enade-2008-matemc3a1tica

1MATEMTICA

FORMAO GERALQUESTO 1O escritor Machado de Assis (1839-1908), cujo centenrio de morte est sendo celebrado no presente ano, retratou na

sua obra de fico as grandes transformaes polticas que aconteceram no Brasil nas ltimas dcadas do sculo XIX.

O fragmento do romance Esa e Jac, a seguir transcrito, reflete o clima poltico-social vivido naquela poca.

Podia ter sido mais turbulento. Conspirao houve, decerto, mas uma barricada no faria mal. Seja como for, venceu-se a campanha. (...) Deodoro uma bela figura. (...)

Enquanto a cabea de Paulo ia formulando essas idias, a de Pedro ia pensando o contrrio; chamava o movimento um crime.

Um crime e um disparate, alm de ingratido; o imperador devia ter pegado os principais cabeas e mand-los

executar. ASSIS, Machado de. . : . Rio de Janeiro: Nova Aguilar, 1979. v. 1, cap. LXVII (Fragmento).Esa e Jac In Obra completa

Os personagens a seguir esto presentes no imaginrio brasileiro, como smbolos da Ptria.

I II III

Disponvel em: www.morcegolivre.vet.br

ERMAKOFF, George. Rio de Janeiro, 1840-1900: Uma crnica

fotogrfica. Rio de Janeiro: G. Ermakoff Casa Editorial, 2006,

p. 189.

ERMAKOFF, George. Rio de Janeiro,

1840-1900: Uma crnica fotogrfica. Rio de

Janeiro: G. Ermakoff Casa Editorial, 2006, p. 38.

IV V

LAGO, Pedro Corra do; BANDEIRA, Jlio. Debret e o

Brasil: Obra completa 1816-1831. Rio de Janeiro:

Capivara, 2007, p. 78.

LAGO, Pedro Corra do; BANDEIRA, Jlio.

Debret e o Brasil: Obra completa 1816-1831.

Rio de Janeiro: Capivara, 2007, p. 93.

Das imagens acima, as figuras referidas no fragmento do romance Esa e Jac so

A I e III. B I e V. C II e III. D II e IV. E II e V.

2MATEMTICA

QUESTO 2Quando o homem no trata bem a natureza, a

natureza no trata bem o homem.

Essa afirmativa reitera a necessria interao dasdiferentes espcies, representadas na imagem a seguir.

Disponvel em http://curiosidades.spaceblog.com.br.

Acesso em 10 out. 2008.

Depreende-se dessa imagem a

A atuao do homem na clonagem de animaispr-histricos.

B excluso do homem na ameaa efetiva sobrevivnciado planeta.

C ingerncia do homem na reproduo de espcies emcativeiro.

D mutao das espcies pela ao predatria do homem.E responsabilidade do homem na manuteno da

biodiversidade.

QUESTO 3A exposio aos raios ultravioleta tipo B (UVB) causaqueimaduras na pele, que podem ocasionar leses graves

ao longo do tempo. Por essa razo, recomenda-se autilizao de filtros solares, que deixam passar apenas

certa frao desses raios, indicada pelo Fator de ProteoSolar (FPS). Por exemplo, um protetor com FPS igual a 10

deixa passar apenas 1/10 (ou seja, retm 90%) dos raiosUVB. Um protetor que retenha 95% dos raios UVB possui

um FPS igual a

A 95.B 90.

C 50.D 20.

E 5.

QUESTO 4

CIDADS DE SEGUNDA CLASSE?

As melhores leis a favor das mulheres de cada

pas-membro da Unio Europia esto sendo reunidas por

especialistas. O objetivo compor uma legislao

continental capaz de contemplar temas que vo da

contracepo eqidade salarial, da prostituio

aposentadoria. Contudo, uma legislao que assegure a

incluso social das cidads deve contemplar outros temas,

alm dos citados.

So dois os temas mais especficos para essa legislao:

A aborto e violncia domstica.

B cotas raciais e assdio moral.

C educao moral e trabalho.

D estupro e imigrao clandestina.

E liberdade de expresso e divrcio.

QUESTO 5

A foto a seguir, da americana Margaret Bourke-White

(1904-71), apresenta desempregados na fila de alimentos

durante a Grande Depresso, que se iniciou em 1929.

STRICKLAND, Carol; BOSWELL, John. Arte Comentada: da pr-

histria ao ps-moderno. Rio de Janeiro: Ediouro [s.d.].

Alm da preocupao com a perfeita composio, a

artista, nessa foto, revela

A a capacidade de organizao do operariado.

B a esperana de um futuro melhor para negros.

C a possibilidade de ascenso social universal.

D as contradies da sociedade capitalista.

E o consumismo de determinadas classes sociais.

3MATEMTICA

Disponvel em http://www.ipea.gov.br

QUESTO 6

CENTROS URBANOS MEMBROS DO GRUPO ENERGIA-CIDADES

LE MONDE Diplomatique Brasil. Atlas do Meio Ambiente, 2008, p. 82.

No mapa, registra-se uma prtica exemplar para que as cidades se tornem sustentveis de fato, favorecendo as trocas

horizontais, ou seja, associando e conectando territrios entre si, evitando desperdcios no uso de energia.

Essa prtica exemplar apia-se, fundamentalmente, na

A centralizao de decises polticas.

B atuao estratgica em rede.

C fragmentao de iniciativas institucionais.

D hierarquizao de autonomias locais.

E unificao regional de impostos.

