Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear 04-11-2000Copyright 2000,...
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Engenharia e Gestão da Produção
Teoria de Sistemas de
Controlo LinearResolução do Exame de 2ª Época
Ano lectivo 1999/2000
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Teoria de Sistemas de Controlo LinearTeoria de Sistemas de Controlo Linear
IIO esquema do sistema mecânico mola-massa-amortecedor representado na figura seguinte, apresenta
k
m
b
F
x
a seguinte equação diferencial:
onde F é a entrada do sistema e o sistema apresenta as seguintes características físicas:
Fkxdt
dxb
dt
xdm
2
2
kgm 2 1 9 Nmk 1 6 Nsmb
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a) Determine a função de transferência do sistema.
Fkxdt
dxb
dt
xdm
2
2
Fkxxbxm Fxxx 962
Aplicando a transformada de Laplace:
sFsxssxsxs 962 2
sFsxss 962 2
jsjssssF
sxsG
5,15,15,15,1
5,0
962
12
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b) Sabendo que o sistema é de 2ª ordem, calcule as suas frequências e indique o ganho do sistema.
Obs.: Tenha em atenção a função de transferência de um sistema de 2ª ordem.
95
5,45,45,0
z 5,1707,01121,2ξ1
707,0121,2
5,15,1ξ5,1ξ3ξ2
z 121,25,4
22
2
kk
Hww
www
Hww
nd
nnn
nn
Frequência natural:
Coeficiente de amortecimento:
Frequência natural amortecida:
Ganho:
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c) Considerando que o sistema é colocado em movimento por uma força em rampa, determine a resposta temporal resultante.
Como a entrada é uma rampa:
2
1
ssF
962
962
11
962
1
21211
21211
22222
ss
csc
s
b
s
b
sssssssFsGsx
ttF
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074,081
6
962
64
962
1
1
1
!12
1
0
220
2
0
2
0
212
12
11
ss
ss
ss
s
ssds
d
ssGds
dssG
ds
db
9
1
962
1
1
1
1
1
!0
1
!22
1
020
2
0
2
0
20
0
0
222
22
12
ss
s
ss
ssssGssG
ssGds
dssG
ds
db
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15,475,675,6
5,4
15,15,1
5,4
15,15,1
5,15,1
15,15,1
1
962
121111
121111
1211
21211
5,15,125,15,11211
5,15,12
5,15,11211
jccjc
jcjcc
jcjc
jcjc
scsc
sssGcsc
jsjs
jsjs
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11121211
1111
121111
75,65,405,475,6
148,075,6
1175,6
15,475,675,6
cccc
cc
jccjc
222,05,4
148,075,6
5,4
75,6 1112
cc
5,43
5,4025,0
5,43
074,0
9
1074,0
5,43
111,0074,0
9
1074,0962
222,0148,0
9
1074,0
222
22
22
ssss
s
ss
ss
s
ss
ss
s
sssx
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Aplicando a transformada de Laplace inversa:
twew
tgtwet
tx
ntwn
ntw
n
n
2ξ
2
212ξ
2
ξ1senξ1
025,0
ξ
ξ1ξ1sen
ξ1
074,0
9074,0
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IIIIConsiderando que o sistema cuja função de transferência de malha aberta é dada por:
Considere agora que no sistema foi introduzida uma realimentação unitária negativa e um compensador em avanço, com a seguinte função de transferência:
421)(
ssss
KsG
1
31)(
s
ssGc
r ce+
_cG G
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Obtenha a função de transferência em anel fechado através do grafo de fluxo e da fórmula de ganho de Mason.
Obs.: Poderá resolver este problema por outro método que conheça, mas a cotação da pergunta passará a valer metade.
G c
1
G
r c
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skssss
sk
ssss
skssss
ssss
sk
PG
ssss
skssss
ssss
skGGL
ssss
skGGL
ssss
skGGP
c
c
c
31421
31
421
31421
421
31
.
1
421
31421
421
31111
421
31
421
31
2
2
2
21
1
2
2
2
2
2
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IIIIIIA função de transferência de malha aberta de um sistema é a seguinte:
jsjss
sKsHsG
224
2)(
a) Seguindo os procedimentos, esboce o gráfico do L.G.R.
1 Número de ramos, zeros e pólos
nº de zeros m=1 (s=-2)
nº de pólos n=3 (s=-2+j; s=-2-j; s=-4)
n>m n=3 ramos
3 Número de ramos para infinito
nº de ramos para infinito n-m=3-1=2
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4 Assimptotas dos ramos para infinito
k>0 k<0
l=0
l=1
5 Origem das assimptotas
902
180
2702
1803
1802
360
0
3
2
6
2
2422
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6 Pontos de convergência/divergência
Não há pontos de convergência ou divergência para . Existe, no entanto um ponto para em -1,245.
2
544
2
224 2
s
sss
s
jsjss
sHsG
Ksw
0
ds
sdw
0245,1745,0877,2745,0877,2
02232142
02
2232142
02
544
23
2
23
2
sjsjs
sss
s
sss
s
sss
ds
d
0k0k
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k>0 k<0
l=0
l=1
7 Ângulos de partida dos ramos de cada um dos pólos complexos
6,262
1tan 1
4,153906,26901801
6,2062704,3332703601802
4,333360
6,26906,26901
6,262704,3332703602
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0k 0k
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b) Utilize o critério de Routh e determine o limite de K para o qual o sistema em anel fechado é estável.
0220218
0220218
0220218
020218
21
0224
21
01
23
23
23
23
kskss
kkssss
sksss
sss
sk
jsjss
sk
sHsGA equação característica, para o anel fechado, é:
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4
3
2
37
4
4
2
54242
521
8
2
8
2021
8
220218
kkk
kk
kk
kka
0
220
21
8
1
0
1
2
3
k
k
b
a
s
s
s
s
k
a
kab 220
08220
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102
20
202
0220
k
k
k
k 0b
10k
0a
667,236
14832
4372
37
4
3
04
3
2
37
k
k
k
k
k
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IVIVDada a função de transferência em anel aberto:
64
2)(
2
sss
sKsHsG
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2
232
2
245,1745,0877,2745,0877,2
2
2232142
2
544
s
sjsjs
s
sss
ds
d
s
sss
ds
d
25,25,125,15,15,15,12962 22 sjsjsss
Algumas indicações úteis:
222962
64
962
1
ss
s
ssds
d
jj 5,45,15,1 2
20218544224 232 ssssssjsjss
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a) Determine o ganho de Bode.
kkkk
p
zKK
i
iB 083,0
1224
2
641
2
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b) Coloque a função de transferência na forma de Bode.
614112
21
6141
2112
2
2
jwjwjw
jwk
jwjwjw
jwk
jwHjwG
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c) Considerando K=10, construa o esboço do diagrama de Bode.
0
587,1833,0log20 10
G
6141
21833,0
2 jwjwjw
jw
jwHjwG
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Ganho:
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Zero em 2:
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Pólo duplo na origem:
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Pólo em 4:
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Pólo em 6:
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Adicionando todos os sinais:
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d) Determine as margens de ganho e de fase, para K=10. Justifique.
Do diagrama da alínea c), tira-se:
frequência de cruzamento de ganho é cerca de:
0,3 rad/sec. margem de fase é aproximadamente:
-180-(-175) = -5 a frequência de cruzamento de fase é cerca de:
2 rad/sec. margem de ganho é aproximadamente:
30 db.