os professores devem aprender a utilizar os materiais de ensino; inconcebvel um bom curso de formao de professores de matemtica sem LEM. Afinal, o material deve estar, sempre que necessrio, presente no estudo didatico-metodolgico de cada assunto do programa de metodologia ou didtica do ensino da matemtica, pois contedo e seu ensino devem ser planejados e ensinados de modo simultneo e integrado. Existem diversos tipos de LEM, em razo dos seus diferentes objetivos e concepes. Apesar dessa diversificao, a lista seguinte de sugestes de materiais didticos, instrumentos ou equipamentos pode ser a base para a constituio de muitos LEM, cada um adaptado ao contexto em que estiver inserido. De modo geral, o LEM pode constituir-se de colees de: Livros didticos; Livros paradidticos; Livros sobre temas matemticos; Artigos de jornais e revistas; Problemas interessantes; Questes de vestibulares; Registros de episdios da histria da matemtica; Iluses de tica, falcias, sofismas e paradoxos; Jogos; Quebra-cabeas; Figuras; Slidos; Modelos estticos ou dinmicos; Quadros murais ou psteres; Materiais didticos industrializados; Materiais didticos produzidos pelos alunos e professores; Instrumentos de medida; Transparncias, fitas, filmes, softwares; Calculadoras; Computadores; Materiais e instrumentos necessrios produo de materiais didticos. A construo de um LEM no objetivo para ser atingido a curto prazo; uma vez construdo, ele demanda constante complementao, a qual, por sua vez, exige que o professor se mantenha atualizado.

1.2.3. Objees ao uso do LEMNa prtica escolar, facilmente constatvel que muitos professores no conhecem o LEM, outros o rejeitam sem ter experimentado, e alguns o empregam mal. Apesar de o LEM ser uma excelente alternativa metodolgica, ele possui limitaes didticas, sofre prejulgamentos, e algumas crendices o perseguem. Vejamos algumas questes referentes a esses assuntos: 1. O LEM caro, exige materiais que a escola no d ao professor e rarssimas escolas possuem um LEM. Lecionar numa escola que no possui LEM uma tima oportunidade para constru-lo com a participao dos alunos, utilizando sucatas locais. Assim, o custo diminuto e todos, alunos e professor, conhecem a aplicabilidade dos materiais produzidos; dessaEnsino de Matemtica com Utilizao de Materiais Didticos Alternativos Prof. Helder Filho - [email protected] 12

forma, evita-se um fato comum nas escolas que recebem os materiais: muitos no so utilizados por desconhecimento de suas aplicaes. Afinal, mais importante do que receber pronto ou comprar o LEM o processo de construo dele. 2. O LEM exige do professor uma boa formao. nossa obrigao estar bem preparados para propiciar a aprendizagem da matemtica queles que nos so confiados. Alm disso, qual o mtodo de ensino que no exige do professor uma boa formao matemtica e didtico-pedaggica? Na verdade, com professor despreparado, nenhum mtodo produz aprendizagem significativa. 3. O LEM possibilita o uso pelo uso. Sim, como todo instrumento ou meio. Da a importncia dos saberes do professor, indispensveis para a utilizao tia quadra e dos equipamentos de esportes, da biblioteca, dos computadores, entre outros. O LEM possibilita o uso pelo uso dele como tambm o seu mau uso. Tudo depender do professor. Aqui cabe uma analogia: dize-me como usas o LEM e eu saberei que tipo de professor s. 4. O LEM no pode ser aplicado a todos os assuntos do programa. Realmente o LEM no uma panaceia para o ensino, no um caminho para todos os momentos da prtica pedaggica, mas seguramente pode disponibilizar uma diversificao de meios e uma excelente prontido ao uso deles como nenhuma outra alternativa oferece. 5. O LEM no pode ser usado em classes numerosas. Em educao, a quantidade e a qualidade geralmente se desenvolvem inversamente. Por isso, em turmas de at trinta alunos, possvel distribu-los em subgrupos, todos estudando um mesmo tema, utilizando-se de materiais idnticos, e com o professor dando atendimento a cada subgrupo. Para turmas maiores, infelizmente o fazer substitudo pelo ver, e o material individual manipulvel , inevitavelmente, substitudo pelo material de observao coleti-va, pois a manipulao realizada pelo professor, cabendo aos alunos apenas a observao. 6. O LEM exige do professor mais tempo para ensinar. Antes de considerar o tempo dispendido para que os alunos aprendam, preciso considerar a qualidade da aprendizagem, questionando: com o LEM o rendimento dos alunos melhora? Os alunos preferem aulas com ou sem o LEM? Por qu? Apesar de as respostas a essas questes de penderem do perfil profissional do professor, dos interesses dos alunos e dos objetivos da escola, provvel que o uso do LEM desperte nos alunos indagaes no previstas pelo professor e, nesse sentido, se eles forem atendidos, o ensino demandar mais tempo que o previsto. Em contrapartida, muitas vezes, o uso do LEM, por facilitar a aprendizagem, faz o professor ganhar tempo. 7. mais difcil lecionar utilizando o LEM. Essa frase insinua uma limitao do LEM. Se a dificuldade aqui se refere ao aumento de movimentao e de motivao dos alunos e de troca de informaes entre eles, causadas pelo LEM, podemos dizer que o LEM exige do professor uma conduta diferente da exigida pela aula tradicional; se a dificuldade for referente ao fato de que os alunos, influenciados pelo LEM, passam a fazer perguntas difceis ou fora do planejamento da aula, ento, realmente, usar o LEM pode ser mais difcil para parte dos professores. Em ambos os casos, no se trata de limitao prpria ao LEM, mas sim de situaes em que os alunos efetivamente trabalham mais do que quando apenas assistem explanao doEnsino de Matemtica com Utilizao de Materiais Didticos Alternativos Prof. Helder Filho - [email protected] 13

professor. Em outras palavras, o LEM pode ocasionar nos alunos uma mudana de comportamento. 8. O LEM pode induzir o aluno a aceitar como verdadeiras as propriedades matemticas que lhes foram propiciadas pelo material manipulvel ou grfico. Dependendo do nvel de desenvolvimento dos alunos, altamente desejvel que essa afirmao seja verdadeira, pois, at o aparecimento do raciocnio lgico-dedutivo por volta dos 13 ou 14 anos de idade, a aquisio do conhecimento apia-se fortemente no verbal (audio), no grfico (viso) e na manipulao (tato). Confiando plenamente naquilo que vem, pois praticam o verdade porque vi, vale porque tem a mesma medida, se vale para dois ou ires casos ento valer para todos, confundem constatao de natureza perceptual com demonstrao, e no sentem a necessidade de provas lgico-dedutivas porque tomam a percepo visual como prova. Quando os jovens adquirem o poder de deduo lgica, importante mostrar-lhes sofismas, falcias e paradoxos matemticos com o objetivo de eles perceberem que concluses baseadas apenas na intuio ou naquilo que se v podem contrapor-se ao que o raciocnio lgico-dedutivo aponta como verdadeiro. Raciocnio dedutivo ser fundamental para todos os estudos posteriores: ele vai logicamente permitir-nos, de agora em diante, separar aquilo que parece ser verdadeiro daquilo que essencialmente verdadeiro. Mas onde encontrar uma coleo de sofismas, falcias e paradoxos? No LEM. Seguem-se alguns exemplos: a) Se 2 - 2 = 3 - 3, ento 2 (1 - 1) = 3 (1 - 1) e cancelando o fator (1 - 1) comum aos dois termos, resulta 2 = 3. Qual seria a causa desse desfecho absurdo? b) Veja as figuras 1 e 2. Monte um quadrado de 8cm por 8cm. Divida-o em dois trapzios e dois tringulos, conforme mostra a figura 1, cuja rea 64cm2. Agora, com as mesmas quatro partes obtidas do quadrado, monte um retngulo, conforme mostra a figura 2, cuja rea 65cm2. Assim, voc acabou de descobrir que 64 = 65.

c) Veja a figura 3. A medida da semicircunferncia de raio igual a 1 n ou 2? Sabendo que o comprimento da circunferncia dado por C = 2nr, temos que o comprimento da semicircunferncia da figura 7ir e, se o raio vale 1, ento o comprimento pedido mede 7r. Simples, no ? No entanto, observemos as figuras 4 e 5, em cuja construo cada curva gera duas outras menores e o dimetro de cada curva maior igual ao dobro do da menor. Continuando indefinidamente este processo (figura 6), a curva limite se constituir de crculos infinitamente pequeEnsino de Matemtica com Utilizao de Materiais Didticos Alternativos Prof. Helder Filho - [email protected] 14

nos, quando ento ela se confundir com o segmeto AE, cuja medida 2, porque vale o dobro do raio que mede 1. Afinal, o arco mede n ou 2?

