Enfunamento de Placas 2012 2013

Departamento de Engenharia Civil FCTUC Estruturas Metlicas II R. Simes

1

Mestrado Integrado em Engenharia Civil

ESTRUTURAS METLICAS II

rea de Especializao em Mecnica Estrutural

2012-2013

ENFUNAMENTO DE CHAPAS METLICAS

Rui A. D. Simes


1

1. INTRODUO

As estruturas metlicas, devido elevada resistncia dos metais (e em

particular do ao), tendem a ser bastante esbeltas, e como tal bastante

condicionadas por fenmenos de instabilidade. Nas estruturas constitudas

por peas lineares (estruturas recticuladas), os fenmenos de instabilidade

devem ser verificados a trs nveis: estabilidade global, estabilidade ao nvel

dos elementos (vigas e pilares) e estabilidade local.

Este texto refere-se ao estudo de elementos ou componentes de estruturas

metlicas constitudos por seces esbeltas (como as ilustradas na figura

1), onde a anlise e dimensionamento tendem a ser condicionados por

fenmenos locais.

Figura 1 Seces metlicas esbeltas

De entre os fenmenos locais, destacam-se os associados a elementos

metlicos (vigas ou pilares) com seces de classe 4 submetidos a esforo

axial ou esforo axial+flexo, encurvadura da alma de perfis por esforo

transverso e encurvadura, esmagamento ou enrugamento da alma de

perfis devido a cargas concentradas.

No seguimento deste documento, numa primeira fase efectuada uma

abordagem terica dos fenmenos envolvidos, e depois apresentadas as

metodologias de verificao regulamentar, de acordo com o

Eurocdigo 3.


2

2. ENFUNAMENTO DE CHAPAS METLICAS

2.1. Conceitos gerais

O enfunamento um fenmeno de instabilidade que ocorre em placas

delgadas quando solicitadas por foras no seu plano. Considere-se uma

placa rectangular perfeitamente plana (de dimenses a x b), articulada nos

seus quatro bordos e comprimida na direco da maior dimenso (direco

x), como se ilustra na figura 2. Se aplicarmos uma tenso x, surgem

deformaes w fora do plano, totalmente recuperveis (se retirarmos a

tenso que as provocou) no caso de a tenso x ter atingido um valor muito

reduzido. Para um determinado valor da tenso x

(x = crB), a placa no volta posio inicial, mesmo que a tenso seja

retirada nestas circunstncias diz-se que a placa enfunou. A tenso crB

que produziu o enfunamento da placa designada por tenso crtica de

enfunamento elstico.

a) Placa inicial b) Placa enfunada c) Fibras mdias aps enfunamento

Figura 2 Enfunamento de uma placa

Ao contrrio da encurvadura global ou lateral de uma barra, a ocorrncia do

enfunamento elstico no corresponde runa da placa. Efectivamente, se

aumentarmos o carregamento numa placa j enfunada, ela continuar a

resistir, devido aos efeitos de membrana que tendem a reter a deformao.

Como se pode observar na figura 2-c, as fibras traccionadas,

perpendiculares direco de aplicao da tenso, tendem a estabilizar as

Fibra taccionada Fibra comprimida


3

fibras comprimidas (efeito anlogo ao de uma mola no modelo plano

representado). No entanto, o efeito de membrana s se poder desenvolver

se as fibras traccionadas estiverem ancoradas nas suas extremidades, o

que s acontece, se a placa estiver apoiada em pelo menos um dos bordos

paralelos direco da solicitao.

2.2. Teoria linear do enfunamento elstico

2.2.1. Tenso crtica de enfunamento elstico

Considere-se novamente a placa rectangular, articulada nos seus quatro

bordos (figura 2). Admitindo o enfunamento como um fenmeno de

instabilidade por bifurcao de equilbrio, podemos calcular o valor da

tenso crtica de enfunamento elstico cr com base nas hipteses:

Placa inicialmente perfeitamente plana;

Deformaes devidas ao enfunamento so moderadas;

Placa solicitada por cargas aplicadas no seu plano mdio;

Material com comportamento perfeitamente elstico linear.

