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Apostila ENEM em 100 Dias

Matemtica - Apostila

ndice

1. Progresso Aritmtica 2 2. Progresso Geomtrica 6 3. Funo do 1 Grau 11 4. Conjuntos 18 5. Princpio Multiplicativo e Permutaes 29 6. Probabilidade 41 7. Grfico Estatstico 42 8. Estatstica 46 9. Geometria Analtica 50 10. Geometria Plana 58 11. reas 68 12. Geometria Espacial 1 77 13. Geometria Espacial 2 81 14. Trigonometria 84 15. Aritmtica 94


2



Progresso Aritmtica Progresso Aritmtica: P.A. Definio: Sequncia numrica onde excetuando-se o primeiro e o ltimo todos os termos so mdias aritmticas dos seus vizinhos. Ex.: 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36.

2

261621

2

211116

2

16611

2

1116

1. Nomenclatura.

2. Razo de uma P.A. Constante formada a partir da diferena de um termo pelo seu antecessor. Ou seja:

1 nn aar

Ex.: 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36. r = 6 -1 = 11 6 = 16 11 = ...

A Progresso Aritmtica ser crescente se, e somente, se r > 0.

A Progresso Aritmtica ser decrescente se, e somente, se r < 0;

A Progresso Aritmtica ser montona ou constante se e somente se r = 0. 3. Termo Geral de uma Progresso Aritmtica.

razor

termosimona

termoprimeiroa

n

:

:

:1


3



Ex.: 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36.

rnaa

a

a

a

a

a

n )1(

5.991

5.31

5.21

51

1

1

100

4

3

2

1

ATENO! Poderamos utilizar como referncia outro termo da progresso no sendo, necessariamente, o primeiro. Repare que:

raa

rraa

rraa

raa

a

r

49

4950

4950

99

51100

1100

99

1100

1100

51

Utilizando o mesmo raciocnio, teramos:

raa

raa

raa

.60

.75

.90

40100

25100

10100

Portanto, poderamos utilizar uma generalizao do modelo numrico acima:

yxp

Para

ryaa xp

:

.

4. Representao Prtica de uma Progresso Aritmtica.


4



3 termos: x r, x , x + r

5 termos: x-2r, x r, x, x + r, x + 2r

7 termos: x 3r, x 2r, x r, x, x + r, x + 2r, x + 3r

5. Soma dos termos de uma Progresso Aritmtica

n

aaSn n .

2

1

Observao: A soma dos termos equidistantes ser constante. Ex.: 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36. 1 + 36 = 6 + 31 = 11 + 26 = 16 + 21 = 37. Exerccios Resolvidos

1. Calcule o 17 termo de uma PA cujo primeiro termo 3 e cuja razo 5. Soluo: a1 = 3 e r = 5 , utilizando o termo geral, temos:

a17 = a1+ 16r a17 = 3 + 16 . 5

a17 = 83

2. Determine a PA onde a5 = 15 e a8 = 21. Soluo: Para determinar a PA precisamos achar a, e r.

a5 = a1+ 4r = 15

a8 = a1+ 7r = 21

Resolvendo o sistema, temos: a1 = 7 e r = 2

Logo, a PA :


5



(7,9,11,13, 15, ...)

3. Qual o primeiro termo negativo da PA (60, 53, 46,...)? Soluo:

an < 0 a1 + (n - 1) r < 0

60 + (n - 1) (-7) < 0 n 1 > 60/7

n > 67/7 9,5

Como n tem que ser um nmero natural, o primeiro termo negativo ser quando n = 10.

a10 = 60 + (10 1) ( - 7) a10 = - 3

4. Em uma PA de 3 termos, a soma deles vale 21 e o produto 231. Determine esta PA.

Soluo:

x - r + x + x + r = 21 3x = 21

x=7 (7 - r) . 7(7 + r) = 231

(7 - r) (7 + r) = 33 49 - r2 = 33

r2 = 16 r = 4

Logo, temos: r = 4 ou r = -4

(3,7, 11) (11,7,3)


6



Progresso Geomtrica Definio: Sequncia numrica onde excetuando-se o primeiro e o ltimo todos os termos so mdias geomtricas dos seus vizinhos. Ex.: 2, 6, 18, 54, 162, 486...

486.54162

162.1854

54.618

18.26

1. Nomenclatura

2. Razo de uma P.G. Constante formada a partir do quociente entre um termo e o seu antecessor. Ou seja:

1

n

n

a

aq

Ex.: 2, 6, 18, 54, 162, 486...

162

486

54

162

6

18

2

6q

3. Termo Geral de uma Progresso Geomtrica. Ex.: 2, 6, 18, 54, 162, 486...

razoq

termosimona

termoprimeiroa

n

:

:

:1


7



1

1

99

100

3

4

2

3

2

1

.

3.2

3.2

3.2

3.2

2

n

n qaa

a

a

a

a

a

ATENO! Poderamos utilizar como referncia outro termo da progresso no sendo, necessariamente, o primeiro. Repare que:

49

51100

4950

1100

99

1100

.

..

.

99

qaa

qqaa

qaa

q

Utilizando o mesmo raciocnio, teramos:

60

40100

75

25100

90

10100

.

.

qaa

qaa

qaa

Portanto, poderamos utilizar uma generalizao do modelo numrico acima:

yxp

Para

qaa rxp

:

.

4. Representao Prtica de uma Progresso Geomtrica.

3 termos: xqxq

x,,

5 termos: x.qx.q,x,,q

x,

q

x 22


8



7 termos: x.q,x.qx.q,x,,q

x,

q

x, 32

23q

x

5. Soma dos termos de uma Progresso Geomtrica Finita.

1

1.1

q

qaSn n

n

1

. 1

q

aqaSn n

6. Soma dos termos de uma Progresso Geomtrica Infinita e Decrescente.

q

aS

1

1

Observao: O produto dos termos equidistantes ser constante. Ex.: 2, 6, 18, 54, 162, 486... 2.486 = 6.162 = 18.54 = 972 Exerccios Resolvidos 1. Obtenha o 10 termo da PG (1, 2, 4, 8, ...) Soluo:

a1 = 1 q = 2

a10 = a1 . q9 = 1 . 29

a10 = 512

2. Em uma PG de termos positivos a3 = 45 e a5 = 405, calcule o primeiro termo e a razo desta sequncia. Soluo:

a5 = a1 . q4 = 405

a3 = a1 . q2 = 45

Dividindo uma pela outra, temos:


9



4

1

2

1

405

45

a q

a q

q2 = 9

(Como todos os termos so positivos) q=3

Substituindo em a3, temos:

a1 . 32 = 45

9a1 = 45

a1 = 5

3. Calcular a soma dos 10 termos iniciais da PG (1,3,9,27, ...) Soluo:

S10 = 101. 3 1 59049 1

295243 1 2

4. Calcular a soma dos termos da PG 1 1 1

1, , , ,...3 9 27

Soluo: a1 = 1

q = 1

3

1 1 3

1 2 213 3

aS

5. Em uma PG de 3 termos, a soma deles vale 21 e o produto 216. Determine esta PG. Soluo: Neste tipo de exerccio, deveremos fazer a seguinte notao:

, ,x

x xqq

pois quando fizermos o produto, eliminaremos uma varivel.

. . 216x

x xqq

x3 =216

x = 6


10



66 6 21q

q

66 15 0q

q

26 15 6 0q q 22 5 2 0q q

q = 2 ou q = PG PG

(3,6,12) (12, 6, 3)


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Funo do 1 Grau

Sntese Terica

FUNO AFIM

f: RR

x f(x) = ax + b, a 0

ZERO DA FUNO AFIM

f (x) = ax + b = 0 x = b

a

REPRESENTAO GRFICA O grfico da funo afim uma reta, que intercecta:

* o eixo das abscissas (Ox) em

0 ,

a

b

* o eixo das ordenadas (Oy) em (0, b). Exemplos:

Representar graficamente a funo afim f : R R tal que f(x) = 2x - 3 Tendo em vista que:

b = 3 a ordenada do ponto que a reta intercecta Oy e 2x - 3 = 0 x = 2

3 a abscissa do ponto

onde a reta intercecta Ox, a representao grfica da funo f ser:


12



b) g : R R tal que g(x) = 6 - 3x Tendo em vista que:

b = 6 a ordenada do ponto onde a reta intercecta Oy e 6 - 3x = 0 x = 2 a abscissa do ponto onde a reta intercecta Ox. A representao grfica da funo g ser: Ateno:

I) a > 0 f crescente Veja a funo f do exemplo anterior.

II) a < 0 f decrescente Veja a funo g do exemplo anterior. A funo afim bijetiva.

VARIAO DOS SINAIS Observe os grficos dados a seguir:


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Em resumo: Exemplos: Estudar a variao dos sinais da funo:

f : R R tal que f(x) = 2x - 3

Determinao da raiz: f(x) = 2x -3 = 0 x = 2

3

J que a = 2, portanto a > 0, vem: isto ,

x, x R e x > 2

3 f(x) > 0

x, x R e x < 2

3 f(x) < 0

g: R R tal que g(x) = 6 - 3x

Determine a raiz g(x) = 6 - 3x = x = 2 J que a = 3, portanto a < 0, vem: isto ,

x, x R e x > 2 f(x) < 0

x, x R e x < 2 f(x) < 0 Funo Constante

A funo f : R R

x f(x) = k, k R dita funo constante e o seu grfico uma reta paralela ao eixo Ox.