d) Observe a figura 7, em que esto representadas duas rodas A e B, de tamanhos diferentes e firmemente unidas entre si; elas rolam ao mesmo tempo sobre dois trilhos C e D colocados em nveis diferentes. As rodas partem da posio 1 e rolam at a posio 2, conforme mostra a figura 8, sem deslizarem, percorrendo uma distncia igual ao comprimento da roda maior. Nessas condies, quando a roda maior completar uma volta a menor tambm completar uma volta porque uma est fixa na outra, percorrendo, assim, a mesma distncia que vai do ponto 1 ao 2. Mas como explicar que as medidas das circunferncias so iguais se as rodas so de diferentes tamanhos? e) Veja a figura 9. As retas r e 5 so paralelas? Elas se parecem paralelas? Se, por um lado, importante o professor propor situaes que realcem o perigo de se acreditar em concluses baseadas apenas no que foi percebido pelos sentidos, por outro lado, no menos desastroso ser conduzir os alunos total descrena em tudo que a observao e a intuio nos revelamEnsino de Matemtica com Utilizao de Materiais Didticos Alternativos Prof. Helder Filho - [email protected] 15

ou sugerem. Estas so um bom comeo para investigar e para aprender.

1.3.

Material didtico (MD)

Material didtico (MD) qualquer instrumento til ao processo de ensinoaprendizagem. Portanto, MD pode ser um giz, uma calculadora, um filme, um livro, um quebra-cabea, um jogo, uma embalagem, uma transparncia, entre outros. Apesar dessa enorme gama de possibilidades, todos os MD constituem apenas um dos inmeros fatores que interferem no rendimento escolar do aluno. Os MD podem desempenhar vrias funes, conforme o objetivo a que se prestam, e, por isso, o professor deve perguntar-se para que ele deseja utilizar o MD: para apresentar um assunto, para motivar os alunos, para auxiliar a memorizao de resultados, para facilitar a redescoberta pelos alunos? So as respostas a essas perguntas que facilitaro a escolha do MD mais conveniente aula. Por melhor que seja, o MD nunca ultrapassa a categoria de meio auxiliar de ensino, de alternativa metodolgica disposio do professor e do aluno, e, como tal, o MD no garantia de um bom ensino, nem de uma aprendizagem significativa e no substitui o professor. Devido impossibilidade de abordar a utilizao didtica dos distintos tipos de MD que podem compor um LEM, aqui vamos referir-nos apenas ao MD manipulvel concreto.

1.3.1. MD manipulvelExistem vrios tipos de MD. Alguns no possibilitam modificaes em suas formas; o caso dos slidos geomtricos construdos em madeira ou cartolina, por exemplo, que, por serem estticos, permitem s a observao. Outros j permitem uma maior participao do aluno: o caso do baco, do material montessoriano (cuisenaire ou dourado), dos jogos de tabuleiro. Existem, ainda, aqueles dinmicos, que, permitindo transformaes por continuidade, facilitam ao aluno a realizao de redescobertas, a percepo de propriedades e a construo de uma efetiva aprendizagem. o caso da estrela (ver figura 10) construda

com 18 palitos ou cotonetes iguais e unidos por borrachas (pedaos de garrote simples nos pontos mpares e transpassados nos pontos pares); ela pode ser dobrada de vrias maneiras e, assim, pode facilitar o estudo de simetria, rotao, reflexo, tringulo,Ensino de Matemtica com Utilizao de Materiais Didticos Alternativos Prof. Helder Filho - [email protected] 16

hexgono, tetraedro, hexaedro, isomeria tica, entre outros assuntos. Seguem algumas das formas possveis: a) Ponha os vrtices mpares no centro da estrela (figura 11) b) Coloque 1 e 7 no centro da estrela (figura 12) c) Superponha 1 ao 7 (figura 13) d) Coloque 1, 5, 7 e 11 no centro da estrela (figura 14)

Utilizando-se de questes tais como as seguintes, ser possvel estimular os alunos para operaes alm das simplesmente manipulativas: Que figura plana pode ser construda colocando-se o 4 junto ao 10? Quantas diferentes figuras planas podem ser construdas? Qual delas tem o maior permetro? E a maior rea? Qual a relao entre a rea da figura estrelada inicial e da figura hexagonal em a? possvel formar um tetraedro (espacial)? Qual a rea total do hexaedro? Qual a diferena entre a representao de uma figura e a sua imagem mental? Convm termos sempre em mente que a realizao em si de atividades manipulativas ou visuais no garante a aprendizagem. Para que esta efetivamente acontea, faz-se necessria tambm a atividade mental, por parte do aluno. E o MD pode ser um excelente catalisador para o aluno construir seu saber matemtico. Neste tipo de saber, os lados no possuem largura nem espessura, s comprimento. Largura e espessura so necessrias representao, seja por imagem, seja por material concreto. Um outro exemplo de MD aquele que se refere ao Teorema de Pitgoras: ele compe-se de um tringulo retngulo com quadrados construdos sobre os respectivos lados do tringulo. Este material esttico pode transformar-se em dinmico, interessante, desafiador e inspirador, se for construdo em acrlico: so duas placas idnticas (no formato do esttico), coladas uma sobre a outra, de modo que elas possam reter algum material moldvel, como leo, Agua ou areia. Fazendo um furo de A a B e de C a D, como mostra a figura seguinte, quando o MD for mudado da posio 1 (figura 15) para a posio 2 (figura 16), o lquido (ou areia) interno se transferir dos doisEnsino de Matemtica com Utilizao de Materiais Didticos Alternativos Prof. Helder Filho - [email protected] 17

quadrados menores para o quadrado maior, sugerindo a existncia de uma equivalncia entre os quadrados. Qual ser o tipo de MD que os alunos iro preferir: o esttico ou o dinmico?

1.3.2. MD e o processo de ensino-aprendizagemA utilizao do MD est sempre intimamente relacionada com um processo de ensino que possui uma caracterstica aparentemente paradoxal. Vejamos por qu. muito difcil, ou provavelmente impossvel, para qualquer ser humano caracterizar espelho, telefone, bicicleta ou escada rolante sem ter visto, tocado ou utilizado esses objetos. Para as pessoas que j conceituaram esses objetos, quando ouvem o nome do objeto, flui em suas mentes a ideia correspondente ao objeto, sem precisarem dos apoios iniciais que tiveram dos atributos tamanho, cor, movimento, forma e peso. Os conceitos evoluem com o processo de abstrao; a abstrao ocorre pela separao mental das propriedades inerentes a objetos (DAVIDOV, 1982, p. 332). Esse processo comea com o apoio dos nossos sentidos e, assim, ele aparentemente paradoxal porque, pan se chegar no abstrato, preciso partir do concreto. O abstrato, segundo Kopnin (1978, p. 54), o isolamento de alguma propriedade sensorialmente acessvel do objeto. Faz-se necessrio partir do concreto. O concreto pode ter duas interpretaes: uma delas refere-se ao palpvel, manipulvel, e outra, mais ampla, inclui tambm as imagens grficas; ainda sobre o concreto, s vezes, o real tem sido confundido com o concreto. Essa trajetria semelhante que se deve fazer para conseguir o rigor matemtico: para consegui-lo, com seus vocbulos, expresses, smbolos e raciocnios, preciso comear pelo conhecimento dos alunos, que um ponto distante e oposto ao rigor matemtico, porque emprico e baseado no concreto. O avio retrata bem essa caracterstica aparentemente contraditria do processo educacional: ele feito para voar, mas, para voar, precisa partir do cho. Tal caracterstica poderia ser considerada de somenos importncia se no conduzisse alguns profissionais falsa concluso de que o uso do MD retarda o desenvolvimento intelectual do aluno. No seria a ausncia do MD a causa de possveis retardamentos?Ensino de Matemtica com Utilizao de Materiais Didticos Alternativos Prof. Helder Filho - [email protected] 18

Uma das pesquisas5 que comprovaram a eficincia do ensino com MD foi realizada em Braslia, com cerca de 180 crianas cursando a 5 srie, com idades variando entre 11 e 12 anos e com semelhantes condies de conhecimento matemtico, conforme resultado de pr-teste. Essas crianas pertenciam a distintas escolas e a diferentes nveis socioeconmicos, e 70% delas consideravam a matemtica uma disciplina difcil para aprender; em cada escola, um mesmo professor lecionou para duas turmas, numa utilizando MD, na outra, no. Os resultados revelam que o grupo que foi ensinado com MD reagiu de for-ma muito mais positiva, tanto diante de questes fceis como de mdias e de difceis, do que o grupo que foi ensinado sem MD.

