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UNIVERSIDADE DO ALGARVE

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

Área Departamental de Engenharia Civil

FOLHAS DE PROBLEMAS DAS AULAS

DE

COMPLEMENTOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL

ENGENHARIA SÍSMICA

JOÃO MANUEL CARVALHO ESTÊVÃO

FARO 2005/06

COMPLEMENTOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL - Engenharia Sísmica - 2005/06

- 1 -

1. Considere a estrutura representada em modelo na figura seguinte (a massa m1 está associada ao

elemento “CD” e o coeficiente de amortecimento modal é de 5%), a executar em Olhão, sujeito a

uma aceleração horizontal na base.

B

A

Cm1 = 45 ton.

EA = GA = ∞

D

k = 3920 kN/m

m2

k

EI pilares = 20480 kNm2

EI viga = ∞

2

1

agx (t)

6.00 m

2.00

2.00 EI

4EI

a) Admitindo que a massa m2 é nula:

i) Estabeleça a equação de movimento desse oscilador de um grau de liberdade;

ii) Calcule o momento flector no ponto “A” no instante t = 1.23 s, quando a estrutura é sujeita

a uma aceleração agx (t) = 1.35⋅sen(30t) (m/s2); iii) Desprezando o regime transitório, determine o momento flector máximo no ponto “A”.

b) Tomando para valor da massa m2 um valor de 5 ton:

i) Estabeleça a matriz de rigidez do sistema dinâmico;

ii) Calcule as frequências naturais do oscilador e respectivos modos de vibração, a partir da

equação característica.

iii) Determine os valores dos factores de participação e das percentagens de massa modal

efectiva, necessários à análise sísmica da estrutura.

iv) Desprezando o regime transitório, determine o momento flector máximo no ponto “A”,

quando a estrutura é sujeita a uma aceleração agx (t) = 1.35⋅sen(30t) (m/s2); v) Calcule os valores modais máximos regulamentares dos deslocamentos relativos e das forças

de inércia, segundo os graus de liberdade assinalados, admitindo que a estrutura é sujeita à

componente horizontal do sismo tipo 1 do RSA (terreno tipo II);

vi) Determine os momentos flectores máximos (para efeitos do dimensionamento da estrutura)

no ponto “A” verifique os limites impostos à análise pelo RSA (coeficiente de

comportamento igual a 2.5).

(Exame de época de recurso – 2002/03)

João M. C. Estêvão - EST – Ualg

- 2 -

2. A estrutura representada em modelo na figura seguinte será executada em Ovar.

2

4m1

4.00

6.00 m

m

B C D

A

m = 6 ton.

EIEA

3.00

EA = 27000 kN

GA = ∞

EI = 96000 kNm2

EIEA = ∞

EA=EI = ∞ EA=EI = ∞

agx (t)

a) Atendendo aos graus de liberdade assinalados, estabeleça o sistema de equações do movimento,

considerando o amortecimento nulo.

b) Calcule as frequências naturais do oscilador e respectivos modos de vibração, a partir da equação

característica.

c) Determine os valores dos factores de participação e as percentagens de massa modal efectiva,

necessários para a análise dinâmica da estrutura em relação à direcção horizontal.

d) Considerando o sistema estrutural (coeficiente de amortecimento modal de 5%) sujeito a um

movimento harmónico na base, de aceleração agx (t) = 1.1⋅cos(6t) m/s2, determine (despreze o regime transitório):

i) O esforço normal na barra “AC”, no instante t = 0.4 seg.;

ii) O valor do esforço normal máximo na barra “AC”.

e) Sendo a estrutura sujeita à componente horizontal do sismo tipo 2 do RSA (terreno tipo II,

amortecimento modal de 5% e coeficiente de comportamento unitário), calcule:

i) Os valores modais das forças de inércia;

ii) O valor do esforço normal máximo na barra “AC”.

(Exame de dirigentes associativos – 2001/02)

3. A estrutura representada em modelo na figura seguinte, será executada em Elvas.

a) Atendendo aos graus de liberdade assinalados, estabeleça o sistema de equações do movimento

admitindo amortecimento nulo.


- 3 -

b) Determine as frequências naturais do oscilador e respectivos modos de vibração, a partir da



necessários para a análise dinâmica da estrutura em relação à direcção horizontal.

d) Calcule, no instante t = 0.37 segundos, os valores de d1 , d2 e o momento flector no ponto “A”

(desprezar o regime transitório), quando o sistema estrutural (coeficiente de amortecimento

modal de 5%) é sujeito a um movimento harmónico na base, cujo valor da aceleração é igual a

agx(t)=1.9⋅sen(12t) m/s2. Determine o valor máximo do momento flector no ponto “A”.

e) Sendo a estrutura sujeita à componente horizontal do sismo tipo 1 do RSA (terreno tipo I,

amortecimento modal de 5% e coeficiente de comportamento unitário), calcule:

i) Os valores modais de d1 e d2;

ii) O momento flector máximo no ponto “A” (para efeitos de dimensionamento).

2

1.5m

1

2.401.60 m

EI

m

B

C

A

m = 2 ton.

EI = ∞Barra “BCD”

agx (t)

1.80D

EA =GA = ∞Barra “AC”

EI = 11250 kNm21.20

1.80

(Exame de época especial – 2000/01)

4. A estrutura representada em modelo na figura seguinte, será executada em Estremoz. Responda às

questões seguintes, admitindo que a estrutura é sujeita à componente horizontal do sismo tipo 1 do

RSA (coeficiente de comportamento igual a 2, terreno tipo II e coeficiente de amortecimento modal

de 5%) e dados os valores: ω1 = 18.45094 rad/s, {φ1}={0.05628 0.20329}T ;ω2 = 24.58585 rad/s,

{φ2}={−0.07187 0.15919}T;

[ ]m =

120 0

0 15 (ton.) ; [ ]f =

× −178506 146798

146798 16 3312310 5. .