QUESTO 7Apesar do progresso verificado nos ltimos anos, o Brasil continua

sendo um pas em que h uma grande desigualdade de renda

entre os cidados. Uma forma de se constatar este fato por meio

da Curva de Lorenz, que fornece, para cada valor de x entre 0 e

100, o percentual da renda total do Pas auferido pelos x% de

brasileiros de menor renda. Por exemplo, na Curva de Lorenz para

2004, apresentada ao lado, constata-se que a renda total dos 60%

de menor renda representou apenas 20% da renda total.

De acordo com o mesmo grfico, o percentual da renda

total correspondente aos 20% de maior renda foi,aproximadamente, igual a

A 20%.

B 40%.

C 50%.

D 60%.

E 80%.

4MATEMTICA

QUESTO 8

O filsofo alemo Friedrich Nietzsche (1844-1900), talvez o pensador moderno mais incmodo e provocativo, influenciou

vrias geraes e movimentos artsticos. O Expressionismo, que teve forte influncia desse filsofo, contribuiu para o

pensamento contrrio ao racionalismo moderno e ao trabalho mecnico, atravs do embate entre a razo e a fantasia.

As obras desse movimento deixam de priorizar o padro de beleza tradicional para enfocar a instabilidade da vida,

marcada por angstia, dor, inadequao do artista diante da realidade.

Das obras a seguir, a que reflete esse enfoque artstico

A B C

Homem idoso na poltrona

Rembrandt van Rijn Louvre, Paris.

Disponvel em: http://www.allposters.com

Figura e borboleta

Milton Dacosta

Disponvel em: http://www.unesp.br

O grito Edvard Munch Museu Munch, Oslo

Disponvel em: http://members.cox.net

D E

Menino mordido por um lagarto

Michelangelo Merisi (Caravaggio)

National Gallery, Londres

Disponvel em: http://vr.theatre.ntu.edu.tw

Abaporu Tarsila do Amaral

Disponvel em: http://tarsiladoamaral.com.br

5MATEMTICA

LE MONDE Diplomatique Brasil. Ano 2, n. 7, fev. 2008, p. 31.

QUESTO 9 DISCURSIVA

DIREITOS HUMANOS EM QUESTO

O carter universalizante dos direitos do homem (...) no

da ordem do saber terico, mas do operatrio ou prtico: eles

so invocados para agir, desde o princpio, em qualquer

situao dada.

Franois JULIEN, filsofo e socilogo.

Neste ano, em que so comemorados os 60 anos da

Declarao Universal dos Direitos Humanos, novas

perspectivas e concepes incorporam-se agenda pblica

brasileira. Uma das novas perspectivas em foco a viso mais

integrada dos direitos econmicos, sociais, civis, polticos e,

mais recentemente, ambientais, ou seja, trata-se da

integralidade ou indivisibilidade dos direitos humanos. Dentre as

novas concepes de direitos, destacam-se:

< a habitao como moradia digna e no apenas como

necessidade de abrigo e proteo;

< a segurana como bem-estar e no apenas como

necessidade de vigilncia e punio;

< o trabalho como ao para a vida e no apenas como

necessidade de emprego e renda.

Tendo em vista o exposto acima, selecione uma das

concepes destacadas e esclarea por que ela representa um

avano para o exerccio pleno da cidadania, na perspectiva da

integralidade dos direitos humanos.

Seu texto deve ter entre 8 e 10 linhas.

(valor: 10,0 pontos)

RASCUNHO QUESTO 9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

6MATEMTICA

QUESTO 10 DISCURSIVA

Alunos do nota 7,1 para ensino mdio

Apesar das vrias avaliaes que mostram que o ensino mdio estmuito aqum do desejado, os alunos, ao analisarem a formao quereceberam, tm outro diagnstico. No questionrio socioeconmico queresponderam no Enem (Exame Nacional do Ensino Mdio) do anopassado, eles deram para seus colgios nota mdia 7,1. Essa boaavaliao varia pouco conforme o desempenho do aluno. Entre os queforam mal no exame, a mdia de 7,2; entre aqueles que foram bem,ela fica em 7,1.

GOIS, Antonio. Folha de S.Paulo, 11 jun. 2008 (Fragmento).

Entre os piores tambm em matemtica e leitura

O Brasil teve o quarto pior desempenho, entre 57 pases e territrios, nomaior teste mundial de matemtica, o Programa Internacional deAvaliao de Alunos (Pisa) de 2006. Os estudantes brasileiros de

escolas pblicas e particulares ficaram na 54.a posio, frente apenas de Tunsia, Qatar e Quirguisto. Na prova deleitura, que mede a compreenso de textos, o pas foi o oitavo pior, entre 56 naes.Os resultados completos do Pisa 2006, que avalia jovens de 15 anos, foram anunciados ontem pela Organizao paraa Cooperao e o Desenvolvimento (OCDE), entidade que rene pases adeptos da economia de mercado, a maioriado mundo desenvolvido.

WEBER, Demtrio. Jornal O Globo, 5 dez. 2007, p. 14 (Fragmento).

Ensino fundamental atinge meta de 2009

O aumento das mdias dos alunos, especialmente em matemtica, e a diminuio da reprovao fizeram com que, de2005 para 2007, o pas melhorasse os indicadores de qualidade da educao. O avano foi mais visvel no ensinofundamental. No ensino mdio, praticamente no houve melhoria. Numa escala de zero a dez, o ensino fundamental emseus anos iniciais (da primeira quarta srie) teve nota 4,2 em 2007. Em 2005, a nota fora 3,8. Nos anos finais (quintaa oitava), a alta foi de 3,5 para 3,8. No ensino mdio, de 3,4 para 3,5. Embora tenha comemorado o aumento da nota,ela ainda foi considerada pior do que regular pelo ministro da Educao, Fernando Haddad.