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Casos Particulares FUNO LINEAR f(x) = ax Termo independente de x nulo. OBERVAO I) O grfico da funo linear uma reta que contm a origem do sistema de eixos cartesianos, j

que para x= 0 y = f (0) = a . 0 = 0 II) Se a = 1, tem-se f(x) = x e o seu grfico a reta suportes das bissetrizes do 1 e 3 quadrantes do sistema de eixos cartesianos. III) Se a = -1, tem-se f(x) = -x e o seu grfico a reta suporte das bissetrizes do 2 e 4 quadrantes do sistema de eixo cartesianos.

DESIGUALDADES So relaes da forma:


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(I) a> b ou

(II) a b (III) c < d

(IV) c d Em (I) e (III) lemos respectivamente: a maior do que b, c menor do que d. Os termos a e c esto no primeiro membro e os termos b e d esto no segundo membro da desigualdade. As desigualdades entre expresses algbricas que so verdadeiras indepen-dentemente dos valores atribudos s variveis so conhecidas como desigualdades incondicionais. Exemplo: (a + b)2 >-1 Existem tambm as desigualdades que se verificam apenas para determinados valores de incgnitas que nelas se encontram. Neste caso temos, as desigualdades condici-onais ou inequaes. Exemplo: (a + b)2 > 25 INEQUAES O conjunto de valores da incgnita que ao ser substituda torna a inequao uma sentena verdadeira, constitui a soluo da inequao. PROPRIEDADES I) Uma inequao no se altera quando somamos ou diminumos aos dois membros a mesma quantidade. II) Uma inequao no se altera quando multiplicamos ou dividimos os dois membros pelo mesmo nmero positivo. III) Alteramos os sentidos da inequao quando multiplicamos ou dividimos os dois membros pelo mesmo nmero negativo. IV) Podemos elevar os dois membros de uma desigualdade mesma potncia (ou deles extrair razes de mesmo ndice) desde que eles sejam positivos. INEQUAES DO 1 GRAU Chamamos de inequao do 1 grau as sentenas reduzidas as formas: ax + b > 0, ax + b < 0, ax

+ b 0, ax + b 0.


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INEQUAES SIMULTNEAS Para acharmos o conjunto soluo das inequaes devemos resolv-las separadamente e depois encontrarmos a interseco das respostas. Nos seguintes exemplos tomaremos U = R

5

3x2x3x

7

2x3

( I )

4

5x11

2

115x2x

( II )

Resolvendo a inequao (I) encontramos x>2

11

Resolvendo a inequao (II) encontramos x>11

S = {x R x > 11}

4

x5x

2

x

8

x ( I )

)2(7

1)2(

8

1 xx ( II )

Resolvendo a inequao (I) encontramos x >- 8 Resolvendo a inequao (II) encontramos x


17



4

35x3)2(x ( II )

Resolvendo a inequao (I ) encontramos x > 2

Resolvendo a inequao (II) encontramos x 5 Resolvendo a inequao (II) encontramos x


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Conjuntos

SS II MMBB OOLL OO GGII AA DDEE CC OO NN JJ UUNN TT OOSS = igual a

pertence a diferente de

no pertence a > maior do que < menor do que

maior do que ou igual a

menor do que ou igual a

e

ou

contm

est contido

implica

se e somente se

, { } conjunto vazio

cB

A complementar de B em relao A

unio

interseo

existe

para todo no existe

CCAA RR DDII NNAA LL II DDAA DDEE DDEE UU MM CC OO NNJJ UUNN TT OO A cardinalidade de um conjunto A, finito, indica a quantidade de elementos deste conjunto.

Notao: A ou Card(A) ou nA. Exemplo: Sendo

A = {a, b, c } e B = ( a, b, d, e } temos: A= 3 e B =4.

CCOO NN JJ UU NN TT OO DD AA SS PPAA RR TTEE SS Chama-se conjunto das partes de um conjunto A, P (A), o conjunto cujos elementos so todos os subconjuntos de A.

P (A) = {B B A}


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Exemplos:

I) A= {a} P (A) ={, {a}}

II) A= {a,b} P (A) ={, {a}, {b}, {a,b}}

III) A= {a,b,c} P (A) ={,{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}} De um modo geral temos # P(A) = 2n onde n = #A.

UUNNII OO DDEE CCOO NNJJ UU NNTT OO SS --

A unio de dois conjuntos A e B o conjunto A B, formados pelos elementos de A e pelos elementos de B.

A B ={x x A v x B} Exemplo: Sendo

A={a, b, c} e B={a, b, d, e} ento A B ={a, b, c, d, e}

IINNTTEE RRSS EE OO DDEE CC OONN JJ UU NN TT OOSS --

A interseo de dois conjuntos A e B o conjunto A B, formado pelos elementos que pertencem a esses dois conjuntos simultaneamente.

A B= {x x Ax B} Exemplo: Sendo

A= {a, b, c} e B= {a, b, d, e} ento A B = {a, b}

CCOO NN JJ UU NN TT OOSS DD II SS JJ UU NN TT OOSS

Dois conjuntos A e B, so disjuntos quando A B = . Exemplo: A = {conjunto dos torcedores do vasco} B = conjunto dos seres que possuem mais de um neurnio

CCAA RR DDII NNAA LL II DDAA DDEE DDAA UUNNII OO DDEE CCOO NNJJ UU NNTT OO SS De um modo geral temos:

# (A B) = #(A) + # (B) - # (A B)

# (A B C) = # (A) + # (B) + # (C) - # (A B) - #(A C)- # (B C) + (A B C)


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DD II FFEE RREE NN AA DD EE CCOO NNJJ UUNN TT OOSS A diferena entre conjuntos A e B o conjunto A - B, formado pelos elementos que a A que a B.

A - B= {x x A x B} Exemplo: Sendo A= {a, b, c, j }, B= {a, b, d, e}, C={0, 5, 7} e D = {0, 3, 5, 7} ento: A-B={c, j} B-A={d, e}

C-D= C-A={0, 5, 7}

OOBB SS EE RRVV AA OO

Se A B = ento A B = A e B - A= B. Se A B ento A -B= .

Em geral, temos: A - B B - A ( a diferena de conjuntos no uma operao comutativa).

CCOO MM PP LL EE MM EE NN TTAA RR DDEE BB EE MM RREE LL AA OO AA

Quando temos B A, o conjunto A-B chamado de complementar de B em relao A e escreve-se: A B = CAB

Note que x CAB x A e x B Ateno!!! "O complementar de B em relao A o que falta em B para B se tomar igual a A." CONJUNTOS NUMRICOS

IINNTTRROODDUUOO Os primeiros nmeros que conhecemos quando aprendemos a contar so: 1, 2, 3, 4, 5, ... Estes nmeros surgiram como resultado da comparao de diferentes conjuntos que tinham algo em comum. Certo conjunto de pedras colocadas numa sacola podia ser colocado em correspondncia com o conjunto das ovelhas de um rebanho; o conjunto das pedras tinha algo em comum com o das ovelhas: este algo em comum o mesmo nmero de elementos. Paulatinamente a ideia de nmero se tornou menos concreta e os nmeros passaram a ser tratados como entes em si, independentes dos conjuntos dos quais, num certo sentido, eram representantes. E por serem necessrios surgiram o zero: 0, e os nmeros negativos: -1, -2, -3, . . . Os nmeros considerados at aqui so atualmente "organizados" do seguinte modo:


21



CCOONNJJUUNNTTOO DDOOSS NNMMEERROOSS NNAATTUURRAAIISS:: IINN IN = {0, 1, 2, 3,4, ...}

Todo nmero natural n, n 2 pode ser decomposto como um produto de fatores primos, isto , n 2a . 3b . 5c . 7d ... Dados dois nmeros naturais a e b, chama-se mnimo mltiplo comum entre a e b e representa-se mmc (a, b) o menor dos mltiplos comuns entre a e b. Dados dois nmeros naturais a e b, chama-se maior divisor comum entre a e b e representa-se mdc (a, b) o maior dos divisores comuns entre a e b. Exemplo: 120 e 360 840= 23. 3 . 5 . 7 360 = 23 . 32 . 5 . mmc (840, 360) = 23 . 32 . 5. 7 = 2520 . mdc (840, 360) = 23 . 3 . 5 = 120 Propriedades: mdc (a, b) = a . b

CCOO NN JJ UU NN TT OO DDOOSS NN MM EE RR OOSS IINNTT EE II RR OOSS :: ZZ Z= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...} Graficamente: Ateno! O conjunto dos nmeros naturais um subconjunto do conjunto dos nmeros inteiros, isto :

OO SS MMBB OO LL OO (+): como ndice de um conjunto, indica a excluso dos seus elementos negativos; (-): como ndice de um conjunto, indica a excluso dos seus elementos positivos; (*): como ndice de um conjunto, indica a excluso do zero. Como exemplos: Z+ = {0, 1, 2, 3, 4...} o conjunto dos inteiros no negativos.


22



Z*+ = {1, 2, 3, 4 ...} o conjunto dos inteiros positivos. Z - = {...-3, -2, -1, 0} o conjunto dos inteiros no positivos. Z*- = {..., -3, -2, -1} o conjunto dos inteiros negativos.