. . (m/kN)


- 4 -

B

D

A

EA = GA = ∞

2

6.00 m5.00


6.00

6.00 m

4.00

1

EI vigas = ∞

E

C F

G

H

I

7 m

36 m

a) Admitindo que a estrutura iria ser edificada numa camada de solo homogéneo (vs = 200 m/s)

assente sobre um estrato rochoso rígido (como se apresenta na figura anterior), quais as gamas de

espessuras desse solo que se devem evitar? Justifique.

b) Determine os valores dos factores de participação e das percentagens de massa modal efectiva,

necessários para a análise sísmica da estrutura.

c) Calcule os valores modais máximos regulamentares dos deslocamentos relativos e das forças de

inércia, segundo os graus de liberdade assinalados.

d) Determine os momentos flectores máximos (para efeitos do dimensionamento da estrutura) nos

pontos “A” e “E” e verifique os limites impostos à análise pelo RSA.

e) Calcule os momentos flectores nos pontos “A” e “E”, com base na distribuição de forças estáticas

que é proposta pelo RSA e na frequência fundamental obtida pelo método simplificado de

Rayleigh.

(2º Teste – 2000/01)

5. A estrutura representada em modelo na figura seguinte, será executada em Faro. Responda às

questões seguintes, admitindo que a estrutura é sujeita às componentes horizontal e vertical do sismo

tipo 2 do RSA (coeficiente de comportamento unitário, terreno tipo I e coeficiente de amortecimento

modal de 5%) e dada a matriz: [ ]k =

2400 1200

1200 1600 (kN/m)


- 5 -

C D

m = 5 ton.

2

3.00 m

m1

B

A

3.00

EA = GA = ∞

EI = 13500 kNm2

m

3.00 m3.00 m

E

a) Calcule as frequências naturais do oscilador e respectivos modos de vibração, a partir da equação

característica.


necessários à análise sísmica da estrutura.

c) Calcule os valores modais máximos regulamentares das forças de inércia, segundo os graus de

liberdade assinalados.

d) Determine o momento flector máximo (para efeitos do dimensionamento da estrutura) no ponto

“A”, tendo em conta os limites impostos à análise pelo RSA.


6. A estrutura representada em modelo na figura seguinte, será executada em Aveiro. Responda às


RSA (coeficiente de comportamento igual a 2, terreno tipo II e coeficiente de amortecimento modal

de 5%) e dados os valores: ω1 = 8.05427 rad/s, {φ1}={0.06673 0.04454}T ; ω2 = 12.06721 rad/s,

{φ2}={−0.03320 0.08953}T; [ ]m =

180 0

0 100 (ton.); [ ]f =

× −7 62195 2 54065

2 54065 8 5629310 5. .

. . (m/kN)

B D

A

EA = GA = ∞

2

7.00 m 3.00


3.00

3.00

4.00 2EI

EI vigas = ∞

E

C F

G

H

I 1

EI 2EI

EI

EI

EI

J


- 6 -

a) Determine os valores dos factores de participação e das percentagens de massa modal efectiva,


b) Calcule os valores modais máximos regulamentares dos deslocamentos relativos e das forças de


c) Determine os momentos flectores máximos (para efeitos do dimensionamento da estrutura) nos

pontos “A” e “G” e verifique os limites impostos à análise pelo RSA.

d) Calcule os momentos flectores nos pontos “A” e “G”, com base na distribuição de forças estáticas


Rayleigh (f = 1.28701 Hz).

e) Efectue o cálculo da alínea anterior com base na configuração do modo fundamental obtida pelo

método de Rayleigh simplificado, com a correcção da massa efectiva.

(2º Teste – 2001/02)

7. A estrutura representada em modelo na figura seguinte, será executada em Abrantes. Responda às


RSA (coeficiente de comportamento igual a 2.5, terreno tipo I e coeficiente de amortecimento modal

de 5%) e dados os valores:

ω1 = 25.44854 rad/s, {φ1}= {0.02834 0.17509}T ;

ω2 = 32.41438 rad/s, {φ2}={0.09590 −0.05174}T;

[ ]m =

100 0

0 30 (ton.) ; [ ]k =

−−

101832 6000

6000 20400 (kN/m)

B D A

EA restantes barras = GA = ∞

2

3.00 m 4.80 m


4.40

3.00 m

2.00

1

EI vigas = ∞

E

C

F G

H I

EA barra AH = 320000 kN




- 7 -



c) Determine os valores máximos (para efeitos do dimensionamento da estrutura) do esforço normal

na barra “AH”, do momento flector no ponto “B” e verifique os limites impostos à análise pelo

RSA.

d) Calcule os esforços da alínea anterior com base na distribuição de forças estáticas que é proposta

pelo RSA e na frequência fundamental obtida pelo método simplificado de Rayleigh.


8. A estrutura representada em modelo na figura seguinte, será executada em Estoi. Responda às


RSA (coeficiente de comportamento igual a 2.5, terreno tipo II e coeficiente de amortecimento

modal de 5%) e dadas as matrizes:

[ ]m =

220 0

0 80 (ton.) e [ ]k =

−−

64000 32000

32000 32000 (kN/m)

B

D

A

EA = GA = ∞

2


3.00EI vigas = ∞

E

C

F

1

5.00 m

3.00


característica.





d) Determine o corte basal e o momento flector máximo (para efeitos do dimensionamento da

estrutura) no ponto “A”, tendo em conta os limites impostos à análise pelo RSA.


- 8 -


9. A estrutura representada em modelo na figura seguinte, será executada em Lamego. Responda às



de 5%) e dados os valores: ω1= 37.15735 rad/s, {φ1}={0.05778 0.27981}T ; ω2= 55.10222 rad/s,

{φ2}={−0.10975 0.14732}T; [ ]m =

65 0

0 10 (ton.) ; [ ]f =

× −0 63857 0 63857

0 63857 6 3857010 5. .

. . (m/kN)

B

DA

EA = GA = ∞

2

4.00 m3.00


3.00

3.00

6.00

8EI

EI vigas = ∞

E

C

F

G

H

I 1

EI

8EI

EI

J

8EI

8EI






pontos “A” e “C” e verifique os limites impostos à análise pelo RSA.

d) Calcule os momentos flectores nos pontos “A” e “C”, com base na distribuição de forças estáticas

que é proposta pelo RSA e na frequência fundamental obtida pela expressão simplificada do

mesmo regulamento.

(2º Teste – 2002/03)

10. A estrutura representada em modelo na figura seguinte, será executada na Vidigueira. Responda às


RSA (coeficiente de comportamento igual a 2.5, terreno tipo II e coeficiente de amortecimento

modal de 5%).

a) Estabeleça a matriz de rigidez do pórtico da figura.