GOIS, Antonio; PINHO, Angela. Folha de S.Paulo, 12 jun. 2008 (Fragmento).

A partir da leitura dos fragmentos motivadores reproduzidos, redija um texto dissertativo (fundamentado em pelo menosdois argumentos), sobre o seguinte tema:

A contradio entre os resultados de avaliaes oficiais e a opinio emitida pelosprofessores, pais e alunos sobre a educao brasileira.

No desenvolvimento do tema proposto, utilize os conhecimentos adquiridos ao longo de sua formao.

Observaes Seu texto deve ser de cunho dissertativo-argumentativo (no

deve, portanto, ser escrito em forma de poema, de narraoetc.).

Seu ponto de vista deve estar apoiado em pelo menos doisargumentos.

O texto deve ter entre 8 e 10 linhas. O texto deve ser redigido na modalidade padro da

lngua portuguesa. Seu texto no deve conter fragmentos dos textos

motivadores.(valor: 10,0 pontos)

RASCUNHO QUESTO 101

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Revista Veja, 20 ago. 2008, p. 72-3.

7MATEMTICA

COMPONENTE ESPECFICOQUESTO 11

Em um jogo de futebol, um jogador ir bater uma faltadiretamente para o gol. A falta batida do ponto P, localizado a12 metros da barreira. Suponha que a trajetria da bola seja umaparbola, com ponto de mximo em Q, exatamente acima dabarreira, a 3 metros do cho, como ilustra a figura abaixo.

Sabendo-se que o gol est a 8 metros da barreira, a que altura esta bola ao atingir o gol?

A

B

C

D

E

QUESTO 12

No plano cartesiano xOy, as equaes x2 + y2 + y = 0 ex2 ! y ! 1 = 0 representam uma circunferncia e uma parbolaP, respectivamente. Nesse caso,

A a reta de equao y = !1 tangente s curvas e P.B as curvas e P tm mais de um ponto em comum.C existe uma reta que passa pelo centro de e que no

intercepta a parbola P.D o raio da circunferncia igual a 1.E a parbola P tem concavidade voltada para baixo.

QUESTO 13

H 10 postos de gasolina em uma cidade. Desses 10, exatamentedois vendem gasolina adulterada. Foram sorteados aleatoriamentedois desses 10 postos para serem fiscalizados. Qual aprobabilidade de que os dois postos infratores sejam sorteados?

A

B

C

D

E

QUESTO 14

Assinale a opo que contm o sistema de inequaes quedetermina a regio triangular PQR desenhada abaixo.

y

Q

R1

2

21O xP

A

B

C

D

E

RASCUNHO

gol parbolaposio da falta

barreira

Q

P3

12x

y

8O

R

8MATEMTICA

QUESTO 15

Uma professora do ensino fundamental resolveuutilizar, em suas aulas, a construo de um aviode papel para explorar alguns conceitose propriedades da geometria plana. Utilizando umafolha de papel retangular, os estudantes deveriamcomear fazendo as dobras na folha ao longo dossegmentos de reta indicados na figura ao lado.

As seguintes condies, segundo instrues daprofessora, devem ser satisfeitas:< a reta determinada por M e U a mediatriz do segmento AB;< AC, BD e AB so segmentos congruentes;< PT e TQ so segmentos congruentes;< PD e BD so segmentos congruentes.

A partir da anlise da figura, um estudante afirmou o seguinte:

O tringulo PQD obtusngulo

porque

o tringulo PQT equiltero.

Com relao ao que foi afirmado pelo estudante, assinale a opo correta.

A As duas asseres so proposies verdadeiras, e a segunda umajustificativa correta da primeira.

B As duas asseres so proposies verdadeiras, e a segunda no uma justificativa correta da primeira.

C A primeira assero uma proposio verdadeira, e a segunda falsa.

D A primeira assero uma proposio falsa, e a segunda verdadeira.

E Ambas as asseres so proposies falsas.

QUESTO 16

A concentrao de certo frmaco no sangue, t horas aps suaadministrao, dada pela frmula:

Em qual intervalo essa funo crescente?

A t 0B t > 10C t > 1D 0 t < 1

E

QUESTO 17

No plano complexo, a rea do tringulo de vrtices

A

B

C

D

E

QUESTO 18

No anel dos inteiros mdulo 12, R = ZZ /12ZZ,

A no h divisores de zero. B todo elemento no-nulo inversvel.C o subconjunto dos elementos inversveis forma um

subanel de R.D a multiplicao no comutativa.E h exatamente 4 elementos inversveis.

QUESTO 19

Considere g : 6 uma funo com derivada

contnua e f a funo definida por para

todo x , .

Nessas condies, avalie as afirmaes que se seguem.

I A funo f integrvel em todo intervalo [a, b],a, b 0 , a < b.

II A funo f derivvel e sua derivada a funo g.III A funo diferena f ! g uma funo constante.

correto o que se afirma em

A I, apenas.B II, apenas.C I e III, apenas.D II e III, apenas.E I, II e III.

RASCUNHO

BA

C D

M

Q

R

P

T

S

U

9MATEMTICA

QUESTO 20

Para cada nmero real x, considere o conjunto Cx formado por

todos os nmeros obtidos somando-se a x um nmero racional,

isto ,

.

Sob essas condies, conclui-se que

A o nmero B pertence ao conjunto C1 .

B o conjunto C4 1 C5 possui um nico elemento.

C o nmero pertence ao conjunto .

D os conjuntos C3 e C1/3 so iguais.

E o nmero zero pertence ao conjunto .