NN MMEE RR OOSS RRAA CCII OONN AA II SS O conjunto dos nmeros inteiros pode ser representado sobre uma reta ordenadamente conforme o esquema: Nesta reta h muito mais pontos que os que representam os nmeros inteiros. A idia de dividir um objeto em partes iguais levou-nos aos nmeros fracionrios que so nmeros da forma p/q

com q 0. O nome racional deve-se ao fato deles terem origem na razo entre dois nmeros inteiros. No conjunto dos nmeros racionais, destacamos os subconjuntos: Q+ = conjunto dos racionais no negativos Q- = conjunto dos racionais no positivos Q* = conjunto dos racionais no nulos.

RREE PP RREE SS EE NNTT AA OO DDEE CCII MM AALL Todo nmero racional pode ser representado por um nmero decimal. Este nmero decimal pode aparecer de 2 modos:

CCOOMM AA QQUUAANNTTIIDDAADDEE FFIINNIITTAA DDEE CCAASSAASS DDEECCIIMMAAIISS Exemplo:

3

22

3

162 ;

10

161,6 ;

100

50,05 ;

2

36

Nestes casos, o denominador da frao ser da forma: 2x . 5y com x e y N


23



CCOOMM UUMMAA QQUUAANNTTIIDDAADDEE IINNFFIINNIITTAA DDEE AALLGGAARRIISSMMOOSS Que se repetem periodicamente, isto , uma dzima peridica. Exemplo:

30,0,333...3

1 (perodo: 3)

2857140,714...02857142857

2 (perodo

285714)

31,8...8333,16

11 = (perodo)

As dzimas peridicas dividem-se em 2 grupos: a) Dizima peridica simples: Formada pela frao irredutvel p/q onde q possui fatores primos da forma

q = 3a . 7b...(a, b, ... N) e q 1.

Exemplo: ...11

1 ,

21

5 ,

3

2

b) Dzima peridica composta: Formada pela frao irredutvel p/q onde q possui fatores primos da forma q = 3a . 7b associados a

fatores primos (2a) ou (5b) ou ambos com a 0 ou b 0. Definimos geratriz como a frao que origina a dzima peridica.

MMTTOODDOO PPAARRAA OOBBTTEENNOO DDEE UUMMAA FFRRAAOO GGEERRAATTRRIIZZ

Exemplo: x = 0,777 ... x = 0,777... 10x = 7,777...

x = 9

7 (Geratriz)

Exemplo: x = 6,4343... 100x - x = 637 100x = 643, 4343... 99x = 637


24



99

637x (Geratriz)

Exemplo: x = 2,133... 10x = 21,3333...

5 1

32

45

96

90

192x (Geratriz)

CCOO NN JJ UUNNTT OO DD OOSS NNMM EE RR OOSS II RRRR AACC II OONN AAII SS

Sabendo-se que entre 2 nmeros racionais sempre h um nmero racional (por exemplo entre 2

1

e 3

1 existe

2

1

3

1:

12

52 durante muito tempo, achou-se que seria possvel preencher a reta

somente com a presena de nmeros racionais. Observemos a seguinte construo: Se o ponto A representa o nmero zero e o ponto B representa o nmero 1, o segmento AB tem comprimento 1. Construindo BC perpendicular a AB e de comprimento 1, o teorema de Pitgoras

d o comprimento de AC que ser 2 .

Marcando na reta AD de mesmo comprimento que AC, o ponto D representar o nmero 2 ; o

nmero 2 no racional, o que pode ser mostrado com alguns recursos de Aritmtica.

Nmeros que no podem ser representados da forma p / q com p z e q z* so nmeros irracionais.

Tambm no so racionais os nmeros 3 e 3 9- , e alguns mais extravagantes como (pi =

3,14159...) e outros. Todos eles tm representao na reta onde j esto colocados os nmeros racionais e muito importante o fato de que a completam.

10x x = 19,2

9x = 19,2

10

1929x


25



OOBB SS EE RRVV AA OO A representao decimal de um nmero irracional infinita e no-peridica,

CCOO NN JJ UUNNTT OO DD OOSS NNMM EE RR OOSS RREE AAII SS IR = {x / x racional ou x irracional} naturais inteiros negativos racionais nmeros no-inteiros reais irracionais Os nmeros reais podem ser representados pelos pontos de uma reta r, de tal modo que: Essa correspondncia biunvoca entre elementos de IR e os pontos de r denominada sistema de coordenadas abscissas; a reta r chamada de reta real ou do eixo dos nmeros reais, e o ponto O, corresponde ao nmero zero, a origem desse sistema. Observe que so reais todos os nmeros naturais, inteiros, racionais e irracionais, assim:

CCOOMMPPAARRAAOO DDEE NNMMEERROOSS RREEAAIISS Dados dois nmeros reais a e b, ento ocorre somente uma das seguintes situaes:

a = b a b = 0

a > b a b > 0 ou (a b) IR*+

a < b a b < 0 ou (a b) IR*-

a < b - a > - b

a > b - a < - b


26



DDEEMMOONNSSTTRRAAOO

a < b a - (a + b) < b - (a + b)

- b < - a

- a > - b Observe que devemos mudar o sentido da desigualdade se multiplicarmos seus dois membros por -1.

IINNTT EE RRVV AALL OOSS No conjunto dos nmeros reais destacaremos alguns subconjuntos importantes, determinados por desigualdades, chamados intervalos. Quaisquer que sejam os nmeros reais a e b, a < b, temos:

IINNTTEERRVVAALLOOSS LLIIMMIITTAADDOOSS

{x IR a x b} o intervalo fechado de extremos a e b Notao: [a; b]

{x IR a < x < b} o intervalo aberto de extremos a e b

Notao: b:a

{x IR a x < b} o intervalo fechado em a e aberto em b. Notao: [a; b[

{x IR a < x b} o intervalo aberto em a e fechado em b. Notao: ]a; b]

IINNTTEERRVVAALLOOSS IILLIIMMIITTAADDOOSS

{x R x a} = [a, + [ = [a, + )


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{x R x > a} = ]a, + [ = (a, +)

{x R x b} = ] - , b] = (- , b)

{x R x < b} = ] - , b[ = (- , b) Exemplo:

Sendo A = ] - ; 2 ] e B = ] - ; + [, temos:

Portanto, A B =] -; 2 ], A B = IR

A B = ]- ; -] e B -A= 2 ; + [.

OOBB SS EE RRVV AA OO Mdulo de um nmero real:

Definimos mdulo de um nmero real x (x) como a distncia da origem da reta real ao nmero x. De um modo geral temos.

x se x 0

x = -x se x < 0 Exemplo:

5 = 5 pois 5 0


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-3 = 3 pois -3 < 0

x -3 se x 3

x-3 = -x + 3 se x < 3


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Princpio Multiplicativo e Permutaes A origem desse assunto est ligada ao estudo dos jogos de azar, tais como: lanamento de dados, jogos de carta etc. Atualmente, voc tambm pode perceber a utilizao da Anlise Combinatria nas estimativas de acerto em jogos populares tais como: loteria esportiva, loto, loteria federal etc., alm de aplicaes mais especficas, como confeces de horrios, de planos de produo, de nmero de placas de automveis etc. Fatorial Introduziremos, inicialmente, o conceito de fatorial que ser de grande utilidade nos exerccios de Anlise Combinatria. DEFINIO

n! =n . (n - 1) . (n - 2). ... 3.2.1 para n N e n > 1 O smbolo n! (l-se fatorial de n ou n fatorial) Exemplos 2! = 2 x 1 = 2 4!= 4 x 3 x 2 x 1 = 24 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040 Exemplos 6! = 6 x 5! 9! = 9 x 8! Simplifique as expresses:

a) 7!

6!

b) 8!

8.6!

c) 20!8!3!

4!19!7!

Soluo

a) 7!

6!=

7.6!7

6!

Por definio temos: 01 = 1 e 1! =1 n! = n . (n 1)!


30



b) 8!

8.6!=

8.7.6!7

8.6!

c) 20!8!3!

4!19!7!=

20!19!8!7!3! 20.840

4!.3!.19!.7! 4

Simplifique as expresses:

a) 2 !

!

n

n

b)

2 !

2 2 !

n

n

Soluo

a) 2 !

!

n

n

=

2 1 !2 . 1

!

n n nn n

n

b)

2 !

2 2 !

n

n =

2 2 1 2 2 !2 2 1

2 2 !

n n nn n

n

PRINCPIO MULTIPLICATIVO Se um determinado evento A pode ocorrer de m maneiras' e um evento independente B pode ocorrer de n maneiras, ento, a ocorrncia sucessiva dos eventos A e B pode acontecer de m . n maneiras distintas. Um rapaz possui cinco camisas e duas calas. De quantos modos diferentes ele poder se vestir? Soluo A escolha de uma cala poder ser feita de duas maneiras diferentes. Escolhida a primeira cala, o rapaz poder escolher qualquer uma das cinco camisas, formando portanto, cinco conjuntos diferentes. Se tivesse escolhido a segunda cala, novamente poderia combinar essa cala com as cinco camisas que possui, formando outros cinco conjuntos diferentes. Portanto, o nmero total de maneiras diferentes de se vestir nesse caso ser: 2 x 5 = 10. Poderamos esquematizar o problema desse modo: escolha de uma cala: 2 possibilidades diferentes; escolha de uma camisa: 5 possibilidades diferentes. Total: 2 x 5 = 10 Quantos nmeros de dois algarismos podemos formar com os algarismos de 1 a 9? Soluo escolha de um algarismo para a casa das dezenas: 9 possibilidades; escolha de um algarismo para a casa das unidades: 9 possibilidades.