O estado de equilbrio da placa deformada traduzido pela seguinte

equao diferencial:

2

2x

4

4

22

4

4

4

dxwd

DN

dywd

dydxwd2

dxwd

(2.1)

sendo:

w - Deformao da placa perpendicular ao seu plano;

Nx - Esforo normal por unidade de comprimento ( tN xx );

t - Espessura da placa;

- Coeficiente de Poisson;

D - Rigidez da placa para uma largura b unitria ( 2

3

112EtD

).

Supondo que a placa se deforma segundo uma superfcie sinusoidal

descrita pela equao:


4

bynsin

axmsinaw

1m 1nmn

(2.2)

em que m e n representam o nmero de semi-ondas nas direces x e y,

respectivamente, podemos calcular a carga crtica de enfunamento elstico

substituindo o valor de w dado pela expresso (2.2) na equao (2.1). De

acordo com as condies de contorno, por integrao obtm-se:

2

222

2

2

2

2

x mDa

bn

amN

(2.3)

O valor da carga crtica Ncr corresponde ao mnimo da funo Nx dada pela

expresso (2.3), que se obtm para um valor de n = 1, o que significa que

s existir uma semi-onda na direco y e que podem existir vrias semi-

ondas na direco x. Substituindo a rigidez da placa D pelo seu valor e

designando a relao entre as dimenses da placa por = a/b, vem:

2

2

22

cr bt

112tE

mmN

(2.4)

de onde se obtm a tenso crtica de enfunamento elstico:

2

2

22cr

cr bt

112E

mm

tN

(2.5)

Definindo o coeficiente de enfunamento k por:

2

mmk

(2.6)

e a tenso de referncia de Euler E por:

2

2

2

E bt

112E

(2.7)

a tenso crtica de enfunamento elstico pode ser expressa na forma:


5

Ecr k (2.8)

2.2.2. Coeficiente de enfunamento

Como se pode observar na equao (2.8), a tenso crtica de enfunamento

elstico directamente proporcional ao coeficiente de enfunamento k.

Assim, importante analisar cuidadosamente os parmetros que

influenciam o seu valor.

i) Influncia do nmero de concavidades

No exemplo ilustrado na figura 2, tem-se enfunamento com apenas uma

semi-onda (uma concavidade, m = 1). O coeficiente de enfunamento dado

pela equao (2.6) assume o valor:

2

11k

(2.9)

A figura 3-a mostra que esta expresso representa uma curva que passa

por um valor mnimo kmin = 4.0, para = 1. Se o enfunamento se produz

para duas semi-ondas (m = 2), obtm-se:

2

22k

(2.10)

A figura 3-b mostra que esta expresso representa uma curva que passa

por um valor mnimo kmin = 4.0, para = 2. A curva correspondente ao

enfunamento com m semi-ondas deduz-se da curva fundamental

(m = 1), multiplicando todas as abcissas por m, sem alterar as ordenadas.

A forma da curva est representada na figura 3-c.


6

a) Uma semi-onda b) Duas semi-ondas c) m semi-ondas

Figura 3 Valores do coeficiente de enfunamento

Em concluso, conhecendo o valor de = a/b, consegue-se determinar a

tenso crtica de enfunamento elstico. O enfunamento produz-se para o

menor valor da tenso crtica de enfunamento elstico cr, e como tal, para

o menor valor do coeficiente de enfunamento. Constata-se que para valores

de 1 , o valor de k praticamente constante (figura 3-c). Pode-se pois adoptar a hiptese conservadora de substituir as diversas

curvas por uma recta horizontal de ordenada kmin = 4.0.

ii) Influncia das condies de contorno

O tipo de condies de fronteira a introduzir no clculo depende do

comportamento real do bordo da placa, que influenciado pela ligao com

os elementos adjacentes. Frequentemente, admite-se a hiptese

conservadora de que esses bordos so articulados.