- 9 -


característica.

c) Determine os valores dos factores de participação e das percentagens de massa modal efectiva,


d) Calcule os valores modais máximos regulamentares dos deslocamentos relativos e das forças de


e) Determine os momentos flectores máximos (para efeitos do dimensionamento da estrutura) nos

pontos “A” e “G” e verifique os limites impostos à análise pelo RSA.

B

D

AEA = GA = ∞

2

6.00 m 4.00


3.00

1.50

EIEI vigas = ∞

E

C

F

G H

1

EI

EIEI

8EI

1.00

1.50

(ton.)[ ]m =

90 0

0 12

(Exame de época normal – 2002/03)

11. A estrutura representada em modelo na figura seguinte irá ser construída na Golegã. Responda às

questões seguintes, admitindo que a estrutura é sujeita, simultaneamente, à componente horizontal e

à componente vertical do sismo tipo 1 do RSA (coeficiente de comportamento igual a 1.5, terreno

tipo II e coeficiente de amortecimento modal de 5%).

f1= 4.00086 Hz, {φ1}={0.14052 0.01780}T

f2= 6.55428 Hz, {φ2}={0.01592 −0.15711}T;



b) Calcule os valores modais máximos regulamentares das forças de inércia, segundo os graus de


c) Determine os momentos flectores máximos (para efeitos do dimensionamento da estrutura) na

viga “FGH”, na secção em “F” (MF = −0.78857 F1+0.42380 F2).

[ ] ton. 400

050m

=


- 10 -

B

E

A

2

6.00 m 4.00

3.00

4.00

C

1

z

x

D

F G H

(2º Teste – 2004/05)

12. A estrutura representada em modelo na figura seguinte, será executada em Avis. Responda às

alíneas seguintes, admitindo que a estrutura é sujeita às componentes vertical e horizontal do sismo

tipo 1 do RSA (terreno tipo II, coeficiente de amortecimento modal de 5% e coeficiente de

comportamento unitário).

B

D

A

2

3.00

C

3.00 m

1

m

3.00 m

m = 25 ton.

EA = GA = ∞

EI = 10000 kNm2

a) Estabeleça as matrizes de massa e de flexibilidade.

b) Determine as configurações e as frequências dos modos de vibração pelo método de Stodola

(garanta a estabilidade de cinco casas decimais).



d) Calcule os valores modais máximos regulamentares dos deslocamentos relativos e das forças de


e) Determine o valor máximo (para efeitos do dimensionamento da estrutura) do momento flector no

ponto “B”.

(Exame de época de trabalhador estudante – 2002/03)


- 11 -

13. A estrutura representada em modelo na figura seguinte, destina-se a ser executada em Santarém.

C

D

3.00

2.00 m 2.00 m

m = 50 ton.

EI = 72000 kNm2

BA

2

1Em

m

EA = 2EI

EA = GA = ∞

Barra “AE”

Restantes barras

EIEI

EI

a) Estabeleça a matriz de rigidez associada aos graus de liberdade assinalados, de forma a realizar a

análise dinâmica da estrutura.

b) Determine as frequências naturais do oscilador e respectivos modos de vibração, a partir da


c) Determine o esforço axial máximo (para efeitos de dimensionamento) na barra “AE”, quando a

estrutura é sujeita às componentes vertical e horizontal (coeficiente de comportamento igual a 1 e

2.5, respectivamente para as duas componentes) do sismo tipo 1 do RSA, admitindo terreno tipo

II e amortecimento modal de 5%.


14. A estrutura representada em modelo na figura seguinte, destina-se a ser executada em Castelo

Branco.

C D

2EI 4.00

3.00 m 3.00 m

3EI m = 15 ton.

EA = 1.25 EI

EA = GA = ∞

EI = 60000 kNm2

Barra “AC”

Restantes barras

B A

a) Estabeleça a matriz de rigidez associada aos graus de liberdade que julgar necessários para

efectuar a análise dinâmica da estrutura.

b) Determine as frequências e respectivos modos de vibração.


- 12 -

c) Determine o esforço axial máximo na barra “AC”, quando a estrutura é sujeita à componente

horizontal do sismo tipo 1 do RSA (Terreno tipo I, amortecimento modal de 2% e coeficiente de



15. A estrutura representada em modelo na figura seguinte, será executada em Sagres.

22m

EI

1

3EI

2.00

3.00 m

2.00

3.00 m

EIm

B

CD

A

Em = 10 ton.

EI = 10000 kNm2

EA = 5EI

EA = GA = ∞

Barra “AE”

Restantes barras

a) Determine a matriz de rigidez associada aos graus de liberdade assinalados na figura, de forma a

realizar a análise dinâmica da estrutura.


característica.



d) Determine o esforço axial máximo (para efeitos de dimensionamento) na barra “AE”, quando a

estrutura é sujeita à componente horizontal do sismo tipo 2 do RSA, admitindo terreno tipo I,

amortecimento modal de 5% e coeficiente de comportamento igual a 2.5.


16. A estrutura representada em modelo na figura seguinte, destina-se a ser executada em Pombal.

Responda às questões seguintes, admitindo que a estrutura é sujeita às componentes vertical e

horizontal do sismo tipo 2 do RSA (coeficiente de comportamento igual a 1, terreno tipo II e

amortecimento modal de 5%) e dados os valores:

ω1= 4.56994 rad/s, {v1}={−0.96238 −0.52185 1}T; ω2= 14.11962 rad/s, {v2}={0.16336 0.323 1}

T;

ω3= 15.94229 rad/s, {v3}={1 −0.26649 v33}T.

a) Estabeleça a matriz de massas e determine o valor de v33.


- 13 -



c) Calcule os valores modais máximos regulamentares das acelerações absolutas e das forças de


d) Determine o momento flector máximo (para efeitos de dimensionamento) no ponto “A”.

B C

D

A

2

E

5m

m

EA = GA = ∞

EI

EI

EI

m = 20 ton.

EI = 40000 kNm2

3

1

EI

2.00

3.00 m 6.00 m

1.00


17. A estrutura representada em modelo na figura seguinte, será executada em Portimão. Responda às



de 10%) e dada a matriz:


característica.





d) Determine o corte basal e o momento flector máximo (para efeitos do dimensionamento da

estrutura) na barra “BC”, tendo em conta os limites impostos à análise pelo RSA, e comente o

valor adoptado para o coeficiente de comportamento.