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Total: 9 x 9 =81. Podemos portanto, formar 81 nmeros algarismos com os algarismos de 1 a 9. Num grupo de 5 rapazes e 4 moas, de quantos modos distintos podem ser escolhidos um rapaz para presidente e uma moa para secretria do grmio estudantil? Soluo escolha de um rapaz para presidente: 5 possibilidades; escolha de uma moa para secretria: 4 possibilidades. Total: 5 x 4 = 20 Quantos nmeros de dois algarismos podem ser formados no sistema de numerao decimal? Soluo escolha de um algarismo para a casa das dezenas: 9 possibilidades (o zero no pode ocupar essa posio); escolha de um algarismo para a casa das unidades: 10 possibilidades. Total: 9 x 10 = 90 Observao Quando alguma das escolhas que iremos fazer possuir restrio, devemos comear por esta escolha. Quantos nmeros pares de dois algarismos podem ser formados com os algarismos de 1 a 9? a) Podendo ocorrer a repetio de algarismos. b) Sem ocorrer a repetio de algarismos. Soluo a) escolha de um algarismo para a casa das unidades: 4 possibilidades (o nmero deve terminar em 2, 4, 6 ou 8, para ser par); escolha de um algarismo para a casa das dezenas: 9 possibilidades. Total: 9 x 4 = 36 b) escolha de um algarismo para a casa das unidades: 4 possibilidades (2, 4, 6, 8); escolha de um algarismo para a casa das dezenas: 8 possibilidades, j que do total de 9 algarismos que podem ser escolhidos no podemos utilizar aquele que estiver ocupando a casa das unidades, para que no haja repetio.


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Total: 8 x 4 = 32 Quantos so os divisores do nmero 72? Soluo

Cada divisor de 72 da forma 2x.3Y pois 72 = 23.32, onde x (0,1,2,3) e y (0,1,2). escolha de um valor para x: 4 possibilidades (0,1,2,3); escolha de um valor para y: 3 possibilidades (0,1,2). Total: 4 x 3 = 12 divisores No sistema decimal, quantos so os nmeros de trs algarismos distintos que podemos formar? Soluo escolha de um algarismo para a casa das centenas: 9 possibilidades (pois o zero no pode ocupar essa posio); escolha de um algarismo para a casa das dezenas: 9 possibilidades, pois embora o zero possa ocupar essa posio, no podemos repetir o algarismo que se encon-tra na casa das centenas; escolha de um algarismo para a casa das unidades: 8 possibilidades j que no podemos repetir o algarismo das centenas e nem o das dezenas. Total: 9 x 9 x 8 = 648 Quantos so os resultados possveis para um teste da loteria esportiva com 16 jogos? Soluo Para cada um dos 16 jogadores, temos trs resultados possveis (coluna 1, coluna do meio e coluna 2). Pelo multiplicativo, teremos que o total de resultados possveis ser: T = 3x 3 x 3 x 3 x ... x 3 = 316 = 430467721 resultados distintos. PERMUTAO SIMPLES Uma permutao simples de um grupamento com n elementos distintos uma ordenao destes elementos onde cada um aparece uma nica vez. O nmero de permutaes simples destes n elementos dada por: Exemplos P3= 3! = 3 x 2 x 1 = 6 P2 = 2! = 2 x 1 = 2

Pn = n!


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Quantos nmeros com 5 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5? Soluo Verificando que n = p = 5, vamos obter: P5 = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 Portanto, poderemos formar 120 nmeros.

Observao Note que na permutao utilizamos todos os elementos. Apenas arrumamos. Ento no se esquea: arrumar o mesmo que permutar. Quantos so os anagramas da palavra "cola"? Soluo Anagramas so palavras obtidas, efetuando-se todas as trocas possveis entre as letras de uma palavra dada e que podem ter ou no significado na linguagem corrente. A palavra em questo, "cola", possui 4 letras distintas, logo o total de anagramas ser igual ao total de permutaes que podem ser feitas com essas 4 letras, isto : Total de anagramas: P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Permutando os algarismos 2, 4, 6 e 8, formamos nmeros. Dispondo esses nmeros em ordem crescente, qual o nmero que ocupa a 22 posio? Soluo 2 _____ _____ _____ P3 =3!=6 4 _____ _____ _____ P3 =3!=6 6 _____ _____ _____ P3 =3!=6 8 2 _____ _____ P2 =2!=2 8426 o 21 nmero, portanto, o 22 ser: 8462. PERMUTAO COM REPETIO Quando temos n elementos com as repeties de um tipo, b repeties de outro, q de outro, etc. O nmero de permutaes que podemos formar dada por:

Quantos so os anagramas da palavra: a) ELEGER b) CANDIDATA

, , ,... !

! ! !...nn

P


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Soluo J sabemos que cada anagrama corresponde a uma permutao das letras da palavra. Neste exemplo, ocorrem letras repetidas. a) ELEGER 6 letras, sendo 3 E, 1 L, 1 G, 1R. O nmero de anagramas :

3

6

6!120

3!P

b) CANDIDATA 9 letras, sendo 3A, 2D, 1C, 1N, 1 I, 1T. O nmero de anagramas :

3,2

9

9!30240

3!2!P

Quantos nmeros pares obteremos, permutando-se os algarismos 1, 2, 2, 3, 3, 3 e 4 ? Devemos contar as permutaes que terminam por 2 e as que terminam por 4. Terminado por 2:

Deixando um algarismo 2 fixo na casa das unidades, devemos permutar nas outras casas os algarismos 1, 2, 3, 3, 3 e 4. O nmero de permutaes :

3

6

6!120

3!P

Terminando por 4:

Deixando o 4 fixo na casa das unidades, permutamos nas outras casas os algarismos 1, 2, 2, 3, 3 e 3. O nmero de permutaes :

3,2

6

6!60

3!2!P

Logo, o total de nmeros pares 120 + 60 = 180.


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PERMUTAO CIRCULAR De quantas formas podemos colocar quatro pessoas em fila? Responder esta pergunta simples: para a 1 posio da fila, temos 4 possibilidades, para a 2, 3 possibilidades, para a 3, 2 possibilidades e para 4, 1 possibilidade. Logo, o total de possibilidades 4.3.2.1 = 4! = 24. Agora, responda o seguinte "De quantas formas podemos colocar quatro pessoas em uma mesa circular?" A primeira vista parece que estas perguntas possuem a mesma resposta, mas repare o esquema a" seguir: 4 das possibilidades que estvamos considerando representam uma nica arrumao visto que, de uma arrumao para outra, basta girarmos a mesa.

Logo, como consideramos cada arrumao quatro vezes, basta dividir o resultado por quatro:

4!3! 6

4

De uma forma geral, dizemos que o nmero de permutaes circulares de n elementos dada por: Se no quisermos decorar a frmula, basta pensar o seguinte: Em uma mesa circular vazia com quatro cadeiras ao redor, de quantas formas diferentes a primeira pessoa pode sentar-se? Antes de responder, pense o seguinte: O problema cita mesa circular para mostrar uma ausncia de referencial. Como a mesa est vazia, indiferente para primeira pessoa onde ela sentar, logo, s existe urna forma de escolha. J a segunda pessoa a sentar mesa possui referncia. Ela pode sentar-se frente da primeira, ou sua esquerda ou sua direita, logo, a segunda pessoa possui trs possibilidades. 1 pessoa - 1 possibilidade 2 pessoa - 3 possibilidades 3 pessoa - 2 possibilidades 4 pessoa - 1 possibilidade 1 x 3 x 2 x 1 = 6 arrumaes possveis ARRANJO E COMBINAO

Arranjos Simples

Pc = (n-1)!


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Todos os problemas de Arranjos Simples tambm podero ser resolvidos pelo Princpio Multiplicativo.

Seja o conjunto A = (1, 2, 3). Quantos nmeros com 2 algarismos distintos podemos formar com os elementos de A? Teremos como resposta do problema os seguintes nmeros: 12, 13, 21, 23, 31 e 32. Cada nmero obtido ser chamado de agrupamento. Note, ento, que obtivemos 6 agrupamentos distintos. A ordem dos elementos que formam cada agrupamento considerada, isto , os agrupamentos 12 e 21, por exemplo, so diferentes embora formados pelos mesmos elementos (os algarismos 1 e 2). Tais agrupamentos, formados por elementos distintos e cuja ordem levada em conta, chamam-se Arranjos Simples.

CLCULO DO NMERO DE ARRANJOS SIMPLES Sendo n o nmero de elementos de um conjunto A, o nmero de arranjos simples de n elementos tomados p a p ser dado por:

,n pA : l se arranjo de n elementos tomados p a p

Quantos nmeros de trs algarismos distintos podemos formar com os elementos do conjunto {1,2,3,4,5}? Soluo Nesse caso n = 5, que indica o total de elementos que temos para usar, e p = 3, que a forma segundo a qual os elementos vo ser associados, j que o problema pede nmeros de trs algarismos. Aplicando a frmula vamos obter:

5,35! 5.4.3.2!

605 3 2!A

Portanto, poderemos formar 60 nmeros com trs algarismos distintos. Com os algarismos 0, 1, 2, 5 e 6, sem os repetir, quantos nmeros compreendidos entre 100 e 1000 poderemos formar?