1.3.3. O professor e o uso do MDA atuao do professor determinante para o sucesso ou fracasso escolar. Para que os alunos aprendam significativamente, no basta que o professor disponha de um LEM. To importante quanto a escola possuir um LEM o professor saber utilizar corretamente os MDs, pois estes, como outros instrumentos, tais como o pincel, o revlver, a enxada, a bola, o automvel, o bisturi, o quadro-negro, o batom, o sino, exigem conhecimentos especficos de quem os utiliza. Assim, o professor de matemtica, ao planejar sua aula, precisa perguntar-se: ser conveniente, ou at mesmo necessrio, facilitar a aprendizagem com algum material didtico? Com qual? Em outras palavras, o professor est respondendo as questes: Por que material didtico?, Qual o material? e Quando utiliz-lo?. Em seguida, preciso perguntar-se: Como este material dever ser utilizado?. Esta ltima questo fundamental, embora no suficiente, para que possa ocorrer uma aprendizagem significativa. Tomemos, por exemplo, a representao de um tringulo qualquer, feita em cartolina ou em madeira: com ele, o professor pode mostrar aos alunos, justapondo os trs vrtices, que a soma dos trs ngulos d 180 graus. Note que essa atitude do professor, que se resume em apenas apresentar um resultado aos alunos, um mero reforo memorizao do enunciado matemtico que pode ser encontrado nos livros didticos. No entanto, as consequncias do uso do material podem ser mais abrangentes e positivas, se cada aluno desenhar um tringulo qualquer (equiltero, issceles, escaleno ou retngulo, grande ou pequeno, e em diferentes posies), recortar e dobrar sua figura e mostrar aos colegas suas observaes, descobertas ou concluses. Algumas destas podem ser: Quando juntados os trs ngulos, d meio crculo; D sempre 180 graus, em qualquer tipo de tringulo; Mas tem que dobrar os lados ao meio, se no, no junta os trs ngulos; O ponto onde se juntam os trs ngulos depende das medidas dos ngulos; O ponto onde se juntam os trs ngulos varia de tringulo para tringulo; O ponto onde se juntam os trs ngulos o p da altura do tringulo; Todo tringulo pode ser transformado em dois retngulos; A rea do tringulo o dobro da rea de cada retngulo; O permetro do tringulo maior do que o de cada retngulo.

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Srgio Lorenzato (1976), Subsdios metodolgicos para o ensino da matemtica:cculo de reas das figuras planas, Tese (Doutorado) - FE-UNICAMP, Campinas. Ensino de Matemtica com Utilizao de Materiais Didticos Alternativos Prof. Helder Filho - [email protected] 19

A diferena entre as duas maneiras distintas de utilizao de MD aqui apresentadas ressalta que a eficincia do MD depende mais do professor do que do prprio MD, e ainda mostra a importncia que a utilizao correta do MD tem no desenvolvimento cognitivo e afetivo do aluno. O modo de utilizar cada MD depende fortemente da concepo do professor a respeito da matemtica e da arte de ensinar. Um pro-fessor que concebe a matemtica como um conjunto de proposies dedutveis, auxiliadas por definies, cujos resultados so regras ou frmulas que servem para resolver exerccios em exames, avaliaes, roncursos, seguramente poderia, utilizando-se apenas do quadro-negro, mostrar ou provar aos alunos que a soma dos trs ngulos d ISO graus e, em seguida, dar alguns exerccios para auxiliar a memorizao dessa propriedade. Para muitos de ns, a matemtica foi ensinada assim e, por isso, no conseguimos admirar a beleza e harmonia dela, nem ver nela um essencial instrumento para cotidianamente lei colocado a nosso servio. Para o aluno, mais importante que co-nhecer essas verdades matemticas, obter a alegria da descoberta, a percepo da sua competncia, a melhoria da auto-imagem, a certeza de que vale a pena procurar solues e fazer constataes, a satisfa-lo do sucesso, e compreender que a matemtica, longe de ser um bicho-papo, um campo de saber onde ele, aluno, pode navegar. Com referncia manipulao propriamente dita do MD pelos alunos, convm lembrar que, num primeiro momento, o MD pode gerar alguma estranheza ou dificuldade e propiciar noes superficiais, ideias incompletas e percepes vagas ou errneas; por isso, quando o MD for novidade aos alunos, a eles deve ser dado um tempo para que realizem uma livre explorao. Todas as pessoas passam por essa primeira etapa em que, atravs da observao, conhecem o superficial do MD, tal como suas partes e cores, tipos de peas e possibilidade de dobra ou decomposio. So esses banais conhecimentos que possibilitaro, com ou sem o auxlio do professor, a procura e a descoberta de novos conhecimentos. Para ilustrar, tomemos o MD representado pela figura 17, feito em papelo, onde os pontos A a B so fixos e P mvel; os trs pontos A, B, P so unidos por um fio; para representar vrios tringulos, o P deve deslocar-se pelo corte no papelo, entre C e D. Os tringulos so diferentes quanto s formas, mas todos tm a mesma medida de base. E o que acontece com as medidas das alturas, se AB for paralelo a CD? O que se pode dizer das reas desses diferentes tringulos? E de seus permetros?


Diante desse MD, provvel que os alunos se deparem inicialmente observando e testando o possvel movimento do fio e percebendo o paralelismo entre AB e CD. Feito isso, as questes anteriores se tornaro fceis aos alunos, se souberem os conceitos de permetro e de rea. Aqui, importante que seja realizada entre os alunos a verbalizao dos pensamentos, isto , a comunicao das ideias, raciocnios, aes e concluses deles. Ser nesse momento que o professor poder avaliar como e o que os alunos aprenderam; alm disso, a socializao das estratgias, processos, erros e concluses, entre os alunos, no menos importante para a formao deles. Aps a verbalizao, recomendvel que cada aluno tente registrar em seu caderno, conforme suas possibilidades, as novas conquistas decorrentes das atividades, concretas e abstraas, por eles realizadas.

1.3.4. Potencialidades do MDTodo MD tem um poder de influncia varivel sobre os alunos, porque esse poder depende do estado de cada aluno e, tambm, elo modo como o MD empregado pelo professor. Assim, por exemplo, para um mesmo MD, h uma diferena pedaggica entre a aula em que o professor apresenta oralmente o assunto, ilustrando-o com um MD, e a aula em que os alunos manuseiam esse MD. O MD o mesmo, mas os resultados do segundo tipo de aula sero mais benficos formao dos alunos porque, de posse do MD, as observaes e reflexes deles sero mais profcuas, uma vez que podero, em ritmos prprios, realizar suas descobertas e, mais facilmente, memorizar os resultados obtidos durante suas atividades. Existem tambm diferenas de potencialidade entre o MD manipulvel e sua representao grfica, porque, apesar de todas as contribuies da perspectiva, ela no retrata as reais dimenses e posies dos lados e faces dos objetos, uma vez que ela camufla o perpendicularismo e o paralelismo laterais, como mostra a figura 18. Talvez a melhor das potencialidades do MD seja revelada no momento de construo do MD pelos prprios alunos, pois durante esta que surgem imprevistos e desafios, os quais conduzem os alunos a fazer conjecturas e a descobrir caminhos e solues. Vejamos, ento, algumas potencialidades mais especficas dos MD. Raios X Analise o seguinte dilogo, frequente em nossas salas de aula, at mesmo em cursos de aperfeioamento para experientes professores de ensino fundamental. Aos alunos dado um MD (figura 19) formado por quatro palitos de mesmo comprimento, representando um losango, flexvel nos pontos 1, 2, 3 e 4. Professor - Procurem transformar esta figura em outras e digam o que observaram. Alunos - Um segmento; um tringulo; outros losangos; quando o ngulo 1 aumenta, o ngulo 2 diminui; os ngulos opostos so iguais, outros paralelogramos, um quadrado.Ensino de Matemtica com Utilizao de Materiais Didticos Alternativos Prof. Helder Filho - [email protected] 21