QUESTO 21

Para que valores de k e m o polinmio P(x) = x3 3x2 + kx + m

mltiplo de Q(x) = x2 4?

A k = !4 e m = 12

B k = !3 e m = !4

C k = !3 e m = !12

D k = !4 e m = !3

E k = !2 e m = 2

QUESTO 22

Uma transformao linear T: 2 6 2 faz uma reflexo em

relao ao eixo horizontal, conforme mostrado na figura a

seguir.

Essa transformao T

A dada por T(x, y) = (!x, y).

B tem autovetor (0, !1) com autovalor associado igual a 2.

C tem autovetor (2, 0) com autovalor associado igual a 1.

D tem autovalor de multiplicidade 2.

E no inversvel.

QUESTO 23

Considere o sistema de equaes a seguir.

Analise as asseres seguintes relativas resoluo desse sistemade equaes lineares.

O sistema no tem soluo

porque

o determinante da matriz dos coeficientes igual a zero.

A respeito dessa afirmao, assinale a opo correta.

A As duas asseres so proposies verdadeiras e a segunda uma justificativa correta da primeira.

B As duas asseres so proposies verdadeiras, mas a segundano uma justificativa correta da primeira.




RASCUNHO

y

2

0

u

6

T u( )

2

2 x2

10MATEMTICA

QUESTO 24

Considere que Q1 = {r1, r2, r3, ...} seja uma enumerao detodos os nmeros racionais pertencentes ao intervalo [0, 1] eque, para cada nmero inteiro i $ 1, I

i denote o intervalo aberto

, cujo comprimento li. Qual a soma da

srie ?

A

B

C

D

E

QUESTO 25

O projeto de construo de uma pea de artesanato foi realizadoutilizando-se um software geomtrico que permite interceptarum tetraedro regular com planos. A figura a seguir mostra otetraedro RSTU e trs pontos M, N e P do plano deinterseo.

Sabendo que M, N e P so pontos mdios de SR, SU e ST,respectivamente, e que o tetraedro RSTU tem volume igual a 1,avalie as seguintes afirmaes.

I O volume da pirmide SMNP igual .1

2

II A interseo do plano a com o tetraedro umparalelogramo.

III As retas que contm as arestas MP e RU so reversas.


A I, apenas.B III, apenas.C I e II, apenas.D II e III, apenas.E I, II e III.

QUESTO 26

Analisando a funo f(x, y) = x2(x ! 1) + y(2x ! y), definida nodomnio D = {(x, y) 0 2; !1 # x # 1, !1 # y # 1}, um estudante declculo diferencial escreveu o seguinte:

A funo f tem um ponto de mnimo global em D

porque

o ponto (0, 0) um ponto crtico de f.

A respeito da afirmao feita pelo estudante, assinale a opocorreta.

A As duas asseres so proposies verdadeiras, e a segunda uma justificativa correta da primeira.





QUESTO 27

Qual o resto da diviso de 2334 por 23?

A 2B 4C 8D 16E 20

RASCUNHO

R

M

U

T

N

PS

11

MATEMTICA


Os grficos abaixo mostram informaes a respeito da rea plantada e da produtividade das

lavouras brasileiras de soja com relao s safras de 2000 a 2007.

2.400

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

2.7002.500

2.500

2.800

2.300

2.200

2.800

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

A protena do campo. In: Veja, 23/7/2008, p. 79 e Ministrio da Agricultura, Pecuria e Abastecimento (com adaptaes).

Com base nessas informaes, resolva o que se pede nos itens a seguir e transcreva suas respostas para o Caderno de Respostas, noslocais devidamente indicados.

a) Considerando I = rea plantada (em milhes de ha), II = produtividade (em kg/ha) e III = produo total de soja (em milhes detoneladas), preencha a tabela abaixo.

(valor: 5,0 pontos)

RASCUNHO QUESTO 28 ITEM a

ano I II III

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

b) Faa o esboo do grfico de linhas que representa a quantidade de quilogramas de soja produzidos no Brasil, em milhes detoneladas, no perodo de 2000 a 2007. Nomeie as variveis nos eixos de coordenadas e d um ttulo adequado para seu grfico.

(valor: 5,0 pontos)

RASCUNHO QUESTO 28 ITEM b

Ttulo:

12

MATEMTICA


Considere a seqncia numrica definida por

, para n = 1, 2, 3, ...

Usando o princpio de induo finita, mostre que an < a para todo n $ 1 e a $ 2. Para isso, resolva o que se pede

nos itens a seguir e transcreva suas respostas para o Caderno de Respostas, nos locais devidamente indicados.

(valor: 1,0 ponto)a) Escreva a hiptese e a tese da propriedade a ser demonstrada. RASCUNHO QUESTO 29 ITEM aHiptese: Tese:

(valor: 2,0 pontos)b) Prove que a(a ! 1) > 0 para a $ 2. RASCUNHO QUESTO 29 ITEM b

(valor: 2,0 pontos)c) Mostre que , para todo a $ 2. RASCUNHO QUESTO 29 ITEM c

(valor: 2,0 pontos)d) Supondo que a

n < a, prove que a

n+1 < . RASCUNHO QUESTO 29 ITEM d

(valor: 2,0 pontos)e) Mostre que a

n+1 < a. RASCUNHO QUESTO 29 ITEM e

(valor: 1,0 ponto)f) A partir dos passos anteriores, conclua a prova por induo. RASCUNHO QUESTO 29 ITEM f

13

MATEMTICA

As questes de 30 a 40, a seguir, so especficas para os estudantes de

LICENCIATURA

QUESTO 30

As potencialidades pedaggicas da histria no ensino dematemtica tm sido bastante discutidas. Entre as justificativas parao uso da histria no ensino de matemtica, inclui-se o fato de elasuscitar oportunidades para a investigao. Considerando essajustificativa, um professor props uma atividade a partir dainformao histrica de que o famoso matemtico Pierre Fermat[1601-1665], que se interessava por nmeros primos, percebeualgumas relaes entre nmeros primos mpares e quadradosperfeitos.