Ateno: Arranjos Simples no h repetio de elementos; a ordem dos elementos considerada.

,!

n p

n

n pA


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,!

! !n pn

n p pC

Soluo Como os nmeros devem estar compreendidos entre 100 e 1000, tero 3 algarismos. Como no pode haver repetio de elementos e a ordem dos elementos em cada agru-pamento considerada (por exemplo, o nmero 123 diferente do nmero 132), trata-se de um problema de arranjos simples. Nmeros iniciados por 1: 1 ___ ___ A4,2 =12 Nmeros iniciados por 2: 2 ___ ___ A4,2 =12 Nmeros iniciados por 5: 5 ___ ___ A4,2 =12 Nmeros iniciados por 6: 6 ___ ___ A4,2 =12 Portanto, o total de nmeros pedido 4 x 12 = 48. Em um campeonato de futebol, participam dez clubes, todos com a mesma possibilidade de vencer. De quantas maneiras diferentes poderemos ter a classificao para os trs primeiros lugares? Soluo Note que a ordem dos elementos em cada agrupamento importante, pois o clube A em primeiro, B em segundo e C em terceiro diferente de B em primeiro, A em segundo e C em terceiro. No h repetio de elementos, pois o mesmo clube no pode ocupar duas posies diferentes simulta-neamente. Portanto, trata-se de um problema de arranjo simples. Temos um total de dez clubes para ocuparem trs posies, logo: A10,3 = 720. COMBINAO SIMPLES So agrupamentos onde a ordem com que os elementos comparecem no considerada. O nmero de combinaes de n elementos tomados p a p, que indicamos por Cn,p ser dado por:

Quantas duplas distintas podemos formar com 3 pessoas A, B e C? Repare que agora, se mudarmos a posio dos elementos em um agrupamento, no obteremos um novo agrupamento. Isto , a dupla AB igual dupla BA, a dupla AC a mesma que CA e a dupla BC a mesma que CB. Portanto, o total de duplas distintas ser 3 (AB, AC e BC). Quantas comisses formadas de 4 elementos cada uma, podemos formar com 10 alunos de uma classe? Soluo


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10,410! 10! 10.9.8.7.6!

12010 4 !4! 6!4! 6!.4.3.2.1C

Quantos so os resultados distintos possveis de serem obtidos num teste da loto? Soluo Cada resultado possvel corresponde a um conjunto de 5 nmeros, sem importncia de ordem, obtidos de um total de cem nmeros. Teremos ento:

100,5100! 100.99.98.97.96.95!

75287520100 5 !5! 95!.5.4.3.2.1C

Numa escola, existem 10 professores de Matemtica e 7 de Fsica. Quantas comisses podemos formar compostas de 5 professores de Matemtica e 3 de Fsica? Soluo escolha dos professores de Matemtica: C10,5 = 252 escolha dos professores de Fsica: C7,3 = 35 Pelo princpio multiplicativo, vamos ter:

C10,5 x C7,3 = 252 x 35 = 8820. Poderemos portanto, formar 8820 comisses. Um qumico possui 10 tipos de substncias. De quantos modos possveis poder associar 6 dessas substncias se, entre as dez, duas somente no podem ser juntadas porque produzem mistura explosiva? Soluo Total de associao: C10,6 = 210 Total de associaes onde aparecem juntas A e B: C8,4 = 70 Logo, o total de associaes possveis ser:

C10,6 - C8,4 = 210 70 = 140 (CESGRANRIO) Seja M um conjunto de 20 elementos. O nmero de subconjuntos de M que contm exatamente 18 elementos : a) 360 b) 190


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c) 180 d) 120 e) 18 Soluo Temos um total de 20 elementos para escolhermos 18, independendo da ordem. Logo, teremos

20,1820!

19020 18 !18!C

Portanto, o total de subconjuntos com 18 elementos que podemos formar com um conjunto de 20 elementos ser 190. Alternativa b. Uma organizao dispe de 10 economistas e 6 administradores. Quantas comisses de 6 pessoas podem ser formadas de modo que cada comisso tenha no mnimo, 3 administradores? a) 2400 b) 675 c) 3136 d) 60 e) 3631 Soluo Teremos que considerar as seguintes comisses: com 3 administradores e 3 economistas:

C6,3 x C10,3 = 2400 com 4 administradores e 2 economistas:

C6,4 x C10,2 = 675 com 5 administradores e 1 economista:

C6,5 x C10,1 = 60 com 6 administradores e nenhum economista: teremos s uma possibilidade. O total de comisses que poderemos formar ser ento: 2400 + 675 + 60 + 1 = 3136 Alternativa c. Solues Inteiras de um Sistema Exemplo 1 Determine o nmero de solues inteiras positivas da equao x + y + z =,6.


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Soluo Representando cada unidade por e colocando a barra I entre duas quaisquer das 6 bolas, obtemos uma maneira de escrever 6 como soma de trs inteiros positivos. Exemplo

Basta, ento, colocar a barra em duas das cinco posies. Logo, temos C5,2 = 10 maneiras diferentes de escrevermos 6 como soma de 3 inteiros positivos. Exemplo 2 Determinar o nmero de solues naturais da equao x+y+z=6. Soluo Acrescentando 1 a cada uma das parcelas do 1 membro,

Para obtermos o nmero de solues naturais de x + y + z = 6, basta contar o nmero de solues inteiras positivas de x'+y'+ z' = 9, ou seja:

C 8,2= 28 solues naturais de x + y + z = 6. Com 5 consoantes diferentes e 4 vogais diferentes, quantas "palavras" podemos formar tendo 3 consoantes distintas e 2 vogais distintas? Soluo Escolha 3 das 5 consoantes: C5,3 Escolha 2 das 4 vogais: C4,2 No de grupos de 3 consoantes e 2 vogais: C 5,3 . C4,2 Em cada um desses grupos, devemos permutar os elementos. Portanto, teremos C5,3 . C4,2 . P5 = 7200 "palavras" com 3 consoantes distintas e 2 vogais distintas.

Como as solues so naturais (inclui o zero), somamos 1 a x, y e z e, assim, voltamos a trabalhar com solues inteiras positivas.


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Probabilidade Dado um experimento com um nmero finito de possveis resultados, definem-se:

Espao amostral do experimento o conjunto de todos os possveis resultados do experimento.

Evento qualquer subconjunto do espao amostral.

Probabilidade

Sendo o espao amostral de um experimento dado e A um evento (A ), a probabilidade de

ocorrncia do evento A representada e definida por )n(

n(A)p(A) , onde

)A(n nmero de elementos do conjunto A

)(n nmero de elementos do conjunto .


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Grfico Estatstico 1. Introduo O grfico estatstico uma forma de apresentao dos dados estatsticos, cujo objetivo o de produzir, no investigador ou no pblico em geral, uma impresso mais rpida e viva do fenmeno em estudo, j que os grficos falam mais rpido compreenso do que as sries. O grfico um instrumento que possibilita transmitir muitas vezes o significado de planilhas ou tabelas complexas de uma forma mais eficiente e mais simples. No adianta voc saber efetuar a confeco de um grfico se no souber a que finalidade se destina determinado grfico. Desta forma voc correr o risco de apresentar um grfico que no seja adequado a uma determinada situao. O grfico apresenta de forma detalhada, a elaborao e utilizao do fichrio-imagem. Uma representao grfica tem por objetivo fazer aparecer as relaes que existem entre elementos que so representados prvia e rigorosamente de modo a garantir a monossemia que envolve a "Graphique". O exemplo utilizado o de uma cooperativa com diferentes tipos de informaes que foram representadas na forma grfica com o auxlio do fichrio-imagem. 2. Grficos Estatsticos Para se criar um grfico preciso primeiro conhecer o tipo de informao que se deseja transmitir, pois um grfico poder informar de forma visual as tendncias de uma srie de valores em relao a um determinado espao de tempo, a comparao de duas ou mais situaes e muitas outras. Cada tipo de grfico adequado para uma diferente situao a ser analisada. Se um grfico for definido de forma incorreta, poder ocorrer a anlise errada de uma situao, causando uma srie de interpretaes distorcidas do assunto em questo, tornando desta forma o desenho do grfico sem qualquer efeito aproveitvel. Para tornarmos possvel uma representao grfica, estabelecemos uma correspondncia entre os termos da srie e determinada figura geomtrica, de tal modo que cada elemento da srie seja representado por uma figura proporcional. A representao grfica de um fenmeno deve obedecer a certos requisitos fundamentais para ser realmente til: 2.1 Aspectos bsicos no tracejado a) Simplicidade: o grfico deve ser destitudo de detalhes de importncia secundria, assim como de traos desnecessrios que possam levar o observador a uma anlise morosa ou com erros; b) Clareza: o grfico deve possibilitar uma interpretao correta dos valores representativos do fenmeno em estudo; c) Veracidade: o grfico deve expressar a verdade sobre o fenmeno em estudo, ou seja, clculos devem coincidir com as marcaes


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2.2 Diagramas Os diagramas so grficos geomtricos de, no mximo, duas dimenses; para sua construo, em geral, faz-se uso do sistema cartesiano. Dentre os principais diagramas, destacamos: 2.2.1. Grfico em linha ou em curva So ideais para ilustrar tendncias em dados que ocorrem ao longo do tempo. Esse tipo de grfico se utiliza da linha poligonal para representar a srie estatstica. Constitui uma aplicao do processo de construo do grfico de uma funo no sistema de coordenadas cartesianas. Construo: O grfico pode apresentar linhas contnuas ou conter marcadores de dados. Exemplo:

2.2.2. Grfico em colunas ou em barras a representao de uma srie por meio de retngulos, dispostos verticalmente (em colunas) ou horizontalmente (em barras). Quando em colunas, os retngulos tm a mesma base e as alturas so proporcionais aos respectivos dados. Quando em barras, os retngulos tm a mesma altura e os Comprimentos so proporcionais aos respectivos dados. Desse modo, estamos garantindo a proporcionalidade entre as reas dos retngulos e os dados estatsticos. Construo: As Categorias so organizadas horizontalmente e os valores verticalmente. Quando h mais de uma sequncia, interessante inserir a legenda no grfico; cada sequncia diferenciada por uma cor ou padro. Exemplos: a) Grfico em colunas O grfico em questo ter a finalidade de demonstrar a projeo dos valores de vendas de diversos produtos durante o primeiro trimestre de um determinado ano em relao taxa de projeo aplicada a cada ms.