Professor - A sequncia de movimentos que transformou losango em quadrado destruiu alguma caracterstica (propriedade) dos losangos? Alunos - No, os lados continuaram iguais. Professor - Ento, o quadrado losango? Alunos - No, losango losango, quadrado quadrado. Note que: a) Esta ltima resposta indica que esses alunos esto no primeiro nvel da proposta de Van Hiele6. b) Nesse exemplo, o MD possibilitou ao professor constatar conceitos que precisam ser revistos ou ampliados. c) O MD foi para o professor o mesmo que o aparelho de raios X para o mdico ou dentista. Complicador Se o MD pode ser para o aluno um facilitador, para o professor, s vezes, ele pode ser um complicador. Em outras palavras, muito mais fcil dar aula sem MD, mas tambm mais difcil aprender sem o MD. O uso do MD planejado para atingir um determinado objetivo, frequentemente, possibilita ao aluno a realizao de observaes, constataes, descobertas e at mesmo o levantamen-to de hipteses e a elaborao e testagem de estratgias que, s vezes, no estavam previstas no planejamento nem eram do conhecimento do professor. No entanto, preciso reconhecer que essa dificuldade vem no intuito de melhorar a qualidade do processo de rnsino-aprendizagem. Um exemplo disso (figura 20) o que pode acontecer quando se d ao aluno um tringulo (dobrvel pelos pontos mdios dos lados), esperando que ele redescubra que a soma dos trs ngulos 180 graus (figura 21), como foi sugerido em 3.3:

Quando se pergunta aos alunos o que eles observaram na transformao anterior, frequentemente dizem que o tringulo se transformou em dois retngulos, o que uma verdade geralmente inesperada por alguns professores e que no consta nos livros didticos; ou, ento, os alunos dizem que no tringulo sempre cabem seis tringulos, referindo-se propriedade todo tringulo pode ser decomposto em seis tringulos menores congruentes dois a dois. Outra observao dos alunos que pode surpreender alguns professores a de que a rea do retngulo (figura 21) a metade da rea do tringulo inicial (figura 20). Tal constatao vlida, mas, tambm, contraditria para6

Van Hiele prope que o desenvolvimento do pensamento geomtrico pode se dar em cinco nveis. Ensino de Matemtica com Utilizao de Materiais Didticos Alternativos Prof. Helder Filho - [email protected] 22

quem se lembrar das frmulas para clculo da rea de retngulo e de tringulo. Como se explica essa contradio? S para crianas A experincia tem mostrado que o MD facilita a aprendizagem, qualquer que seja o assunto, curso ou idade, o que conflita com a crendice de que MD s deve ser utilizado com crianas. Justificando essa crendice, alguns dizem que, como a abstrao essencial para a aprendizagem da matemtica, quanto mais o MD concreto for utilizado, mais retardado ser o processo de abstrao, de matematizao do aluno. Aqueles que assim pensam provavelmente ainda no fizeram a seguinte experincia: escolha pessoas adultas que no estudaram geometria espacial e diga a elas que todo prisma triangular pode ser decomposto em trs pirmides. Se elas no compreenderem a mensagem, e certamente no a compreendero, apresente o desenho da figura em questo; mesmo assim, diante da imagem, a maioria das pessoas no compreender o que est sendo dito e mostrado. No entanto, se a todas elas for dado um modelo tridimensional para manusear, imediatamente indicaro ter compreendido o significado da frase. Ento, por que utilizar MD s com crianas? Na verdade, o importante verificar se o assunto novidade para os alunos, e no a idade deles. Regulador O MD pode ser um eficiente regulador do ritmo de ensino para.i aula, uma vez que ele possibilita ao aluno aprender em seu prprio ritmo e no no pretendido pelo professor. Por isso, o emprego de MD pode atrasar o programa, e essa uma das crticas mais frequentes ao seu uso. Na verdade, a utilizao de MD pode inicialmente tornar o ensino mais lento, mas em seguida, devido compreenso adquirida pelo aluno, o ritmo aumentar e o tempo gasto no incio ser, de longe, recompensado em quantidade e principalmente em qualidade. Em outras palavras, uma questo de opo: valorizar mais o ensino ou a aprendizagem, dar o programa ou aprender com compreenso, lembrando que, se no h aprendizagem, no podemos considerar que houve ensino, e mais: o professor pode acelerar o ritmo das atividades dos alunos apresentando questes que os auxiliem em suas reflexes, fazendo acontecer a chamada descoberta dirigida. Portanto, possvel interferir no ritmo dos alunos. Modificador Pelo exemplo do prisma que foi decomposto em trs pirmides pode-se verificar que a utilizao do MD favorece a alterao de ordem de abordagem do contedo programtico, pois a dupla MD e imaginao infantil quase sempre abre um leque de possibilidades, muitas delas imprevistas. Se de um lado o processo se torna rico, por outro se torna mais difcil para ser conduzido dentro de uma viso fechada, diretiva e predeterminada. importante registrar que o MD nunca favorece o adiamento do assunto; ao contrrio, ele quase sem-pre propicia a antecipao da abordagem. Outro exemplo que ilus-n.i liem isso o seguinte: diante do tringulo cujos ngulos se juntam para mostrar que a soma 180 graus (assunto de 7a e 8a sries), crianas de 1a srie disseram que as trs pontas d meia roda. Longe de observar erro de portugus ou falta de rigor na linguagem matemtica, preciso exaltar que intuitivamente as crianas em fase escolar inicial j conseguem detectar a verdade matemtica e express-la em sua linguagem. E isso uma faanha, porque eles ainda no construram os conceitos de tringulo, ngulo, grau, adio, crculo e medida. Ser que isso significa que precisoEnsino de Matemtica com Utilizao de Materiais Didticos Alternativos Prof. Helder Filho - [email protected] 23

abrir mo do rigor para se conseguir o rigor? Ser que isso indica que a dosagem seriada deve merecer uma ateno maior do que a escola tem dado? Ou ser isso uma indicao de que o MD permite antecipar a abordagem de contedos programticos no currculo escolar? Outro tipo de alterao que quase sempre o uso de MD ocasiona se refere ao nvel de atividade dos alunos em sala de aula, pois, em decorrncia da motivao que ele gera nos alunos, estes falam e movimentam-se mais que de costume, o que para muitas pessoas pode significar baguna. Dosagem seriada A prtica pedaggica tem confirmado a necessidade e a convenincia da adoo do currculo em espiral, to recomendado por ilustres educadores; nele, ao longo das sries, os mesmos assuntos so retomados e, a cada vez, os conhecimentos so ampliados e aprofundados. Por exemplo, se pretendermos que alunos de 5a srie calculem reas de figuras planas sem usar frmulas (por equivalncia de reas), o processo pode comear na educao infantil atravs da montagem/desmontagem de figuras quaisquer; em seguida, na la/4a sries, devem vir jogos livres com figuras de diferentes formas e cores, explorando a equivalncia de suas reas (por transformao) para, ento, finalmente na 5a srie, serem calculadas as reas por meio de medidas. Um mesmo MD pode ser utilizado para um assunto, porm, em diferentes nveis de conhecimento. o caso do MD sobre o chamado Teorema de Pitgoras, apresentado no item 3.1: num primeiro momento, o objetivo era facilitar a percepo da existncia de uma equivalncia entre os quadrados; mais tarde, com o apoio de con-tagcm ou medida, os conhecimentos avanam para a constatao numrica (rea), a condicional (tringulo retngulo), depois para a demonstrao (prova) e finalmente para ampliaes do tipo: o teorema vale para outras formas ou somente para quadrados? A palavra quadrado no enunciado refere-se forma ou rea de figura? Em quais condies o teorema vale para trs dimenses (volume)? Quais aplicaes prticas so previsveis? Computador Uma outra crtica contra o uso de MD se baseia no argumento de que, com a chegada do computador, o MD se tornou obsoleto e desnecessrio. Primeiramente, preciso lembrar que infelizmente o computador no chegou grande maioria das escolas brasileiras; e isso mais srio do que parece, porque muitas escolas que j se equiparam com computadores no sabem bem o que fazer com eles. tudo indica que comprar o equipamento e conseguir o espao fsi-CO para ele o mais fcil: o mais difcil conseguir software (programa) adequado e principalmente professor preparado para elaborar, desenvolver e avaliar um processo de ensinar e aprender dilcrente dos que tivemos at hoje. Em segundo lugar, o MD manipulvel tem-se mostrado um eficiente recurso para muitos alunos que, no compreendendo a mensagem (visual) da tela do computador, recorrem ao MD (manipulvel) e ento prosseguem sem dificul-dades com o computador. Assim sendo, para muitos alunos, o MD desempenha a funo de um pr-requisito para que se d a aprendiam atravs do computador. Funciona sempre? Apesar de o MD geralmente despertar o interesse de quem aprende, ele pode no apresentar o sucesso esperado pelo professor. Como j vimos no item 3, para que se d uma significativa aprendizagem, faz-se necessrio que haja uma atividade mental, e no somente a manipulativa, por parte do aluno. Ao professor cabe acreditar no MD comoEnsino de Matemtica com Utilizao de Materiais Didticos Alternativos Prof. Helder Filho - [email protected] 24

um auxiliar do processo de ensino-aprendizagem, pois como muitas coisas na vida, ele s produz bons resultados para quem nele acredita. E mais: o MD necessita ser corretamente empregado, isto , preciso conhecer o porqu, o como e o quando coloc-lo em cena. Caso contrrio, o MD pode ser ineficaz ou at prejudicial aprendizagem. Efeitos colaterais Se for verdadeiro que ningum ama o que no conhece, ento fica explicado porque tantos alunos no gostam da matemtica, pois, se a eles no foi dado conhecer a matemtica, como podem vir a admir-la? No entanto, com o auxlio de MD, o professor pode, se empreg-lo corretamente, conseguir uma aprendizagem com compreenso, que tenha significado para o aluno, diminuindo, assim, o risco de serem criadas ou reforadas falsas crenas referentes matemtica, como a de ser ela uma disciplina s para poucos privilegiados, pronta, muito difcil, e outras semelhantes. Outra consequncia provvel se refere ao ambiente predominante durante as aulas de matemtica, onde o temor, a ansiedade ou a indiferena sero substitudos pela satisfao, pela alegria ou pelo prazer. Mas, talvez, o mais importante efeito ser o aumento da autoconfiana e a melhoria da auto-imagem do aluno.

