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Transformada Z

ENGC33: Sinais e Sistemas II

Departamento de Engenharia Eletrica - DEEUniversidade Federal da Bahia - UFBA

23 de janeiro de 2017

Prof. Tito Luís Maia Santos 1/ 23

Sumario

1 Apresentacao

2 Introducao

3 Transformada Z

4 Transformada Inversa

5 Comentarios Finais

Sumario

1 Apresentacao

2 Introducao

3 Transformada Z

Apresentacao

Objetivos da aula de hoje:

Apresentar a transformada Z como ferramenta para analise desistemas de tempo discreto.

Sumario

1 Apresentacao

2 Introducao

3 Transformada Z

IntroducaoAspectos gerais

A Transformada Z corresponde a transformada de Laplace para ossistemas de tempo discreto.

Permite analisar sinais que nao sao absolutamente somaveis.

Extensao da transformada de Fourier de tempo discreto (DTFT).

Para tanto, vamos considerar uma exponencial complexa na forma

x [n] = zn = (rejΩ)n,

com z = rejΩ.

x [n] = zn = (rejΩ)n = rn cos(Ωn) + jrnsen(Ωn)

com z = rejΩ.

Sumario

1 Apresentacao

2 Introducao

3 Transformada Z

Transformada ZCaracterizacao de um sistema

Seja z = rejΩ ⇒ zn = rnejΩn.

Para x [n] = zn, temos y [n] = H(z)zn.

Sistemax[n] y[n]

De maneira similar a analise de resposta em frequencia:

H(z) =∞∑

n=−∞h[n]z−n.

Para r = 1⇒ z = rejΩ = ejΩ, temos

H(z) =∞∑

n=−∞h[n]z−n ⇒ H(ejΩ) =

∞∑n=−∞

h[n]e−jΩn.

Sistemax[n] y[n]

H(z) =∞∑

n=−∞h[n]z−n.

H(z) =∞∑

∞∑n=−∞

h[n]e−jΩn.

Sistemax[n] y[n]

H(z) =∞∑

n=−∞h[n]z−n.

H(z) =∞∑

∞∑n=−∞

h[n]e−jΩn.

Seja x [n] = zn.

Sistemax[n] y[n]

Sabemos que

y [n] = x [n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x [n] =∞∑

k=−∞

x [k ]h[n − k ]

=∞∑

k=−∞

x [n − k ]h[k ].

Seja x [n] = zn.

Sistemax[n] y[n]

Sabemos que

y [n] = x [n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x [n] =∞∑

k=−∞

x [n − k ]h[k ]

=∞∑

k=−∞

x [n − k ]h[k ] =∞∑

k=−∞

zn−k h[k ] = zn∞∑

k=−∞

z−k h[k ]

= zn∞∑

n=−∞z−nh[n] = zn

∞∑n=−∞

h[n]z−n

︸︷︷︸H(z)

Transformada ZComentarios

A resposta ao impulso (h[n]) e um sinal especial - caracteriza umsistema linear invariante no tempo (SLIT).

A transformada Z bilateral tambem caracteriza um SLIT:

H(z) =∞∑

n=−∞h[n]z−n.

A transformada Z bilateral pode ser utilizada para um sinal x [n]:

X (z) =∞∑

n=−∞x [n]z−n.

Se comparada a transformada de Fourier, temos:

X (z) = X (rejΩ) =∞∑

n=−∞

x [n]r−ne−jΩn =∞∑

n=−∞

(x [n]r−n︸︷︷︸s[n]

)e−jΩn = Fx [n]r−n.

H(z) =∞∑

n=−∞h[n]z−n.

X (z) =∞∑

n=−∞x [n]z−n.

X (z) = X (rejΩ) =∞∑

n=−∞

(x [n]r−n︸︷︷︸s[n]

H(z) =∞∑

n=−∞h[n]z−n.

X (z) =∞∑

n=−∞x [n]z−n.

X (z) = X (rejΩ) =∞∑

n=−∞

(x [n]r−n︸︷︷︸s[n]

H(z) =∞∑

n=−∞h[n]z−n.

X (z) =∞∑

n=−∞x [n]z−n.

X (z) = X (rejΩ) =∞∑

n=−∞

(x [n]r−n︸︷︷︸s[n]

Introducao a soma de convolucaoComentarios

A Transformada Z e uma extensao da transformada de Fourier:

X (z) =∞∑

n=−∞(x [n]r−n︸︷︷︸

Para r = 1, a transformada Z recai na transformada de Fourier.

O fator r e utilizado para garantir que o sinal s[n] = x [n]r−n sejaabsolutamente somavel:

∞∑n=−∞

|x [n]r−n| <∞.

A faixa de valores de z tal que X (z) converge e chamada de regiaode convergencia (RDC).

Introducao a soma de convolucaoComentarios

A Transformada Z e uma extensao da transformada de Fourier:

X (z) =∞∑

n=−∞(x [n]r−n︸︷︷︸

Para r = 1, a transformada Z recai na transformada de Fourier.

O fator r e utilizado para garantir que o sinal s[n] = x [n]r−n sejaabsolutamente somavel:

∞∑n=−∞

|x [n]r−n| <∞.

A faixa de valores de z tal que X (z) converge e chamada de regiaode convergencia (RDC).