- 14 -

C

D

EI = ∞

m = 2 ton.

2

3.00 m

m

k = 5000 kNm/rad

2m

2.00

1

E

F

B

A

4.00

2.00

EA = GA = ∞

EI

EI = ∞ EI

EI = 90000 kNm2

[ ]k =−

163125 - 2750 (kN / m)

2750 1000


18. A estrutura representada em modelo na figura seguinte, será executada em Loulé. Responda às


tipo 2 do RSA (coeficiente de comportamento igual a 1, terreno tipo II e coeficiente de

amortecimento modal de 5%).

a) Estabeleça as matrizes de massa e de rigidez.


característica.



d) Calcule os valores modais máximos regulamentares das forças de inércia, segundo os graus de



pontos “A” e “D”.


- 15 -

B

D

A

2

3.00

C

4.00 m

1 m

4.00 m

m = 70 ton.

EA= ∞

EI = 676800 kNm2

E

GA = ∞

EA= ∞

3EI

EA =

EI

0.1⋅EI

EA= ∞

EI

3.00

3.00


19. A estrutura representada em modelo na figura seguinte, será executada em Moura. Responda às

questões seguintes, admitindo que a estrutura é sujeita à componente vertical do sismo tipo 2 do

RSA (terreno tipo II e coeficiente de amortecimento modal de 5%). Dados:

EI = 2736000 kNm2 ; [ ]k =

24921 6156 729

6156 13072 6156

729 6156 24921

(kN/m) ; m = 500 ton.

B

D

A EA = GA = ∞

2

15 m 10

10

3

EC F

101010 15 m

1

m1.5mm

a) Estabeleça as matrizes de massa e de flexibilidade.


- 16 -

b) Determine as configurações e as frequências dos modos de vibração pelo método de Stodola

(garanta a estabilidade de três casas decimais).

c) Atendendo aos resultados da alínea anterior, determine a frequência fundamental pelo método de

Rayleigh simplificado.

d) Determine os valores dos factores de participação e das percentagens de massa modal efectiva,


e) Calcule os valores modais máximos regulamentares dos deslocamentos relativos e das forças de


f) Determine o valor máximo (para efeitos do dimensionamento da estrutura) do momento flector no

ponto “D”, sabendo que:

M F F FD t t t t( ) ( ) ( ) ( ). . .= ⋅ + ⋅ − ⋅164835 2 59615 0 494501 2 3 .


20. A estrutura representada em modelo na figura seguinte irá ser construída na Chamusca. Responda

às questões seguintes, admitindo que a estrutura é sujeita, simultaneamente, à componente segundo

“x” (horizontal) e à componente segundo “z” (vertical) dos sismos tipo 1 e tipo 2 do RSA (terreno

tipo II e coeficiente de amortecimento modal de 5%).

f1= 1.499537 Hz, {φ1}={0.00000 0.15696 0.01351}T ;

f2= 1.735700 Hz, {φ2}={0.09129 0.00000 0.00000}T;

f3= 2.990567 Hz, {φ3}={0.00000 0.01911 −0.11098}T

B

E

A

3

C 1

z

x

D

F

G

2



b) Calcule os valores modais máximos regulamentares das forças de inércia, segundo os graus de


c) Determine os momentos flectores máximos, para efeitos do dimensionamento da estrutura e

admitindo um coeficiente de comportamento igual a 1.5, nas secções dos pontos “A” e “D”

[ ] ton.

8000

0400

00120

m

=


- 17 -

(MA = 1.99006 F1 ; MD = −0.36585 F2 −1.22203 F3).


21. A estrutura representada em modelo na figura seguinte, será executada em Silves. Responda às


tipo 1 do RSA (coeficiente de comportamento igual a 1.5, terreno tipo II e coeficiente de

amortecimento modal de 5%).

a) Calcule as frequências naturais do oscilador e respectivos modos de vibração.



d) Calcule os valores modais máximos regulamentares dos deslocamentos relativos, segundo os

graus de liberdade assinalados.

e) Determine o momento flector máximo (para efeitos do dimensionamento da estrutura) no ponto

“A” (MA = −435.60 d1 + 4114.87 d2).

B D

A

2 C

1


22. O sistema estrutural da figura será executado em Nisa. Responda às alíneas seguintes, admitindo

que a estrutura é sujeita à componente horizontal do sismo tipo 1 do RSA (terreno tipo II,

coeficiente de amortecimento modal de 5%).

a) Estabeleça a matriz de rigidez do pórtico da figura.


característica.

[ ] ton. 180

010m

= [ ] m/kN 10

76776.66618060.100

18060.10020197.586f 6-⋅

=


- 18 -



d) Calcule os valores modais máximos regulamentares dos deslocamentos relativos, segundo os

graus de liberdade assinalados, e do corte basal.


pontos “A” e “B” e verifique os limites impostos à análise pelo RSA (coeficiente de


f) Calcule os momentos flectores nos pontos “A” e “B”, com base na distribuição de forças estáticas


Rayleigh (f = 3.77930 Hz).

g) Determine os valores dos factores de correcção dos resultados da análise dinâmica plana, tendo

em conta o efeito da torção nos pórticos dos alinhamentos “1” e “3”, com base nas

excentricidades definidas no RSA.

B

D

A

EA = GA = ∞

2

(ton.)


2.00

4.00

4.00 EI vigas = ∞

E

C

F G

1

EI

60EI

EI EI [ ]m =

30 0

0 60

6.00 m

Pórtico

8.55 m 2.55 0.30

2

0.30 0.30

3 1

Alinhamento dos pórticos em planta



- 19 -

23. A estrutura representada em modelo na figura seguinte, corresponde a um dos três pórtico da

estrutura de um edifício que irá ser construído em Alcobaça. Responda às questões seguintes,

admitindo que a estrutura é sujeita à componente horizontal do sismo tipo 1 do RSA (coeficiente de

comportamento igual a 2, terreno tipo I e coeficiente de amortecimento modal de 5%) e dados os

seguintes valores para o edifício:

ω1= 8.84648 rad/s, {φ1}=10-2⋅{0.18781 8.28909 8.98265}T

ω2= 40.96694 rad/s, {φ2}=10-2⋅{−0.26016 −6.98564 10.65234}T;

