Emissao espontanea coerente: superradianca e subradianca

A. D. Garcıa-Orozco1, ∗

1Instituto de Fısica de Sao Carlos, Universidade de Sao Paulo, 13560-970 Sao Carlos, Brasil.(Dated: 18 de Novembro de 2018)

Neste trabalho faremos uma descricao experimental e teorica do efeito de emissao espontaneacoerente, superradianca e subrradianca, para dois sistemas: uma armadilha de ıons e uma nuvem deatomos frios. Ambos sistemas experimentais mostram que e possıvel ver o efeito de superradiancae subrradianca, permitindo corroborar a teoria proposta por R. H. Dicke.

I. INTRODUCAO

Um exemplo simples da interacao radiacao-materia eum sistema de dois nıveis acoplado com um campo elec-tromagnetico. Usando um laser e possıvel acoplar astransicoes de um atomo e com as equacoes de Bloch [1, 2]pode-se descrever a populacao do dois nıveis. Conside-remos a populacao no estado excitado (ρ22), a variacaoda populacao nele pode-se descrever usando a seguinteequacao,

dρ22

dt= Γρ22 +

i

2Ωρ12 −

i

2Ωρ21, (1)

Onde ρ11 e ρ22 sao as populacoes no estado base e exci-tado respectivamente, ρ12 e ρ21 sao as coerencia entre osestados, Ω e a frequencia de Rabi e Γ e a taxa de decai-mento espontaneo do sistema. Se nos consideramos agoraum sistema com muitas partıculas (N 1), por exemplouma nuvem de atomos fria ou um gas, interagindo comum campo electromagnetico, pode ser um laser, efeitoscomo a emissao espontanea pode-se ver afetados.

Em 1954, R. H. Dicke [3] apresenta seu trabalho decoerencia em processos de emissao espontanea (Cohe-rence in Spontaneous Radiation Processes), mostradoque e possıvel ter uma emissao espontanea coletiva dosatomos, a qual muda a taxa de decaimento natural (Γ0).Quando a taxa de decaimento do sistema e maior do quea taxa natural (Γ0 < Γ) e conhecido como superradiancae para taxa de decaimento menor do que a taxa de de-caimento natural (Γ0 > Γ) chama-se subrradianca.

A superradianca e a subrradianca tem sido estudadanos ultimos anos em diferente sistemas como: armadilhasde ıons ate nuvens frias diluıdas. Nas seguinte secoes fa-remos uma descricao detalhada de algum experimentose trabalhos teoricos onde sao estudados os efeitos de su-perradianca e a subrradianca em diferente sistemas.

II. EMISSAO ESPONTANEA NUMAARMADILHA DE IONS

As primeiras observacoes de superradianca e a subrra-dianca foram realizadas em ıons em 1996 por R. G. De-

∗ arnolgarcia@ifsc.usp.br

Voe e R. G. Brewer [4], ele conseguiram observar o asuperradianca e a subrradianca em duas armadilhas deıons, sendo o objetivo fundamental do experimento foimedir a taxa de emissao espontanea, Γ (R), do sistemade dois cristais de ıons em funcao da separacao deles.

Na teoria de Dicke, dois sistema de dos nıveis pode-se aproximar como um unico sistema de quatro nıveis.Neste casso, temos um acople entre os dos ıons con-seguindo que e descrito pela teoria de suma de mo-mento angular [5], cada uns dos ıons tem momentoS1,2 = 1

2 , tendo um momento angular total J = 0, 1(|S1 − S2| < J < S1 + S2), os quatros nıveis do sistemasao,

J = 0 , mJ = 0J = 1 , mJ = ±1, 0

(2)

obtendo um estado tripleto (|1,±1〉 e |1, 0〉) e umestado singleto (|0, 0〉). Consideremos os ıons comoduas partıculas, 1 e 2 respetivamente, quando as duaspartıculas estao excitadas, o sistema esta no estado|1, 1〉 = |b1b2〉; quando as duas estao no estado base, osistema e |1,−1〉 = |a1a2〉. No caso que tenhamos umapartıcula no estado base e uma no estado excitado, te-mos uma superposicao de estado ambos sendo igualmenteprovaveis, |1, 0〉 = |+〉 e |0, 0〉 = |−〉, sendo possıvel es-crever eles como a superposicao das partıculas no estadobase e excitado, |±〉 = 1√

2(|a1b2〉 ± |b1a2〉).