Na figura 4 so comparados os coeficientes de enfunamento de placas

comprimidas numa direco, no caso dos bordos paralelos solicitao

serem simplesmente apoiados ou encastrados. Esta figura evidencia que

quanto mais rgidas forem as ligaes duma placa, mais esta resiste ao

enfunamento. Naturalmente, possvel fazer a analogia com uma barra

Representao exacta

Simplificao


7

comprimida e encastrada nas suas extremidades, na qual a carga crtica de

encurvadura mais elevada que a da barra articulada.

Figura 4 Influncia das condies de contorno

iii) Influncia do tipo de solicitao

Tenses normais As tenses normais numa placa podem ser devidas a

traco, a compresso ou a flexo. Nas placas submetidas a tenses de

traco no h risco de instabilidade. No entanto, basta que uma parte da

placa esteja comprimida para que exista o risco de enfunamento. Esse risco

agravado medida que a zona comprimida aumenta, o que se traduz

numa diminuio do coeficiente de enfunamento.

A figura 5-a representa a variao do coeficiente de enfunamento k, duma

placa articulada nos seus quatro bordos, submetida s seguintes

solicitaes:

Compresso pura (curva 1, idntica da figura 4, em que kmin = 4.0);

Flexo pura (curva 2, para a qual kmin = 23.9).

A curva 3 da figura 5-b representa a evoluo do coeficiente de

enfunamento k em funo da relao das tenses extremas, no caso de

flexo composta. Na figura esto indicados os valores de k=4.0 e 23.9,

correspondentes compresso pura e flexo pura, respectivamente.


8

a) Solicitaes puras b) Flexo composta

Figura 5 Valores do coeficiente de enfunamento em funo do tipo de

solicitao

Tenses de corte Numa placa solicitada ao corte, o estado deformado

permite observar que se forma uma biela comprimida e uma biela

traccionada (figura 5-a). O enfunamento pode ser assimilado encurvadura

da biela comprimida, sendo o coeficiente de enfunamento dado pela curva

4.

Solicitaes compostas Para as placas submetidas simultaneamente

aco de tenses normais e de tenses de corte, existem relaes de

interaco aproximadas, baseadas no critrio de cedncia de

Von-Mises, permitindo assim ter em conta esses esforos. Essas relaes

baseiam-se no clculo duma tenso fictcia, designada por tenso crtica

de comparao.

O Quadro 1 resume os valores mnimos do coeficiente de enfunamento

para alguns casos correntes. Nesse quadro esto considerados diversos

tipos de solicitaes e de condies de contorno.


9

Quadro 1 Valores mnimos do coeficiente de enfunamento k

2.2.3. Placas reforadas

i) Funo de um reforo

Ao estudarmos os fenmenos de encurvadura e bambeamento, vimos que

podemos aumentar consideravelmente a resistncia ltima duma barra

flectida, ou comprimida, introduzindo apoios intermdios. Do mesmo modo,

numa placa comprimida, possvel conseguirmos um aumento da carga

crtica de enfunamento introduzindo apoios lineares, materializados por

nervuras de reforo. A placa fica assim dividida em diversos painis.

Tenses de corte (frmulas aproximadas) Tenses normais

Condies de contorno


10

A carga crtica duma placa reforada funo da posio do reforo e da

sua rigidez. A figura 6 ilustra o comportamento de uma placa articulada nos

seus quatro bordos, simplesmente comprimida numa direco e dotada

dum reforo longitudinal.

a) Placa no reforada b) Reforo flexvel c) Reforo rgido

Figura 6 Influncia de um reforo no modo de enfunamento

ii) Posio ptima e rigidez necessria de um reforo

Para que a eficcia dum reforo seja mxima, ele deve ser colocado a uma

distncia b/2 do bordo da placa, no caso desta estar articulada e

uniformemente comprimida. A figura 7 mostra a posio ptima dos

reforos para trs casos de solicitao duma placa simplesmente apoiada

nos seus quatro bordos.