ω3= 64.55857 rad/s, {φ3}=10-2⋅{9.05532 −0.37261 0.11974}T;

B

D

A

EA = GA = ∞

2

3.50 m 3.35


3.00

3.35

5.00

EI

EI vigas = ∞

C

1

EI

8EI

EI

EI 8EI EI

EI

EI

3

3.00

3.35

z

x






pilares “AB” e “CD” e verifique os limites impostos à análise pelo RSA.

d) Admitindo que o edifício integrava uma conjunto de edifícios em banda contínua, qual deveria ser

a dimensão mínima para a junta sísmica?

e) Determine as coordenadas do centro de massa do edifício, ao nível do primeiro piso elevado.

f) Tendo em conta o efeito da torção do edifício, efectue a correcção dos valores dos momentos

flectores nos pilares “AB”, obtidos da análise dinâmica plana da alínea “c”, nos pórticos dos

alinhamentos “A” e “C”, com base nas excentricidades definidas no RSA. A localização dos

pórticos em planta está apresentada na figura seguinte.

[ ] ton.

5.5100

0850

008.121

m

=


- 20 -

Cargas permanentes (kN/m2):

g1= 7.93 ; g2= 5.88

Sobrecargas (kN/m2):

q1= 2 (ψ2=0.2) ; q2= 2 (ψ2=0)

6.60

4.50

0.30 A

B

7.00 m

0.30

0.30

C

1 2

7.00 m y

x

g) Determine a matriz de massa do primeiro piso elevado, de forma a possibilitar a análise dinâmica

espacial do edifício, considerando três graus de liberdade (duas translações e uma rotação) no

centro de massa de cada piso.

(2º Teste – 2003/04)

24. O piso apresentado em planta na figura seguinte, rígido no seu plano, é carregado de forma distinta

em três zonas (delimitadas na figura). Pretende-se efectuar uma análise dinâmica espacial do edifício,

considerando três graus de liberdade (duas translações e uma rotação) num determinado ponto.

Assinale a localização desse ponto e determine a matriz de massas, de acordo com o referencial

estipulado.

5.00 m

6.00 m8.00 m

6.00 m

8.00 m

3.00 m

2

1

3


g1= 8.5 ; g2= 7 ; g3= 8.6


q1= 5 (ψ2=0.6) ; q2= 2 (ψ2=0) ; q3= 2 (ψ2=0.2)

(Teste único – 1999/00)


- 21 -

25. O edifício de um andar (6 m de altura) apresentado em planta na figura seguinte, sendo rígido no

seu plano, é carregado de forma distinta em duas zonas. A estrutura é de betão armado C20/25

(B25), sendo as vigas absolutamente rígidas.

8.00 m 4.00 m

0.30

2 1 Cargas permanentes (kN/m2):

g1= 9.4 ; g2= 11.7


q1= 2 (ψ2=0.2) ; q2= 5 (ψ2=0.6)

P1

5.00

0.30 0.60 0.30

0.30

a) Determine as coordenadas do centro de massa do edifício.

b) Calcule os valores dos factores de correcção dos resultados das análises dinâmicas planas, tendo

em conta o efeito da torção no pilar P1 e com base nas excentricidades definidas no RSA.

c) Determine a matriz de massa de forma a possibilitar a análise dinâmica espacial do edifício,

considerando três graus de liberdade (duas translações e uma rotação) no centro de massa do

edifício. (2º Teste – 2001/02)


seu plano, é carregado de forma distinta em duas zonas. A estrutura é constituída por pilares

quadrados, com 30 cm de lado, em betão C25/30 (B25), sendo as vigas absolutamente rígidas.



em conta o efeito da torção no pilar P1 e com base nas excentricidades definidas no RSA.



edifício.

6.00 m 3.00 m

4.80 2

1


g1= 8.2 ; g2= 4.5


q1= 4 (ψ2=0.4) ; q2= 2 (ψ2=0.2)

P1

4.80

1


- 22 -

27. Considere o edifício apresentado em planta na figura seguinte, rígido no seu plano e com diferentes

cargas em duas zonas. Os pórticos dos alinhamentos “A” e “D” têm rigidez “kp”, e os pórticos dos

alinhamentos “B” e “C” têm rigidez “4kp”.


b) Calcule os valores dos factores de correcção dos resultados das análises dinâmicas planas nos

alinhamentos “A” e “D”, tendo em conta o efeito da torção do edifício e com base nas

excentricidades definidas no RSA.



edifício.


g1= 8.224 ; g2=10.16


q1= 2 (ψ2=0.2) ; q2= 4 (ψ2=0.4)

4.40

0.30 0.30 0.30

1

2 y

x 1

1

5.00 m

5.00 m

5.00 m

5.00 m

5.00 m 5.00 m

0.30

4.40

5.00 m

(2º Teste – 2004/05)


- 23 -


seu plano, é carregado uniformemente. A estrutura é de betão armado C20/25 (B25), sendo os

pilares rotulados na ligação à laje e encastrados na fundação.

B


g= 10.16


q= 4 (ψ2=0.4)

1.35

0.60

1.20

1.35

1.20

0.30

1

2

A

1.35

1.35 m

0.30

1.351.35

0.30



em conta o efeito da torção nos alinhamentos “A” e “1”, com base nas excentricidades definidas

no RSA.



mesmo.

(2º Teste – 2002/03)

d) Efectue a análise dinâmica espacial do edifício, com base nos resultados da alínea anterior, de

forma a determinar os momentos flectores no pilar dos alinhamentos “A” e “1” (componentes

horizontais dos sismos 1 e 2 do RSA, terreno tipo II e coeficiente de comportamento igual a 2.5).


- 24 -

SOLUÇÕES:

Nota: Os resultados estão apresentados com cinco casas decimais, no entanto os cálculos foram

efectuados com todas as casas decimais que os meios de cálculo permitiram. Tendo em conta a

possibilidade de existirem resultados incorrectamente transcritos para o texto, os alunos devem atender

a essa possibilidade nos seus estudos, tirando dúvidas com o docente da disciplina sempre que não

consigam chegar ao resultado apresentado.