Ao acoplar o laser com o sistema (os dois-ıons), pode-mos induzir as transicoes dipolares (∆m = ±1), permi-tindo popular o estado de mais alta energia |1, 1〉. Poremissao espontanea, o sistema pode decair em dois es-tado |+〉 ou |−〉; os quais pode decair logo no estadobase |1,−1〉, como se apresenta na Fig. 1.

A partir da equacao de ouro de Fermi [6], pode-se obtera taxa de decaimento superradiante (Γ+) e subrradiente(Γ−), a partir da hamiltoniana de interacao da transicaodipolar,

Hdip = −∑n

µ (n) ·E (rn), (3)

onde µ (n), n = 1, 2 e o momento dipolar da molecula oudo atomo da partıcula 1 e 2; e E (rn) e o campo electricotransversal na posicao rn. O campo electrico rn pode-serexpandido em serie de Fourier,

2

E (r) =∑k

(2π~ωV

)1/2

ie(λ) (k)

×[a(λ) (k) exp (ik · r)− a(λ)† (k) exp (−ik · r)

],

(4)onde a(λ)† (a(λ)

)e o operador de aniquilacao(criacao),

λ(= 1, 2) e o estado de polarizacao; e e(λ) e o vetor aolongo do eixo de propagacao. Realizando as contas comoE. A. Power [6], podemos obter a taxa de decaimento,

Γ = αsin kR

kR+ β

(cos kR

k2R2− sin kR

k3R3

), (5)

onde R e a distancia entre as moleculas ou atomos e α eβ sao coeficientes de Einstein.

No experimento realizado por R. G. DeVoe eR. G. Brewer [4], os ıons foram capturado usando umaarmadilha de Paul “radial-plana” [7], permitindo armadi-lhar cada um deles e conseguindo variar a distancia entreeles ∼= 1µm ou 2λ. Para medir o Γ, os ıons sao excitadousando um pulso laser, inclinando um angulo θ com oplano radial da armadilha, permitindo popular o estadoexcitado. Os fotons obtidos pela emissao espontanea saorecolhidos por um fotodetector e o sinal obtido e enviadoa um time-to-digital converter (TDC). A Fig. 2, mostraum diagrama do experimento.

Quando no temos todas as partıculas no estado exci-tado |b1b2〉 = |e〉, pode decair em dois estado |+〉 ou |−〉;que logo depois pode decair no estado base |a1a2〉 = |g〉

Figura 1. Estrutura dos nıveis do sistema. A configuralcao dosistema e de uma cascata dupla, sendo igualmente provavel popularos estado intermediarios |+〉 e |−〉. Adaptada de R. G. DeVoe eR. G. Brewer [4].

Figura 2. Diagrama do experimento. Os atomos sao capturadonuma armadilha de Paul “radial-plana” de radio 80µm. O laseresta incliando uma angulo θ do plano da armdilha. Um fotodetectorpega a radicao proveniente da emissao espontanea e enviada a umTDC. Adaptada de R. G. DeVoe e R. G. Brewer [4].

(ver Fig. 1). Ao fotodetector consegue chegar a radiacaodas quatro possıvel emissoes espontanea que pode acon-tecer no sistema, sendo possıvel descrever elas usando aseguente equacao,

W (R, t) = ρe (t) [Γ+ (R) + Γ− (R)]+ρ+ (t) Γ+ (R) + ρ− (t) Γ− (R).