1.3.5. Obstculos ao uso do MDDe modo geral, pode-se dizer que os obstculos ao uso do MD so de ordem extrnseca a ele, pois fcil constatar que a prpria poltica educacional emanada pelos governos federal, estaduais ou municipais geralmente no preconiza ou orienta os educadores ao uso do MD; que raras so as escolas de ensino fundamental ou mdio que possuem seu LEM; que poucas so as instituies responsveis pela formao de professores que ensinam seus alunos a usarem MD. Em decorrncia, muitos professores no sentem falta de MD em suas prticas pedaggicas, ou no dispem de MD, ou no acreditam nas influncias positivas do uso do MD na aprendizagem, ou no sabem utilizar corretamente o MD. A esses todos se somam aqueles que, por diferentes motivos, resistem s mudanas didticas e, pior ainda, aqueles que opinam contra o uso do MD sem o conhecerem ou sem o terem experimentado7. Enfim, as causas da ausncia do MD nas salas de aulas no so devidas a ele propriamente.

1.4.

Para auxiliar a reflexo sobre MD e LEM

O que um LEM? Quais so os fatores a serem considerados no planejamento de um LEM? Por que escolas de formao de professores devem possuir seus LEMs? O que voc pode fazer para que sua escola venha a ter um LEM? Como o MD pode influir no processo ensino-aprendizagem? Quando o uso do MD recomendvel? Justifique. Quais aspectos educacionais devem ser considerados ao planejar e ao empregar MD: o cognitivo, o afetivo, o histrico, o pedaggico ou o epistemolgico? Por quais maneiras se pode dar a m aplicao do MD? Como construir MD de boa qualidade e de baixo custo? O uso de MD facilita ou dificulta o magistrio? Justifique.7

Srgio Lorenzatto, trabalho apresentado no Seminrio sobre Prtica do Ensino, UNESP, Rio Claro, em 1989; e apresentado no III Encontro Nacional de Educao Matemtica, UFRN, em 1990. Ensino de Matemtica com Utilizao de Materiais Didticos Alternativos Prof. Helder Filho - [email protected] 25

A ausncia de MD torna deficiente o ensino? Justifique. Quais dificuldades os professores enfrentam para produzir, adquirir ou utilizar MD? Quais so as caractersticas de um bom MD? Por que os alunos preferem aulas com MD? Quais so os argumentos favorveis ao uso de MD no ensino? Quais so os seus argumentos para no usar MD em suas aulas? D exemplo de caso em que o uso de MD provocou a reflexo dos alunos. Comente: O uso do MD garante uma aprendizagem com compreenso. Comente: O MD s deve ser usado com crianas. Comente: A aritmtica e a lgebra escolares podem tornar-se mais fceis aos alunos se ilustradas com o apoio das formas, pois a geometria que, por possibilitar as representaes visuais, intermedeia as sensaes iniciais do mundo fsico com as abstraes exigidas pelo processo de formao dos conceitos matemticos. Comente: As caractersticas dos MD devem ser distintas de acordo com os nveis escolares ou com as faixas etrias a que se destinam. Comente: As secretarias de educao deveriam implantar LEM em suas escolas.

1.5.

Referncias bibliogrficas do texto

CASTELNUOVO, E. (1973). Didctica de la matemtica moderna. Traduo de Felipe Roblelo Vasquez. Mxico (DF), Trillas. DAVIDOV, V.V. (1982). Tipos de generalizacin en la ensenanza. 2. reimpresin. Ciudad de La Habana, Editorial Pueblo y Educacin. FIORENTINI, D. & MIORIM, M.A. (1993). Uma reflexo sobre o uso de materiais concretos e jogos no ensino da matemtica. Boletim SBEM, So Paulo, ano 4, n. 7. KOPNIN, P.V. (1978). A dialtica como lgica e teoria do conhecimento. Rio de Janeiro, Civilizao Brasileira, vol. 123 (Coleo Perspectivas do Homem). LOVELL, K. (1988). O desenvolvimento dos conceitos matemticos e cientficos na criana. Traduo de Auriphebo B. Simes. Porto Alegre, Artmed. MANSUTTI, M. A. (1993). Concepo e produo de materiais institucionais em educao matemtica. Revista de Educao Matemtica - SBEM, So Paulo, ano 1, n. l, pp. 17-29. NICOLET, J.L. (1967). Intuicin matemtica y dibujos animados. In: COMISION INTERNACIONAL PARA EL ESTDIO Y MEJORA DE LA ENSENANZA DE LAS MATEMATICAS. El material para la ensenanza de las matemticas. Traduo de Gonzalo Medina. Madrid, Aguilar, pp. 55-73. POLYA, G. (1978). A arte de resolver problemas. Traduo de Heitor Lisboa de Arajo. Rio de Janeiro, Intercincia. RGO, R.G. & RGO, R.M. (2000). Matematicativa. Joo Pessoa, Ed. UFPb. STRATHERN, P. (1998). Arquimedes e a alavanca em 90 minutos. Traduo de Maria Helena Geordane. Rio de Janeiro, Zahar. THE MATHEMATICAL ASSOCIATION (1968). Mathematics Laboratories in Schools. London, G. Bell e Sons.


2.

DESENVOLVIMENTO E USO DE MATERIAIS DIDTICOS NO ENSINO DE MATEMTICA8

Rmulo Marinho do Rego9e Rogria Gaudncio do Rego10 A filosofia e poltica do Laboratrio de Estudos e Pesquisa da Aprendizagem Cientfica (LEPAC), vinculado ao Departamento de Matemtica do Centro de Cincias Exatas e da Natureza da Universidade Federal da Paraba (CCEN/UFPb), vm sendo elaboradas e discutidas desde a sua fundao, em 1991. Baseiam-se na crena de que a construo do saber matemtico acessvel a todos e que a superao dos baixos ndices de desempenho de nossos alunos requer tambm conhecimentos externos matemtica; compromissos polticos na direo de mudanas, envolvendo a escola, a comunidade, administradores escolares; a luta por melhores condies de trabalho e por uma formao inicial e continuada de qualidade. Ao lado da pesquisa, visando o desenvolvimento de materiais didticos adequados realidade das nossas escolas e de sua divulgao por meio de livros, as aes da equipe do LEPAC estavam inicialmente direcionadas para a formao de especialistas, lanando as condies de superar as limitaes dos cursos de ps-graduao de carter tecnicista, passando posteriormente a abranger a assessoria em projetos de implantao de clubes e laboratrios de matemtica; na montagem de mdulos e projetos de feiras de cincias na rea de matemtica; oficinas, palestras e cursos para alunos e professores de matemtica, alm da realizao de uma exposio anual intitulada "Matemtica e imaginao", nos moldes da exposio francesa "Horizontes matemticos". As diversas linhas de desenvolvimento de conhecimentos matemticos apontadas como mais apropriadas dentro da perspectiva de mudanas - entre as quais: resoluo de problemas, jogos e quebra-cabeas, histria da matemtica - esto integradas s diversas aes da equipe do LEPAC, que j executou mais de vinte projetos institucionais (SPEC/PADCT/CAPES, PROGRAD, PROLICEN, PROBEX)11 e realizou cursos e exposies em instituies de ensino fundamental, mdio e superior em estados do Norte e Nordeste, baseados em um acervo material constantemente renovado e ampliado, fruto de pesquisas realizadas na rea de ensino de matemtica, composto de kits didticos, jogos e quebra-cabeas, coleo de elementos da natureza, ricos de conexes com a matemtica, entre outros recursos. As novas demandas sociais educativas apontam para a necessidade de um ensino voltado para a promoo do desenvolvimento da autonomia intelectual, criatividade e capacidade de ao, reflexo e crtica pelo aluno. Para tanto, faz-se necesIn O Laboratrio de Ensino de Matemtica na Formao de Professores. Srgio Lorenzato (org.) Campinas, SP: Autores Associados, 2006. (Coleo Formao de Professores). p. 39. 9 Bacharel e mestre em matemtica e doutor em educao matemtica. E professor do Departamento de Matemtica e Estatstica da Universidade Estadual da Paraba (UEPb) e atua na Ps-Graduao em Educao do Centro de Educao da Universidade Federal da Paraba (UFPb). 10 Bacharel em matemtica, mestre em filosofia e doutora em educao matemtica. professora do Departamento de Matemtica da UFPb e atua na Ps-Graduao em Educao do Centro de Educao da mesma universidade. 11 Significado das siglas: SPEC - Subprograma Educao para a Cincia; PADCT -Programa de Apoio ao Desenvolvimento Cientfico e Tecnolgico; CAPES - Coordenao de Aperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior; PROGRAD - Programa de Apoio aos Cursos de Graduao - UFPb; PROLICEN - Programa de Licenciatura - UFPb; PROBEX - Programa Institucional de Bolsas de Extenso - UFPb Ensino de Matemtica com Utilizao de Materiais Didticos Alternativos Prof. Helder Filho - [email protected] 278

