Emerson Marcos Furtado - GOPEM - Grupo de Orientação ... · Como num triângulo retângulo um dos...
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Emerson Marcos FurtadoMestre em Métodos Numéricos pela Univer-
sidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Matemática pela UFPR. Professor do Ensino Médio nos estados do Paraná e Santa Catari-na desde 1992. Professor do Curso Positivo de Curitiba desde 1996. Professor da Universidade Positivo de 2000 a 2005. Autor de livros didáticos destinados a concursos públicos nas áreas de ma-temática, matemática financeira, raciocínio lógico e estatística. Sócio-diretor do Instituto de Pes-quisas e Projetos Educacionais Praxis de 2003 a 2007. Professor sócio do Colégio Positivo de Join-ville desde 2006. Sócio-diretor da Empresa Teore-ma – Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde 2005. Autor de material didático para sistemas de ensino do Grupo Positivo de 2005 a 2009. Pro-fessor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC) desde 1992, lecionando as disciplinas de raciocí-nio lógico, estatística, matemática e matemática financeira. Consultor da Empresa Result – Con-sultoria em Avaliação de Curitiba de 1998 a 2000.Consultor em Estatística Aplicada com projetos de pesquisa desenvolvidos nas áreas socioeconômi-ca, qualidade, educacional, industrial e eleições desde 1999. Membro do Instituto de Promoção de Capacitação e Desenvolvimento (Iprocade) desde 2008. Autor de questões para concursos públicos no estado do Paraná desde 2003.
Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br
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295
Trigonometria em triângulos retângulos
Teorema de Pitágoras Antes de trabalharmos com o Teorema de Pitágoras, precisamos estudar
os triângulos retângulos.
Triângulo retângulo
Os triângulos são figuras geométricas fundamentais, pois são os polígo-nos que possuem a menor quantidade possível de lados. Consequentemen-te, podemos pensar que são os triângulos que constituem os demais polígo-nos. Assim, estudar triângulos nos fornece uma considerável vantagem em Geometria, já que o triângulo é elemento formador desses polígonos.
Iniciaremos nosso estudo com os triângulos retângulos.
Definição: triângulo retângulo é todo triângulo que apresenta um ângulo reto, ou seja, um ângulo de 90°.
A seguir temos um triângulo retângulo onde A e C , B representam as medidas dos três ângulos internos do triângulo, sendo o ângulo reto locali-zado no vértice A.
A
c
a
b
B C
O lado BC , oposto ao ângulo reto, é chamado de hipotenusa e os lados AB e AC são chamados de catetos do triângulo retângulo. Uma relação ma-temática importante afirma que:
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296
Trigonometria em triângulos retângulos
Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é sempre igual a 180°.
Como num triângulo retângulo um dos ângulos é reto, a soma das medi-das dos outros dois ângulos agudos de vértices B e C é sempre 90°:
B + C = 90°
Quando a soma das medidas de dois ângulos é igual a 90°, dizemos que esses ângulos são complementares.
Um dos teoremas mais importantes da Geometria é o Teorema de Pitá-goras. De significado simples, esse teorema estabelece uma relação sempre válida entre as medidas dos catetos e da hipotenusa de um mesmo triângulo retângulo. Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenu-sa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
ab
cNa figura, se a representa a medida da hipotenusa e b e c as medidas dos
catetos, então:
a2 = b2 + c2
Vamos mostrar algumas aplicações geométricas do triângulo retângulo, iniciando com o cálculo da medida da altura de um triângulo equilátero.
Dado um triângulo equilátero ABC, ou seja, um triângulo cujas medidas dos lados são todas iguais, podemos traçar a altura de medida h relativa ao lado AB obtendo, assim, o triângulo HBC:
A
h
HB
C
l l
ll
2 2Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A.,
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Trigonometria em triângulos retângulos
297
Observe que o ponto H é ponto médio do lado de medida AB .
Assim, sendo l a medida de cada lado, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo HBC, temos:
l
l
l
l
l
l
l
2 22
2 22
22
2
2
4
34
34
32
= +æèç
öø÷
= -
=
=
=
h
h
h
h
h
Logo, a altura h de um triângulo equilátero, em função do lado l, é dada
por h =l 3
2.
