UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

ESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

ENG 01201 – MECÂNICA ESTRUTURAL I

QUESTÕES DE PROVAS

QUESTÕES APROFUNDADAS

CISALHAMENTO CONVENCIONALTEORIA TÉCNICA DO CISALHAMENTO

TORÇÃO SIMPLESSOLICITAÇÕES COMPOSTAS

Prof. Eduardo Bittencourt

Prof. João Ricardo Masuero

Porto Alegre

Janeiro de 1999

QUESTÕES DE PROVAS

M-1) Dimensionaros pinos de seçãocircular das rótulasA e B da vigaGerber abaixo, paraum coeficiente desegurança 2,5 porGuest. O materialdos pinos temtensão deescoamento igual a250 MPa.

M-2) Dimensionar os pinos de seção circular das rótulas A e B da viga Gerber abaixo, para um coeficiente desegurança 2,5 porGuest. O materialdos pinos temtensão deescoamento igual a250 MPa.

M-3) Entre as teorias de St. Venant, Rankine e Guest, qual a mais adequada para o dimensionamento dospinos das rótulas abaixo?

Com a(s) teoria(s) escolhida(s) acima, dimensionar os pinos das rótulas A, B, C e D

Tensão de Escoamento : 250 MPa.

1000 Kgf

A

B

C

D

50 cm 50 cm

70 cm

E

M-4) Entre as teorias de St. Venant, Rankine e Guest, qual a mais adequada para o dimensionamento dospinos das rótulas abaixo? E para dimensionar o cabo? Justifique.

Com a(s) teoria(s) escolhida(s) acima, dimensionar o cabo, os pinos das rótulas A, B, e os cordões de soldaem A para um coeficiente de segurança 3. O eixo da polia em B está submetida à corte duplo.

Cabo, Chapas e Pinos: σe = 250 MPa

Solda: σe = 280 MPa

50 kN/m

AB C

D

3 m 3 m 5 m

Rótula B

Rótula A

50 kN

AB C

D

2m 3m 6 m

Rótula B

Rótula A

3m 3m

150 kN

3000 kgf

A B

a

b c5 mm5

5

Detalhe de "A"

M-5) Calcular para a treliça abaixo

a) o alongamento total da barra AB; b) o diâmetro do pino da rótula B;c) o diâmetro da barra AB d) as dimensões da seção transversal da barra BC, sabendo

que a mesma é feita com uma chapa de 12 mm deespessura;

Dados: E = 210.000 MPa: ν = 0,3; σe = 250 MPa; SGuest = 3

800 mm

600 mm

20000 N60

o

VISTA FRONTAL

A

BC B

A

BC

VISTA INFERIOR

VISTA LATERAL

h

12 mm

φ φ

M-6) Calcular as tensões de cisalhamento devido à flexão na seção AB.

Dados: Iz = 175833 cm4.

σT=1,2 kN/cm2; σC= -2,0 kN/cm2

80 kN.m

30 kN/m

2 m 4 m 2 m

30 cm

10 cm

10 10 cm10

Gz

A B15 cm4 cm

M-7) Verificar a segurança da viga abaixo. Calcular as tensões de cisalhamento devido à flexão na seção AB.

Dados: Iz = 175833 cm4.

σT=1,2 kN/cm2; σC= -2,5 kN/cm2

90 kN.m

30 kN/m

6 m 2 m

30 cm

10 cm

10 10 cm10

Gz

A B15 cm7 cm

M-8) Dimensionar os parafusos da peça aolado para um coeficiente de segurança iguala 2 por von Mises, considerando somente as

tensões tangenciais. σe= 3200 kgf/cm2.

1000 Kgf

5000 Kgf

90 cm

20 cm

M-9) Verificar a segurança da treliça abaixo (diâmetro das barras 8 mm) e dimensionar os pinos A e C(segurança = 1,5). Empregar von Mises. σesc MPa= 500 .:

Pino A

Pino C

500 Kgf

P = 500 Kgf

AB

C D

5m

5m 5m

N-1) Utilizando a teoria de Guest, encontrar odiâmetro da barra BC para S=2 e verificar abarra AB. Calcular o ângulo total de torção entreA e C utilizando o diâmetro calculado. As barrasABC são de seção circular cheia.

N-2) Utilizando a teoria de Guest, encontrar odiâmetro da barra BC para S=2,5 e verificar abarra AB. Calcular o ângulo total de torção entreA e C utilizando o diâmetro calculado. As barrasABC são de seção circular cheia.

N-3) Verificar à torção o corpo do parafuso de uma roda de automóvel e dimensionar à torção a chave deroda utilizada para apertá-lo, utilizando um coeficiente de segurança igual a 5 por von Mises.

Tanto a chave como o parafuso são feitos em aço com tensão de escoamento de 250 MPa.