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b) Grfico em barras Construo: As Categorias so organizadas verticalmente, para focalizar a comparao de valores. So usualmente bem ilustrados num simples grfico de barras onde a altura da barra igual frequncia. Dados qualitativos, particularmente quando as categorias so ordenadas, Grficos de barras empilhadas mostram o relacionamento de itens individuais com o todo.

2.3 Grfico em setores Construo: Esse grfico construdo com base em um crculo, e empregado sempre que desejamos ressaltar a participao do dado no total. O total representado pelo crculo, que fica dividido em tantos setores quantas so as partes. Os setores so tais que suas reas so respectivamente proporcionais aos dados da srie. Obtemos


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cada setor por meio de regra de trs simples e direta, lembrando que o total da srie corresponde a 360. Os setores do grfico so desenhados de tal forma que eles tenham rea proporcional frequncia. Exemplo:


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Estatstica 1- Introduo Estatstica uma cincia exata que visa fornecer subsdios ao analista para coletar, organizar, resumir, analisar e apresentar dados. Trata de parmetros extrados da populao, tais como mdia ou desvio padro. A estatstica fornece-nos as tcnicas para extrair informao de dados, os quais so muitas vezes incompletos, na medida em que nos do informao til sobre o problema em estudo. Sendo assim, objetivo da Estatstica extrair informao dos dados para obter uma melhor compreenso das situaes que representam. Quando se aborda uma problemtica envolvendo mtodos estatsticos, estes devem ser utilizados mesmo antes de se recolher a amostra, isto , deve-se planejar a experincia que nos vai permitir recolher os dados, de modo que, posteriormente, se possa extrair o mximo de informao relevante para o problema em estudo, ou seja para a populao de onde os dados provm. Quando de posse dos dados, procura-se agrupa-los e reduzi-los, sob forma de amostra, deixando de lado a aleatoriedade presente. Seguidamente o objetivo do estudo estatstico pode ser o de estimar uma quantidade ou testar uma hiptese, utilizando-se tcnicas estatsticas convenientes, as quais realam toda a potencialidade da Estatstica, na medida em que vo permitir tirar concluses acerca de uma populao, baseando-se numa pequena amostra, dando-nos ainda uma medida do erro cometido. 2- Populao e amostra Qualquer estudo cientfico enfrenta o dilema de estudo da populao ou da amostra. Obviamente teramos uma preciso muito superior se fosse analisado o grupo inteiro, a populao, do que uma pequena parcela representativa, denominada amostra. Observa-se que impraticvel na grande maioria dos casos, estudar-se a populao em virtude de distncias, custo, tempo, logstica, entre outros motivos. A alternativa praticada nestes casos o trabalho com uma amostra confivel. Se a amostra confivel e proporciona inferir sobre a populao, chamamos de inferncia estatstica. Para que a inferncia seja vlida, necessria uma boa amostragem, livre de erros, tais como falta de determinao correta da populao, falta de aleatoriedade e erro no dimensionamento da amostra. Quando no possvel estudar, exaustivamente, todos os elementos da populao, estudam-se s alguns elementos, a que damos o nome de Amostra. Quando a amostra no representa corretamente a populao diz-se enviesada e a sua utilizao pode dar origem a interpretaes erradas. 3- Medidas de tendncia Central As mais importantes medidas de tendncia central, so a mdia aritmtica, mdia aritmtica para dados agrupados, mdia aritmtica ponderada, mediana, moda, mdia geomtrica, mdia


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harmnica, quartis. Quando se estuda variabilidade, as medidas mais importantes so: amplitude, desvio padro e varincia.

Medidas

Mdia aritmtica

Mdia aritmtica para dados agrupados

Mdia aritmtica ponderada

Mediana 1) Se n impar, o valor central, 2) se n par, o valor a mdia dos dois valores centrais

Moda Valor que ocorre com mais frequncia.

Sendo a mdia uma medida to sensvel aos dados, preciso ter cuidado com a sua utilizao, pois pode dar uma imagem distorcida dos dados. A mdia possui uma particularidade bastante interessante, que consiste no seguinte: se calcularmos os desvios de todas as observaes relativamente mdia e somarmos esses desvios o resultado obtido igual a zero. A mdia tem uma outra caracterstica, que torna a sua utilizao vantajosa em certas aplicaes: Quando o que se pretende representar a quantidade total expressa pelos dados, utiliza-se a mdia. Na realidade, ao multiplicar a mdia pelo nmero total de elementos, obtemos a quantidade pretendida. 4.1- Moda Define-se moda como sendo: o valor que surge com mais frequncia se os dados so discretos, ou, o intervalo de classe com maior frequncia se os dados so contnuos. Assim, da representao grfica dos dados, obtm-se imediatamente o valor que representa a moda ou a classe modal Esta medida especialmente til para reduzir a informao de um conjunto de dados qualitativos, apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais no se pode calcular a mdia e por vezes a mediana. 4.2- Mediana A mediana, uma medida de localizao do centro da distribuio dos dados, definida do seguinte modo:


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Ordenados os elementos da amostra, a mediana o valor (pertencente ou no amostra) que a divide ao meio, isto , 50% dos elementos da amostra so menores ou iguais mediana e os outros 50% so maiores ou iguais mediana Para a sua determinao utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos:

Se n mpar, a mediana o elemento mdio.

Se n par, a mediana a semi-soma dos dois elementos mdios 4.3-Consideraes a respeito de Mdia e Mediana Como medida de localizao, a mediana mais robusta do que a mdia, pois no to sensvel aos dados. 1- Quando a distribuio simtrica, a mdia e a mediana coincidem. 2- A mediana no to sensvel, como a mdia, s observaes que so muito maiores ou muito menores do que as restantes (outliers). Por outro lado a mdia reflete o valor de todas as observaes. Como j vimos, a mdia ao contrrio da mediana, uma medida muito influenciada por valores "muito grandes" ou "muito pequenos", mesmo que estes valores surjam em pequeno nmero na amostra. Estes valores so os responsveis pela m utilizao da mdia em muitas situaes em que teria mais significado utilizar a mediana. A partir do exposto, deduzimos que se a distribuio dos dados: 1. for aproximadamente simtrica, a mdia aproxima-se da mediana 2. for enviesada para a direita (alguns valores grandes como "outliers"), a mdia tende a ser maior que a mediana 3. for enviesada para a esquerda (alguns valores pequenos como "outliers"), a mdia tende a ser inferior mediana. 5 - Medidas de disperso Introduo No captulo anterior, vimos algumas medidas de localizao do centro de uma distribuio de dados. Veremos agora como medir a variabilidade presente num conjunto de dados atravs das seguintes medidas: 5.1- Medidas de disperso Um aspecto importante no estudo descritivo de um conjunto de dados, o da determinao da variabilidade ou disperso desses dados, relativamente medida de localizao do centro da amostra.


49



Supondo ser a mdia, a medida de localizao mais importante, ser relativamente a ela que se define a principal medida de disperso - a varincia, apresentada a seguir. 5.2- Varincia Define-se a varincia, como sendo a medida que se obtm somando os quadrados dos desvios das observaes da amostra, relativamente sua mdia, e dividindo pelo nmero de observaes da amostra menos um.

5.3- Desvio-padro Uma vez que a varincia envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime no a mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou disperso com as mesmas unidades que os dados, tomamos a raiz quadrada da varincia e obtemos o desvio padro: O desvio padro uma medida que s pode assumir valores no negativos e quanto maior for, maior ser a disperso dos dados. Algumas propriedades do desvio padro, que resultam imediatamente da definio, so: O desvio padro ser maior, quanta mais variabilidade houver entre os dados.


50



Geometria Analtica

PPoonn ttoo nnoo RR22 Um ponto um par ordenado (x, y) onde x a abscissa e y a ordenada. Exemplo: Observe no grfico abaixo os pontos A (xA, yA) e B (xB, yB).

DD II SS TT NNCC II AA EE NNTT RREE DD OOII SS PP OONNTT OOSS Dados dois pontos A (xA, yA) e B (xB, yB), como calcular a distncia entre eles? Para calcular a distncia entre os pontos A e B, ns criamos um tringulo retngulo de catetos conhecidos e utilizamos o teorema de Pitgoras.