(6)

onde W (R, t) e uma curva das possıvel transicoes e ρe,ρ+ e ρ− sao os elementos das diagonais da matriz dedensidade. O Γ (R) pode-ser descrito pela Eq. 5, paraeste caso,

Γ± (R) = Γ0

(1± 3

2

sin kR

kR+ · · ·

), (7)

onde Γ0 e a taxa de decaimento para um ıon e Γ± e ataxa de decaimento superradiante(subrradiante). A Fig.3, e taxa de decaimento superradiante e subrradiante emfuncao da separacao dos ıons.

Figura 3. Taxa de decaimento relativa para dois ıons e dois nıveisem funcao da separacao R deles (k = 2π/λ, λ = 493 nm). Adaptadade R. G. DeVoe e R. G. Brewer [4].

Na regiao kR ≤ 1, a superradianca (Γ+) e observadafacilmente sendo possıvel separar a componente rapida e

3

lenta da Eq. 6. No caso da subrradianca, identificar elae um poco mais complicado. No caso de ter kR ' 10,distinguir o decaimento superradiante e subrradiante emais difıcil pelo fato de ter valores iguais. Para kR→∞,o acoplamento dos ıons pode-se descarta tendo assim quea taxa de decaimento e a taxa de um ıons Γ+ = Γ− = Γ0.

III. EMISSAO ESPONTANEA EM NUVENSATOMICAS DILUIDAS

O estudo da interacao radiacao-materia, neste caso umfeixe de luz com uma nuvem atomica permite o estudode efeitos como superradianca e subrradianca como temsido estudado nos ultimos anos por diferentes grupos depesquisa [8–10].

Consideremos entao uma nuvem atomica diluıda, naqual a distancia interatomica e bem maior do que o com-primento de onda, diferente ao caso dos ıons onde adistancia entre ele e menor em comparacao ao compri-mento de onda com uma distribuicao Gaussiana de Natomos de dois-nıveis e tamanho σ com espessura optica

b (∆0) = b0/[1 + 4 (∆0/Γ)

2]

com b0 = 3N/ (kσ)2. A

nuvem e excitado com um laser com frequencia de Rabi,Ω0, detuning, ∆0 e vetor de onda k0. A hamiltonianaefetiva da nuvem,

Heff =~Ω0

2

∑i

[ei∆0t−ik0·riSi− + e−i∆0t+ik0·riSi+

]− i~Γ

2

∑i

Si+Si− −

~Γ

2

∑i

∑j 6=i

VijSi+S

j−,

(8)onde Γ e o taxa de decaimento da transicao e Vij e ainteracao dipolo-dipolo.

No caso de uma unica excitacao, podemos escrever afuncao de onda da nuvem considerando os atomos noestado base |G〉 ≡ |g · · · g〉 e no estado excitado |i〉 ≡|g · · · ei · · · g〉, sendo |ψ〉 = α |G〉+

∑i

βi |i〉.

Um resultado interessante foi o obtido por T. Bienaimeet al [8], onde mostram como e possıvel ter observar a su-perradianca e subrrandica em nuvem diluıdas. A Fig. 4,mostra o comportamento da populacao no estado exci-tado no tempo.

Para tempo curtos, a taxa de decaimento (Γ) e bemmas rapida que a taxa de decaimento da transicao (Γ0),sendo possıvel ver o efeito de superradianca. No entanto,para tempo logos a taxa de decaimento e bem menor,sendo dominante a subrradianca. A varicao nas taxapode se ligar ao fator b0, sendo possıvel descrever as su-perradianca e subradianca como a seguente expressao,

Γ+ = (1 + b0/12) Γ0, Γ− = 1/b0 (9)

Experimentos tem sidos desenvolvidos com o objetivode medir a superrandianca e subrrandiaca em nuvem de

Figura 4. Evolucao tempotal da populacao no estado excitado.Os parametros utilizados foram: N = 2000 atomos, kσ = 10 e∆0 = 10Γ. A linha trasejada e a taxa de decaimento natural (Γ0),a linha continua e da nuvem (Γ). Tomada de T. Bienaime, N.Piovella, and R. Kaiser [8].

atomos frias. O grupo de Robin Kaiser na Franca, tem es-tudado estos efeitos conseguindo observar a subrradiancaem nuvem diluıdas.