srio a introduo da aprendizagem de novos contedos de conhecimentos e de metodologias que, baseadas na concepo de que o aluno deve ser o centro do processo de ensino-aprendizagem, reconhea, identifique e considere seus conhecimentos prvios como ponto de partida e o prepare para realizar-se como cidado em uma sociedade submetida a constantes mudanas. O Laboratrio de Ensino de Matemtica (LEM) em uma escola constitui um importante espao de experimentao para o aluno e, em especial, para o professor, que tem a oportunidade de avaliar na prtica, sem as presses do espao formal tradicional da sala de aula, novos materiais e metodologias, resultados de pesquisas disponibilizados na literatura (ver sugestes em Rego & Rego, 2004), ampliando sua formao de modo crtico, ou seja, quando associado formao docente, oportuniza a realizao de atividades em que professores da educao bsica e alunos de cursos de licenciatura possam refletir e elaborar sua avaliao pessoal do sistema de ensino adotado em nossas escolas e construir modelos viveis de superao de seus aspectos negativos. Quando instalados em instituies de ensino superior, os laboratrios de ensino, alm de incentivar a melhoria da formao inicial e continuada de educadores de matemtica, promovendo a integrao das aes de ensino, pesquisa e extenso, possibilitam: i. Estreitar as relaes entre a instituio e a comunidade, atuando como parceira na soluo dos problemas educacionais que esta apresenta, buscando a melhoria do ensino e constituindo um espao de divulgao e de implantao de uma cultura de base cientfica; ii. Estimular a prtica da pesquisa em sala de aula, baseada em uma slida formao terica e prtica; e iii. Firmar projetos de parceria com os sistemas locais de ensino, visando instalao de clubes e laboratrios de matemtica, alm de oficinas e cursos de formao continuada para seus professores. Uma das linhas de investigao e ao em um LEM compreende a elaborao, adaptao e uso de materiais didticos de matemtica, considerando-se os objetivos educacionais a serem atingidos, sua potencialidade para auxiliar a aprendizagem de conhecimentos de naturezas diversas (informaes, conceitos, habilidades ou atitudes), seu alcance e suas limitaes e a sua adequao competncia dos alunos, levando-se em conta conhecimentos prvios, faixa etria, entre outros elementos. Se concebermos uma aula de matemtica como um espao em que os alunos vo experimentar, descobrir significados e processos para essas experincias ou atividades de aprendizagem, como afirmam Grossnickle e Brueckner (1965, p. 87), materiais adequados so necessrios. Manoel Jairo Bezerra destacou, na obra O material didtico no ensino da matemtica, suas principais funes (1962, pp. 10-13):i. ii. Auxiliar o professor a tornar o ensino da matemtica mais atraente e acessvel; Acabar com o medo da matemtica que, criado por alguns professores e alimentado pelos pais e pelos que no gostam de matemtica, est aumentando cada vez mais a dificuldade do ensino dessa matria e Interessar maior nmero de alunos no estudo dessa cincia.

iii. Uma vez trabalhado e avaliado em sala de aula um recurso didtico pode ser, caso indicado, reestruturado, compreendendo-se que a aprendizagem no reside emEnsino de Matemtica com Utilizao de Materiais Didticos Alternativos Prof. Helder Filho - [email protected]

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sua estrutura fsica ou na simples ao sobre ele, mas resulta do aprofundamento de reflexes sobre essa ao. Acreditava-se, h at relativamente pouco tempo, que os alunos aprendiam de igual maneira, acumulando informaes e regras. Sabemos, entretanto, que cada aluno tem um modo prprio de pensar e que este varia em cada fase de sua vida, estando seu pensamento em constante processo de mudana. A aprendizagem pela compreenso um processo pessoal e nico que acontece no interior do indivduo, embora relacionado a fatores externos, exigindo do raciocnio o que quase sempre deixado apenas como tarefa para a memria. As interaes do indivduo com o mundo possibilitam-lhe relacionar fatos, estruturar idias e organizar informaes, internalizando-os. Por meio de experincias pessoais bem-sucedidas, o aluno desenvolve o gosto pela descoberta, a coragem para enfrentar desafios e para venc-los, desenvolvendo conhecimentos na direo de uma ao autnoma. Porm, como afirmava Igntiev, ainda no ano de 1911, "a independncia mental, a reflexo e a criatividade no podem ser metidas em nenhuma cabea", sendo seguros apenas os resultados dos casos em que a introduo no campo da matemtica ocorrer de forma prazerosa, "baseando-se em objetos e exemplos do ambiente cotidiano, selecionados com a criatividade e interesse correspondentes" (IGNTIEV, 1986). Nessa concepo de aprendizagem, o material concreto tem fundamental importncia, pois, a partir de sua utilizao adequada, os alunos ampliam sua concepo sobre o que , como e para que aprender matemtica, vencendo os mitos e preconceitos negativos, favorecendo a aprendizagem pela formao de idias e modelos. Assim, as atividades realizadas em um LEM esto voltadas para o desenvolvimento de conhecimentos matemticos e a formao geral do aluno, auxiliando-o a: i. Ampliar sua linguagem e promover a comunicao de idias matemticas; ii. Adquirir estratgias de resoluo de problemas e de planejamento de aes; iii. Desenvolver sua capacidade de fazer estimativas e clculos mentais; iv. Iniciar-se nos mtodos de investigao cientfica e na notao matemtica; v. Estimular sua concentrao, perseverana, raciocnio e criatividade; vi. Promover a troca de idias atravs de atividades em grupo; vii. Estimular sua compreenso de regras, sua percepo espacial, discriminao visual e a formao de conceitos. Em razo das caractersticas socioeconmicas da nossa populao, um dos grandes desafios enfrentados pelos pesquisadores que atuam frente de LEMs compreende a socializao dos resultados de seus trabalhos. Nossa experincia pessoal aponta para a possibilidade de produo e de massificao de materiais de baixo custo e grande potencial didtico, dentro de padres de segurana que no coloquem em risco o seu usurio, com um acabamento que torne as atividades a serem realizadas agradveis aos sentidos, contribuindo para formao do senso esttico e direcionando a ateno e a percepo para os aspectos cognitivos a serem trabalhados. Para exemplificar a potencialidade de recursos simples na promoo de atividades didticas em um LEM, apresentamos algumas sugestes, aqui descritas de modo sucinto, cujos objetivos e uso em sala de aula podero ser encontrados com detalhes nos textos j publicados (REGO & REGO, 1999a, 1999b, 2004; REGO, REGO & GAUDENCIO JR., 2003) ou em vias de publicao pela equipe do LEPAC. Ensino de Matemtica com Utilizao de Materiais Didticos Alternativos Prof. Helder Filho - [email protected] 29