Para que os alunos tambm descobrissem essa relao, pediuque eles completassem a tabela a seguir, verificando quais nmerosprimos mpares podem ser escritos como soma de dois quadradosperfeitos. Alm disso, solicitou que observassem algumapropriedade comum a esses nmeros.

3 5 7 11 13 17 19 23 29

1+4 4+9 1+16

no sim no no sim sim

A partir da atividade de investigao proposta pelo professor,analise as afirmaes seguintes.

I Todo nmero primo da forma 4n + 1 pode ser escrito como asoma de dois quadrados perfeitos.

II Todo nmero primo da forma 4n + 3 pode ser escrito como asoma de dois quadrados perfeitos.

III Todo nmero primo da forma 2n + 1 pode ser escrito como asoma de dois quadrados perfeitos.

Est correto o que se afirma em

A I, apenas. D II e III, apenas.B II, apenas. E I, II e III.C I e III, apenas.

QUESTO 31

Na discusso relativa a funes exponenciais, um professorprops a seguinte questo:

Para que valores no-nulos de k e m a funo f(x) = mekx umafuno crescente?

Como estratgia de trabalho para que os alunos respondam questo proposta, adequado e suficiente o professor sugerirque os alunos

A considerem m = 1 e k = 1, utilizem uma planilhaeletrnica para calcular valores da funo f em muitospontos e comparem os valores obtidos.

B considerem m = 1 e k = 1, m = !1 e k = 1, esbocem osgrficos da funo f e, em seguida, comparem esses doisgrficos.

C formem pequenos grupos, sendo que cada grupo deveesboar o grfico de uma das funes , para m = 1,2, 3, 4 ou 5, e comparem, em seguida, os grficosencontrados.

D esbocem os grficos das funes y = ex e y = e!x eanalisem o que acontece com esses grficos quando avarivel e a funo forem multiplicadas por constantespositivas ou negativas.

E construam uma tabela com os valores de f para x nmerointeiro variando de !5 a 5, fixando m = 1 e k = 1 e, emseguida, comparem os valores encontrados.

RASCUNHO

1 A seguir sero apresentadas questes de Mltipla Escolha e Discursivas especficas para as modalidades doscursos de Matemtica, assim distribudas:

ModalidadeNmero das questes

Mltipla Escolha Discursiva

Licenciatura 30 a 39 40

Bacharelado 41 a 50 51

2 Deste conjunto, voc deve responder APENAS s questes referentes modalidade do curso na qual voc estinscrito, ou seja, voc dever responder somente s questes de Bacharelado ou somente s questes deLicenciatura.

3 Observe atentamente os nmeros das questes correspondentes modalidade do curso na qual voc est inscritopara preencher corretamente o Caderno de Respostas.

14

MATEMTICA

QUESTO 32A Matemtica no ensino mdio tem papel formativo contribui para odesenvolvimento de processos de pensamento e para a aquisio deatitudes e carter instrumental pode ser aplicada s diversas reasdo conhecimento , mas deve ser vista tambm como cincia, com suascaractersticas estruturais especficas.

OCNEM (com adaptaes).

Ao planejar o estudo de funes no ensino mdio, o(a) professor(a) deveobservar que

A o objetivo do estudo de exponenciais encontrar os zeros dessasfunes.

B as funes logartmicas podem ser usadas para transformar soma emproduto.

C as funes trigonomtricas devem ser apresentadas aps o estudo dasfunes exponenciais.

D a funo quadrtica exemplo tpico de comportamento defenmenos de crescimento populacional.

E o estudo de funes polinomiais deve contemplar propriedades depolinmios e de equaes algbricas.

QUESTO 33A professora Clara props a seus alunos que encontrassem a

soluo da seguinte equao do segundo grau:

x2 !1 = (2x + 3)(x ! 1)

Pedro e Joo resolveram o exerccio da seguinte maneira.

Resoluo de Pedro:x2 ! 1 = (2x + 3)(x ! 1)x2 ! 1 = 2x2 + x ! 32 ! x = x2

Como 1 soluo dessa equao, ento S = {1}

Resoluo de Joo:x2 ! 1 = (2x + 3)(x ! 1)(x ! 1)(x + 1) = (2x + 3)(x ! 1)x + 1 = 2x + 3x = !2Portanto, S = {!2}

Pedro e Joo perguntaram professora por que encontraram soluesdiferentes. A professora observou que outros alunos haviam apresentadosolues parecidas com as deles.

Entre as estratgias apresentadas nas opes a seguir, escolha a maisadequada a ser adotada por Clara visando aprendizagem significativapor parte dos alunos.

A Indicar individualmente, para cada aluno que apresentou umaresoluo incorreta, onde est o erro e como corrigi-lo, a partir daestratgia inicial escolhida pelo aluno.

B Resolver individualmente o exerccio para cada aluno, usando afrmula da resoluo da equao do 2. grau, mostrando que esse o mtodo que fornece a resposta correta.

C Pedir a Pedro e Joo que apresentem classe suas solues paradiscusso e estimular os alunos a tentarem compreender onde est afalha nas solues apresentadas e como devem fazer para corrigi-las.

D Escrever a soluo do exerccio no quadro, usando a frmula daresoluo da equao do 2. grau, para que os alunos percebam queesse o mtodo que fornece a resposta correta.