No experimento realizado por Robin Kaiser, atomosde 87Rb sao capturado numa armadilha magneto-optica(MOT) conseguindo armadilhar N ≈ 109 com uma den-sidade de ρ ≈ 1011 cm−3 logo depois da compressao. Aarmadilha e desliga e a nuvem deixa-se expandir por 3 mse os atomos sao levando ao estado F = 2 usando um feixede bombeamento optico. Logo depois, os atomos sao ex-citado com 12 pulso laser, do estado F = 2 → F ′ = 3.Depois de excitar os atomos, o sinal da emissao es-pontanea e obtida por um fotodetector e enviada a umaplaca de adquisicao de dados multicanais como se apre-senta na Fig. 5.

A subrradiancao foi analisada em funcao da espessuraoptica (b0) e o detuning (δ). Ao aumentar a espessuraoptica o sinal fluorescencia decai mais divagar, aconte-

Figura 5. Esquema do experimento. os atomos sao capturadosna MOT, excitado do estado F = 2 → F ′ = 3, para logo de-pois analisar a fluorecensa emitida durante a emissao espontanea.O exprimento foi repitido 500000 veces. Tomada de W. Guerin,M. O. Araujo, e R.Kaiser [9].

4

cendo o efeito contrario com o detuning, ao aumentar osinal de fluorecencia decai mais rapido.

IV. CONCLUSAO

Os efeitos coletivos presentes dentro de sistema demuitos corpos pode gerar efeitos interessante, como a

emissao espontanea coerente: superradianca e subrra-dianca. O tratamento do sistema permite facilitar o en-tendimento do sistema obtendo como resultados conse-guir estudar efeitos de muitos corpos, interacao radiacao-materia, multiplex espalhamentos, entre outros. Alem demostrar a relevancia da teoria desenvolvida do Dicke.

[1] J. Weiner and P.-T. Ho, Light-Matter Interaction, Fun-damentals and Applications, 1st ed. (Wiley-VCH, 2003).

[2] P. W. Courteille, “Aulas em fısica para pos-graducao:Mecanica quantica e a fısica do atomo e da luz,” (2018).

[3] R. H. Dicke, Phys. Rev. 93, 99 (1954).[4] R. G. DeVoe and R. G. Brewer, Phys. Rev. Lett. 76, 2049

(1996).[5] C. J. Foot, Atomic physics, Oxford master series in phy-

sics, atomic, optical, and laser physics, 7 (Oxford Uni-versity Press, Oxford, 2005).

[6] E. A. Power, The Journal of Chemical Physics 46, 4297(1967).

[7] R. G. Brewer, R. G. DeVoe, and R. Kallenbach, Phys.Rev. A 46, R6781 (1992).

[8] T. Bienaime, N. Piovella, and R. Kaiser, Phys. Rev.Lett. 108, 123602 (2012).

[9] W. Guerin, M. O. Araujo, and R. Kaiser, Phys. Rev.Lett. 116, 083601 (2016).

[10] M. O. Araujo, I. Kresic, R. Kaiser, and W. Guerin, Phys.Rev. Lett. 117, 073002 (2016).

5

Figura 6. Decaimento da fluorencencia no MOT, logo depois de desligar os feixes e campo magnetico. a) fluorecencia do MOT paradiferente espessuras opticas b0, mantendo constante o detuning. b) flourecencia do MOT para diferentes detuning matendo constante aespessura optica. Tomada de W. Guerin, M. O. Araujo, e R.Kaiser [9].