1.

a)

i) 45 144 46080 451 1 1⋅ + ⋅ + ⋅ = − ⋅&& &( ) ( ) ( ) ( )d d d at t t gx t

ii) ( )d d dt T t P(t1 123 1 123 1 1233 30 88536 8 55390 10 9 43926 10 m( . ) ( . ) . ) . . .= = =

− −= + = + × = ×

(para a direita)

MA t( . ) .= =123 289 97 kNm

ii) MA max = ±264 46. kNm

b)

i) [ ]k =−

−

50000 3920

3920 3920 (kN/m)

ii) ω1 25 28361= . rad / s ; { } { }φ1 0 072233 0= . .39122 T

ω2 35 43798= . rad / s ; { } { }φ2 013041 0= − . .21668 T

iii) { } { }1 1 1xT= ; P x1 5 20622= . (54.2%); P x2 4 78490= − . (45.8%)

iv) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )MA max = − + − + ⋅ − ⋅ − ⋅ −57 42754 69 67756 2 57 42754 69 67756 0 29032 2 858502 2. . . . cos . .

MA max .= ±37 82 kNm

v) Sa1x = 3.767 m/s2 ; Sa2x = 4.020 m/s

2

{ }dd

dxx

x1

11

21

32 21591

12 002810=

=

× −.

. (m) ; { }d

d

dxx

x2

12

22

3199737

3 3187210=

=−

× −.

. (m)

{ }FF

Fxx

x1

11

21

63 74449

38 36460=

=

.

. (kN) ; { }F

F

Fxx

x2

12

22

112 87790

20 83907=

=−

.

. (kN)

vi) C.Q.Completa - µ12 0 07882= .

M M M M M MA Ax A1x A x A1x A x= = + + ⋅ ⋅ ⋅ = ±22

22 122 38 07µ . kNm

Fb = ±142.75495 kN; δ = 0.11653 > 0.04α = 0.04


- 25 -

2.

a) 43 5 0

0 6

5287 5 1125

1125 750

43 5 0

0 6

0 68966

01

2

1

2

. &&

&&

. . .( )

+

= −

⋅

⋅d

d

d

dagx t

b) ω1 7 32248= . rad / s ; { } { }φ1 010853 0= − . .28508 T

ω2 13 89003= . rad / s ; { } { }φ2 010588 0= . .29223 T

c) { } { }1 0 68966 0xT= . ; P x1 3 25590= − . (51.2%); P x2 317628= . (48.8%)

d)

i) NAC t( . ) .= = −0 4 1415 kN

ii) NAC max .= ±32 40 kN

e) Sa1x = 1.115 m/s2 ; Sa2x = 1.170 m/s

2

i) { }F x117 13897

6 20961=

−

.

. (kN) ; { }F x2

1711561

6 51591=

.

. (kN)

ii) C.Q.Simples: N N N NAC ACx AC x AC x= = + = ±12

22 27 00. kN

3.

a) 5 0

0 30

5000 7500

7400 15000

5 0

0 30

1

01

2

1

2

+

−−

= −

⋅

⋅&&

&& ( )

d

d

d

dagx t

b) ω1 9 41075= . rad / s ; { } { }φ1 0 24941 0= . .15155 T

ω2 37 56911= . rad / s ; { } { }φ2 0 37121= −. 0.10182 T

c) { } { }1 1 0xT= ; P x1 124703= . (31.1%); P x2 185605= . (68.9%)

d) d d P1 0 37 1 0 3739 43462 10

m( . ) ( . ) .= = − × − (para a esquerda)

d d P2 0 37 2 0 3736 60020 10

rad( . ) ( . ) .= = − × − (sentido anti-horário)

MA kNm( . ) .0 37 2126=

e) Sa1x = 1.144 m/s2 ; Sa2x = 3.373 m/s

2

i) { }d x135 05672

3 0725910=

× −.

. ; { }d x2

164631

0 45157=

−

×.

.10-3

ii) C.Q.Simples: kNm 66.21MA ±=


- 26 -

4.

a) { } { }1 1 1xT= ; P x1 9 80316= . (71.2%); P x2 6 23684= − . (28.8%)

b) Sa1x = 2.240 m/s2 ; Sa2x = 2.611 m/s

2

{ }dd

dxx

x1

11

21

33 63035

131124510=

=

× −.

. (m) ; { }d

d

dxx

x2

12

22

310=

=

× −1.93626

- 4.28861 (m)

{ }FF

Fxx

x1

11

21 66 95953=

=

148.3087 (kN)

. ; { }F

F

Fxx

x2

12

22=

=

140.44768

- 38.88470 (kN)

c) C.Q.Completa - µ12 010646= .

MA = ±39 21. kNm ; ME = ±87 88. kNm ; Fb = ±247.61 kN; δ = 0.09358 > 0.04α = 0.028

d) Ressonância nos modos 1 e 2:

modo1: H = 17 03. m ; modo2: H = 1278. m

e) f = 3.06339 Hz ; MA = ±43 57. kNm ; ME = ±79 70. kNm

5.

a) ω1 10 27833= . rad / s ; { } { }vT

1 0 89315 1= − .

ω2 2131583= . rad / s ; { } { }vT

2 0 55982= . 1

b) { } { }1 1 0xT= ; P x1 2 47933= − . (61.5%); P x2 196289= . (38.5%)

{ } { }1 0 1yT= ; P y1 138797= . (38.5%); 75315.1P y2 = (61.5%)

c) Sa1x = 2.300 m/s2 ; Sa2x = 2.530 m/s

2 ; Sa1y = 1.533 m/s

2 ; Sa2y = 1.687 m/s

2

{ }FF

Fxx

x1

11

21 791484=

=−

14.13828 (kN) ; { }F

F

Fxx

x2

12

22=

=

9.74789

8.70633 (kN)

{ }FF

Fyy

y1

11

21 2 95391=

=

- 5.27656 (kN)

. ; { }F

F

Fyy

y2

12

22=

=

5.80422

5.18404 (kN)

d) C.Q.Simples

MAx = ±5217. kNm ; MAy = ±27 65. kNm ; M M MA Ax Ay= + = ±2 2 59 05. kNm

6.

a) { } { }1 1 1xT= ; P x1 16 46609= . (96.8%); P x2 2 97789= . (3.2%)


- 27 -

b) Sa1x = 1.145 m/s2 ; Sa2x = 1.170 m/s

2

{ }d x1319 39521

129443810=

× −. (m) ; { }d x2

30 79429

21422410=

−

× −.

. (m)

{ }F x1226 47453

83 97181=

.