Para que um reforo possa criar um apoio linear, este deve possuir uma

determinada rigidez. Supondo que os reforos esto dispostos

simetricamente em relao ao plano da placa, a sua rigidez pode ser

calculada adicionando equao diferencial (2.1) termos que tenham em

conta o efeito do reforo.

Definindo a rigidez relativa s dum reforo como sendo a relao das

rigidezes do reforo e da placa:

bDIE s

s

correntemacioaoopara

tbI92.10

3s (2.11)

b


11

em que Is a inrcia do reforo em relao ao plano mdio da placa, pode-

se determinar a variao do coeficiente de enfunamento k em funo da

rigidez relativa s (figura 8). O reforo representa um apoio fixo para a

placa desde que a sua rigidez relativa seja superior ou igual rigidez

relativa necessria s,nec.

a) Um reforo b) Dois reforos

Figura 7 Posio ptima dos reforos

Na realidade, a rigidez relativa necessria s,nec depende da relao

= a/b e ainda da rea relativa s do reforo, definida como o quociente

entre a rea do reforo e da placa ( tbAss ).

Figura 8 Relao entre o coeficiente de enfunamento e a rigidez relativa

de um reforo


12

No Quadro 2 so fornecidos alguns valores da rigidez relativa necessria

s,nec para placas que contm um ou dois reforos sem rigidez torsional.

Quadro 2 Valores da rigidez relativa necessria s,nec

mas

mas


13

Exemplo: Considere-se a placa articulada nos quatro bordos representada na

figura 9, com um reforo longitudinal. Verificar se o reforo suficientemente

rgido para poder ser considerado como um apoio da placa.

Figura 9 Placa compresso com um reforo longitudinal

A inrcia do reforo em relao ao plano mdio da placa dada por:

463333sss mm1091.412

10108021212

ttb2tI

A rigidez relativa ento dada por:

7.44101200

1091.492.10tb

I92.103

6

3s

s

A rea relativa do reforo (s) permite determinar a rigidez necessria s,nec

com base no Quadro 2:

16.010120012802

tbAs

s

;

09.3116.02181218212002400

ba

s ;

7.449.302116.02116.0218

22

211218

2

s2

4

s2

s

4

nec,s

logo o reforo pode ser considerado como um apoio longitudinal rgido.


14

2.3. Resistncia ltima ao enfunamento

2.3.1. Conceitos gerais

A teoria linear do enfunamento elstico considera um fenmeno de

instabilidade por bifurcao, baseando-se nas hipteses restritivas

formuladas no sub-captulo 2.2.1. No entanto, como veremos ao analisar as

diferentes hipteses de base, a realidade bastante diferente:

i) Placa inicial perfeitamente plana - Devido aos processos de fabrico

uma chapa nunca completamente plana. Assim sendo, o enfunamento

deixa de poder ser considerado um fenmeno de instabilidade por

bifurcao (figura 10 - curva a) passando a ter que se ter em conta as

imperfeies iniciais w0. O comportamento real da placa (curva b) revela

que as deformaes para fora do plano crescem medida que a carga

aumenta. Devido ao efeito de membrana, a resistncia ltima duma placa

muito maior que a carga crtica de enfunamento elstico Ncr. O ganho de

resistncia assim obtido designado por reserva pos-crtica.

Figura 10 Anlise do comportamento duma placa comprimida

ii) As deformaes para fora do plano so moderadas - Esta hiptese

deixa de ser vlida quando a carga crtica ultrapassada.

iii) As cargas so centradas - Na prtica no possvel assegurar que as

cargas sejam perfeitamente centradas.

Ncr

Reserva ps-crtica


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iv) O material tem um comportamento elstico e linear - Mesmo para

tenses inferiores ao limite de elasticidade, a presena de tenses

residuais, devidas por exemplo s operaes de laminao e de soldadura,

fazem com que determinadas fibras plastifiquem antes das tenses

aplicadas atingirem a tenso de cedncia.