51



Assim: dAB2 = (xA - xB)2 + (yA - yB)2 Temos que a distncia entre eles :

2BA2

BAAB yyxxd

PPOONN TT OO MM DDII OO Dados dois pontos: A(xA,yA) e B(xB, yB), como descobrir as coordenadas do ponto mdio entre eles? Para isso vamos criar dois tringulos retngulos:

Note que os tringulos TMA e MBR so congruentes, pois tm dois ngulos iguais, o que

garante que so semelhantes MAMB . O que garante que a razo de semelhana seja 1 o fato de eles serem congruentes. Logo,

MTBR e MRAT , ou seja,

mammb xxxxx o ponto mdio de xa e xb

mamma yyyyy o ponto mdio de ya e yb

xm- xb = xa - xm 2xm = xa + xb

xm xb = yb - ym 2ym =ya + yb


52



Portanto,

M = (Xm, Ym) =

2

yy,

2

xx BABA

BBAARR II CC EE NNTT RR OO DDEE UUMM TTRR II NN GG UULL OO Seja G o baricentro do tringulo ABC, podemos dizer que as coordenadas de G so as mdias das coordenadas dos vrtices do triangulo. G= A + B + C 3

EEqquuaaoo ddaa RReettaa Neste momento, iremos ver que uma reta do plano cartesiano pode sempre ser representada por uma equao do tipo ax + by + c = 0, onde a, b e c so constantes e as variveis x e y so as coordenadas dos pontos P (x, y) da reta. Dados dois pontos: A (xA, yA) e B (xB, yB), temos que a equao da reta que os contem pode ser obtida da seguinte forma: Se um ponto P (x, y) pertence reta Temos pela semelhana dos tringulos RPB e TAB que:

ba

ba

b

b

xx

yy

xx

yy


53



Obtenha a equao da reta determinada por A (2, 3) e B (3, 5).

tg

xx

yym

BA

BA

y - 5 = 2 (x -3) 2x - y + 1 = 0

CCOO EE FF II CC II EE NNTT EE AANN GG UU LL AARR DDEE UUMM AA RREE TT AA Se A (xA,yA) e B (xB, yB) so dois pontos distintos do plano cartesiano e xA xB (isto , a reta AB no paralela a 0y), define-se o coeficiente angular m da reta AB, como:

tg

XX

YYm

BA

BA

temos que o coeficiente angular a tangente do ngulo de inclinao da reta em relao ao eixo x. Equao da Reta dados o Coeficiente Angular e um Ponto Se forem dados o coeficiente angular m= tg a, e um ponto A (xA,yA) da reta podemos obter sua equao fazendo:

mxx

yy

a

a

donde y yA = m (x xA) y = mx +yA - mxA


54



Chamando yAmxA=n teremos a Equao reduzida da reta y = mx+ n Caracterizada por ter o y isolado no 1 membro da equao:

PPRROOPPRRIIEEDDAADDEESS I) Coeficiente linear n. O ponto de interseo da reta com o eixo y (0, n).

II) Coeficiente angular m = tg III) Dado um ponto (x0,y0) e o coeficiente angular m, a equao da reta poder ser obtida por: y y0 = m (x x0)

PPOOSS II OO RREE LL AATT II VV AA DDEE DDUU AASS RREE TT AASS CCOONNCCOORRRREENNTTEESS Sabemos que s e r so concorrentes se tiverem um s ponto comum. Isto ocorre se o sistema formado pelas suas equaes satisfeito por um nico par (x, y), isto , se o sistema e possvel e determinado. Caso particular: retas perpendiculares.

PPAARRAALLEELLAASS No plano cartesiano, duas retas paralelas tm coeficientes angulares iguais ou so ambas verticais. Se forem r e s paralelas ento no existe par ordenado (x, y) que satisfaz ao sistema formado pelas equaes das retas (ento um sistema impossvel). Se r e s forem coincidentes (r = s), o sistema formado por suas equaes satisfeito por uma infinidade de pares (x, y). Neste caso, as equaes de s e r so equaes equivalentes, formam um sistema indeterminado.

PPAARR AALLEE LL II SS MM OO Duas retas so paralelas se possuem o mesmo coeficiente angular (ou seja, tem a mesma inclinao em relao ao eixo x). Obter a equao da reta s que passa pelo ponto A (1, -2) e paralela a reta r de equao x + y - 3 = 0.


55



Resoluo 1 modo: A equao reduzida de r y= - x + 3; ento, o seu coeficiente angular m = - 1.

11x

2y

y + 2 = - x +1 equivalente a x + y + 1= 0 (equao geral) 2 modo: Como a equao reduzida de r y=- x + 3, a equao reduzida de s, paralela a r, seja y = - x + p. O ponto A (1,-2) pertence a s; substituindo x = 1 e y =-2 temos -2 = -1 + P e da, p = -1. Ento, a equao de s y = -x -1 (equao reduzida)

PPEE RR PP EE NN DDII CCUU LL AARRII SS MM OO Se duas retas r e s so perpendiculares, ento mr . ms = -1.

CC II RR CCUU NN FFEE RR NNCC II AA o conjunto dos pontos do plano que so equidistantes de um ponto fixo (a, b), chamado centro da circunferncia. A distncia comum o raio r.

EEQQUUAAOO DDEE UUMMAA CCIIRRCCUUNNFFEERRNNCCIIAA Em geral, seja P (x, y) um ponto da circunferncia de centro (a, b) e raio r. Temos que a distncia entre P e C d = r. Ento, temos a equao em x e y:

22 byaxr da qual obtemos a equao reduzida da circunferncia: (x a )2 + ( y b )2 = r2


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EEQQUUAAOO GGEERRAALL Desenvolvendo-se a equao reduzida (os produtos notveis) obtemos a equao geral da circunferncia: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 Onde: D = - 2a E = - 2b F = a2+ b2- r2

PPOOSS II OO RREE LL AATT II VV AA DDOO PPOONNTT OO EE CC II RR CCUU NN FFEE RR NN CCII AA Com um ponto P (x, y) em relao a uma circunferncia de centro C (a, b) e raio r, pode ocorrer uma das trs situaes que estudaremos a seguir: a) Ponto P pertencente circunferncia A distncia entre P e C igual ao raio: dC,P = R Logo, satisfazem equao da circunferncia (x a)2 + ( y b)2 = r2

b) O ponto P esta no interior do crculo definido pela circunferncia, quando diremos que e interno a circunferncia. A distncia entre P e C menor do que o raio: dC,P < R Portanto, suas coordenadas satisfazem a inequao: (x - a)2+ (y - b)2 < r2


57



c) O ponto P est no exterior do crculo determinado pela circunferncia quando diremos que P externo a circunferncia. A distncia entre P e C maior do que o raio: dC;P > R Logo suas coordenadas satisfazem a inequao ( x - a)2 + (y - b)2 > r2


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Geometria Plana

CRCULO E NGULOS

Circunferncia de crculo a linha formada por todos os pontos do plano que possuem uma distncia constante (raio) de um ponto fixo (centro O).

Comprimento da circunferncia de raio R: R2c , sendo 1415,3

ngulo central: BOA , de medida .

Arco subentendido:

AB , tal que a medida angular do arco igual medida do ngulo

central (

AB ).

Sistema sexagesimal de unidades angulares:

Divide-se a circunferncia em 360 partes iguais; o ngulo central que subentende o arco limitado por dois pontos consecutivos, o ngulo de um grau (1).

Submltiplos: minuto: )60

1('1 ; segundo: )'

60

1("1 .

Vocabulrio:

ngulos adjacentes

( BOA e COB )

ngulos opostos pelo vrtice


59



Retas perpendiculares

(ngulo reto)

ngulo agudo

ngulo obtuso

Bissetriz do ngulo

Dois ngulos complementares: somam 90 Dois ngulos suplementares: somam 180 Dois ngulos replementares: somam 360 RETAS PARALELAS CORTADAS POR TRANSVERSAL

Para os ngulos numerados na figura, tem-se: Alternos internos: 3 e 5 ; 4 e 6 Alternos externos: 1 e 7; 2 e 8 Propriedade: os alternos so congruentes. Colaterais internos: 3 e 6; 4 e 5 Colaterais externos: 1 e 8; 2 e 7


60



Propriedade: os colaterais so suplementares. Correspondentes: 1 e 5; 2 e 6; 3 e 7; 4 e 8 Propriedade: os correspondentes so congruentes

TRINGULOS

Classificao quanto aos lados:

Classificao quanto aos ngulos:

Condio de existncia do tringulo: Cada lado menor que a soma e maior que a diferena dos outros dois. Cevianas notveis do tringulo:

Mediana: MA , tal que MB = MC .

Altura: HA , tal que BCAH

Bissetriz interna: AP, tal que PB = PC Bissetriz externa: AP' , tal que P'C = P'D.


61



Casos de congruncia de dois tringulos: Dois tringulos so congruentes quando possuem:

- (ALA) um lado congruente entre ngulos respectivamente congruentes.

- (LAL) um ngulo congruente entre lados respectivamente congruentes.

- (LLL) trs lados respectivamente congruentes.

- (LAAO) um lado congruente, um ngulo congruente adjacente ao lado e um ngulo congruente oposto ao lado.

- Caso especial de tringulos retngulos: hipotenusa congruente e um cateto congruente. Maior lado e maior ngulo de um tringulo: Em um tringulo, o maior lado oposto ao maior ngulo. Soma dos ngulos internos do tringulo: igual a 180. Propriedade do ngulo externo do tringulo: cada ngulo externo igual soma dos ngulos internos no adjacentes.