Vamos mostrar agora uma aplicação do Teorema de Pitágoras em um quadrado que, como sabemos, é um quadrilátero que possui quatro lados de mesma medida e quatro ângulos internos retos. No caso de um quadrado ABCD, podemos traçar a diagonal de medida AC e representá-la por d:
A B
CD
l
l
d
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298
Trigonometria em triângulos retângulos
Sendo l a medida do lado, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:
d
d
d
d
2 2 2
2 2
2
2
2
2
= +
=
=
=
l l
l
l
l
A conclusão é a de que a medida da diagonal d de um quadrado de lado l, é dada por d = l 2 .
Razões trigonométricas num triângulo retângulo
Estudaremos agora algumas relações matemáticas extremamente úteis, chamadas de relações trigonométricas e que estão relacionadas com as me-didas dos ângulos e dos lados de um triângulo retângulo.
Dado um triângulo retângulo qualquer, definem-se três razões trigono-métricas para os dois ângulos agudos (menores que 90°) α e β do triângulo.
b
c
a
α
β
Razão Seno: o seno de um ângulo agudo em um triângulo retângu-lo é a razão existente entre as medidas do cateto oposto ao ângulo e da hipotenusa.
5
12
13
α
β
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Trigonometria em triângulos retângulos
299
hipotenusa cateto oposto a α
αsen α=cateto oposto a α
hipotenusa
Exemplo:
sen
sen
a
b
=
=
513
1213
Razão cosseno: o cosseno de um ângulo agudo em um triângulo retân-gulo é a razão existente entre as medidas do cateto adjacente ao ângulo e da hipotenusa.
hipotenusa
cateto adjacente a α
αcos α=cateto adjacente a α
hipotenusa
Exemplo:
5
12
13
α
β
cos
cos
a
b
=
=
1213
513
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300
Trigonometria em triângulos retângulos
Razão tangente: a tangente de um ângulo agudo em um triângulo re-tângulo é a razão existente entre as medidas do cateto oposto e do cateto adjacente ao ângulo.
hipotenusa
cateto adjacente a α
αtg α=cateto oposto a α
cateto adjacente a α
cateto oposto a α
Exemplo:
5
12
13
α
β
tg
tg
a
b
=
=
512
125
Cálculo de seno, cosseno e tangente dos ângulos 30°, 45° e 60°
Nas relações geométricas, os ângulos 30°, 45° e 60° se destacam em rela-ção aos demais, pois são muito utilizados nas construções de figuras planas importantes. Por essa razão, são denominados de ângulos notáveis.
Para encontrar os valores de seno, cosseno e tangente de 30° e 60°, vamos considerar um triângulo equilátero ABC cujo lado tem medida l e cuja altura
tem medida h =l 3
2.
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Trigonometria em triângulos retângulos
301
A
30⁰ 30⁰
HB
C
ll
2l
2l
60⁰ 60⁰
h =l 3
2
No triângulo BCH anterior, vamos utilizar as razões trigonométricas dos ângulos de 30° e 60°:
12sen 30° = 2
3h 32cos 30° =
2
32 2tg 30° = h 33
2
=
= =
= =
l
l
l
l l
l l
l
332sen 60° =
2
12cos 60° = 2
3h 2tg 60° = 3
2 2
=
=
= =
l
l
l
l
l
l l
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302
Trigonometria em triângulos retângulos
Para o cálculo das razões seno, cosseno e tangente de 45°, vamos utilizar um quadrado ABCD cujo lado tem medida l e cuja diagonal tem medida l 2 .
A B
CD
l
l
d
45⁰
Observe o triângulo retângulo ABC que compõe o quadrado anterior. Uti-lizando as razões trigonométricas, temos:
sen 45 =
cos 45 =
tg 45 =
° = =
° = =
° =
l
l
l
l
l
l
212
22
212
22
1
Os valores que obtivemos permitem a construção de uma tabela das razões trigonométricas de ângulos notáveis:
30° 45° 60°
sen12
22
32
cos3
22
2
12
tg3
31 3
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Trigonometria em triângulos retângulos
303
Observação: as razões trigonométricas mais empregadas nos problemas de Física ou Matemática são para os ângulos 30°, 45° e 60°.