A anlise do comportamento duma placa no domnio pos-crtico muito

complexa (teoria no linear) e necessita dum acentuado volume de clculo.

Por esta razo, so normalmente adoptados mtodos de clculo

simplificados. O comportamento duma placa delgada comprimida pode ser

resumido nas seguintes fases:

Domnio elstico, inferior carga crtica, no qual a distribuio de tenses

pode ser admitida uniforme;

Domnio pos-crtico, superior carga crtica, no qual a distribuio de

tenses deixa de poder ser admitida uniforme (figura 11). As fibras

situadas prximo dos bordos so mais solicitadas que as fibras centrais. A

razo de ser desta diferena deve-se ao facto de as fibras comprimidas

deslocarem-se para fora do seu plano.

Figura 11 Largura efectiva duma placa comprimida

Para o dimensionamento, podemos substituir o diagrama de tenses no

uniforme por um diagrama uniforme (com reas iguais), em que a tenso


16

igual tenso mxima, aplicado em zonas prximas dos bordos. Define-

se assim uma largura efectiva.

2.3.2. Largura efectiva

O clculo da largura efectiva, beff , foi pela primeira vez abordado por von

Karman em 1932. A sua teoria baseava-se na hiptese de que a tenso

crtica de enfunamento elstico duma placa fictcia de largura beff

(designada por cr,eff) igual a max: 2

eff

2

2

22

eff2

2

bb

bt

)1(12Ek

bt

)1(12Ekeff,cr

max

2

effcr b

b

(2.13)

Em geral a tenso interna mxima, max, considerada igual tenso limite

de elasticidade, resultando para a largura efectiva a seguinte expresso:

f y

creff

bb (2.14)

onde cr a tenso crtica de enfunamento elstico da placa real (com

largura b), max = fy a tenso interna mxima no bordo da placa e o

coeficiente de reduo, que traduz a eficcia da seco comprimida

1 .

Ao substituir na equao (2.14) a tenso crtica de enfunamento elstico

dada pela expresso (2.5), von Karman estabeleceu a expresso geral da

largura efectiva:

max

eff1

bt

)1(12Ekbb

2

2

2

(2.15)


17

Introduzindo o conceito de esbelteza duma placa:

K4.28

t/bf

cr

yp (2.16)

em que t a espessura da placa em causa, cr a tenso crtica de

enfunamento da placa, dada pela equao (2.8), k o factor de

enfunamento e b uma das seguintes larguras (definidas nos Quadros 4.1 e 4.2 do EC3-1-5):

b = d, para a alma;

b = b, para os banzos internos (excepto seces laminadas);

b = b - 3t, para banzos internos de seces laminadas;

b = c, para banzos em consola;

b = (b + h)/2, para cantoneiras de abas iguais;

b = h ou (b + h)/2, para cantoneiras de abas diferentes.

e considerando yf235 (com yf em MPa), das expresses anteriores

resulta ento a conhecida frmula de von Karman, representada

graficamente na figura 12.

p

1

(2.17)

A teoria de von Karman d resultados demasiado favorveis, j que na

realidade as imperfeies geomtricas e estruturais tm uma influncia

no desprezvel. Assim, Winter props uma frmula semi-emprica (mais

restritiva) para o clculo da largura efectiva duma placa comprimida, com os

bordos articulados:

maxmaxeff

E

tb415.01E9.1b t

(2.18)


18

Esta expresso, que representa um melhoramento da expresso de von

Karman, pode ser escrita da seguinte forma:

ppeff

22.01bb

(2.19)

A figura 12 compara as expresses propostas por von Karman e Winter,

com a teoria de Euler.

Figura 12 Relao entre as frmulas de Euler, von Karman e Winter

A capacidade resistente de uma placa, em que se consideram zonas

efectivas, influenciada pelo diagrama de tenses e pelas condies de

apoio. Esta influncia tida em conta, pelo coeficiente de enfunamento K

(que intervm no clculo de p ) e pela repartio das partes efectivas dos

elementos.

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