. (kN) ; { }F x2

20 81939

3119474=

−

.

. (kN)

c) C.Q.Completa - µ12 0 05578= .

MA = ±5719. kNm ; MB = ±14 98. kNm ; δ = 0.05671 > 0.04α = 0.020

d) MA = ±79 89. kNm ; MB = ±7 98. kNm

e) MA = ±6103. kNm ; MB = ±1137. kNm

7.

a) { } { }1 1 1xT= ; P x1 8 08665= . (50.3%); P x2 8 03779= . (49.7%)

b) Sa1x = 2.989 m/s2 ; Sa2x = 3.269 m/s

2

{ }dd

dxx

x1

11

21

3105771

6 5347410=

=

× −.

. (m) ; { }d

d

dxx

x2

12

22

32 39826

12939410=

=−

× −.

. (m)

{ }FF

Fxx

x1

11

21

68 50022

126 96239=

=

.

. (kN) ; { }F

F

Fxx

x2

12

22

25198289

40 78582=

=−

.

. (kN)

c) C.Q.Completa - µ12 014424= .

NAB = ±6217. kN ; MB = ±35 23. kNm ; δ = 0.09663 > 0.04α = 0.028

d) f = 4.38075 Hz ; NAB = ±79 00. kN ; MB = ±26 51. kNm

8.

a) ω1 9 90732= . rad / s ; { } { }vT

1 0 75461 1= .

ω2 24 34654= . rad / s ; { } { }vT

2 0 48189= − . 1

b) { } { }1 1 1xT= ; P x1 1717083= . (98.3%); P x2 2 27216= − . (1.7%)

c) Sa1x = 2.340 m/s2 ; Sa2x = 2.350 m/s

2

{ }FF

Fxx

x1

11

21 224 35057=

=

465.56867 (kN)

. ; { }F

F

Fxx

x2

12

22=

=

49.44172

- 37.30933 (kN)

d) C.Q.Simples


- 28 -

Fb x1 689 91924= . kN ; Fb x2 1213239= . kN ; F F F Fb bx b x b x= = + = ±12

22 690 03. kN

MA = ±207 01. kNm ; δ = 0.09388 > 0.04α = 0.04

9.

a) { } { }1 1 1xT= ; P x1 6 55416= . (57.3%); P x2 5 66065= − . (42.7%)

b) Sa1x = 1.443 m/s2 ; Sa2x = 1.461 m/s

2

{ }d x130 39595

19173010=

× −.

. (m) ; { }d x2

30 29894

0 4012810=

−

× −.

. (m)

{ }F x135 53352

26 47154=

.

. (kN) ; { }F x2

58 99870

1218395=

−

.

. (kN)

c) C.Q.Completa - µ12 0 05864= .

kNm 29.21MA ±= ; kNm 09.17MC ±= ; δ = 0.04346 > 0.04α = 0.012

d) f = =122

6 Hz ; MA = ±23 52. kNm ; MC = ±16 71. kNm

10.

a) [ ]k =−

−

125062 5 17400

17400 17400

. (kN/m)

b) ω1 29 82391= . rad / s ; { } { }φ1 0 07663 0= . .19823 T

ω2 44 16014= . rad / s ; { } { }φ2 0 07238 0= − . .20986 T

c) { } { }1 1 1xT= ; P x1 9 27532= . (84.3%); P x2 3 99606= − . (15.7%)

d) Sa1x = 2.758 m/s2 ; Sa2x = 2.814 m/s

2

{ }d x132 20350

5 7000410=

× −.

. (m) ; { }d x2

30 41737

12100910=

−

× −.

. (m)

{ }F x1176 39406

60 83988=

.

. (kN) ; { }F x2

73 25326

28 31792=

−

.

. (kN)

e) C.Q.Completa - µ12 0 05908= .

MA = ±53 25. kNm ; MG = ±19 67. kNm ; δ = 0.09766 > 0.04α = 0.028


- 29 -

11.

a) { } { }1 1 0xT= ; 02600.7P x1 = (98.7%); 79600.0P x2 = (1.3%)

{ } { }1 0 1yT= ; 71200.0P y1 = (1.3%); 28440.6P y2 −= (98.7%)

b) Sa1x = 2.632 m/s2 ; Sa2x = 2.814 m/s

2 ; Sa1y = 1.755 m/s

2 ; Sa2y = 1.876 m/s

2

{ } (kN) 13.16661

129.92783

F

FF

x21

x11x1

=

= ; { } (kN) 14.07670-

1.78300

F

FF

x22

x12x2

=

=

{ } (kN) 0.88952

8.77774

F

FF

y21

y11

y1

=

= ; { } (kN) 74.09015

9.38447-

F

FF

y22

y12

y2

=

=

c) C.Q.Simples

kNm 15724.97MFx ±= ; kNm 34785.39MFy ±= ; kNm 62.104MMM 2Fy

2FxF ±=+=

Para efeitos do dimensionamento: kNm 75.695.162.104

MF ±=±=

12.

a) [ ]m =

25 0

0 25 (ton) ; [ ] 410

5.475.6

75.627f −×

= (m/kN)

b) ω1 3 72228= . rad / s ; { } { }vT

1 1 0 27698= .

ω2 12 33169= . rad / s ; { } { }vT

2 0 27698= − . 1

c) { } { }1 1 0xT= ; 81857.4P x1 = (92.9%); 33467.1P x2 −= (7.1%)

{ } { }1 0 1yT= ; 33467.1P y1 = (7.1%); 81857.4P y2 = (92.9%)

d) Sa1x = 0.531 m/s2 ; Sa2x = 1.719 m/s

2 ; Sa1y = 0.354 m/s

2 ; Sa2y = 1.146 m/s

2

{ }dd

dxx

x1

11

21

3

0 9849810=

=

× −3.55608 (m)

. ; { }d

d

dxx

x2

12

22

310=

=

× −0.80567

- 2.90872 (m)

{ }dd

dyy

y1

11

21

3

18188210=

=

× −6.56651 (m)

. ; { }d

d

dyy

y2

12

22

310=

=

× −-1.93915

7.00094 (m)

{ }FF

Fxx

x1

11

21 3 41181=

=

12.31771 (kN)

. ; { }F

F

Fxx

x2

12

22=

=

3.06297

-11.05828 (kN)