importante lembrar que os roteiros de sugesto de uso de qualquer recurso instrumental devem ser vistos como possveis caminhos que podero ou devero ser reestruturados de acordo com as especificidades dos alunos e dos conhecimentos a serem desenvolvidos, e no como receiturios, seguidos fielmente sem a promoo de reflexes. A primeira atividade, intitulada estudo de quadrilteros (RGO & REGO, 1999a), demanda apenas papel (ofcio, de revistas, jornal etc.), cola e tesoura. Sugerimos que seja desenvolvida no estudo de quadrilteros, sendo indicada para alunos de todas as sries da educao bsica. O que dever variar, em cada caso, so as exigncias formais envolvidas, no que trata da anlise das propriedades das figuras obtidas e na nomenclatura apresentada, com menos ou mais rigor, dependendo do nvel da turma e dos objetivos a serem alcanados. O procedimento a ser adotado inicia-se com o corte de algumas tiras de papel com aproximadamente 30 cm de comprimento e 4cm de largura. Depois de recortadas, colar as tiras formando cada uma um anel comum, como indicado na figura 1. Iniciar a discusso questionando aos alunos o que acontece quando cortamos um desses anis ao meio, ao longo da linha pontilhada, como indicado na figura l (o pontilhado no precisa ser feito, na ilustrao serve apenas para indicar onde dever ser realizado o corte). Depois de feitas as previses, cortar o anel e conferir o resultado. Em seguida, colar dois anis iguais ao primeiro, com mesmo dimetro e largura, um perpendicular ao outro, como indicado na figura 2, estimando o que acontece quando cortarmos ao meio os dois anis colados, como feito no anel da questo inicial. Verificar o resultado obtido confrontando-o com as hipteses levantadas. Vale notar que, quando o primeiro anel cortado, o conjunto fica semelhante a uma algema (uma tira com duas argolas, uma em cada extremidade). Em seguida, cortar a tira ao meio, pois esta corresponde a uma das argolas que estavam inicialmente coladas. Os alunos podero em seguida investigar: i. Que modificaes devem ser feitas (no tamanho dos anis ou na forma de collos) para que o resultado seja um losango (no quadrado)? ii. Que modificaes devem ser feitas (no tamanho dos anis ou na forma de collos) para que o resultado seja um retngulo (no quadrado)? iii. Como devem ser os anis, e como col-los, para que o resultado seja um paralelogramo (no quadrado)? Outras investigaes podem ser feitas: i. Colar trs anis de mesmo tamanho, cada um perpendicular ao seguinte e cortar os trs ao meio, tentando estimar e verificando o resultado;


ii. Colar trs anis de tamanhos diferentes, dispostos entre si como no caso anterior, ou trs iguais colados inclinados um em relao ao outro, estimando e verificando os resultados, entre outras. Solicitar aos alunos que faam um pequeno relatrio ou tabela, descrevendo a dimenso dos anis (se todos so de mesmo tamanho ou no); a quantidade de anis utilizada em cada caso; como estavam colados uns em relao aos outros (se perpendiculares, inclinados etc.) e os resultados obtidos. Dependendo do nvel da turma, os alunos podem analisar e explorar os elementos das figuras obtidas, suas definies e intersees entre estas como, por exemplo, concluindo que todo quadrado um retngulo, embora o contrrio no acontea. Essa atividade enseja oportunidade de abordar de maneira intuitiva questes relativas aos quantificadores universais e existenciais e de suas negaes; levar o aluno a diferenciar o que uma definio e um conceito, bem como o desenvolvimento de atitudes como ver a matemtica como um conhecimento social, em permanente processo de construo. Aps cada atividade, alm do registro e da busca de associao do conhecimento desenvolvido dentro da linguagem, abre-se um espao para discutir as habilidades que esto sendo desenvolvidas com a realizao e reflexo sobre ela. Ainda em geometria, sugerimos para a confeco de esqueletos de poliedros, que podero ser explorados posteriormente no estudo de propriedades de slidos, planos de simetria, Teorema de Euler, dentre outros, o uso de grampos pequenos de cabelo (de metal, comuns) e canudos de refrigerante. O processo de confeco dos poliedros bastante simples e as vantagens do material so muitas: baixo custo, facilidade de uso, rapidez do processo e possibilidade de reaproveitamento do material. O nmero de canudos utilizados em um poliedro ser igual a seu nmero de arestas e o nmero de grampos ser igual soma do nmero de arestas que convergem para cada vrtice do slido. Acompanhe o seguinte exemplo, com a construo do esqueleto de um tetraedro (pirmide de base triangular) regular, para o qual iremos precisar de seis canudos e doze grampos de cabelo. Inicialmente prender cada grupo de trs grampos entre si, formando quatro sistemas de articulao, como indicado na ilustrao do centro na figura 3.

Depois de prontas as articulaes, inserir a parte ondulada dos grampos no interior dos canudos (ilustrao da direita na figura 3), correspondendo a cada conjunto de trs grampos um vrtice do tetraedro. Este poder ser posteriormente desmontado e grampos e canudos serem utilizados na construo de outros poliedros, modificando-se a quantidade de canudos e/ou a quantidade de grampos em cada sistema de articulaes, de acordo com a necessidade. Nesse caso, como em qualquer caso de construo de esqueletos de poliedros, a rigidez da figura depender da forma de suas faces: se apenasEnsino de Matemtica com Utilizao de Materiais Didticos Alternativos Prof. Helder Filho - [email protected] 31

triangulares a figura ser rgida, caso contrrio ficar flexvel. Os grampos de cabelo podero ainda ser substitudos por clipes de papel de tamanho adequado, isto , com largura igual ao dimetro interno do canudo, onde eles sero inseridos aps serem agrupados entre si, de modo semelhante aos grampos. Em cursos de formao inicial ou continuada, uma experincia interessante consiste em dividir a turma em grupos, cada um deles produzindo esqueletos de poliedros utilizando um material especfico (canudos de refrigerante e grampos de cabelo, clipes de papel, barbante, fita adesiva, arame ou outros, e conexes feitas com borracha de soro e canudos de churrasco ou pirulito. Ver foto 1), conversando, depois, sobre as vantagens e desvantagens de cada um dos materiais empregados, referentes a custo, disponibilidade local dos insumos, tempo de elaborao, riscos de acidentes no processo, durabilidade, resistncia, direcionamento para os objetivos cognitivos programados e resultados estticos.

Dentre os diversos materiais didticos que "evoluram" no LEPAC destacamos o Geoespao, aqui exemplificando o processo de constante aperfeioamento de nosso acervo, visando criar ou adaptar kits existentes realidade das escolas, considerando, como j afirmamos, objetivos, potencialidade e limitaes, custo, durabilidade, resistncia, segurana e apresentao. Baseado em um material sugerido para a construo e o estudo de prismas e pirmides em uma publicao de uma mostra de materiais concretos para o ensino de matemtica, realizada em Madrid em 1958 (ADAM, 1958), desenvolvemos um modelo de fcil confeco e uso.


Simplificamos o modelo apresentado utilizando uma base de madeira, quatro cantoneiras que do sustentao a uma placa quadrada de acrlico transparente de 4 mm. Nos dois planos (base de madeira e placa de acrlico) so traadas malhas quadriculadas semelhantes, com quadrados de 3 cm de lado, em cujos vrtices so fixados pequenos ganchos de cobre, utilizados pela indstria de mobilirio (e facilmente encontrados em casas de ferragens). Os esqueletos dos slidos so construdos com ligas de borracha, presas entre os ganchos dos dois planos, delimitados por ligas que formam polgonos nas duas malhas quadriculadas (ver exemplo na foto 2). Um simples deslocamento de um dos polgonos e das borrachas correspondentes possibilita a rpida transformao de um prisma reto em um prisma oblquo de mesma base, tendo-se a visualizao das vistas do poliedro facilitada pela transparncia do acrlico, assim como a identificao e compreenso dos elementos que caracterizam um determinado tipo de slido. O modelo pode ser desmontvel, facilitando o seu transporte e armazenamento. Os dois ltimos recursos apresentados, alm da grande versatilidade, possibilitam trabalhar com geometria espacial em sala de aula com modelos tridimensionais, evitandose recorrer apenas a figuras planas (no quadro ou livro) com representaes de slidos para tal. O desenvolvimento de habilidades especficas, como a percepo espacial, a visualizao de cortes e planos de simetria, relaes entre volumes, entre outras, requer a realizao de atividades voltadas para esses fins, preferencialmente iniciando-se com materiais presentes no cotidiano do aluno, a exemplo de uma eoleo de embalagens diversas, eEnsino de Matemtica com Utilizao de Materiais Didticos Alternativos Prof. Helder Filho - [email protected] 33

posteriormente ampliando-se o estudo dos slidos geomtricos por meio das figuras obtidas com os canudos ou no Geoespao, na direo da representao destes no plano. Os recursos apresentados nas fotos seguintes, descritos de modo sucinto, indicam a possibilidade de concretizao de ideias criativas para um LEM, facilmente reprodutveis, sem demandar custos financeiros de grande monta. O material da foto 3 utilizado para substituir os blocos lgicos, nas diversas atividades possveis de serem realizadas com esse material, sendo socialmente mais significativo e rico em termos de propriedades gerais, o que amplia consideravelmente as categorias para classificao em subconjuntos, entre outras vantagens. Na foto 4, temos dois jogos para as sries iniciais, um compreendendo uma trilha com crculos concntricos feita com uma base descartvel para bolo e outro uma mancala12 com copos de iogurte. Na foto 5, temos um jogo de pares, feito com potes para filmes fotogrficos, com materiais semelhantes em seu interior (dois potes cheios at a metade com areia, dois outros com arroz, dois com clipes de papel, etc.) que, depois de misturados, devem ser separados pelos alunos em pares, identificados pela semelhana do som que produzem. Estimulam, alm do trabalho com a idia de par e a classificao de elementos sonoros, a concentrao e a prtica da auto-avaliao, uma vez que o prprio aluno pode, abrindo as tampas, conferir se suas respostas esto12