E Pedir que cada um deles comunique classe como resolveu oexerccio e, em seguida, explicar no quadro para a turma onde est afalha na resoluo de cada um e como eles devem fazer paracorrigi-la.

QUESTO 34

Observe a seguinte atividade de construes geomtricas.

Construir um tringulo ABC qualquer.

Traar a bissetriz do ngulo e, em seguida, aBAC

bissetriz do ngulo .ABC Marcar o ponto de encontro dessas duas

bissetrizes.

Traar a bissetriz do ngulo . ACBO que voc observa? Ser que, se voc recomear a construo a partirde outro tringulo, chegar mesma observao?

O uso de um software de geometria dinmica naexecuo dessa atividade e de outras similares

A pode mostrar que o estudo das construes comrgua e compasso desnecessrio.

B dispensa a demonstrao dos resultados encontradospelos alunos.

C prejudica o desenvolvimento do raciocniolgico-dedutivo.

D dificulta o desenvolvimento do pensamentogeomtrico.

E pode contribuir para a elaborao de conjecturaspelos alunos.

RASCUNHO

15

MATEMTICA

QUESTO 35

Algumas civilizaes utilizavam diferentes mtodos para multiplicardois nmeros inteiros positivos. Por volta de 1400 a.C., os egpciosutilizavam uma estratgia para multiplicar dois nmeros que consistiaem dobrar e somar. Por exemplo, para calcular 47 33, o mtodo podeser descrito do seguinte modo:

escolha um dos fatores; por exemplo, 47; na 1. linha de uma tabela, escreva o nmero 1 na 1. coluna e o

fator escolhido, na 2. coluna; em cada linha seguinte da tabela, escreva o dobro dos nmeros

da linha anterior, at encontrar, na 1. coluna, o menor nmerocujo dobro seja maior ou igual ao outro fator, no caso, 33;

selecione os nmeros da 1. coluna cuja soma seja igual a 33,conforme indicado na tabela, ou seja, 1 + 32 = 33;

adicione os nmeros correspondentes da 2. coluna, ou seja,47 + 1.504 = 1.551;

tome como resultado da multiplicao o valor 1.551.

Com base nessas informaes, analise as asseres a seguir.

Utilizando o mtodo egpcio, possvel multiplicar quaisquer doisnmeros inteiros positivos,

porque

todo nmero inteiro positivo pode ser escrito como uma soma depotncias de 2.


A As duas asseres so proposies verdadeiras, e a segunda umajustificativa correta da primeira.

B As duas asseres so proposies verdadeiras, mas a segunda no uma justificativa correta da primeira.




QUESTO 36

A figura abaixo mostra alguns segmentos construdos em

um geoplano por um estudante, de acordo com a orientao

dada pela professora.

Acerca do uso do geoplano retangular nessa atividade,

assinale a opo incorreta.

A O geoplano auxilia na compreenso de que

.

B O geoplano auxilia na compreenso de que

.

C O geoplano auxilia na representao geomtrica de

nmeros irracionais da forma .

D O geoplano auxilia na obteno da relao entre o

comprimento de uma circunferncia e seu dimetro.

E O geoplano auxilia na simplificao de expresses

com irracionais algbricos, como, por exemplo,

.

RASCUNHO

1

2

4

8

16

32

47

94

188

376

752

1.504

u

16

MATEMTICA

QUESTO 37

Segundo os parmetros curriculares nacionais, todas as disciplinasescolares devem contribuir com a construo da cidadania.Refletindo sobre esse tema, avalie as asseres a seguir.

Uma forma de o ensino da Matemtica contribuir com a formaodo cidado o professor propor situaes-problema aos alunos,pedir que eles exponham suas solues aos colegas e expliquem aestratgia de resoluo utilizada, estimulando o debate entre eles,

porque

os alunos, ao expor seu trabalho para os colegas, ouvir e debatercom eles as diferentes estratgias utilizadas, so estimulados ajustificar suas prprias estratgias, o que contribui com odesenvolvimento da autonomia, estimula a habilidade de trabalharem coletividade e a respeitar a opinio do outro, caractersticasfundamentais de um cidado crtico e consciente.


A As duas asseres so proposies verdadeiras, e a segunda uma justificativa correta da primeira.





QUESTO 38

Entre os procedimentos envolvidos na modelagem de umasituao-problema, esto sua traduo para a linguagemmatemtica e a resoluo do problema, utilizando-seconhecimentos matemticos. Nessa perspectiva, um professorprops a seguinte situao-problema para seus alunos:

Escolha o nome para uma empresa que possa ser lido da mesmaforma de qualquer um dos lados de uma porta de vidrotransparente.

A soluo desse problema pressupe encontrar

A letras do alfabeto que sejam simtricas em relao a um ponto.B letras do alfabeto que tenham simetria em relao a um eixo

horizontal.C letras do alfabeto que tenham simetria em relao a um eixo

vertical.D palavras que sejam simtricas em relao a um ponto.E palavras que sejam simtricas em relao a um eixo

horizontal.

QUESTO 39As questes I e II abaixo fizeram parte das provas deMatemtica do Sistema de Avaliao da Educao Bsica(SAEB), em 2003, para participantes que terminaram,respectivamente, a 8. srie do ensino fundamental e o 3. anodo ensino mdio. Na questo I, 56% dos participantesescolheram como correta a opo C, enquanto, na questo II,61% dos participantes escolheram como correta a opo A.

Analisando os dados apresentados, assinale a opo que nojustifica o erro que os estudantes cometeram ao escolher as suasrespostas.

A Na questo I, a maioria dos respondentes considera que arepresentao do nmero decimal 0,ab na forma de

frao .