{ }FF

Fyy

y1

11

21 0 63001=

=

2.27454 (kN)

. ; { }F

F

Fyy

y2

12

22=

=

- 7.37219

26.61590 (kN)


- 30 -

e) C.Q.Simples

kNm 48.26MBx ±= ; kNm 19.29MBy ±= ; kNm 40.39MMM 2By

2BxB ±=+=

13.

a) [ ]k =−

−

39932 20250

20250 84375 (kN/m)

b) ω1 18 39902= . rad / s ; { } { }φ1 0 09782 0= . .02937 T

ω2 4181263= . rad / s ; { } { }φ2 0 02077 0= − . .13834 T

c) { } { }1 1 0xT= ; 78200.9P x1 = (95.7%); 07665.2P x2 −= (4.3%)

{ } { }1 0 1yT= ; 46841.1P y1 = (4.3%); 91692.6P y2 = (95.7%)

Sa1x = 2.233 m/s2 ; Sa2x = 2.814 m/s

2 ; Sa1y = 1.489 m/s

2 ; Sa2y = 1.876 m/s

2

NAE x1 58 16975= . kN ; NAE2x = 0 63970. kN ; NAEx = ±5817326. kN (C.Q.Simples)

NAE y1 14 55347= . kN ; NAE2y = −355121 kN ; NAEy = ±14 98048. kN (C.Q.S.)

NAE = ±60 07. kN

14.

a) [ ]

=

150

015m (ton) ; [ ]

−

−=

80009000

900021150k (kN/m)

b) rad/s 11979.151 =ω ; { } { }T1 150788.0v =

rad/s 40924.412 =ω ; { } { }T2 0.507881v −=

c) Grau de liberdade vertical positivo para baixo:

{ } { }1 1 0xT= ; 61813.7P *

x1 = ; 15P *x2 =

Sa1x = 2.45 m/s2 ; Sa2x = 3.82 m/s

2

kN 16.13N x1AC = ; kN 63.10N x2AC = ; kN 91.16NN ACxAC ±== (C.Q.Simples)

15.

a) [ ]

=

200

010m (ton) ; [ ]

−

−=

62252625

26252625k (kN/m)

b) rad/s 98328.91 =ω ; { } { }T1 62032.01v =


- 31 -

rad/s 77347.212 =ω ; { } { }T2 80603.01v −=

c) { } { }Tx 111 = ; 32642.5P x1 = (94.6%); 27642.1P x2 −= (5.4%)

d) Sa1x = 0.531 m/s2 ; Sa2x = 1.719 m/s

2 ; Sa1y = 0.354 m/s

2 ; Sa2y = 1.146 m/s

2

kN 31266.43N x1AE = ; kN 76974.2N x2AE = ; kN 40.43NN AExAE ±== (C.Q.Simples)

18.

a) [ ]

=

700

070m (ton) ; [ ]

=

96305640

56407520k (kN/m)

a) rad/s 36640.61 =ω ; { } { }T1 0.830291v −=

rad/s 29926.142 =ω ; { } { }T2 183029.0v =

b) { } { }1 1 0xT= ; 43703.6P x1 = (59.2%); 34459.5P x2 = (40.8%)

{ } { }1 0 1yT= ; 34459.5P y1 −= (40.8%); 43703.6P x2 = (59.2%)

c) Sa1x = 2.09 m/s2 ; Sa2x = 2.35 m/s

2 ; Sa1y = 1.393 m/s

2 ; Sa2y = 1.567 m/s

2

{ } (kN) 90287.71

86.59992

F

FF

x21

x11x1

−=

= ; { } (kN) 80.84772

67.12689

F

FF

x22

x12x2

=

=

{ } (kN) 39.80006

47.93524-

F

FF

y21

y11

y1

=

= ; { } (kN) 64.91541

53.89848

F

FF

y22

y12

y2

=

=

d) C.Q.Simples

kNm 70972.328MAx ±= ; kNm 39202.216MAy ±= ; kNm 54.393MMM 2Ay

2AxA ±=+=

kNm 27799.583MDx ±= ; kNm 39202.216MDy ±= ; kNm 12.622MMM 2Dy

2DxD ±=+=

23.

a) { } { }Tx 1 111 =

90054.11P x1 = (54.8%); 76870.0P x2 −= (0.2%); 77433.10P x3 = (45.0%)

b) Sa1x = 1.358 m/s2 ; Sa2x = 3.402 m/s

2 ; Sa3x = 3.409 m/s

2

{ } (m) 10

54943.18

11721.17

38783.0

d 3x1

−×

= ; { } (m) 10

65986.1

08851.1

04054.0

d 4x2

−×

−

=


- 32 -

{ } (m) 10

10552.0

32837.0

98019.7

d 4x3

−×

−= ; { } (kN)

76155.74

86561.113

69810.3

F x1

=

{ } (kN)

1434651

52813.15

82866.0

F x2

−

= ; { } (kN)

26491.2

63298.11

10570.405

F x3

−=

c) C.Q.Completa - 00268.012 =µ ; 00120.013 =µ ; 04422.023 =µ

kNm 32.46MAB ±= ; kNm 52.9MCD ±= ; δ = 0.08691 > 0.04α = 0.028

d) Junta sísmica maior que o máximo deslocamento horizontal do edifício (grau de liberdade 3):

23x33x3213x33x3112x32x312

x332

x322

x31x3 dd2dd2dd2dddd µ⋅⋅⋅+µ⋅⋅⋅+µ⋅⋅⋅+++=

= 1.86 cm

e) massa = 121.8 ton ; XCM = 6.39655 m ; YCM = 6 m

f) 05963.1xA =ξ ; 30247.1xC =ξ

g) [ ]

=

64655.340600

08.1210

008.121

m

24.

Ponto (Centro de Massa) → XCM = 8.36 m ; YCM = 5.722 m

[ ]m =

204 08163 0 0

0 204 08163 0

0 0 11936 28218

.

.

.

25.

a) XCM = 6.5 m ; YCM = 2.5 m

b) 61166.11yP =ξ ; 04602.11xP =ξ

c) [ ]

=

33333.105300

0800

0080

m


- 33 -

27.

a) XCM = 8.1 m ; YCM = 7.5 m

b) 06713.1yA =ξ ; 73847.1yD =ξ

c) [ ]

=

33333.836100

02000

00200

m

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