Relações entre seno, cosseno e tangente
Considere o triângulo retângulo de medidas a, b e c e ângulos agudos α e β.
c
b
a
α
β
Nesse triângulo, o cateto de medida c é oposto em relação ao ângulo α e adjacente em relação a β. Da mesma forma, o cateto de medida b é oposto em relação ao ângulo β e adjacente em relação a α.
Consequentemente:
senca
e senba
a b b a= = = =cos cos
Essas igualdades serão verdadeiras sempre que os ângulos α e β forem complementares, ou seja:
α + β = 90°.
De uma forma geral, se α e β são ângulos complementares, então:
sen α = cos (90° – α) e cos α = sen (90°–α)
Exemplo:
sen 30° = cos 60° = 12
sen 60° = cos 30° = 3
2
As igualdades são válidas porque 30° + 60° = 90°, ou seja, os ângulos 30° e 60° são complementares.
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304
Trigonometria em triângulos retângulos
Relação fundamental da trigonometria Considerando novamente o triângulo retângulo anterior, vamos utilizar o
Teorema de Pitágoras para obter outra relação importante:
a2 = b2 + c2
Dividindo a2 = b2 + c2 por a2, com a ≠ 0, temos:
aa
ba
ca
2
2
2
2
2
2= +
Mas, considerando que senca
e senba
a b b a= = = =cos cos , então a igualdade corresponde a:
12 2
=( ) +( )cos a asen
ou sen2 α + cos2 α = 1
Esse fato pode ser generalizado para qualquer ângulo α: a soma dos qua-drados do seno e do cosseno de um mesmo ângulo é sempre igual a 1.
sen2 α + cos2 α = 1
Devido à sua importância, essa última relação é chamada de relação fun-damental da trigonometria.
Existe também uma importante relação entre as medidas do seno, do cosseno e da tangente de um mesmo ângulo agudo. Para compreendê-la, considere um triângulo retângulo de medidas a, b e c, e ângulo agudo α:
c
b
a
α
O que ocorre quando dividimos o seno pelo cosseno de um mesmo ângulo agudo?
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Trigonometria em triângulos retângulos
305
Observe:
sencos
caba
ca
ab
cb
tgaa
a= = ´ = =
Logo, a tangente de um ângulo agudo α é o quociente entre o seno e o cosseno desse ângulo α:
tgsencos
aaa
=
Essa relação permite obter o valor da tangente de um ângulo agudo a partir do seno e do cosseno desse ângulo, sem a necessidade de construir um triângulo e observar as medidas dos lados.
Com esses conteúdos, estamos prontos para resolver algumas questões.
Resolução de questões 1. (Esaf ) Os ângulos de um triângulo encontram-se na razão 2 : 3 : 4. O ângu-
lo maior do triângulo, portanto, é igual a:
a) 40°.
b) 70°.
c) 75°.
d) 80°.
e) 90°.
2. (Esaf ) Se de um ponto P qualquer forem traçados dois segmentos tangen-tes a uma circunferência, então as medidas dos segmentos determinados pelo ponto P e os respectivos pontos de tangência serão iguais. Sabe-se que o raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo mede 1cm. Se a hipotenusa desse triângulo for igual a 20cm, então seu perímetro será igual a:
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306
Trigonometria em triângulos retângulos
a) 40cm.
b) 35cm.
c) 23cm.
d) 42cm.
e) 45cm.
3. (FCC) Sabendo-se que cos x + 3sen x = 1, então um dos possíveis valores para a tangente de x é igual a:
a) –4/3.
b) 4/3.
c) 5/3.
d) –5/3.
e) –3/4.
4. (Fuvest) Se o triângulo ABC é retângulo em A, e se o seno do ângulo B é 0,8, qual o valor da tangente do ângulo C?
a) 0,25.
b) 0,50.
c) 0,75.
d) 1,00.
e) 1,25.
5. (Unicamp) Seja x um número real positivo tal que x, x +1 e x + 2 sejam medidas dos lados de um triângulo retângulo. Assinale, entre as alternati-vas a seguir, aquela que contém o perímetro desse triângulo.
a) 10.
b) 12.
c) 11.
d) 13.
e) 15.Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A.,
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Trigonometria em triângulos retângulos
307
6. (UFV) Depois de andar 5m numa escada rolante, uma pessoa percebeu que se deslocou 4m em relação à horizontal. Tendo andado 10m na mes-ma escada, de quantos metros terá se deslocado em relação à vertical?
a) 5.
b) 8.
c) 9.
d) 6.
e) 7.