POLGONOS

Polgono convexo: Polgonos no convexos:


62



Nomenclatura dos polgonos: Gnero de um polgono o seu nmero de lados

GNERO NOME

3 tringulo

4 quadriltero

5 pentgono

6 hexgono

7 heptgono

8 octgono

9 enegono

10 decgono

11 undecgono

12 dodecgono

15 pentadecgono

20 icosgono

Diagonais do polgono: No polgono de gnero n, tem-se: Nmero de diagonais traadas de um vrtice 3n

Nmero total de diagonais: 2

)3n(nD

ngulos do polgono convexo: No polgono convexo ABCD... de gnero n , representa-se:

...CBAS iiii (soma dos ngulos internos)

...CBAS eeee (soma dos ngulos externos)

Propriedades: )2n(180Si e 360Se .

Polgonos regulares: Possuem lados congruentes e ngulos congruentes. Propriedades: Num polgono regular convexo de gnero n , tem-se:

Medida de cada ngulo interno: n

)2n(180Ai

Medida de cada ngulo externo: n

360Ae


63



QUADRILTEROS

Vocabulrio:

TRAPZIO (dois lados paralelos)

RETNGULO (quatro ngulos

retos)

PARALELOGRAMO (lados opostos paralelos)

LOSANGO (quatro lados congruentes)

QUADRADO (quatro ngulos

retos e 4 lados

congruentes) Propriedades do paralelogramo: Sendo ABCD um quadriltero convexo, valem os seguintes teoremas:

- (AB//CD e AD//BC) (AB = CD e AD = BC)

- (ABCD paralelogramo) ( = C e B = D )

- (ABCD paralelogramo) ( CA e DB se cortam ao meio)

- (ABCD paralelogramo) (AB//CD e AB = CD) Propriedades do retngulo:

- Todo retngulo tambm um paralelogramo.

- As diagonais so congruentes e se cortam ao meio.


64



Propriedades do losango:

- Todo losango tambm paralelogramo

- As diagonais so perpendiculares e se cortam ao meio. Propriedades do quadrado:

- Todo quadrado tambm paralelogramo, retngulo e losango.

- As diagonais so congruentes, perpendiculares e se cortam ao meio.

BASES MDIAS

Base mdia do tringulo:

o segmento MN que une pontos mdios de dois lados.

Propriedade: MN // BC e MN = 2

BC.

Base mdia do trapzio:

o segmento MN que une os pontos mdios dos lados no paralelos. Propriedade: MN // AB // CD e

MN = 2

CDAB .

Mediana de Euler do trapzio:

o segmento RS que une os pontos

mdios das diagonais. Propriedade: RS // AB // CD e

RS = 2

CDAB .


65



TRINGULO RETNGULO

Crculo circunscrito ao tringulo retngulo:

- O centro do crculo circunscrito a um tringulo retngulo o ponto mdio da hipotenusa.

- O raio do crculo circunscrito igual metade da hipotenusa.

- A mediana relativa hipotenusa mede a metade da hipotenusa. Relaes mtricas no tringulo retngulo:

222 cba (Teorema de Pitgoras)

mnh2 ahbc

amb2 ; anc2

Linhas trigonomtricas no tringulo retngulo:

seno: a

b

hipotenusa

opostocatetoxsen

cosseno: a

c

hipotenusa

adjacentecatetoxcos


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tangente: c

b

adjacentecateto

opostocatetoxtg

cotangente: b

c

tgx

1xgcot

secante: c

a

xcos

1xsec

cossecante: b

a

xsen

1xseccos

Linhas trigonomtricas de 30, 45 e 60:

x 30 45 60

sen x 2

1

2

2

2

3

cos x 2

3

2

2

2

1

tg x 3

3 1 3

CRCULOS E RETAS

A reta tangente ao crculo perpendicular ao raio do ponto de tangncia.

Se PA e PB so tangentes ao crculo traadas pelo ponto P exterior, ento PBPA .

Tangentes comuns exteriores a dois crculos:


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Tangentes comuns interiores a dois crculos:

Crculos tangentes: O ponto de tangncia (A) pertence linha dos centros. Crculos tangentes exteriores )rROO( 21

Crculos tangentes interiores )rROO( 21


68



reas Vejamos como se calculam as reas das principais figuras geomtricas planas. RETNGULO Tomaremos como referncia para o clculo das outras reas, a rea do retngulo. A = b . h QUADRADO O quadrado um retngulo, logo, sua rea tambm pode ser calculada, multiplicando-se sua base por sua altura. Como no quadrado, a base igual a altura, podemos cham-los de lado . Logo, a rea do quadrado fica da seguinte forma: A = . = 2 PARALELOGRAMO Observe o paralelogramo abaixo:

. .

. .


69



Se dividirmos o paralelogramo como mostra a figura e deslocarmos como sugerido, a nova figura um retngulo de base b e altura h. Logo, podemos calcular a rea do paralelogramo da seguinte forma: A = b . h LOSANGO Considere o losango abaixo: Traando paralelas s suas diagonais passando por seus vrtices, encontraremos um retngulo de lados D e d. Repare que os 8 tringulos possuem mesma rea. Logo, a rea do losango a metade da rea do retngulo. Temos ento que:

2

D.dA


70



TRAPZIO Observe o trapzio abaixo: Traando uma paralela a um dos lados do trapzio como mostra a figura, obtemos um paralelogramo e um tringulo. A rea do trapzio a soma da rea do paralelogramo do tringulo.

2

h bB

2

bhBh

2

bhBh2bh

2

h bBbhA

2

h bBA

Repare o paralelogramo abaixo: Sua diagonal o divide em dois tringulos de mesma rea. Logo, a rea do triangulo a metade da rea do paralelogramo.


71



2

b.hA

Existe outra relao para o clculo da rea do tringulo. Observe o tringulo abaixo:

Sabemos que sen a = a

h logo,

h = a . sen A rea do tringulo ser:

2

b.hA

substituindo h por a . sen TEMOS:

2

sen a.b.A

Repare que as duas relaes calculam a rea do tringulo. A diferena so os elementos necessrios para esse clculo. Enquanto na primeira, utilizamos a base e altura, na segunda, utilizamos dois lados do tringulo e o ngulo formado por eles.

2

sen a.b.A


72



TRINGULO EQUILTERO No tringulo equiltero temos:

2

3h

, logo,

4

3

24

3.

22

b.hA

2

2

3h

4

3A

2

TRINGULO CIRCUNSCRITO

Vamos provar que A = p.r, onde A a rea do tringulo, 2

cbap

o semipermetro e r o raio

da circunferncia inscrita. A prova simples, acompanhe: Traamos os trs raios nos pontos de tangncia e ligamos o centro da circunferncia inscrita com os vrtices. O tringulo original, fica decomposto em outros trs. Em cada um deles, a base um dos lados (a, b c) e a altura o raio r, pois o raio perpendicular ao lado no ponto de tangncia. Segue-se que rea do tringulo original a soma das reas dos tringulos menores, ou seja:

r . 2

c)b(a

2

c)rb(a

2

c.r

2

b.r

2

a.rA


73



A = p.r

2

cbap

REAS DE POLGONOS SEMELHANTES Sejam os polgonos acima semelhantes com

k...c

c

b

b

a

a111

ento 1s

s valer k2.

OBSERVAO Se dois polgonos so semelhantes ento a razo entre suas reas ser igual ao quadrado da razo entre seus lados. Observe a relao entre lados e reas dos quadrados: Repare que quando dobramos os lados de um polgono sua rea no dobra e sim quadruplica. Para calcularmos a rea de um circulo utilizaremos a relao A = PpR2


74



A = R2 Observao

Cuidado para no confundir comprimento da circunferncia com rea do crculo C = 2 R e A =

.R2. COROA CIRCULAR a regio situada entre duas circunferncias concntricas. A rea da coroa circular igual rea do crculo maior menos a rea do crculo menor.

A coroa. = (R2 r2)

Repare que a expresso que determina a rea da coroa circular um produto notvel A = (R2

r2) = (R+r) (R- r). Isso explorado em alguns exerccios. SETOR CIRCULAR a parte do crculo limitada por dois raios e um arco. Chamando de o ngulo formado pelos raios e medindo esse ngulo em graus, a rea do setor :

360

2R

setorA


75



Calcule a rea do setor circular da figura: Soluo: Utilizando-se a frmula da rea do setor, fica fcil.

Como 360

2R

setorA ,

= 720 e R = 10 cm, obtemos

20360

72.10.2

setorA cm2

Agora repare como voc pode resolver o problema sem ter que decorar a frmula da rea do setor. Observe que 720 um quinto de 3600, a partir disto, conclumos que o setor de 720 um quinto do crculo que o contm e, portanto, a rea do setor a quinta parte da rea do crculo:

20

5

102.

5

2.

RsetorA cm2

SEGMENTO CIRCULAR a regio limitada pela circunferncia e uma corda. Para o clculo da rea do segmento circular, faremos a ,diferena entre a rea do setor circular e a rea do tringulo como mostra a figura:


76



Calcule a rea do setor abaixo sabendo que o raio da Circunferncia vale 12cm. Soluo: Primeiro, calcularemos a rea do setor Circular.

24

360

60.122.

360

2.

RsetorA

Repare que o tringulo, neste caso, um tringulo equiltero.

336

4

3122

4

32

t

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