As barras da chave de roda tem seção coroa circular com o diâmetro interno igual a 0,8 do diâmetro externo.O parafuso tem diâmetro igual a 10 mm (1 cm) .

Parafuso

Chave de Roda

45 Kgf

45 Kgf

30 cm 20 cm

N-4) Dimensionar a barra AB de seção circular cheia e a barra BC de seção coroa circular com diâmetrointerno igual à metade do diâmetro externo, para um coeficiente de segurança igual a 4 por von Mises.Calcular o ângulo total de torção ao longo de AB e AC;

Dados: E = 210.000 MPa: ν = 0,3; σe = 250 MPa

AB

C

300 Kgf

300 Kgf

2 m3 m

1,5 m

1,5 m

1600 Kgf.m

8 cm

AB

C

500 Kgf

500 Kgf

4 m5 m

1,5 m

1,5 m

2600 Kgf.m

12 cm

850 mm

450 mm

2300 N2300 N

350 mm 200 mm

3000 Nm

A

B

C

N-5) Dimensionar a barra ABC de seção circular cheia para um coeficiente de segurança igual a 4 por vonMises. Calcular o ângulo total de torção da seção A em relação à seção B e à C;

Dados: E = 210.000 MPa: ν = 0,3; σe = 250 MPa;

950 mm

300 mm

350 mm 200 mm

4000 Nm

A

B

C

N-6) Dimensionar as barras AB e BC à direita para umcoeficiente de segurança 3 por von Mises. Calcular oângulo total de torção entre A e C.

OBS.: O diâmetro externo dos tubos pode resultardiferente, apesar disto não estar indicado no desenho.

N-7) O eixo da figura abaixo tem, no intervalo AB, seção transversal circular cheia com diâmetro de 10 cm.No intervalo BC tem seção retangular vazada de pequena espessura. O material do setor AB tem módulo deelasticidade E = 105.000 Mpa e coeficiente de Poisson 0,20; o do setor vazado BC tem um G = 80.000 Mpa etensão de escoamento σe = 150 Mpa. Determinar: a) as tensões máximas nas duas seções; b) o coeficientede segurança da seção vazada usando a teoria de Guest; c) a rotação total do eixo.

C

A

B

10 kN

10 kN

20 kNm

1,2 m

2 m

1 m

E = 210.000 MPa= 0,3ν

σ = 100 MPae

E = 180.000 MPa= 0,2ν

σ = 400 MPaeR int = 0,7 R ext

1m1m

1m

2m

10 KNm

2 KN

2 KN

5 150 5 Seção BC (cm)

3

184

3

A

BC

O-1) Determinar a tensão de escoamento para a coluna ao lado,para que a mesma tenha um coeficiente de segurança igual a 5.Posicionar a linha neutra sobre a seção mais crítica.

Desprezar os efeitos do esforço cortante.

O-2) Qual deve ser a tensão limite à tração e à compressão para o pilar abaixo para um coeficiente desegurança por Coulomb igual a 2?. Calcular a posição da linha neutra e esboçá-la sobre a seção.E = 10.000

kN/cm2. ν = 0,3

5 cm

20 cm

5 cm

4 cm 4 cm3 cm50 kN

4 cm

3 cm

320 cm

O-3) Descrever a posição da linha neutra em relação ao baricentro e eixos pfrincipais centrais de inércia deuma seção, com relação à inclinação e posição, para as seguintes situações de carga:

a) Somente esforço normal

b) Somente momento fletor em torno de 1 eixo principal central de inércia

c) Esforço normal e momento fletor em torno de 1 eixo principal central de inércia

d) 2 Momentos fletores, cada um em relação a um eixo principal central de inércia

e) Momento fletor em relação a um eixo qualquer baricêntrico que não é principal central de inércia

80 kN

15 kN/m

1,5 m

20 cm10 cm

4 cm

f) Esforço normal e 2 momentos fletores em torno dos eixos principais centrais de inércia.

g) Na situação f), o que acontece com a linha neutra à medida que o esforço normal cresce em comparaçãocom os momentos fletores?

h) Na situação f), o que acontece com a linha neutra à medida que um dos momentos fletores cresce emrelação às demais solicitações?

O-4) Desprezando o esforço cortante,qual a tensão de escoamento que deveter o material da a peça ao lado paraque o coeficiente de segurançautilizando a teoria de von Mises seja iguala 5.

Qual a teroria de resistência que resultano menor coeficiente de segurança parao caso ao lado, e por que?

O-5) Determinar a tensão de escoamento para a peça abaixo, para um coeficiente de segurança 2(desprezar o efeito do cortante; empregar a teoria de Guest-Tresca).