7. (Fuvest) Um dos catetos de um triângulo retângulo mede 2 e a hipotenu-sa mede 6. A área do triângulo é:
a) 2 2 .
b) 6.
c) 4 2 .
d) 3.
e) 6 .
8. (Cesgranrio) Um cateto de um triângulo retângulo é duas vezes e meia o outro cateto. Se a área do triângulo vale 20, o menor cateto mede:
a) 2.
b) 4.
c) 5.
d) 2 2 .
e) 2 2 .
9. (UEL) Um triângulo retângulo é tal que a hipotenusa mede 6 5 cm e a soma das medidas dos catetos é igual a 18cm. A área desse triângulo, em centímetros quadrados, é:
a) 36.
b) 72.
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308
Trigonometria em triângulos retângulos
c) 144.
d) 156.
e) 192.
10. (ES) O perímetro de um triângulo retângulo isósceles é ( )12 2 6+ cm. A área deste triângulo, em cm², é:
a) 5.
b) 4.
c) 3.
d) 2 2 .
e) 3 2 .
Dica de estudo Das inúmeras quantidades de lados que um polígono pode ter, o triân-
gulo se destaca por possuir a menor quantidade possível de lados. Esse fato faz do triângulo um polígono especial, por ser o polígono “formador” dos demais, de modo que compreender bem as relações trigonométricas cons-titui-se em um grande trunfo na resolução de problemas geométricos. Além disso, entre os triângulos, destaca-se o triângulo retângulo. O fato de possuir um ângulo reto permite relacioná-lo com mais facilidade a outras figuras ge-ométricas. Nesse sentido, iniciar com o domínio dos conteúdos dessa aula é uma maneira adequada para se embasar na Trigonometria e na Geometria.
Referências BOYER, Carl B. História da Matemática. 12. ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda., 1996.
GARBI, G. Gilberto. A Rainha das Ciências – um passeio histórico pelo maravilho-so mundo da Matemática. São Paulo: Livraria de Física, 2006.
LIMA, Elon Lages. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Janei-ro: Sociedade Brasileira de Matemática. (Coleção do Professor de Matemática.)
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Trigonometria em triângulos retângulos
309
LIMA, Elon Lages et al. Temas e Problemas Elementares. Rio de Janeiro: Socieda-de Brasileira de Matemática, 2001.
LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Blumenau: FURB, 1999. v. 1.
TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record, 1995.
Gabarito 1. Se os ângulos agudos encontram-se na razão 2 : 3 : 4, vamos supor que os
ângulos tenham medida 2x, 3x e 4x. Assim, se a soma dos ângulos inter-nos é igual a 180°, temos:
2x + 3x + 4x = 180°
9x = 180°
x = 20°
Assim, o maior dos ângulos mede:
4x = 4 . 20° = 80°
Resposta: D
2. Sendo x a medida dos segmentos que têm extremidades no ponto P e nos pontos de tangência, temos:
20 – x
20 – x x
x
10
P
O perímetro do triângulo é igual à soma das medidas dos lados.
Logo, o perímetro é dado por:
(20 – x) + 1 + 1 + x + x + (20 – x) = 42cm
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310
Trigonometria em triângulos retângulos
Resposta: D
3. Solução:
cos x + 3sen x = 1
cos x = 1 – 3sen x
Substituindo na relação fundamental da trigonometria, temos:
sen2 x + cos2 x = 1
sen2 x + (1 – 3sen x)2 = 1
sen2 x + 1 – 2. 3 . sen x + 9sen2 x = 1
10sen2 x – 6 . sen x = 0
2 . sen x .(5 . sen x – 3) = 0
sen x = 0 ou sen x = 3/5
Se sen x = 0, então:
cos x = 1 e tg x = 0/1 = 0.
Se sen x = 3/5, então:
cos x = -4/5 e tg x = -3/4.