Transformada ZExemplos

Exemplo 10.1 (Oppenheim) Considere

x [n] = anu[n],

determine X (z).

x [n] = −anu[−n − 1],

determine X (z).

x [n] = 7(1/3)nu[n] + 6(1/2)nu[n],

determine X (z).

x [n] = anu[n],

determine X (z).

x [n] = −anu[−n − 1],

determine X (z).

x [n] = 7(1/3)nu[n] + 6(1/2)nu[n],

determine X (z).

x [n] = anu[n],

determine X (z).

x [n] = −anu[−n − 1],

determine X (z).

x [n] = 7(1/3)nu[n] + 6(1/2)nu[n],

determine X (z).

Transformada Z IPropriedades da RDC

A regiao de convergencia nao contem polos.

Se x [n] tem duracao finita⇒ RDC e todo plano z, exceto,possivelmente, para z = 0 e/ou z =∞.

Considere uma transformada na forma:

X (z) =

N2∑n=N1

x [n]z−n.

Se o sinal possui “componentes causais” (N2 > 0), entaoz = 0 /∈ RDC.Se o sinal possui “componentes nao-causais” (N1 < 0), entaoz =∞ /∈ RDC.O sinal x [n] = cδ[n] e o unico no qual a RDC e todo plano z.

Transformada Z IIPropriedades da RDC

Se x [n] e uma sequencia de lado direito e se a circunferencia|z| = r0 pertence a RDC, entao todos os valores finitos de z taisque |z| > r0 tambem pertencerao a RDC.

Se x [n] e uma sequencia de lado esquerdo e se a circunferencia|z| = r0 pertence a RDC, entao todos os valores finitos de z taisque 0 < |z| < r0 tambem pertencerao a RDC.

Se x [n] e uma sequencia de ambos os lados e se a circunferencia|z| = r0 pertence a RDC, entao a RDC consistira de um anel noplano z que contem |z| = r0.

Exemplo 10.5 (Oppenheim) Determinar a transformada Z de δ[n] ede δ[n − 1].

Exemplo 10.8 (Oppenheim) Determinar as possıveis RDC quepodem ser obtidas a partir da funcao a seguir:

X (z) =1

(1− (1/3)z−1)(1− 2z−1).

Exemplo 10.5 (Oppenheim) Determinar a transformada Z de δ[n] ede δ[n − 1].

Exemplo 10.8 (Oppenheim) Determinar as possıveis RDC quepodem ser obtidas a partir da funcao a seguir:

X (z) =1

(1− (1/3)z−1)(1− 2z−1).

Sumario

1 Apresentacao

2 Introducao

3 Transformada Z

Transformada Z inversaDefinicao

Vimos que

X (rejΩ) = Fx [n]r−n ⇒ F−1X (rejΩ) = x [n]r−n

Assim temos

x [n] = rnF−1X (rejΩ) = rn 12π

X (rejΩ)ejΩndΩ

X (rejΩ)(rejΩ)ndΩ

Como z = rejΩ, temos dz = jrejΩdΩ e

x [n] =1

X (rejΩ)(rejΩ)ndΩ =j

X (rejΩ)(rejΩ)n−1(rejΩ)dΩ

ffiX (z)(z)n−1dz

Vimos que

Assim temos

X (rejΩ)ejΩndΩ

x [n] =1

ffiX (z)(z)n−1dz

Vimos que

Assim temos

X (rejΩ)ejΩndΩ

x [n] =1

ffiX (z)(z)n−1dz

Transformada Z inversaExemplos

Exemplo 10.9 (Oppenheim) Determinar a transformada inversa de

X (z) =3− 5

6 z−1

(1− 14 z−1)(1− 1

3 z−1), |z| > 1

X (z) =3− 5

6 z−1

(1− 14 z−1)(1− 1

3 z−1),

14< |z| < 1

Exemplo 10.11 (Oppenheim) Determinar a transformada inversa dea partir da funcao a seguir:

X (z) =3− 5

6 z−1

(1− 14 z−1)(1− 1

3 z−1)|z| < 1

X (z) =3− 5

6 z−1

(1− 14 z−1)(1− 1

3 z−1), |z| > 1

X (z) =3− 5

6 z−1

(1− 14 z−1)(1− 1

3 z−1),

14< |z| < 1

X (z) =3− 5

6 z−1

(1− 14 z−1)(1− 1

3 z−1)|z| < 1

X (z) =3− 5

6 z−1

(1− 14 z−1)(1− 1

3 z−1), |z| > 1

X (z) =3− 5

6 z−1

(1− 14 z−1)(1− 1

3 z−1),

14< |z| < 1

X (z) =3− 5

6 z−1

(1− 14 z−1)(1− 1

3 z−1)|z| < 1

X (z) = 4z2 + 2 + 3z−1, 0 < |z| <∞.

X (z) =1

1− az−1 , |z| > a.

Exemplo 10.13 (Continuacao) Determinar a transformada inversade

X (z) =1

1− az−1 , |z| < a.

X (z) = 4z2 + 2 + 3z−1, 0 < |z| <∞.

X (z) =1

1− az−1 , |z| > a.

X (z) =1

1− az−1 , |z| < a.

X (z) = 4z2 + 2 + 3z−1, 0 < |z| <∞.

X (z) =1

1− az−1 , |z| > a.

X (z) =1

1− az−1 , |z| < a.

Sumario

1 Apresentacao

2 Introducao

3 Transformada Z

Comentarios Finais

Nesta aula apresentou-se a Transformada Z.

Na proxima aula discutiremos sobre:

Propriedades da Transformada Z.

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