10000 kgf20000 kgf

1500 kgf

200 cm

20 cm

20000 kgf

10000 kgf

1500 kgf

Seção Transversal

20 cm

espessura = 1 cm

18 cm

10 cm

0,8 m

50 KN3 cm

10KNm

P-1) Determinar a tensão de escoamento para acoluna ao lado, para que a mesma tenha umcoeficiente de segurança igual a 4. Posicionar alinha neutra sobre a seção mais crítica. Desprezaros efeitos do esforço cortante.

P-2) Dimensionar o cabo e os parafusos, e a espessura da parede do cilindro central à torção para para σe= 250 MPa e S = 4 por von Mises. O conjunto pode girar livremente em torno do eixo AB. Considerar ocilindro central como tubo de parede fina.

1000 kgf

15 cm

15 cm

40 cm

A

B

500 Kgf/m

0,9 m

3 cm

10000 Kgf

10000 Kgf10000 Kgf

20 cm

10 cm

1,5 cm

P

P-3) Verificar a segurança da estrutura ao lado, utilizando ateoria de Guest. Indicar a seção crítica e os pontos críticosnesta seção. Desprezar os efeitos do esforço cortante.

Dados: σe= 2800 Kgf/cm2

Diâmetro de AB = 8,0 cm

Diâmetro de BC = 8,0 cm.

P-4) Verificar a segurança da estrutura abaixo, utilizando a teoria de Guest. Indicar a seção crítica e ospontos críticos nesta seção. Desprezar os efeitos do esforço cortante.

Dados: σe= 3500 Kgf/cm2

Diâmetro de AB = 8,0 cm

Diâmetro de BC = 6,0 cm.

25 Kgf/cm

150000 Kgf.cm

A

B

C70 cm

150 cm

250000 Kgf.cm

P-5) Verificar a segurança da estrutura abaixo, utilizando a teoria de Coulomb. Indicar a seção crítica e ospontos críticos nesta seção. Desprezar os efeitos do esforço cortante.

Dados: σT= 1400 Kgf/cm2

σC= -2800 Kgf/cm2

Diâmetro de AB = 13,0 cm

Diâmetro de BC = 8,0 cm.

25 Kgf/cm

150000 Kgf.cm

A

B

C70 cm

150 cm

250000 Kgf.cm

1000 Kgf

100000 Kgf.cm

A

B

C50 cm

130 cm

P-6) Verificar a segurança da estrutura abaixo, utilizando a teoriade Guest. Indicar a seção crítica e os pontos críticos nesta seção.Desprezar os efeitos do esforço cortante.

Dados: σe= 3500 Kgf/cm2

Diâmetro de AB = 8,0 cm

Diâmetro de BC = 6,0 cm.

P-7) Dimensionar a barra AB ao lado para S=3 por von Mises, sabendo que a mesma tem seção transversal

coroa circular com raio interno igual a 70% do externo. Verficar a barra BC por von Mises. σe= 2500 kgf/cm2

. Desprezar os efeitos doesforço cortante.

P-8) Dimensionar a barra AB ao lado para S=3 por von Mises, sabendo que a mesma tem seção transversal

coroa circular com raio interno igual a 80% do externo. Verficar a barra BC por von Mises. σe= 2500 kgf/cm2

. Desprezar os efeitos doesforço cortante.

800 Kgf

100000 Kgf.cm

A

B

C80 cm

150 cm

1.000 Kgf

150.000 Kgf.cmA

C

B

120 cm

5 cm

150 cm

Seção BC

10 cm

15cm1 cm

2 cm

1.200 Kgf

120.000 Kgf.cmA

C

B

80 cm

5 cm

150 cm

Seção BC

12 cm

16cm1 cm

3 cm

P-9) Verificar a segurança do tubo à direita por von Mises.F=10000 N; φ ext = 15 cm; φ int = 10 cm; σ e = 200 MPa.

P-10) Verificar a segurança do trecho AB na grelha abaixo onde σe

= 200 Mpa com seção circular de 10 cm

de raio. (Desprezar o efeito do cortante; empregar teoria de von Mises).

F 1 m

2 F

5F

0.5 m 0.5 m

3m

1m1m

1m1m

40KN

20KN/m

10KN30KN

36,6KN 20KN

83,3KN

A

BB

QUESTÕES APROFUNDADAS

1) Uma prateleira para suportar livros é sustentada por duas mãos-francesas em suas extremidades. A cargade projeto é de 45 kgf/m de comprimento da prateleira. Considerando isoladamente os efeitos de esforçonormal e de corte, dimensionar os parafusos necessários para a fixação da prateleira, sabendo que osmesmos são todos de um mesmo diâmetro. As bitolas disponíveis para os parafusos são 4, 5, 6.3, 8, 10 e12.5 mm. As buchas plásticas de fixação correspondentes são de diâmetro 5, 6, 8, 10, 12 e 14 mm. Osparafusos são encontrados com comprimentos de 5, 10 e 15 diâmetros. A tensão de escoamento dosparafusos é de 230 MPa e o atrito entre a bucha e a parede é de B/160 kgf/mm2. Utilizar um coeficiente desegurança 4 por Guest.