B Nas questes I e II, a maioria dos respondentes considera

que as fraes e so equivalentes.

C Na questo I, a maioria dos respondentes considera que

0,25 e so representaes de nmeros diferentes.

D Na questo II, a maioria dos respondentes considera que

e !0,4 so representaes de nmeros diferentes.

E Na questo II, a maioria dos respondentes considera que a

representao decimal da frao a,b.

RASCUNHO

O nmero 0,25 pode serrepresentado pela frao

(A)

(B)

(C)

(D)

14

122518

questo I

questo II

17

MATEMTICA


No retngulo ABCD ao lado, o lado AB mede 7 cm e o lado AD mede

9 cm. Os pontos I, J, K e L foram marcados sobre os lados AB, BC, CD

e DA, respectivamente, de modo que os segmentos AI, BJ, CK e DL so

congruentes.

Com base nessa situao, faa o que se pede nos itens a seguir e transcreva suas respostas para o Caderno de Respostas, nos locaisdevidamente indicados.

a) Demonstre que o quadriltero IJKL um paralelogramo. (valor: 3,0 pontos)


b) Escreva a funo que fornece a rea do paralelogramo IJKL em funo de x e determine, caso existam, seus pontos de mximo ede mnimo

(valor: 4,0 pontos)


c) Na resoluo desse problema, que conceitos matemticos podem ser explorados com alunos do ensino fundamental e do ensinomdio?

(valor: 3,0 pontos)

RASCUNHO QUESTO 40 ITEM c

A x I B

x

J

CDxK

x

L

18

MATEMTICA

As questes de 41 a 51, a seguir, so especficas para os estudantes de

BACHARELADO

QUESTO 41

figura I figura II

O cilindro e o catenide, representados nas figuras I e II, so

superfcies regulares de rotao geradas, respectivamente, pelas

curvas "1(t) = (1, 0, t) e "2(t) = (cosht, 0, t), com t 0 .

Considerando essas informaes, conclui-se que

A a curvatura gaussiana do catenide negativa.

B as duas superfcies so localmente isomtricas.

C as nicas geodsicas do cilindro so as retas.

D a curvatura gaussiana do cilindro constante e positiva.

E as curvas "1(t) e "2(t) so os paralelos das respectivas

superfcies de rotao.

QUESTO 42

Um domnio de integridade um domnio principal quando todo

ideal principal, isto , pode ser gerado por um nico elemento.

Com base nesse conceito, avalie as seguintes afirmaes.

I O anel ZZ[x] de polinmios sobre ZZ na varivel x um

domnio principal, em que ZZ o anel dos inteiros.

II Se K um corpo, K[x] o anel de polinmios sobre K na

varivel x um domnio principal.

III O anel dos inteiros gaussianos ZZ[i] um domnio principal.


A I, apenas.

B II, apenas.

C I e III, apenas.

D II e III, apenas.

E I, II e III.

QUESTO 43

Considere o espao vetorial V = (2, < , >1) munido doseguinte produto interno: 1 = x1x2 ! y1x2 !x1y2 + 4y1y2,em que v = (x1, y1) e u = (x2, y2) so vetores de

2. Considere

T : V 6 V o operador linear dado por . Com

relao ao produto interno < , >1 e ao operador T, assinale aopo correta.

A Os vetores e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) so ortogonais emrelao ao produto interno < , >1.

B O operador T preserva o produto interno, isto ,1 = < u, v >1.

C T(x, y) = T(y, x), para todo (x, y) de 2.

D O vetor u = (2, 0) pertence ao ncleo de T.

E Existe um vetor v = (x, y) 0 2 tal que x2 + y2 = 1 e1 = 0.

RASCUNHO

19

MATEMTICA

QUESTO 44

Para cada nmero real k, a equao diferencial yO(x) + 2yN(x) + ky(x) = 0

possui uma nica soluo yk(x) que satisfaz s condies iniciais

.

Considere o limite e analise as seguintes asseres a respeito

desse limite.

Para qualquer k 0 (0, 1), o valor de Lk zero

porque

a equao diferencial dada no-linear.


A As duas asseres so proposies verdadeiras, e a segunda uma

justificativa correta da primeira.

B As duas asseres so proposies verdadeiras, e a segunda no uma





QUESTO 45

Considere uma funo f : que possui segunda derivada em todo

ponto e que satisfaz seguinte propriedade:

.

Um estudante de clculo diferencial, ao deparar-se com essa situao,

escreveu a afirmao seguinte.

A segunda derivada f O(2) = 1

porque

, qualquer que seja a funo g.

Com relao ao afirmado pelo estudante, assinale a opo correta.

A As duas asseres so proposies verdadeiras, e a segunda uma


B As duas asseres so proposies verdadeiras, mas a segunda no

uma justificativa correta da primeira.




RASCUNHO

20

MATEMTICA

QUESTO 46

Considere as integrais complexas

A soma I1 + I2 igual a

A 4Bi.B 2Bi.C 0.D !2Bi.E !4Bi.

QUESTO 47

Considere o grupo G das razes 6-simas da unidade, isto , ogrupo formado pelos nmeros complexos z, tais que z6 = 1. Comrelao ao grupo G, assinale a opo correta.

A O grupo G cclico.B G um grupo de ordem 3.

C O nmero complexo um elemento primitivo de G.

D Existe um subgrupo de G que no cclico.E Se z um elemento primitivo de G, ento z2 tambm um

elemento primitivo de G.