Resposta: E
4. Se sen (B) = 0,8 = 4/5, então, sem perda de generalidade, pode-se consi-derar que a medida do cateto oposto ao ângulo do vértice B é igual a 4 e a hipotenusa mede 5. Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos obter a medida do outro cateto:
a2 = b2 + c2
52 = 42 + c2
25 = 16 + c2
25 – 16 = c2
9 = c2
c = 3
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Trigonometria em triângulos retângulos
311
Logo, a tangente do ângulo do vértice C, definida como sendo a razão en-tre as medidas dos catetos oposto e adjacente ao ângulo C, é dada por:
tg C( )= =34
0 75,
Resposta: C
5. Se x, (x +1) e (x + 2) são as medidas dos lados de um triângulo retângulo, então x e (x + 1) são as medidas dos catetos e (x + 2) é a medida da hipo-tenusa. Assim, utilizando o teorema de Pitágoras, temos:
(x + 2)2 = (x + 1)2 + x2
x2 + 4x + 4 = x2 + 2x + 1 + x2
x2 – 2x – 3 = 0
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara, temos:
( ) ( ) ( )2
1 2
2 2 4 .1. 3x
2 .1
2 4 12x
2
2 16x
2
2 4x
2
2 4 6 2 4 2x 3 ou x 1 (não convém, pois x > 0).
2 2 2 2
− − ± − − −=
± +=
±=
±=
+ − −= = = = = = −
Assim, se x = 3, as medidas dos lados do triângulo são x = 3, x + 1 = 4 e x + 2 = 5.
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312
Trigonometria em triângulos retângulos
O perímetro do triângulo é igual à soma das medidas dos lados, ou seja, 3 + 4 + 5 = 12 unidades de comprimento.
Resposta: B
6. Vamos considerar um triângulo retângulo que representa essa situação, de modo que 5m seja a medida da hipotenusa e 4m seja a medida do cateto de mede o deslocamento em relação à horizontal. Utilizando o te-orema de Pitágoras, obtém-se a medida do outro cateto: 3m. Como o des-locamento total pela escada rolante é igual a 10m, mantendo-se a inclina-ção ao longo da subida, é possível um triângulo congruente ao primeiro.
Observe a figura:
α
5
5
α
4
3
3
3
4
4
Logo, o deslocamento total em relação à vertical é igual a 3 + 3 = 6m.
Resposta: D
7. Sendo x a medida do outro cateto, utilizando o teorema de Pitágoras, temos:
6 = 2 + x 36 = 4 + x
36 - 4 = x 32 = x
2 2 2 2
2
® ®
® 22
®
= ® =x x32 4 2
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Trigonometria em triângulos retângulos
313
A área de um triângulo retângulo pode ser calculada pelo semiproduto
das medidas dos catetos, ou seja, 4 2 22
4 2.
= .
Resposta: C
8. Se o menor cateto mede x, então o outro cateto deve medir 2,5 x. A me-dida da área do triângulo retângulo pode ser calculada pelo semiproduto das medidas dos catetos. Logo:
x x
x
. ,
.,
2 52
20
20 22 5
2
=
=
x = 16
x = 4
2
Resposta: B
9. Sejam x e y as medidas dos catetos, respectivamente. Então, x + y = 18. Elevando-se ao quadrado ambos os membros da última equação, temos:
(x + y)2 = 182
x2 + 2xy + y2 = 324
Mas, por Pitágoras, x y2 22
22
6 5 6 5 180+ =( ) = ( ) =. .
Então:
(x2 + y2) + 2xy = 324
180 + 2xy = 324
2xy = 144
xy = 72
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314
Trigonometria em triângulos retângulos
Como a área de um triângulo retângulo é igual ao semiproduto das medi-das dos catetos x e y, temos:
x . y 72Área 36
2 2= = =
Resposta: A
10. Sendo x a medida de cada cateto e y da hipotenusa, utilizando o teorema de Pitágoras, temos:
y = x + x
y = 2x
2 2 2
2 2
y x
y x
=
=
2
2
2
O perímetro do triângulo é igual a x x y x x x+ + = + = +( )2 2 2 2. .
Logo:
x
x
x
x
.
. .
. .
2 2 12 2 6
2 2 2 6 2 6
2 2 6 2 2
6
+( )= +
+( )= +
+( )= +( )
=
Assim, a medida da área do triângulo é dada por:
6 62
6 62
362
62
3. .
= = = =
Resposta: C
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