2500 mm

(350+A.20)mm

200 mm

150 mm

50 mm

120 mm

45 kgf/m45 kgf/m

2) Qual a perda da capacidade resistente em tensões e deformações do eixo abaixo se fosse aberto um rasgono sentido longitudinal ao longo de todo o seu comprimento? Espessura da parede: 5 mm.

20 mm 20 mm30 mm

20 mm

20 mm

30 mm

rasgo : 1mm

3) Escolher a bitola dos parfusos da tampa do vaso de pressão abaixo de modo que se tenha um coeficientede segurança mínimo de 3 utilizando von Mises. A pressão interna no vaso de pressão é de 0,5 N/mm2 Asbitolas padronizadas dos parafusos são 4, 5, 6.3, 8, 10, 12.5, 16, 20, 22.2 e 25 mm, podendo ser

encontrados em duas classes: σe = 600 MPa e σe = 1000 MPa. A espessura da chapa utilizada para o vasode pressão e para a tampa é de (A.5) mm.

6000 mm

1500 mm

(B+10).25 mm

(A+20).25mm

4) Dimensionar, utilizando um coeficiente de segurança igual a 3 por von Mises, os seguintes componentes:A espessura da chapa do cilindro central, à flexão e à torção; a alavanca CDE à flexão, esforço normal etorção, sendo a mesma de seção circular cheia; os rebites em função do esforço normal e de corte, sabendoque os mesmos foram colocados a 150 oC acima da temperatura de operação. As solicitações indicadasacima agem simultanemente em cada componente. Tensão de escoamento: 2700 kgf/cm2. α = 0,0001 oC -1

B*100 + 1500 kgf

13 cm

A+16 cm

A

B

70 cm

C

D

E

16 cm

40 cm70 cm

30o

40cm 35 35 80 cm 120 cm

F

FF

F

Respostas - Área 3

M-1) Diâm. A = 4,37 cm Diâm Diâm. B = 3,09 cmM-2) Diâm. A = 4,79 cm Diâm Diâm. B = 2,76 cmM-3) Pino A e B diâm. = 2,24cm Pino C diâm. = 1,89cm Pino D diâm. = 1,01cmM-4) Diâm. Cabo = 21,4 mm Diâm. Pino A = 28,2 mm Diâm. Pino B = 23,7mm c = 78,72 mmM-5) a) 0,318 mm b) 1,75 cm c) 12,36 mm d) 12 x 17,32 mmM-6) n = 1,3 Tensão de cisalamento = 27,6 N/cm²M-7) n = 0,94 Tensão de cisalamento = 27,47 N/cm²M-8) Diâm. = 1,55 mmM-9) Segurança = 3,6 Pino A diâm. = 6,83 mm Pino C diâm. = 6,83 mmN-1) Diâm. BC = 7,15 cm nAB = 3,59 Ãngulo total = 0,142 radN-2) Diâm. BC = 12,4 cm nAB = 0,83 Ãngulo total = 0,104 radN-3) n parafuso = 0,13 Raio ext. = 2,03 cm Raio int.= 1,62 cmN-4) Diâm. AB = 5,36 cm barra BC diâm. Ext. = 6,4 cm ângulo total = 0,0062 radN-5) Diâm. ABC = 8,26 cm ângulo total = 0,011 radN-6) Diãm externo AB = 88,6 mm Raio BC = 73,5 mm ângulo total = 0,043 radN-7) a) Trecho AB tensão máx. = 2,037x107 Pa trecho BC tensão máx. = 3.45 x 107 Pa b) n = 2.175 c) –0.00087 radO-1) Tensão de escoamento = 243MPa Linha neutra : y = 1,23cm z = -1,66cmO-2) Tensão limite de tração = 1,46KN/cm2 Tensão limite de compressão = 2,64KN/cm2

Linha neutra: y = -10,37cm z = 2,61cmO-4) Tensão de escoamento = 1582 Kgf/cm²O-5) Tensão de escoamento = 7,5 KN/cm²P-1) Tensão de escoamento = 4100Kgf/cm² linha neutra: y = 5,12cm z = -2,91cmP-2) Cabo: raio = 7,1mm Parafuso: raio = 12,1mmP-3) n = 1,26P-4) n = 0,73P-5) n = 1,38P-6) n = 1,16P-7) Raio ext,. barra AB = 6,44 cm n BC = 2,45P-8) Raio ext,. barra AB = 7,20 cm n BC = 3,24P-9) n = 3,4P-10) n = 3,14