QUESTO 48

No plano 2, considere que o conjunto Q consiste dos lados deum quadrado de lado unitrio. Nesse conjunto, pode-sedefinir uma mtrica d da seguinte maneira: dados dois pontosdistintos, A, B 0 Q, d(A, B) definida como o comprimentoeuclidiano da menor poligonal contida em Q e com extremidadesA e B, e d(A, B) = 0, se A = B, conforme ilustra a figura abaixo.

A

B

d , = s + t(A B)

s

t

O espao mtrico Q, munido da mtrica d,

A tem dimetro igual a .

B possui um par de pontos tais que d(x, y) d(y, x). C um subespao mtrico do plano 2 munido da mtrica

euclidiana.D coincide com uma bola aberta de centro em um dos vrtices

de Q e de raio 3 na mtrica d.E igual unio de duas bolas abertas de centros em vrtices

distintos de Q e de raio 1 na mtrica d.

RASCUNHO

21

MATEMTICA

QUESTO 49

Quando uma partcula desloca-se ao longo de uma curva C

parametrizada por r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t 0 [a, b], sob a ao de um

campo de fora em 3, o trabalho realizado pelo campo ao longo

de C dado por

Se = f(|r|) , em que f : uma funo contnua e

|r| = , ento = grad(g(|r|)), em que g uma primitiva de

f. Considerando essas informaes, conclui-se que o trabalho

realizado pelo campo ao longo da hlice C dada por

r(t) = (cos t, sen t, t), t 0 [0, 2B],

A

B .

C .

D .

E .

QUESTO 50

Efetuando-se o produto das sries de Taylor, em torno da origem, das

funes reais e , obtm-se, para |x| < 1, o

desenvolvimento em srie de potncias da seguinte funo:

O coeficiente de xn na srie de potncias de nN, a derivada deprimeira ordem da funo n, igual a

A .

B .

C .

D .

E .

RASCUNHO

22

MATEMTICA


Considere uma funo derivvel f : 6 que satisfaz seguinte condio:

Para qualquer nmero real k 0, a funo definida por no injetora.

Com base nessa propriedade, faa o que se pede nos itens a seguir e transcreva suas respostas para o Caderno de Respostas, nos locais

devidamente indicados.

a) Mostre que, se para algum k 0, ento

(valor: 3,0 pontos)


b) Mostre que, para cada k 0 no-nulo, existem nmeros "k e $

k tais que g

k("

k) = g

k($

k). Alm disso, justifique que, para todo k 0

no-nulo, existe um nmero 2k tal que

(valor: 3,0 pontos)


c) Mostre que a funo derivada de primeira ordem no limitada.

(valor: 4,0 pontos)

RASCUNHO QUESTO 51 ITEM c

23

MATEMTICA

QUESTIONRIO DE PERCEPO SOBRE A PROVA

As questes abaixo visam levantar sua opinio sobre a qualidade

e a adequao da prova que voc acabou de realizar.

Assinale as alternativas correspondentes sua opinio, nos

espaos prprios do Caderno de Respostas.

Agradecemos sua colaborao.

QUESTO 1

Qual o grau de dificuldade desta prova na parte de Formao

Geral?

A Muito fcil.

B Fcil.

C Mdio.

D Difcil.

E Muito difcil.

QUESTO 2

Qual o grau de dificuldade desta prova na parte de Componente

Especfico?

A Muito fcil.

B Fcil.

C Mdio.

D Difcil.

E Muito difcil.

QUESTO 3

Considerando a extenso da prova, em relao ao tempo total,

voc considera que a prova foi

A muito longa.

B longa.

C adequada.

D curta.

E muito curta.

QUESTO 4

Os enunciados das questes da prova na parte de Formao Geral

estavam claros e objetivos?

A Sim, todos.

B Sim, a maioria.

C Apenas cerca da metade.

D Poucos.

E No, nenhum.

QUESTO 5

Os enunciados das questes da prova na parte de Componente

Especfico estavam claros e objetivos?

A Sim, todos.

B Sim, a maioria.

C Apenas cerca de metade.

D Poucos.

E No, nenhum.

QUESTO 6

As informaes/instrues fornecidas para a resoluo das

questes foram suficientes para resolv-las?

A Sim, at excessivas.

B Sim, em todas elas.

C Sim, na maioria delas.

D Sim, somente em algumas.

E No, em nenhuma delas.

QUESTO 7

Voc se deparou com alguma dificuldade ao responder prova.

Qual?

A Desconhecimento do contedo.

B Forma diferente de abordagem do contedo.

C Espao insuficiente para responder s questes.

D Falta de motivao para fazer a prova.

E No tive qualquer tipo de dificuldade para responder prova.

QUESTO 8

Considerando apenas as questes objetivas da prova, voc

percebeu que

A no estudou ainda a maioria desses contedos.

B estudou alguns desses contedos, mas no os aprendeu.

C estudou a maioria desses contedos, mas no os aprendeu.

D estudou e aprendeu muitos desses contedos.

E estudou e aprendeu todos esses contedos.

QUESTO 9

Qual foi o tempo gasto por voc para concluir a prova?

A Menos de uma hora.

B Entre uma e duas horas.

C Entre duas e trs horas.

D Entre trs e quatro horas.

E Quatro horas e no consegui terminar.

MATEMTICA

Questo Gabarito1 C2 E3 D4 A5 D6 B7 D8 C9 Discursiva10 Discursiva11 E12 A13 A14 E15 C16 D17 C18 C19 C20 D21 A22 E23 B24 B25 B26 B27 D28 Discursiva29 Discursiva30 A31 D32 E33 C34 E35 A36 D37 A38 C39 B40 Discursiva41 A42 D43 B44 C45 C46 B47 A48 D49 E50 C51 Discursiva

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