Mancala um jogo de tabuleiro de origem africana, com mais de quatro mil anos, e que apresenta inmeras variantes. As regras podem ser encontradas na internet ou em livros sobre jogos. Ensino de Matemtica com Utilizao de Materiais Didticos Alternativos Prof. Helder Filho - [email protected] 34

corretas. As roletas, confeccionadas em EVA e tampas de potes de mostarda ou ketchup, ou com tampas plsticas circulares, substituem com eficincia os dados comuns, podendo ser numeradas de acordo com as necessidades especficas de uma atividade. O terceiro e ltimo material da foto produzido em EVA e restos de espirais de encadernao, compreendendo um quebra-cabea com peas articuladas que, quando dobrado, pode gerar figuras de diversas formas, que podem ser classificadas pelos alunos de acordo com o nmero de lados, concavidade ou convexidade, ngulos internos, nmero de diagonais, entre outros. Na foto 6 um bingo feito com garrafas PET de diferentes tamanhos transforma-se em um atraente material para a prtica do clculo mental em sala de aula. O baco aberto, com base em EVA, pinos em lpis marcadores para quadrobranco e argolas de bases fixadoras de tampas de garrafas PET (de refrigerante ou gua mineral) pode ser usado na representao e leitura de nmeros na base dez, destacando-se as caractersticas de nosso sistema de numerao, a exemplo do valor posicional. importante frisar que a utilizao de todo e qualquer recurso didtico exige cuidados bsicos por parte do professor, entre os quais destacamos: i. Dar tempo para que os alunos conheam o material (inicialmente importante que os alunos o explorem livremente); ii. Incentivar a comunicao e troca de ideias, alm de discutir com a turma os diferentes processos, resultados e estratgias envolvidos; iii. Mediar, sempre que necessrio, o desenvolvimento das ati-vidades por meio de perguntas ou da indicao de materiais de apoio, solicitando o registro individual ou coleti-vo das aes realizadas, concluses e dvidas; iv. Realizar uma escolha responsvel e criteriosa do material; v. Planejar com antecedncia as atividades, procurando conhecer bem os recursos a serem utilizados, para que possam ser explorados de forma eficiente, usando o bom senso para adequ-los s necessidades da turma, estando aberto a sugestes e modificaes ao longo do processo, e vi. Sempre que possvel, estimular a participao do aluno e de outros professores na confeco do material. Alguns princpios a serem promovidos em sala de aula, defendidos por Irene Albuquerque (1951), dentre os quais, possibilitar variadas experincias de ensino relativas a um mesmo conceito matemtico; atribuir significado para a aprendizagem; criar situaes para que o aluno redescubra padres, regras e relaes e "criar um ambiente agradvel em torno do ensino de matemtica, promovendo o sucesso e evitando o fracasso", so facilitados no espao de um LEM.Ensino de Matemtica com Utilizao de Materiais Didticos Alternativos Prof. Helder Filho - [email protected] 35

Tais princpios, desenvolvidos em todos os nveis de ensino, devero estar teoricamente bem fundamentados, baseados em um profundo conhecimento dos contedos matemticos, dos resultados de pesquisas, da elaborao, estudo e confeco de recursos didti-cos e na execuo de projetos envolvendo escolas da regio, o que possibilita uma permanente avaliao qualitativa do trabalho realizado. Finalizamos defendendo a importncia de um LEM em escolas de educao bsica e em instituies superiores envolvidas em cursos de formao de professores, considerando em especial o grande distanciamento entre a teoria e a prtica, hoje ainda predominante nas salas de aula em todos os nveis de ensino; a baixa conexo entre os contedos de matemtica e destes com as aplicaes prticas do dia-a-dia e a necessidade de promoo do desenvolvimento da criatividade, da agilidade e da capacidade de organizao do pensamento e comunicao de nossos alunos.

Referncias bibliogrficas do textoADAM, P. Puig (1958). El material didtico matemtico actual. Madrid, Espanha, Inspeccion Central de Ensenanza Media. ALBUQUERQUE, Irene de (1951). Metodologia da matemtica. Rio de Janeiro, Conquista. BEZERRA, Manoel Jairo (1962a). Recreaes e material didtico de matemtica. Rio de Janeiro. ________ . (1962b). O material didtico no ensino de matemtica. Rio de Janeiro, MEC/Caderno CEDES. GROSSNICKLE, F.E. &BftUECKNER,Leo J. (1965). O ensino da aritmtica pela compreenso. Rio de Janeiro, Fundo de Cultura. IGNTIEV, E.I. (1986). En el reino dei ingenio. Moscou, Mir. REGO, Rogria G. & REGO, Rmulo M. (2004). Matematicativa. 3. ed. Joo Pessoa, EdUFPb. ________ (1999a). Matematicativa II. Joo Pessoa, EdUFPb. _________. (1999b). Figuras mgicas. Joo Pessoa, EdUFPb. REGO, Rogria G.; REGO, Rmulo M. & GAUDENCIO JR., Severino (2003). A geometria do origami. Joo Pessoa, EdUFPb.


3. OFICINA DE GEOMETRIA COM CANUDOSA geometria , freqentemente, ensinada no quadro negro ou atravs de livros didticos. Quando se trata de figuras planas esse mtodo no representa grande dificu dificuldade p para o aprendizado da criana. Mas o mesmo no se pode dizer quando se deseja ensinar os elementos da geometria espacial. sinar Portanto, neste material, sugiro a utilizao de canudos de refrigerante na montagem de estruturas geomtricas, como a mostrada na figura ao lado. Pode-se ensinar geometria espacial por i se intermdio da montagem de slidos, em que a criana tagem recorta um desenho numa folha de cartolina e, atr atravs de dobraduras e colagem, monta um slido ge geomtrico. Porm, a atividade que proposta aqui, alm de possibilitar que a criana construa e e estruturas e "brinque" com a geometria espacial, to torna possvel a visualizao de alguns elementos que na atividade com cartolina so menos notados. Estes elementos nos so as arestas e os vrtices dos slidos. A estrutura mais simples para se montar a a do tetraedro (poliedro de quatro f faces) que possui 6 arestas e 4 vrtices. Na figura ao lado nota nota-se que cada aresta do tetraedro corresponde a um canudo. edro Portanto, para mont-lo ser necessrio dispor de 6 lo canudos de refrigerante. Ligar um canudo ao outro pode parecer algo compl complicado a princpio, mas essa tarefa ficar mais fcil depois de alg algumas tentativas. Para comear a construo da estrutura deve iniciar pela deve-se base (alicerce), que um tringulo. Se o tetraedro regular ento o tringulo dever ser equiltero. A constr o da base comea pa construo passando-se sando o barbante por trs canudos. Depois de passar o barbante pelos canudos pa passa-se novamente pelo primeiro canudo da fileira. Desse se jeito no ser preciso dar um n, ai ainda. Concluda esta etapa temos a estrutura como mostrada na figura ao lado. Assim j podemos levantar o tetraedro, que tambm uma pirmide de base tria triangular. Pegamos a ponta do barbante que acabamos de passar pelo canudo da base e passamos por dois ou outros canudos.Ensino de Matemtica com Utilizao de Materiais Didticos Alternativos Prof. Helder Filho - [email protected] 37

Em seguida passamos o barbante por mais um canudo da base. A ponta sair na outra extremidade e poderemos pass pelo ltimo canudo. pass-la Assim como fizemos para fechar o tringulo da base, faremos para fechar o t tetraedro. Ou seja, passaremos mais uma vez o barbante por dentro do canudo mostrado na figura. Para que a estrutura fique bem firme interessante passar o barbante duas vezes pelo mesmo canudo.

Com isso as extremidades adjacentes dos canudos ficaro conectadas. Em vez de usar barbante para unir os canudos pode se usar bo

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